1 向量的概念

1.1 定义

  • 向量：既有大小又有方向的量叫做向量。向量有两个要素：大小和方向。
  • 表示方法：
    • 几何表示：用有向线段表示；
    • 字母表示：用小写字母 $\vec{a}$，$\vec{b}$，$\vec{c}$ 表示，或记作 $\overrightarrow{AB}$（$A$ 为起点，$B$ 为终点）。
  • 向量的模：向量的大小叫做向量的模（长度），记作 $|\vec{a}|$ 或 $|\overrightarrow{AB}|$。

1.2 特殊向量

  • 零向量：模为 $0$ 的向量，方向任意，记作 $\vec{0}$。
  • 单位向量：模为 $1$ 的向量。
  • 相等向量：方向相同且模相等的两个向量，记作 $\vec{a} = \vec{b}$。
  • 相反向量（负向量） ：方向相反且模相等的两个向量，$\vec{a}$ 的相反向量记作 $-\vec{a}$。
  • 平行向量（共线向量） ：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，记作 $\vec{a} \parallel \vec{b}$。规定：零向量与任意向量平行。

1.3 向量的坐标表示

  • 平面向量基本定理：如果 $\vec{e}_1$，$\vec{e}_2$ 是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量 $\vec{a}$，有且只有一对实数 $\lambda_1$，$\lambda_2$，使 $\vec{a} = \lambda_1\vec{e}_1 + \lambda_2\vec{e}_2$。
  • 正交分解：取互相垂直的两个单位向量 $\vec{i}$，$\vec{j}$ 作为基底，则任一向量 $\vec{a}$ 可唯一表示为 $\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j}$，有序实数对 $(x, y)$ 叫做 $\vec{a}$ 的坐标，记作 $\vec{a} = (x, y)$。
  • 坐标运算规则：设 $\vec{a} = (x_1, y_1)$，$\vec{b} = (x_2, y_2)$：
    • $\vec{a} \pm \vec{b} = (x_1 \pm x_2, y_1 \pm y_2)$
    • $\lambda\vec{a} = (\lambda x_1, \lambda y_1)$
    • 若 $A(x_1, y_1)$，$B(x_2, y_2)$，则 $\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$

2 向量的运算

2.1 向量模长

  • 若 $\vec{a} = (x, y)$，则 $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$。
  • 若 $A(x_1, y_1)$，$B(x_2, y_2)$，则 $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$。

2.2 向量的加减

  • 加法：
    • 三角形法则：$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$；
    • 平行四边形法则：以同一点 $O$ 为起点的两个向量 $\vec{a}$，$\vec{b}$ 为邻边作平行四边形，对角线向量即为 $\vec{a} + \vec{b}$。
  • 减法：$\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$，三角形法则为"共起点，连终点，方向指向被减向量"。
  • 运算律：交换律 $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$，结合律 $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$。

2.3 向量的数乘

  • 定义：实数 $\lambda$ 与向量 $\vec{a}$ 的乘积 $\lambda\vec{a}$ 仍是一个向量。
    • $\lambda > 0$ 时与 $\vec{a}$ 同向，$\lambda < 0$ 时与 $\vec{a}$ 反向，$\lambda = 0$ 时为 $\vec{0}$；
    • $|\lambda\vec{a}| = |\lambda||\vec{a}|$。
  • 运算律：结合律 $\lambda(\mu\vec{a}) = (\lambda\mu)\vec{a}$，分配律 $(\lambda + \mu)\vec{a} = \lambda\vec{a} + \mu\vec{a}$，$\lambda(\vec{a} + \vec{b}) = \lambda\vec{a} + \lambda\vec{b}$。
  • 向量平行的充要条件：$\vec{a} \parallel \vec{b} \iff \vec{a} = \lambda\vec{b}$（$\vec{b} \neq \vec{0}$）。

