1 函数定义
定义一（变量说） ：如果在某个变化过程中有两个变量 $x$，$y$，对于 $x$ 在某个范围 $D$ 内的每一个确定的值，按照某种对应法则，都有唯一确定的 $y$ 值与它对应，那么 $y$ 就是 $x$ 的函数，记作 $y = f(x)$。$x$ 叫做自变量，$x$ 的取值范围 $D$ 叫做函数的定义域，和 $x$ 的值相对应的 $y$ 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
定义二（对应说） ：非空数集 $A$ 到非空数集 $B$ 的一个对应关系 $f: A \to B$，使 $A$ 中每一个元素在 $B$ 中都有唯一确定的元素和它对应，那么对应关系 $f: A \to B$ 叫做 $A$ 到 $B$ 的函数，记作 $y = f(x)$，其中 $x \in A$，$y \in B$。
注意要点：
- 对应法则可以是"一对一"或"多对一"，但不能是"一对多"（即一个 $x$ 对应多个 $y$）。
- 定义域与值域都必须是非空数集。
函数的三要素：定义域、值域、对应关系。
相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等。
函数的表示法：解析法、图象法、列表法。
2 基本初等函数
2.1 一次函数
- 定义：形如 $y = kx + b$（$k \neq 0$）的函数叫做一次函数。
- 图像：一条直线，$k$ 为斜率，$b$ 为 $y$ 轴截距。
- 性质：
- 定义域、值域均为 $\mathbb{R}$；
- $k > 0$ 时单调递增，$k < 0$ 时单调递减；
- 与 $x$ 轴交点为 $(-\frac{b}{k}, 0)$，与 $y$ 轴交点为 $(0, b)$。
2.2 二次函数
- 定义：形如 $y = ax^2 + bx + c$（$a \neq 0$）的函数叫做二次函数。
- 标准形式：$y = a(x - h)^2 + k$，其中顶点坐标为 $(h, k)$，$h = -\frac{b}{2a}$，$k = \frac{4ac - b^2}{4a}$。
- 性质：
- 定义域为 $\mathbb{R}$；
- $a > 0$ 时开口向上，有最小值 $k$；$a < 0$ 时开口向下，有最大值 $k$；
- 对称轴为 $x = h$；
- 值域：$a > 0$ 时为 $[k, +\infty)$，$a < 0$ 时为 $(-\infty, k]$。
2.3 幂函数
- 定义：形如 $y = x^\alpha$（$\alpha$ 为常数）的函数叫做幂函数。
- 常见幂函数图像与性质（$y = x, x^2, x^3, x^{\frac{1}{2}}, x^{-1}$）：
- $y = x$：定义域 $\mathbb{R}$，奇函数，$\mathbb{R}$ 上单调递增；
- $y = x^2$：定义域 $\mathbb{R}$，偶函数，$(-\infty, 0]$ 递减，$[0, +\infty)$ 递增；
- $y = x^3$：定义域 $\mathbb{R}$，奇函数，$\mathbb{R}$ 上单调递增；
- $y = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$：定义域 $[0, +\infty)$，非奇非偶，单调递增；
- $y = x^{-1} = \frac{1}{x}$：定义域 $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$，奇函数，$(-\infty, 0)$ 和 $(0, +\infty)$ 上单调递减。
2.4 指数函数
- 定义：形如 $y = a^x$（$a > 0$ 且 $a \neq 1$）的函数叫做指数函数。
- 性质：
- 定义域为 $\mathbb{R}$，值域为 $(0, +\infty)$；
- 过定点 $(0, 1)$；
- $a > 1$ 时在 $\mathbb{R}$ 上单调递增；$0 < a < 1$ 时在 $\mathbb{R}$ 上单调递减；
- 图像在 $x$ 轴上方，渐近线为 $x$ 轴（$y \to 0$）。
2.5 对数函数
- 定义：形如 $y = \log_a x$（$a > 0$ 且 $a \neq 1$）的函数叫做对数函数。
- 性质：
- 定义域为 $(0, +\infty)$，值域为 $\mathbb{R}$；
- 过定点 $(1, 0)$；
- $a > 1$ 时在 $(0, +\infty)$ 上单调递增；$0 < a < 1$ 时在 $(0, +\infty)$ 上单调递减；
- 图像在 $y$ 轴右侧，渐近线为 $y$ 轴（$x \to 0^+$）。
3 函数性质
3.1 单调性
