1 正弦余弦、正切余切
1.1 任意角及其度量
任意角：
- 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
- 正角：按逆时针方向旋转形成的角；负角：按顺时针方向旋转形成的角；零角：没有作任何旋转的角。
- 所有与角 $\alpha$ 终边相同的角（含 $\alpha$ 本身），记作 $\beta = \alpha + 2k\pi$（$k \in \mathbb{Z}$）或 $\beta = \alpha + 360^\circ \cdot k$。
弧度制：
- 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度 的角，记作 $1 \text{ rad}$。
- 换算：$180^\circ = \pi \text{ rad}$，$1^\circ = \dfrac{\pi}{180} \text{ rad}$，$1 \text{ rad} = \left(\dfrac{180}{\pi}\right)^\circ \approx 57.30^\circ$。
- 弧长公式：$l = |\alpha| r$（$\alpha$ 为弧度制）；扇形面积公式：$S = \dfrac{1}{2} l r = \dfrac{1}{2} |\alpha| r^2$。
1.2 任意角的三角值
定义：设 $\alpha$ 是任意角，在 $\alpha$ 终边上任取一点 $P(x, y)$，$OP = r = \sqrt{x^2 + y^2} > 0$，则：
- $\sin\alpha = \dfrac{y}{r}$，$\cos\alpha = \dfrac{x}{r}$，$\tan\alpha = \dfrac{y}{x}$（$x \neq 0$），$\cot\alpha = \dfrac{x}{y}$（$y \neq 0$）。
单位圆定义：以原点 $O$ 为圆心，单位长度为半径的圆上，角 $\alpha$ 的终边与单位圆交于点 $P(x, y)$，则 $\sin\alpha = y$，$\cos\alpha = x$，$\tan\alpha = \dfrac{y}{x}$。
三角函数线（单位圆中）：
- $\sin\alpha = MP$（正弦线，有向线段）；
- $\cos\alpha = OM$（余弦线，有向线段）；
- $\tan\alpha = AT$（正切线，有向线段）。
各象限符号（口诀"一全正、二正弦、三正切、四余弦"）：
| 象限 | $\sin\alpha$ | $\cos\alpha$ | $\tan\alpha$ | $\cot\alpha$ |
|---|---|---|---|---|
| 一 | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ |
| 二 | $+$ | $-$ | $-$ | $-$ |
| 三 | $-$ | $-$ | $+$ | $+$ |
| 四 | $-$ | $+$ | $-$ | $-$ |
- 特殊角的三角函数值（需熟记）：
| 角度 | $0$ | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\pi}{3}$ | $\dfrac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $\dfrac{3\pi}{2}$ | $2\pi$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $\sin$ | $0$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ | $0$ | $-1$ | $0$ |
| $\cos$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0$ | $-1$ | $0$ | $1$ |
| $\tan$ | $0$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | 不存在 | $0$ | 不存在 | $0$ |
- 同角三角函数基本关系：
- 平方关系：$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$，$1 + \tan^2\alpha = \sec^2\alpha$，$1 + \cot^2\alpha = \csc^2\alpha$；
- 商数关系：$\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$，$\cot\alpha = \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$；
- 倒数关系：$\tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1$，$\sin\alpha \cdot \csc\alpha = 1$，$\cos\alpha \cdot \sec\alpha = 1$。
好的，我将诱导公式部分改为以原理为主，不再逐一罗列公式。以下是修改后的内容：
1.3 诱导公式
核心原理：诱导公式的本质是将任意角的三角函数值转化为 锐角（$0$ 到 $\dfrac{\pi}{2}$）的三角函数值。其推导依据是三角函数的定义（单位圆上点的坐标）和对称性（关于坐标轴、原点及直线 $y = x$ 的对称）。
记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”
“奇变偶不变” —— 指公式左边的角可写成 $k \cdot \dfrac{\pi}{2} \pm \alpha$ 的形式，其中 $k$ 为整数：
- 若 $k$ 为偶数，则右边的函数名不变（$\sin$ 仍写 $\sin$，$\cos$ 仍写 $\cos$，$\tan$ 仍写 $\tan$）；
- 若 $k$ 为奇数，则右边的函数名改变（$\sin \leftrightarrow \cos$，$\tan \leftrightarrow \cot$）。
- 原理：$k \cdot \dfrac{\pi}{2}$ 对应坐标轴上的角度（$0, \dfrac{\pi}{2}, \pi, \dfrac{3\pi}{2}, 2\pi$），函数名是否改变取决于终边是否跨越了 $y$ 轴。
“符号看象限” —— 将 $\alpha$ 视为锐角，判断 $k \cdot \dfrac{\pi}{2} \pm \alpha$ 所在的象限，然后根据该象限对应的原始函数（即公式左边的函数）的正负，决定右边是否添加负号。
- 原理：三角函数值的符号由终边所在象限决定（“一全正，二正弦，三正切，四余弦”）。
操作步骤（将任意角化为锐角三角函数）：
- 大角化小角：利用终边相同的角公式 $\beta = \alpha + 2k\pi$，将角化到 $[0, 2\pi)$ 范围内；
- 去负号：利用 $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$，$\cos(-\alpha) = \cos\alpha$，$\tan(-\alpha) = -\tan\alpha$ 处理负角；
- 化到 $[0, \dfrac{\pi}{2}]$：根据角所在的象限，选用适当的诱导公式（$\pi \pm \alpha$ 或 $\dfrac{\pi}{2} \pm \alpha$ 等），转化为锐角的三角函数。
2 常用三角公式
2.1 两角和与差
- $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$
- $\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$
