1 圆的定义

定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆。定点叫做圆的圆心，定长叫做圆的半径。

符号语言： 设圆心为 $O$，半径为 $r$（$r > 0$），$P$ 为圆上任意一点，则

$$ |OP| = r $$

补充定义（解析几何角度）：圆是平面内与定点距离为常数的点的轨迹。也可以理解为到两个定点（圆心和无穷远点）距离之比为 $1$ 的点的轨迹。

2 圆的方程

2.1 标准方程

形式： 设圆心为 $O(a, b)$，半径为 $r$（$r > 0$），则圆的标准方程为

$$ (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 $$

特例：当圆心在原点 $O(0, 0)$ 时，方程为

$$ x^2 + y^2 = r^2 $$

要点：

  • 标准方程直接给出了圆心坐标 $(a, b)$ 和半径 $r$；
  • 左边为平方和形式，右边为半径平方；
  • 若点 $P(x_0, y_0)$ 在圆上，则 $(x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2 = r^2$。

2.2 一般方程

将标准方程展开，得到圆的一般方程：

$$ x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 $$

其中 $D, E, F$ 为常数，且满足 $D^2 + E^2 - 4F > 0$。

圆心与半径： 由一般方程配方可得：

$$ \left(x + \frac{D}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{E}{2}\right)^2 = \frac{D^2 + E^2 - 4F}{4} $$

因此：

  • 圆心坐标：$\left(-\dfrac{D}{2}, -\dfrac{E}{2}\right)$；
  • 半径：$r = \dfrac{1}{2}\sqrt{D^2 + E^2 - 4F}$。

方程条件：

  • $D^2 + E^2 - 4F > 0$：表示一个圆；
  • $D^2 + E^2 - 4F = 0$：表示一个点（点圆）$\left(-\dfrac{D}{2}, -\dfrac{E}{2}\right)$；
  • $D^2 + E^2 - 4F < 0$：不表示任何图形。

标准方程与一般方程可以互化：标准方程展开即得一般方程；一般方程配方即得标准方程。

2.3 参数方程

形式一（圆心在原点）： 圆 $x^2 + y^2 = r^2$ 的参数方程为

$$ \begin{cases} x = r\cos\theta \\ y = r\sin\theta \end{cases} \quad (0 \leq \theta < 2\pi) $$

其中 $\theta$ 为参数，表示点 $P$ 与 $x$ 轴正方向的夹角。

形式二（圆心在 $(a, b)$）： 圆 $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ 的参数方程为

$$ \begin{cases} x = a + r\cos\theta \\ y = b + r\sin\theta \end{cases} \quad (0 \leq \theta < 2\pi) $$

参数 $\theta$ 的几何意义：$\theta$ 是点 $P$ 与圆心连线与 $x$ 轴正方向所成的角（有向角）。

应用：参数方程常用于处理"点在圆上运动"的动点问题，以及最值问题（可将二元最值转化为三角最值）。

3 圆与点、直线、圆的位置关系

3.1 圆与点的位置关系

设圆 $C$ 的圆心为 $O$，半径为 $r$，点 $P$ 到圆心 $O$ 的距离为 $d = |OP|$，则：

位置关系条件意义
点在圆内$d < r$点在圆内部
点在圆上$d = r$点在圆周上
点在圆外$d > r$点在圆外部

坐标判断法：若圆方程为 $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$，点 $P(x_0, y_0)$，则：

  • $(x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2 < r^2$：点在圆内；
  • $(x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2 = r^2$：点在圆上；
  • $(x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2 > r^2$：点在圆外。

3.2 圆与直线的位置关系

设圆心 $O$ 到直线 $l$ 的距离为 $d$，圆的半径为 $r$，则：

位置关系条件公共点个数
相离$d > r$0 个
相切$d = r$1 个
相交$d < r$2 个

几何法（最常用）： 设直线方程为 $Ax + By + C = 0$，圆心为 $O(a, b)$，则圆心到直线的距离：

$$ d = \frac{|Aa + Bb + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} $$

比较 $d$ 与 $r$ 的大小即可判断。

代数法（判别式法）： 将直线方程代入圆方程，消去一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，计算判别式 $\Delta$：

  • $\Delta < 0$：相离；
  • $\Delta = 0$：相切；
  • $\Delta > 0$：相交。

推荐：几何法更简洁直观，代数法适用于需要求交点坐标的情形。

3.3 圆与圆的位置关系

设两圆 $C_1$ 的半径为 $r_1$，圆心距为 $d = |O_1O_2|$，$r_1 \geq r_2$，则：

位置关系条件公共点个数公切线个数
外离$d > r_1 + r_2$0 个4
外切$d = r_1 + r_2$1 个（外公切点）3
相交$2 个2
内切$d =r_1 - r_2$1 个（内公切点）1
内含$0 \leq d 0 个0