定义（代数定义） ：对于函数 $f(x)$ 定义域 $D$ 内某个区间 $I$ 上的任意两个自变量的值 $x_1, x_2$：
- 若 $x_1 < x_2$ 时，都有 $f(x_1) < f(x_2)$，则 $f(x)$ 在区间 $I$ 上是增函数；
- 若 $x_1 < x_2$ 时，都有 $f(x_1) > f(x_2)$，则 $f(x)$ 在区间 $I$ 上是减函数。
证明方法：
- 定义法：作差 $f(x_1) - f(x_2)$，变形后判断符号；
- 导数法：若 $f'(x) > 0$，则 $f(x)$ 单调递增；若 $f'(x) < 0$，则 $f(x)$ 单调递减。（导数法适用于可导函数，是判断单调性的常用工具。）
复合函数单调性：同增异减。
注意：单调区间是定义域的子集，多个单调区间不能用"$\cup$“连接。
3.2 对称性
3.2.1 轴对称
定义：若存在直线 $x = a$，使得函数 $f(x)$ 定义域内任意 $x$ 都有 $f(a + x) = f(a - x)$，则函数图像关于直线 $x = a$ 对称，$x = a$ 称为对称轴。
常见变形（核心：括号内自变量之和为常数）：
- 形式一：$f(a + x) = f(a - x)$ $\iff$ 对称轴为 $x = a$；
- 形式二：$f(x) = f(2a - x)$ $\iff$ 对称轴为 $x = a$（令 $x \to a + x$ 即得形式一）；
- 形式三：$f(x + a) = f(-x + b)$ $\iff$ 对称轴为 $x = \dfrac{a + b}{2}$。
特例——偶函数：当对称轴为 $x = 0$（即 $a = 0$）时，$f(-x) = f(x)$，称 $f(x)$ 为偶函数。
3.2.2 中心对称
定义：若存在点 $(a, b)$，使得函数 $f(x)$ 定义域内任意 $x$ 都有 $f(a + x) + f(a - x) = 2b$，则函数图像关于点 $(a, b)$ 对称，$(a, b)$ 称为对称中心。
常见变形（核心：括号内自变量之和为常数，函数值之和为常数）：
- 形式一：$f(a + x) + f(a - x) = 2b$ $\iff$ 对称中心为 $(a, b)$；
- 形式二：$f(x) + f(2a - x) = 2b$ $\iff$ 对称中心为 $(a, b)$（令 $x \to a + x$ 即得形式一）；
- 形式三：$f(a + x) + f(b - x) = 2c$ $\iff$ 对称中心为 $\left(\dfrac{a + b}{2}, c\right)$；
- 形式四：$f(x + a) = -f(-x + b) + 2c$ $\iff$ 对称中心为 $\left(\dfrac{a + b}{2}, c\right)$。
特例——奇函数：当对称中心为原点 $(0, 0)$ 时，$f(-x) = -f(x)$，称 $f(x)$ 为奇函数。
3.3 周期性
定义：若存在非零常数 $T$，使得函数 $f(x)$ 定义域内任意 $x$ 都有 $f(x + T) = f(x)$，则称 $T$ 为函数的一个周期。若所有周期中存在最小正数，则称为最小正周期。
常见变形（通用格式） ：
设 $a, b$ 为常数，$a \neq b$，且 $f(x)$ 定义域足够大：
周期性常见变形汇总：
（一）代数递推型（设 $a \neq 0$）
- $f(x+a)=f(x+b)$ $\Longrightarrow$ 周期 $T=|a-b|$
- $f(x+a)=-f(x)$ $\Longrightarrow$ 周期 $T=2a$
- $f(x+a)=\dfrac{1}{f(x)}$ $\Longrightarrow$ 周期 $T=2a$
- $f(x+a)=-\dfrac{1}{f(x)}$ $\Longrightarrow$ 周期 $T=2a$
- $f(x+a)=\dfrac{1+f(x)}{1-f(x)}$ $\Longrightarrow$ 周期 $T=4a$
- $f(x+a)=\dfrac{1-f(x)}{1+f(x)}$ $\Longrightarrow$ 周期 $T=4a$
- $f(x+a)=f(x)+k$（$k$ 为常数） $\Longrightarrow$ 周期 $T=2a$（需结合对称性或零点条件）
（二）对称组合型（设 $a \neq b$）
- 若 $f(x)$ 关于两条直线 $x=a$ 和 $x=b$ 都对称 $\Longrightarrow$ 周期 $T=2|a-b|$
- 若 $f(x)$ 关于两个点 $(a,0)$ 和 $(b,0)$ 都对称 $\Longrightarrow$ 周期 $T=2|a-b|$
- 若 $f(x)$ 关于直线 $x=a$ 和点 $(b,0)$ 都对称 $\Longrightarrow$ 周期 $T=4|a-b|$