1 不等式性质

  • 基本性质（设 $a, b, c \in \mathbb{R}$）：

    1. 对称性：$a > b \iff b < a$
    2. 传递性：$a > b$ 且 $b > c \Rightarrow a > c$
    3. 加法法则：$a > b \iff a + c > b + c$
    4. 乘法法则：
      • $a > b$，$c > 0 \Rightarrow ac > bc$
      • $a > b$，$c < 0 \Rightarrow ac < bc$

  • 运算推论： 5. 加法同向可加：$a > b$，$c > d \Rightarrow a + c > b + d$ 6. 乘法同向可乘（正数） ：$a > b > 0$，$c > d > 0 \Rightarrow ac > bd$ 7. 乘方：$a > b > 0 \Rightarrow a^n > b^n$（$n \in \mathbb{N}^*$） 8. 开方：$a > b > 0 \Rightarrow \sqrt[n]{a} > \sqrt[n]{b}$（$n \in \mathbb{N}^*$，$n \geq 2$） 9. 倒数法则：$a > b$，$ab > 0 \Rightarrow \dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{b}$

2 解不等式

2.1 一元二次不等式

  • 标准形式：$ax^2 + bx + c > 0$（或 $\geq 0$，$<$，$\leq 0$），$a \neq 0$

  • 解法原理：令 $ax^2 + bx + c = 0$，求判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$，结合二次函数图像（开口方向、与 $x$ 轴交点）确定解集。

  • $ax^2 + bx + c > 0$（$a > 0$）的解集结论：

    $\Delta$ 的符号对应方程$=0$ 的根的情况解集
    $\Delta > 0$两根$x_1 < x_2$$x < x_1$ 或 $x > x_2$（大于取两边）
    $\Delta = 0$$x_1 = x_2$$x \neq x_1$
    $\Delta < 0$无实根$\mathbb{R}$

  • 口诀记忆（$a > 0$ 时）：

    • $ax^2 + bx + c > 0$：大于取两边（$x < x_1$ 或 $x > x_2$）
    • $ax^2 + bx + c < 0$：小于取中间（$x_1 < x < x_2$）

  • 一般步骤：

    1. 将二次项系数化为正数；
    2. 求对应方程的根（判别式法或因式分解法）；
    3. 画数轴或根据口诀写出解集；
    4. 注意 $\geq$ 或 $\leq$ 时端点是否取到（需单独判断开闭）。

2.2 分式不等式

  • 标准形式：$\dfrac{f(x)}{g(x)} > 0$（或 $\geq 0$，$<$，$\leq 0$），$g(x) \neq 0$

  • 解题核心：利用同号为正、异号为负的原理，转化为整式不等式（组）：

    • $\dfrac{f(x)}{g(x)} > 0 \iff f(x) \cdot g(x) > 0$（但要注意分母不为 0）
    • $\dfrac{f(x)}{g(x)} \geq 0 \iff f(x) \cdot g(x) \geq 0$ 且 $g(x) \neq 0$（单独排除使分母为 0 的点）

  • 解题步骤：

    1. 移项，使一边为 0，通分化为 $\dfrac{f(x)}{g(x)} > 0$ 的形式；
    2. 将分式不等式等价转化为整式不等式（组）；
    3. 解整式不等式；
    4. 注意：分母不为 0，即 $g(x) \neq 0$ 的端点要挖掉（除非分子也为 0，但一般需单独检验）。

  • 高次不等式（穿根法 / 数轴标根法）：

    1. 将所有因式移到一边，系数化为正；
    2. 求出所有零点，按大小在数轴上标出；
    3. 从右上方开始穿根（奇穿偶不穿：奇次重根穿过，偶次重根不穿过）；
    4. 根据不等号方向确定解集。

2.3 绝对值不等式

  • 基本形式（$a > 0$）：

    • $|x| < a \iff -a < x < a$
    • $|x| > a \iff x < -a$ 或 $x > a$

  • 一般形式：

    • $|f(x)| < a \iff -a < f(x) < a$
    • $|f(x)| > a \iff f(x) < -a$ 或 $f(x) > a$
    • $|f(x)| < g(x) \iff -g(x) < f(x) < g(x)$（需保证 $g(x) > 0$）
    • $|f(x)| > g(x) \iff f(x) < -g(x)$ 或 $f(x) > g(x)$（$g(x)$ 可正可负）

  • 核心方法：

    1. 定义法：$|x| = \begin{cases} x, & x \geq 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$，分段讨论去绝对值；
    2. 平方法：$|f(x)| < |g(x)| \iff f^2(x) < g^2(x) \iff [f(x)-g(x)][f(x)+g(x)] < 0$；
    3. 几何法：$|x-a|$ 表示数轴上点 $x$ 到点 $a$ 的距离，$|x-a| + |x-b|$ 表示到两点距离之和，可结合数轴求解。

