1 双曲线的定义
定义：平面内与两个定点 $F_1, F_2$ 的距离之差的绝对值等于常数（大于 $0$ 且小于 $|F_1F_2|$）的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。
符号语言： 设 $P$ 为双曲线上任意一点，则
$$ \bigl||PF_1| - |PF_2|\bigr| = 2a \quad (0 < 2a < |F_1F_2| = 2c,\ c > a > 0) $$去掉绝对值时，双曲线分为两支：
- $|PF_1| - |PF_2| = 2a$：靠近 $F_2$ 的一支（右支）；
- $|PF_1| - |PF_2| = -2a$：靠近 $F_1$ 的一支（左支）。
定义中常数的要求：
- $0 < 2a < 2c$：轨迹为双曲线（两支）；
- $2a = 2c$：轨迹为以 $F_1, F_2$ 为端点的两条射线；
- $2a > 2c$：轨迹不存在；
- $2a = 0$：轨迹为线段 $F_1F_2$ 的垂直平分线。
补充定义（第二定义）：双曲线是平面内到定点 $F$（焦点）的距离与到定直线 $l$（准线）的距离之比为常数 $e$（$e > 1$）的点的轨迹，即
$$ \frac{|PF|}{d(P,l)} = e \quad (e > 1) $$其中 $e$ 为双曲线的离心率。
2 双曲线的方程及图像
2.1 焦点在 $x$ 轴上
标准方程：
$$ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a > 0,\ b > 0) $$几何要素：
- 焦点坐标：$F_1(-c, 0),\ F_2(c, 0)$，其中 $c^2 = a^2 + b^2$；
- 顶点坐标：$(\pm a, 0)$（实轴端点）；
- 虚轴端点：$(0, \pm b)$（虚轴端点，非双曲线上的点）；
- 实轴长：$2a$（在 $x$ 轴上）；
- 虚轴长：$2b$（在 $y$ 轴上）；
- 焦距：$2c$；
- 离心率：$e = \dfrac{c}{a}$（$e > 1$）；
- 渐近线方程：$y = \pm \dfrac{b}{a}x$；
- 准线方程：$x = \pm \dfrac{a^2}{c}$。
图像特征：双曲线左右两支开口，实轴沿 $x$ 轴方向，渐近线为过原点的两条直线。
2.2 焦点在 $y$ 轴上
标准方程：
$$ \frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1 \quad (a > 0,\ b > 0) $$几何要素：
- 焦点坐标：$F_1(0, -c),\ F_2(0, c)$，其中 $c^2 = a^2 + b^2$；
- 顶点坐标：$(0, \pm a)$（实轴端点）；
- 虚轴端点：$(\pm b, 0)$（虚轴端点，非双曲线上的点）；
- 实轴长：$2a$（在 $y$ 轴上）；
- 虚轴长：$2b$（在 $x$ 轴上）；
- 焦距：$2c$；
- 离心率：$e = \dfrac{c}{a}$（$e > 1$）；
- 渐近线方程：$y = \pm \dfrac{a}{b}x$；
- 准线方程：$y = \pm \dfrac{a^2}{c}$。
图像特征：双曲线上下两支开口，实轴沿 $y$ 轴方向。
两种标准方程的对比：
| 对比项 | 焦点在$x$ 轴 | 焦点在$y$ 轴 |
|---|---|---|
| 标准方程 | $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ | $\dfrac{y^2}{a^2} - \dfrac{x^2}{b^2} = 1$ |
| 焦点坐标 | $(\pm c, 0)$ | $(0, \pm c)$ |
| 顶点坐标 | $(\pm a, 0)$ | $(0, \pm a)$ |
| 实轴方向 | $x$ 轴 | $y$ 轴 |
| 渐近线 | $y = \pm \dfrac{b}{a}x$ | $y = \pm \dfrac{a}{b}x$ |
| $a,b,c$ 关系 | $c^2 = a^2 + b^2$ | $c^2 = a^2 + b^2$ |
| 离心率 | $e = c/a > 1$ | $e = c/a > 1$ |
判断焦点位置的方法：看标准方程中 正号项 对应的变量——正号项分母为 $a^2$，焦点在该变量对应的轴上。
等轴双曲线：当 $a = b$ 时，称为等轴双曲线，方程为 $x^2 - y^2 = a^2$（或 $y^2 - x^2 = a^2$），其渐近线为 $y = \pm x$，互相垂直，离心率 $e = \sqrt{2}$。
共轭双曲线：$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 与 $\dfrac{y^2}{b^2} - \dfrac{x^2}{a^2} = 1$ 互为共轭双曲线，它们有共同的渐近线。
3 双曲线的性质
3.1 双曲线的定义（见第1节）
双曲线的第一定义和第二定义等价，综合表述为：
- 第一定义（几何定义）：到两定点距离之差的绝对值为常数 $2a$ 的轨迹；