判断步骤：

  1. 求两圆圆心距 $d$；
  2. 比较 $d$ 与 $r_1 + r_2$、$|r_1 - r_2|$ 的大小；
  3. 按上表确定位置关系。

两圆公共弦：当两圆相交时，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程。

4 圆的弦长公式

定义：直线与圆相交时，直线被圆截得的两交点之间的线段称为圆的弦。

弦长公式（几何法）： 设圆心 $O$ 到直线 $l$ 的距离为 $d$，圆的半径为 $r$，则弦长

$$ |AB| = 2\sqrt{r^2 - d^2} $$

推导：由垂径定理，圆心到弦的垂线平分弦，构成直角三角形，斜边为 $r$，一条直角边为 $d$，另一条直角边为弦长的一半。

坐标法（直线与圆联立）： 若直线方程为 $y = kx + b$，与圆 $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ 交于 $A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$，则

$$ |AB| = \sqrt{1 + k^2} \cdot |x_1 - x_2| = \sqrt{1 + k^2} \cdot \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2} $$

特殊情形：

  • 当直线过圆心时，$d = 0$，弦长 $|AB| = 2r$（直径）；
  • 当直线与圆相切时，$d = r$，弦长 $|AB| = 0$。

5 圆的切线

5.1 圆上点切线方程

形式一：圆 $x^2 + y^2 = r^2$ 上一点 $P(x_0, y_0)$ 处的切线方程为：

$$ x x_0 + y y_0 = r^2 $$

形式二：圆 $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ 上一点 $P(x_0, y_0)$ 处的切线方程为：

$$ (x - a)(x_0 - a) + (y - b)(y_0 - b) = r^2 $$

记忆口诀：将标准方程中的 $x^2$ 换成 $x x_0$，$y^2$ 换成 $y y_0$；若圆心不在原点，则 $(x-a)^2$ 换成 $(x-a)(x_0-a)$。

几何法（当圆心在原点时）： 圆心 $O$ 与切点 $P$ 连线垂直于切线，故切线斜率为 $-\dfrac{x_0}{y_0}$（当 $y_0 \neq 0$ 时），利用点斜式可得切线方程。

5.2 过圆外一点的切点弦方程

定义：从圆外一点 $P(x_0, y_0)$ 向圆引两条切线，两个切点 $A$、$B$ 的连线称为切点弦（或切点弦方程）。

切点弦方程（圆 $x^2 + y^2 = r^2$，点 $P(x_0, y_0)$ 在圆外）：

$$ x x_0 + y y_0 = r^2 $$

切点弦方程（圆 $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$，点 $P(x_0, y_0)$ 在圆外）：

$$ (x - a)(x_0 - a) + (y - b)(y_0 - b) = r^2 $$

切点弦的性质：

  • 切点弦方程的形式与切点处切线方程完全相同，但 $P$ 从圆上换成了圆外；
  • 当 $P$ 在圆上时，切点弦退化为该点处的切线；
  • $OP$ 垂直于切点弦 $AB$（$O$ 为圆心）；
  • 切点弦 $AB$ 的方程为"极线方程"的体现（在极坐标意义下）。

6 圆系方程

6.1 两圆的公共弦所在直线方程

设两圆 $C_1$、$C_2$ 的方程分别为：

$$ C_1: x^2 + y^2 + D_1 x + E_1 y + F_1 = 0 $$$$ C_2: x^2 + y^2 + D_2 x + E_2 y + F_2 = 0 $$

两圆方程相减，得到公共弦所在直线方程（两圆相交时）：

$$ (D_1 - D_2)x + (E_1 - E_2)y + (F_1 - F_2) = 0 $$

当两圆相切时，该方程表示两圆的公切线（切点处的公切线）；当两圆相离时，该方程表示两圆的根轴（等幂轴）。

6.2 过两圆公共点圆的方程

过两圆交点的圆系方程： 若两圆 $C_1$ 与 $C_2$ 相交（或相切）于公共点，则经过它们的所有公共点的圆（包括两圆本身）的方程可表示为：

$$ C_1 + \lambda C_2 = 0 $$

即：

$$ (x^2 + y^2 + D_1 x + E_1 y + F_1) + \lambda (x^2 + y^2 + D_2 x + E_2 y + F_2) = 0 $$

其中 $\lambda$ 为参数（$\lambda \neq -1$）。

说明：

  • 当 $\lambda = 0$ 时，表示圆 $C_1$；
  • 当 $\lambda \to \infty$ 时，表示圆 $C_2$（实际上取 $\lambda$ 为某一值可表示过公共点的所有圆，但不包含 $C_2$ 本身，$C_2$ 需单独处理）；
  • 若已知第三个条件（如圆心坐标或经过第三个点），可确定 $\lambda$ 的值。

过两圆公共点且圆心在已知直线上的圆：先写出圆系方程，再根据圆心坐标满足的直线条件求出 $\lambda$。

过直线与圆的交点的圆系方程： 若直线 $l: Ax + By + C = 0$ 与圆 $C: x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ 交于两点，则过这两个交点的所有圆可表示为：

$$ C + \lambda l = 0 $$

即：

$$ (x^2 + y^2 + Dx + Ey + F) + \lambda (Ax + By + C) = 0 $$

6.3 圆系方程性质汇总

类型圆系方程用途
共点圆系（两圆交点）$C_1 + \lambda C_2 = 0$求过两圆交点的所有圆
共点圆系（直线与圆交点）$C + \lambda l = 0$求过直线与圆交点的所有圆
同心圆系$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$（$r$ 可变）圆心相同的所有圆
公共弦（根轴）$C_1 - C_2 = 0$求公共弦所在直线