1 正弦函数
- 解析式：$y = \sin x$
- 定义域：$\mathbb{R}$
- 值域：$[-1, 1]$，最大值 $1$（$x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$），最小值 $-1$（$x = -\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$）
- 周期性：最小正周期 $T = 2\pi$
- 单调性：
- 递增区间：$\left[-\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi,\ \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\right]$，$k \in \mathbb{Z}$
- 递减区间：$\left[\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi,\ \dfrac{3\pi}{2} + 2k\pi\right]$，$k \in \mathbb{Z}$
- 对称性：
- 对称轴：$x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$，$k \in \mathbb{Z}$
- 对称中心：$(k\pi, 0)$，$k \in \mathbb{Z}$
- 奇偶性：奇函数
- 零点：$x = k\pi$，$k \in \mathbb{Z}$
2 余弦函数
- 解析式：$y = \cos x$
- 定义域：$\mathbb{R}$
- 值域：$[-1, 1]$，最大值 $1$（$x = 2k\pi$），最小值 $-1$（$x = \pi + 2k\pi$）
- 周期性：最小正周期 $T = 2\pi$
- 单调性：
- 递增区间：$[-\pi + 2k\pi,\ 2k\pi]$，$k \in \mathbb{Z}$
- 递减区间：$[2k\pi,\ \pi + 2k\pi]$，$k \in \mathbb{Z}$
- 对称性：
- 对称轴：$x = k\pi$，$k \in \mathbb{Z}$
- 对称中心：$\left(\dfrac{\pi}{2} + k\pi, 0\right)$，$k \in \mathbb{Z}$
- 奇偶性：偶函数
- 零点：$x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$，$k \in \mathbb{Z}$
3 正切函数
- 解析式：$y = \tan x$
- 定义域：$\left\{x \mid x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi,\ k \in \mathbb{Z}\right\}$
- 值域：$\mathbb{R}$（无最大值和最小值）
- 周期性：最小正周期 $T = \pi$
- 单调性：在 $\left(-\dfrac{\pi}{2} + k\pi,\ \dfrac{\pi}{2} + k\pi\right)$，$k \in \mathbb{Z}$ 上单调递增
- 对称性：
- 对称轴：无
- 对称中心：$\left(\dfrac{k\pi}{2}, 0\right)$，$k \in \mathbb{Z}$
- 奇偶性：奇函数
- 零点：$x = k\pi$，$k \in \mathbb{Z}$
- 渐近线：$x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$，$k \in \mathbb{Z}$
4 三角函数
4.1 三种函数性质汇总
| 函数 | $y = \sin x$ | $y = \cos x$ | $y = \tan x$ |
|---|---|---|---|
| 解析式 | $y = \sin x$ | $y = \cos x$ | $y = \tan x$ |
| 定义域 | $\mathbb{R}$ | $\mathbb{R}$ | $\{x \mid x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi\}$ |
| 值域 | $[-1, 1]$ | $[-1, 1]$ | $\mathbb{R}$ |
| 最小正周期 | $2\pi$ | $2\pi$ | $\pi$ |
| 单调递增 | $[-\frac{\pi}{2}+2k\pi,\ \frac{\pi}{2}+2k\pi]$ | $[-\pi+2k\pi,\ 2k\pi]$ | $(-\frac{\pi}{2}+k\pi,\ \frac{\pi}{2}+k\pi)$ |
| 单调递减 | $[\frac{\pi}{2}+2k\pi,\ \frac{3\pi}{2}+2k\pi]$ | $[2k\pi,\ \pi+2k\pi]$ | 无 |
| 对称轴 | $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ | $x = k\pi$ | 无 |
| 对称中心 | $(k\pi, 0)$ | $(\frac{\pi}{2}+k\pi, 0)$ | $(\frac{k\pi}{2}, 0)$ |
| 奇偶性 | 奇函数 | 偶函数 | 奇函数 |
| 最大值 | $1$ | $1$ | 无 |
| 最小值 | $-1$ | $-1$ | 无 |
4.2 函数 $y = A\sin(\omega x + \varphi)$ 的性质
- 解析式：$y = A\sin(\omega x + \varphi)$（$A > 0$，$\omega > 0$）
- 定义域：$\mathbb{R}$
- 值域：$[-A, A]$（$A$ 为振幅）
- 周期性：最小正周期 $T = \dfrac{2\pi}{\omega}$
- 单调性：令 $t = \omega x + \varphi$，利用 $\sin t$ 的单调区间，反解 $x$ 的范围
- 对称性：
- 对称轴：令 $\omega x + \varphi = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$，解得 $x = \dfrac{\dfrac{\pi}{2} + k\pi - \varphi}{\omega}$
- 对称中心：令 $\omega x + \varphi = k\pi$，解得 $x = \dfrac{k\pi - \varphi}{\omega}$
- 奇偶性：由 $\varphi$ 决定
- $\varphi = k\pi$ 时为奇函数；
- $\varphi = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ 时为偶函数
- 零点：$\omega x + \varphi = k\pi$，即 $x = \dfrac{k\pi - \varphi}{\omega}$
4.3 函数 $y = A\cos(\omega x + \varphi)$ 的性质
- 解析式：$y = A\cos(\omega x + \varphi)$（$A > 0$，$\omega > 0$）
- 定义域：$\mathbb{R}$
- 值域：$[-A, A]$
- 周期性：最小正周期 $T = \dfrac{2\pi}{\omega}$
- 单调性：令 $t = \omega x + \varphi$，利用 $\cos t$ 的单调区间，反解 $x$ 的范围
- 对称性：
- 对称轴：令 $\omega x + \varphi = k\pi$，解得 $x = \dfrac{k\pi - \varphi}{\omega}$
- 对称中心：令 $\omega x + \varphi = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$，解得 $x = \dfrac{\dfrac{\pi}{2} + k\pi - \varphi}{\omega}$
- 奇偶性：由 $\varphi$ 决定
- $\varphi = k\pi$ 时为偶函数；
- $\varphi = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ 时为奇函数
4.4 函数 $y = A\tan(\omega x + \varphi)$ 的性质
- 解析式：$y = A\tan(\omega x + \varphi)$（$A > 0$，$\omega > 0$）
- 定义域：$\omega x + \varphi \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi$，即 $x \neq \dfrac{\dfrac{\pi}{2} + k\pi - \varphi}{\omega}$
- 值域：$\mathbb{R}$
- 周期性：最小正周期 $T = \dfrac{\pi}{\omega}$
- 单调性：在 $\left(-\dfrac{\pi}{2} + k\pi,\ \dfrac{\pi}{2} + k\pi\right)$ 上单调递增（令 $t = \omega x + \varphi$ 后反解）
- 对称性：
- 对称轴：无
- 对称中心：令 $\omega x + \varphi = \dfrac{k\pi}{2}$，解得 $x = \dfrac{\dfrac{k\pi}{2} - \varphi}{\omega}$
- 奇偶性：$\varphi = k\pi$ 时为奇函数
- 渐近线：$\omega x + \varphi = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$，即 $x = \dfrac{\dfrac{\pi}{2} + k\pi - \varphi}{\omega}$