- 第二定义（统一定义）：到定点与到定直线距离之比为离心率 $e$（$e>1$）的轨迹。
第一定义与第二定义的关系：由标准方程可推导出 $\dfrac{|PF|}{d(P,l)} = \dfrac{c}{a} = e$。
3.2 双曲线上点到焦点的距离
（1）焦点半径公式（焦半径）
双曲线上任意一点 $P(x_0, y_0)$ 到两焦点的距离称为焦半径。
焦点在 $x$ 轴上：双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$，焦点 $F_1(-c,0),\ F_2(c,0)$。
- 当 $P$ 在右支上（$x_0 \geq a$）：
- 当 $P$ 在左支上（$x_0 \leq -a$）：
统一形式（利用 $|x_0| \geq a$）：
$$ |PF_1| = |e x_0 + a|,\qquad |PF_2| = |e x_0 - a| $$焦点在 $y$ 轴上：双曲线 $\dfrac{y^2}{a^2} - \dfrac{x^2}{b^2} = 1$，焦点 $F_1(0,-c),\ F_2(0,c)$。
- 当 $P$ 在上支上（$y_0 \geq a$）：
- 当 $P$ 在下支上（$y_0 \leq -a$）：
（2）重要性质
- 差的绝对值恒定：$\bigl||PF_1| - |PF_2|\bigr| = 2a$（双曲线定义）；
- 范围：焦点半径无上界（双曲线向外无限延伸）；
- 最值：当 $P$ 在顶点处时，焦半径取最小值 $c - a$（近焦点）和 $a + c$（远焦点）。
3.3 双曲线的弦长公式
定义：双曲线上两点之间的线段称为双曲线的弦。过焦点的弦称为焦点弦。
（1）一般弦长公式
若直线 $l: y = kx + m$ 与双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 交于 $A(x_1, y_1),\ B(x_2, y_2)$ 两点，则弦长：
$$ |AB| = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} $$将 $y = kx + m$ 代入双曲线方程，利用韦达定理：
$$ |AB| = \sqrt{1 + k^2} \cdot |x_1 - x_2| = \sqrt{1 + k^2} \cdot \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2} $$若直线为 $x = my + n$，则：
$$ |AB| = \sqrt{1 + m^2} \cdot |y_1 - y_2| $$注意：双曲线弦长公式与椭圆形式相同，但联立方程后韦达定理的形式不同（$x^2$ 系数可能为 $0$，此时直线与渐近线平行，与双曲线只有一个交点）。
（2）焦点弦长公式
过焦点 $F(c,0)$ 的弦 $AB$，若直线斜率为 $k$，则：
$$ |AB| = \frac{2ab^2(1 + k^2)}{|b^2 - a^2 k^2|} $$特殊情形——通径：过焦点且垂直于实轴的弦称为通径，其长度为：
$$ |AB| = \frac{2b^2}{a} $$（通径是双曲线中最短的焦点弦，与椭圆通径公式形式相同。）
3.4 双曲线的切线方程
（1）双曲线上一点处的切线方程
设 $P(x_0, y_0)$ 是双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 上一点，则过点 $P$ 的切线方程为：
$$ \frac{x x_0}{a^2} - \frac{y y_0}{b^2} = 1 $$记忆口诀：将标准方程中的 $x^2$ 换成 $x x_0$，$y^2$ 换成 $y y_0$。
（2）斜率已知的切线方程
已知切线斜率为 $k$，则与双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 相切的直线方程为：
$$ y = kx \pm \sqrt{a^2 k^2 - b^2} $$存在条件：$a^2 k^2 - b^2 \geq 0$，即 $|k| \geq \dfrac{b}{a}$。
当 $|k| < \dfrac{b}{a}$ 时，直线与双曲线没有切点（可能无交点或有两个交点）； 当 $|k| = \dfrac{b}{a}$ 时，直线与渐近线平行（或重合），此时切点在无穷远处，退化为渐近线方向。
（3）双曲线外一点引切线
若点 $P(x_0, y_0)$ 在双曲线外部（且不在渐近线上），过 $P$ 作双曲线的两条切线，其切点弦方程为：
$$ \frac{x x_0}{a^2} - \frac{y y_0}{b^2} = 1 $$（形式与切线方程相同，但此时 $P$ 在双曲线外，该方程表示两切点所在的直线。）
（4）切线性质
- 双曲线上一点 $P$ 处的切线平分该点与两焦点连线所成的内角（光学性质：从一焦点发出的光线经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过另一焦点）；
- 切线与法线垂直（法线方向与焦半径方向有固定关系）。