1 斜率与倾斜角

1.1 倾斜角

  • 定义：在平面直角坐标系中，对于一条与 $x$ 轴相交的直线，把 $x$ 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角。
  • 范围：$0 \le \alpha < \pi$（即 $0^\circ \le \alpha < 180^\circ$）。
  • 特例：当直线与 $x$ 轴平行或重合时，倾斜角 $\alpha = 0$。当直线与 $x$ 轴垂直时，倾斜角 $\alpha = \frac{\pi}{2}$（$90^\circ$）。

1.2 斜率

  • 定义：一条直线的倾斜角 $\alpha$ 的正切值叫做这条直线的斜率。
  • 公式：$k = \tan \alpha$（$\alpha \neq \frac{\pi}{2}$）。
  • 过两点的斜率公式：若直线上两点 $P_1(x_1, y_1)$，$P_2(x_2, y_2)$（$x_1 \neq x_2$），则： $$ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} $$

1.3 两者关系

  • $\alpha = 0 \iff k = 0$（直线水平）；
  • $0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \iff k > 0$（直线从左下往右上倾斜）；
  • $\alpha = \frac{\pi}{2} \iff k$ 不存在（直线竖直）；
  • $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \iff k < 0$（直线从左上往右下倾斜）。
  • 单调性：斜率 $k$ 随倾斜角 $\alpha$ 在 $[0, \frac{\pi}{2})$ 和 $(\frac{\pi}{2}, \pi)$ 上分别单调递增。

2 直线方程

2.1 斜截式

  • 已知斜率 $k$ 和 $y$ 轴上的截距 $b$（过点 $(0, b)$）。
  • 方程：$y = kx + b$
  • 限制：不能表示垂直于 $x$ 轴的直线（斜率不存在）。

2.2 点斜式

  • 已知斜率 $k$ 和直线上一点 $P_0(x_0, y_0)$。
  • 方程：$y - y_0 = k(x - x_0)$
  • 限制：不能表示垂直于 $x$ 轴的直线。

2.3 两点式

  • 已知直线上两点 $P_1(x_1, y_1)$，$P_2(x_2, y_2)$（$x_1 \neq x_2$，$y_1 \neq y_2$）。
  • 方程：$\dfrac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \dfrac{x - x_1}{x_2 - x_1}$
  • 限制：不能表示垂直于坐标轴的直线。

2.4 点方向式

  • 已知直线上一点 $P_0(x_0, y_0)$ 和一个方向向量 $\vec{d} = (u, v)$（$u, v$ 不全为 0）。
  • 方程：$\dfrac{x - x_0}{u} = \dfrac{y - y_0}{v}$（当 $u \neq 0, v \neq 0$ 时）；若 $u=0$ 或 $v=0$，则直线分别垂直于 $x$ 轴或 $y$ 轴。
  • 核心：$(x - x_0, y - y_0) \parallel (u, v)$。

2.5 点法向式

  • 已知直线上一点 $P_0(x_0, y_0)$ 和一个法向量 $\vec{n} = (a, b)$（$a, b$ 不全为 0）。
  • 方程：$a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0$
  • 核心：$(x - x_0, y - y_0) \perp (a, b)$。

2.6 截距式

  • 已知直线在 $x$ 轴上的截距为 $a$（过点 $(a,0)$），在 $y$ 轴上的截距为 $b$（过点 $(0,b)$），且 $ab \neq 0$。
  • 方程：$\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1$
  • 限制：不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线。

2.7 一般式

  • 定义：关于 $x, y$ 的二元一次方程。
  • 方程：$Ax + By + C = 0$（$A, B$ 不全为 0）。
  • 优势：可表示平面内任意一条直线（包含竖直）。
  • 重要关系：
    • 斜率 $k = -\dfrac{A}{B}$（当 $B \neq 0$ 时）；
    • 法向量 $\vec{n} = (A, B)$；
    • 方向向量 $\vec{d} = (B, -A)$。

好的，在“直线位置关系”部分，除了原有的一般式，我补充上斜截式 $y = kx + b$ 的对应判断方法，方便你在不同题型中选用。以下是完整修改后的内容：

3 直线位置关系

设两条直线分别为：

  • 一般式：$l_1: A_1x + B_1y + C_1 = 0$，$l_2: A_2x + B_2y + C_2 = 0$
  • 斜截式：$l_1: y = k_1x + b_1$，$l_2: y = k_2x + b_2$（斜率存在时）

3.1 重合

  • 一般式判定：存在非零常数 $\lambda$，使得 $A_1 = \lambda A_2$，$B_1 = \lambda B_2$，$C_1 = \lambda C_2$。
  • 斜截式判定：$k_1 = k_2$ 且 $b_1 = b_2$。
  • 方程解：方程组有无穷多组解。

3.2 平行

  • 一般式判定：$\dfrac{A_1}{A_2} = \dfrac{B_1}{B_2} \neq \dfrac{C_1}{C_2}$（分母不为 0 时）；或 $A_1B_2 - A_2B_1 = 0$ 且 $A_1C_2 - A_2C_1 \neq 0$（或 $B_1C_2 - B_2C_1 \neq 0$）。
  • 斜截式判定：$k_1 = k_2$ 且 $b_1 \neq b_2$。
  • 方程解：方程组无解。

3.3 相交

  • 一般式判定：$\dfrac{A_1}{A_2} \neq \dfrac{B_1}{B_2}$，即 $A_1B_2 - A_2B_1 \neq 0$。
  • 斜截式判定：$k_1 \neq k_2$。
  • 方程解：方程组有唯一解（交点坐标可通过联立方程求得）。

3.4 垂直

  • 一般式判定：$A_1A_2 + B_1B_2 = 0$（法向量互相垂直）。
  • 斜截式判定：$k_1 \cdot k_2 = -1$（两条斜率都存在时）。
  • 特例（斜截式无法表示的情况）：一条斜率为 $0$（水平），另一条斜率不存在（竖直），此时两直线也垂直。

3.5 夹角

设两条直线的夹角为 $\theta$（$0 \le \theta \le \dfrac{\pi}{2}$）。

  • 已知斜率（斜截式）：$\tan \theta = \left| \dfrac{k_2 - k_1}{1 + k_1k_2} \right|$。
  • 已知一般式：$\cos \theta = \dfrac{|A_1A_2 + B_1B_2|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2+B_2^2}}$。

4 直线距离

4.1 点到直线距离

  • 已知：点 $P(x_0, y_0)$，直线 $l: Ax + By + C = 0$。
  • 公式： $$ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} $$
  • 注意：使用前必须将直线方程化为一般式。

4.2 平行线之间距离

  • 已知：两条平行直线 $l_1: Ax + By + C_1 = 0$，$l_2: Ax + By + C_2 = 0$（$A, B$ 必须对应相同）。
  • 公式： $$ d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}} $$
  • 注意：使用前必须将两条直线中 $x, y$ 的系数化为相同。