- $\tan(\alpha \pm \beta) = \dfrac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}$（注意分母不为 0）
2.2 二倍角和半角
二倍角公式：
- $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$
- $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha$
- $\tan 2\alpha = \dfrac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}$（$\alpha \neq \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{k\pi}{2}$）
降幂公式（由二倍角逆推）：
- $\sin^2\alpha = \dfrac{1 - \cos 2\alpha}{2}$
- $\cos^2\alpha = \dfrac{1 + \cos 2\alpha}{2}$
- $\sin\alpha\cos\alpha = \dfrac{1}{2}\sin 2\alpha$
半角公式（正负由 $\dfrac{\alpha}{2}$ 所在象限决定）：
- $\sin\dfrac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\dfrac{1 - \cos\alpha}{2}}$
- $\cos\dfrac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\dfrac{1 + \cos\alpha}{2}}$
- $\tan\dfrac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\dfrac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha}} = \dfrac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha} = \dfrac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha}$（$\sin\alpha \neq 0$）
2.3 万能公式
设 $t = \tan\dfrac{\alpha}{2}$（$\alpha \neq \pi + 2k\pi$，$k \in \mathbb{Z}$），则：
- $\sin\alpha = \dfrac{2t}{1 + t^2}$
- $\cos\alpha = \dfrac{1 - t^2}{1 + t^2}$
- $\tan\alpha = \dfrac{2t}{1 - t^2}$（$\alpha \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi$）
2.4 和差化积与积化和差
积化和差：
- $\sin\alpha\cos\beta = \dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)]$
- $\cos\alpha\sin\beta = \dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta) - \sin(\alpha-\beta)]$
- $\cos\alpha\cos\beta = \dfrac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)]$
- $\sin\alpha\sin\beta = -\dfrac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta) - \cos(\alpha-\beta)]$
和差化积：
- $\sin A + \sin B = 2\sin\dfrac{A+B}{2}\cos\dfrac{A-B}{2}$
- $\sin A - \sin B = 2\cos\dfrac{A+B}{2}\sin\dfrac{A-B}{2}$
- $\cos A + \cos B = 2\cos\dfrac{A+B}{2}\cos\dfrac{A-B}{2}$
- $\cos A - \cos B = -2\sin\dfrac{A+B}{2}\sin\dfrac{A-B}{2}$
2.5 辅助角公式
- $a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2 + b^2}\sin(x + \varphi)$，其中 $\tan\varphi = \dfrac{b}{a}$，$\varphi$ 所在象限由 $(a, b)$ 确定。
- 等价形式：$a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2 + b^2}\cos(x - \theta)$，其中 $\tan\theta = \dfrac{a}{b}$。
- 应用：用于求三角函数的值域、最值、周期、单调区间等。
3 解三角形
3.1 正弦定理
在 $\triangle ABC$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$，外接圆半径为 $R$：
$$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R $$推论：
- $a : b : c = \sin A : \sin B : \sin C$
- $a = 2R\sin A$，$b = 2R\sin B$，$c = 2R\sin C$
- $\sin A = \dfrac{a}{2R}$，$\sin B = \dfrac{b}{2R}$，$\sin C = \dfrac{c}{2R}$
应用：
- 已知两角和一边，求其他边和角；
- 已知两边和其中一边的对角，求其他边和角（注意一解、两解或无解的判断）。
3.2 余弦定理
在 $\triangle ABC$ 中：
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$
$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$
推论：
- $\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$
- $\cos B = \dfrac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$
- $\cos C = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$
应用：
- 已知三边，求各角；
- 已知两边和它们的夹角，求第三边和其他角。
3.3 三角形面积
- $S = \dfrac{1}{2} ah_a = \dfrac{1}{2} bh_b = \dfrac{1}{2} ch_c$（$h_a$ 为边 $a$ 上的高）
- $S = \dfrac{1}{2} ab\sin C = \dfrac{1}{2} ac\sin B = \dfrac{1}{2} bc\sin A$
- $S = \dfrac{abc}{4R}$（$R$ 为外接圆半径）
- $S = 2R^2\sin A\sin B\sin C$
- $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$（海伦公式，其中 $p = \dfrac{a+b+c}{2}$ 为半周长）