复数 | 数学之家

1 复数

定义：形如 $z = a + bi$（$a, b \in \mathbb{R}$）的数叫做复数，其中 $i$ 为虚数单位，满足 $i^2 = -1$。$a$ 叫做复数 $z$ 的实部，记作 $\operatorname{Re} z$；$b$ 叫做复数 $z$ 的虚部，记作 $\operatorname{Im} z$。
复数相等：$a + bi = c + di \iff a = c$ 且 $b = d$（两个复数相等当且仅当实部与虚部分别相等）。
共轭复数：若 $z = a + bi$，则其共轭复数记为 $\bar{z} = a - bi$。共轭复数的实部相同，虚部互为相反数。

设 $z_1 = a + bi$，$z_2 = c + di$（$a, b, c, d \in \mathbb{R}$）：

公式：$z_1 \cdot z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i$
运算律：交换律、结合律、分配律。
性质：$i^2 = -1$，$i^3 = -i$，$i^4 = 1$，周期为 4。
共轭复数相乘：$z \cdot \bar{z} = (a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2 = |z|^2$（共轭复数相乘等于模长的平方）。

公式：$\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \dfrac{ac + bd}{c^2 + d^2} + \dfrac{bc - ad}{c^2 + d^2}i$（$z_2 \neq 0$）
方法：分母实数化，分子分母同乘分母的共轭复数。

模长与乘法：$|z_1 z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$
模长与除法：$\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right| = \dfrac{|z_1|}{|z_2|}$（$z_2 \neq 0$）
模长与共轭：$|z| = |\bar{z}|$
模长性质汇总：
- $|z| \geq 0$，$|z| = 0 \iff z = 0$；
- $|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$（三角不等式）；
- $|z_1 - z_2| \geq \big||z_1| - |z_2|\big|$；
- $|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$；
- $\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right| = \dfrac{|z_1|}{|z_2|}$（$z_2 \neq 0$）；
- $|z| = |\bar{z}|$；
- $z \cdot \bar{z} = |z|^2$。
共轭与四则运算：
- $\overline{z_1 \pm z_2} = \bar{z_1} \pm \bar{z_2}$
- $\overline{z_1 \cdot z_2} = \bar{z_1} \cdot \bar{z_2}$
- $\overline{\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)} = \dfrac{\bar{z_1}}{\bar{z_2}}$（$z_2 \neq 0$）

定义：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面（或高斯平面）。其中 $x$ 轴叫做实轴，$y$ 轴叫做虚轴（除原点外，虚轴上的点表示纯虚数）。
复数与点的对应：复数 $z = a + bi$ 与复平面内的点 $Z(a, b)$ 一一对应。
复数与向量的对应：复数 $z = a + bi$ 与向量 $\overrightarrow{OZ} = (a, b)$ 一一对应。
几何意义：
- $|z|$ 表示点 $z$ 到原点的距离；
- $|z_1 - z_2|$ 表示复平面上两点 $z_1$，$z_2$ 之间的距离；
- $|z - z_0| = r$ 表示以 $z_0$ 为圆心、$r$ 为半径的圆；
- $|z - z_1| = |z - z_2|$ 表示线段 $z_1z_2$ 的垂直平分线。

解法：对于实系数一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$（$a \neq 0$），判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$：
$\Delta$ 的符号根的情况
$\Delta > 0$ 两个不相等的实数根
$\Delta = 0$ 两个相等的实数根
$\Delta < 0$ 一对共轭虚数根
求根公式（在复数范围内通用）：$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$，其中当 $\Delta < 0$ 时 $\sqrt{\Delta} = \sqrt{-\Delta} \cdot i$。
韦达定理（仍成立）：$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$，$x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}$（实根和虚根均适用）。
重要结论：
- 实系数一元二次方程若有虚根，则虚根必为共轭复数；
- 实系数奇次方程必有实数根；
- 在复数范围内，任何实系数一元二次方程总有两个根（重根按两个计）。
平方根：若 $z^2 = w$，则称 $z$ 是 $w$ 的平方根。
- 正数的平方根：$\pm\sqrt{a}$；
- 负数的平方根：$\pm\sqrt{-a} \cdot i$（如 $-3$ 的平方根为 $\pm\sqrt{3}i$）；
- 纯虚数的平方根：需通过设 $z = x + yi$ 解方程组求得。

定义：设复数 $z = a + bi$ 在复平面内对应的点为 $Z$，$r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$，以 $x$ 轴正半轴为始边、$OZ$ 为终边的角为 $\theta$，则：
$$ z = r(\cos\theta + i\sin\theta) $$
其中 $\theta$ 叫做复数 $z$ 的辐角，满足 $0 \leq \theta < 2\pi$ 的辐角叫做辐角主值，记作 $\arg z$。
代数形式与三角形式的互化：
- 已知代数形式 $z = a + bi$，则 $r = \sqrt{a^2 + b^2}$，$\theta$ 由 $\cos\theta = \dfrac{a}{r}$，$\sin\theta = \dfrac{b}{r}$ 确定；
- 已知三角形式 $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$，则代数形式为 $z = r\cos\theta + (r\sin\theta)i$。
乘法：设 $z_1 = r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1)$，$z_2 = r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)$，则：
$$ z_1 \cdot z_2 = r_1r_2[\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)] $$
即模相乘，辐角相加。
除法：
$$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}[\cos(\theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_1 - \theta_2)] $$
即模相除，辐角相减。
棣莫弗定理（乘方） ：
$$ [r(\cos\theta + i\sin\theta)]^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta) $$
开方：$z^n = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ 的 $n$ 个 $n$ 次方根为：
$$ z_k = \sqrt[n]{r}\left(\cos\frac{\theta + 2k\pi}{n} + i\sin\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right) \quad (k = 0, 1, \cdots, n-1) $$