3 基本不等式

3.1 基本不等式（均值不等式）

  • 内容：若 $a > 0$，$b > 0$，则 $\dfrac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$，当且仅当 $a = b$ 时取等号。

  • 也可写作 $a + b \geq 2\sqrt{ab}$。

  • 几何意义：两个正数的算术平均数 $\geq$ 几何平均数。

  • 常用变形：

    • $ab \leq \left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2$（积的最大值）
    • $a^2 + b^2 \geq 2ab$（当且仅当 $a = b$ 取等号）
    • $\dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{b} \geq 2$（$ab > 0$）

3.2 应用与注意点

  • 一正：参与运算的两数必须为正数；
  • 二定：和或积必须为定值（常数）；
  • 三相等：等号成立的条件必须能够取到（即 $a = b$ 在可行域内）。

3.3 重要结论汇总

变形适用范围取等条件
$a^2 + b^2 \geq 2ab$$a, b \in \mathbb{R}$$a = b$
$\dfrac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$$a, b > 0$$a = b$
$a + \dfrac{1}{a} \geq 2$$a > 0$$a = 1$
$a + \dfrac{1}{a} \leq -2$$a < 0$$a = -1$
$a^2 + b^2 \geq \dfrac{(a+b)^2}{2}$$a, b \in \mathbb{R}$$a = b$

3.4 柯西不等式

3.4.1 二维形式

  • 内容：$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) \geq (ac + bd)^2$，当且仅当 $ad = bc$（即 $\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d}$）时取等号。
  • 向量形式：$|\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta}| \leq |\vec{\alpha}| \cdot |\vec{\beta}|$，当且仅当两向量共线时取等号。
  • 三角形式：$\sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{c^2 + d^2} \geq \sqrt{(a+c)^2 + (b+d)^2}$，当且仅当 $ad = bc$ 时取等号。

3.4.2 三维形式

  • 内容：$(a_1^2 + a_2^2 + a_3^2)(b_1^2 + b_2^2 + b_3^2) \geq (a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3)^2$，当且仅当 $\dfrac{a_1}{b_1} = \dfrac{a_2}{b_2} = \dfrac{a_3}{b_3}$ 时取等号。

3.4.3 一般形式

  • 内容：$(a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2) \geq (a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n)^2$，当且仅当 $\dfrac{a_1}{b_1} = \dfrac{a_2}{b_2} = \cdots = \dfrac{a_n}{b_n}$ 时取等号。

3.4.4 应用场景

  • 求多元函数的最值（已知平方和求线性式的最值，或已知线性式求平方和的最值）；
  • 证明不等式；
  • 解方程（利用取等条件反推变量取值）。

3.4.5 配凑技巧

  • 利用柯西不等式时，核心在于合理分组配凑，使已知条件与目标式匹配。
  • 常见变形：已知 $a^2 + b^2$ 为定值，求 $ma + nb$ 的最大值，可直接套用 $(a^2 + b^2)(m^2 + n^2) \geq (ma + nb)^2$。

3.5 三角不等式

3.5.1 绝对值三角不等式

  • 内容：对任意实数 $a, b$，有：

    • $|a + b| \leq |a| + |b|$（三角形两边之和大于第三边）
    • $\big||a| - |b|\big| \leq |a - b|$（三角形两边之差小于第三边）
    • $|a - b| \leq |a| + |b|$

  • 取等条件：

    • $|a + b| = |a| + |b| \iff ab \geq 0$（$a, b$ 同号或至少一个为 0）；
    • $|a - b| = |a| + |b| \iff ab \leq 0$（$a, b$ 异号或至少一个为 0）。

3.5.2 推广形式

  • 多维形式：对任意实数 $a_1, a_2, \cdots, a_n$，有： $$ |a_1 + a_2 + \cdots + a_n| \leq |a_1| + |a_2| + \cdots + |a_n| $$

3.5.3 几何意义

  • 数轴上，$|a - b|$ 表示点 $a$ 与点 $b$ 之间的距离；
  • $|a - b| \leq |a - c| + |c - b|$ 表示两点之间线段最短（三角不等式在数轴上的体现）。

3.5.4 应用场景

  • 求含绝对值的函数的最值或取值范围；
  • 证明绝对值不等式；
  • 利用取等条件解绝对值方程（判断何时取到最值）。

3.5.5 常见题型

  • 已知 $|x - a| + |x - b|$ 的最小值：当 $x$ 位于 $a, b$ 之间时，最小值为 $|a - b|$；
  • 已知 $|x - a| - |x - b|$ 的最大值与最小值：最大值为 $|a - b|$，最小值为 $-|a - b|$。