2.4 向量的数量积

  • 定义：$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\langle\vec{a}, \vec{b}\rangle$。
  • 坐标运算：若 $\vec{a} = (x_1, y_1)$，$\vec{b} = (x_2, y_2)$，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$。
  • 重要结论（$\vec{a}$，$\vec{b}$ 为非零向量）：
    • $\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$（坐标形式：$x_1x_2 + y_1y_2 = 0$）；
    • $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$；
    • $|\vec{a} \pm \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 \pm 2\vec{a} \cdot \vec{b}$。
  • 运算律：交换律 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$，分配律 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$，数乘结合律 $(\lambda\vec{a}) \cdot \vec{b} = \lambda(\vec{a} \cdot \vec{b})$。

2.5 向量的夹角

  • 定义：两个非零向量 $\vec{a}$，$\vec{b}$ 的夹角 $\theta$ 是指将两向量起点平移到同一点后，两向量所夹的角，$\theta \in [0, \pi]$。
  • 计算公式：$\cos\theta = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$（坐标形式：$\cos\theta = \dfrac{x_1x_2 + y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2}}$）。

2.6 向量的数量投影

  • 定义：向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的数量投影（投影数量）为 $|\vec{a}|\cos\theta = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$。
  • 几何意义：$\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影数量等于 $\vec{a}$ 的终点在 $\vec{b}$ 所在直线上的投影点到起点的有向距离。

3 向量的应用

3.1 向量与三角形四心

设 $O$ 为 $\triangle ABC$ 内一点，$a = |BC|$，$b = |CA|$，$c = |AB|$。

  • 重心（三条中线交点） ：

    • 充要条件：$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \vec{0}$；
    • 若 $G$ 为重心，则 $\overrightarrow{XG} = \dfrac{1}{3}(\overrightarrow{XA} + \overrightarrow{XB} + \overrightarrow{XC})$（$X$ 为任意点）。

  • 内心（三条角平分线交点，内切圆圆心） ：

    • 充要条件：$a\overrightarrow{OA} + b\overrightarrow{OB} + c\overrightarrow{OC} = \vec{0}$，或 $\sin A \cdot \overrightarrow{OA} + \sin B \cdot \overrightarrow{OB} + \sin C \cdot \overrightarrow{OC} = \vec{0}$；
    • 若 $I$ 为内心，则 $\overrightarrow{XI} = \dfrac{a\overrightarrow{XA} + b\overrightarrow{XB} + c\overrightarrow{XC}}{a + b + c}$。

  • 外心（三条中垂线交点，外接圆圆心） ：

    • 充要条件：$\sin 2A \cdot \overrightarrow{OA} + \sin 2B \cdot \overrightarrow{OB} + \sin 2C \cdot \overrightarrow{OC} = \vec{0}$；
    • 性质：$|\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OB}| = |\overrightarrow{OC}|$。

  • 垂心（三条高线交点） ：

    • 充要条件：$\tan A \cdot \overrightarrow{OA} + \tan B \cdot \overrightarrow{OB} + \tan C \cdot \overrightarrow{OC} = \vec{0}$；
    • 性质：$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{OA}$。

3.2 三点共线

  • 判定：平面上 $A, B, C$ 三点共线 $\iff$ 存在实数 $\lambda$，使 $\overrightarrow{AB} = \lambda\overrightarrow{AC}$（或 $\overrightarrow{BC} = \lambda\overrightarrow{AB}$ 等）。
  • 向量分解形式：若 $\overrightarrow{OC} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB}$，则 $A, B, C$ 三点共线 $\iff$ $x + y = 1$。
  • 推论（“爪子"定理） ：若 $P$ 在直线 $AB$ 上，则对任意点 $O$，存在唯一实数 $\lambda$，使 $\overrightarrow{OP} = (1 - \lambda)\overrightarrow{OA} + \lambda\overrightarrow{OB}$。
  • 中点公式：若 $M$ 是 $AB$ 的中点，则对任意点 $O$，有 $\overrightarrow{OM} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})$。