1 抛物线的定义
定义：平面内与一个定点 $F$ 和一条定直线 $l$（$l$ 不经过点 $F$）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点 $F$ 叫做抛物线的焦点，定直线 $l$ 叫做抛物线的准线。
符号语言： 设 $P$ 为抛物线上任意一点，则
$$ |PF| = d(P,l) $$其中 $d(P,l)$ 表示点 $P$ 到准线 $l$ 的距离。
定义要点：
- 焦点 $F$ 不在准线 $l$ 上（若 $F \in l$，轨迹为过 $F$ 且垂直于 $l$ 的直线）；
- 抛物线是到定点与到定直线距离相等的点的集合；
- 抛物线是圆锥曲线中离心率 $e = 1$ 的情形（椭圆 $0
补充定义（统一定义）：抛物线是平面内到定点 $F$ 的距离与到定直线 $l$ 的距离之比为常数 $e$（$e = 1$）的点的轨迹，即
$$ \frac{|PF|}{d(P,l)} = 1 $$2 抛物线的方程及图像
2.1 焦点在 $x$ 轴上
抛物线焦点在 $x$ 轴上时，标准方程有两种情况（开口向右或向左）。
（1）开口向右（焦点在 $x$ 轴正半轴）
标准方程：
$$ y^2 = 2px \quad (p > 0) $$几何要素：
- 焦点坐标：$F\left(\dfrac{p}{2}, 0\right)$；
- 准线方程：$x = -\dfrac{p}{2}$；
- 顶点坐标：$(0, 0)$；
- 对称轴：$x$ 轴；
- 离心率：$e = 1$；
- 焦参数：$p$（焦点到准线的距离）；
- 通径长：$2p$（过焦点且垂直于对称轴的弦）。
图像特征：抛物线开口向右，顶点在原点，对称轴为 $x$ 轴，$x \geq 0$ 部分有曲线。
（2）开口向左（焦点在 $x$ 轴负半轴）
标准方程：
$$ y^2 = -2px \quad (p > 0) $$几何要素：
- 焦点坐标：$F\left(-\dfrac{p}{2}, 0\right)$；
- 准线方程：$x = \dfrac{p}{2}$；
- 顶点坐标：$(0, 0)$；
- 对称轴：$x$ 轴；
- 离心率：$e = 1$；
- 通径长：$2p$。
图像特征：抛物线开口向左，顶点在原点，$x \leq 0$ 部分有曲线。
2.2 焦点在 $y$ 轴上
抛物线焦点在 $y$ 轴上时，标准方程有两种情况（开口向上或向下）。
（1）开口向上（焦点在 $y$ 轴正半轴）
标准方程：
$$ x^2 = 2py \quad (p > 0) $$几何要素：
- 焦点坐标：$F\left(0, \dfrac{p}{2}\right)$；
- 准线方程：$y = -\dfrac{p}{2}$；
- 顶点坐标：$(0, 0)$；
- 对称轴：$y$ 轴；
- 离心率：$e = 1$；
- 通径长：$2p$。
图像特征：抛物线开口向上，顶点在原点，对称轴为 $y$ 轴，$y \geq 0$ 部分有曲线。
（2）开口向下（焦点在 $y$ 轴负半轴）
标准方程：
$$ x^2 = -2py \quad (p > 0) $$几何要素：
- 焦点坐标：$F\left(0, -\dfrac{p}{2}\right)$；
- 准线方程：$y = \dfrac{p}{2}$；
- 顶点坐标：$(0, 0)$；
- 对称轴：$y$ 轴；
- 离心率：$e = 1$；
- 通径长：$2p$。
图像特征：抛物线开口向下，顶点在原点，$y \leq 0$ 部分有曲线。
四种标准方程对比总结：
| 标准方程 | 焦点坐标 | 准线方程 | 开口方向 | 对称轴 |
|---|---|---|---|---|
| $y^2 = 2px$ | $\left(\dfrac{p}{2}, 0\right)$ | $x = -\dfrac{p}{2}$ | 向右 | $x$ 轴 |
| $y^2 = -2px$ | $\left(-\dfrac{p}{2}, 0\right)$ | $x = \dfrac{p}{2}$ | 向左 | $x$ 轴 |
| $x^2 = 2py$ | $\left(0, \dfrac{p}{2}\right)$ | $y = -\dfrac{p}{2}$ | 向上 | $y$ 轴 |
| $x^2 = -2py$ | $\left(0, -\dfrac{p}{2}\right)$ | $y = \dfrac{p}{2}$ | 向下 | $y$ 轴 |
记忆规律：
- 一次项决定对称轴位置（$y^2$ 对应 $x$ 轴，$x^2$ 对应 $y$ 轴）；
- 一次项系数符号决定开口方向（正号朝正半轴，负号朝负半轴）；
- $p$ 始终为正，等于焦点到准线的距离。
3 抛物线的性质
3.1 抛物线的定义（见第1节）
抛物线满足第一定义（到定点与定直线距离相等），其核心性质可归纳为：
- 第一定义（几何定义）：到定点 $F$ 与到定直线 $l$ 距离相等的轨迹；
- 第二定义（统一定义）：到定点与到定直线距离之比为 $e = 1$ 的轨迹；
- 抛物线的离心率恒为 $1$，是椭圆（$e<1$）与双曲线（$e>1$）之间的"临界情形"。
3.2 抛物线上点到焦点的距离
（1）焦点半径公式（焦半径）
抛物线上任意一点 $P(x_0, y_0)$ 到焦点 $F$ 的距离称为焦半径。
四种标准方程的焦半径：
| 标准方程 | 焦半径 $|PF|$ | |—|—| | $y^2 = 2px$ | $|PF| = x_0 + \dfrac{p}{2}$ | | $y^2 = -2px$ | $|PF| = -x_0 + \dfrac{p}{2}$ | | $x^2 = 2py$ | $|PF| = y_0 + \dfrac{p}{2}$ | | $x^2 = -2py$ | $|PF| = -y_0 + \dfrac{p}{2}$ |
统一记忆：焦半径等于点到准线的距离（由定义直接可得），即 $|PF| = d(P, l)$。
（2）重要性质
- 最小值：当 $P$ 在顶点时，焦半径取最小值 $\dfrac{p}{2}$；
- 无上界：抛物线向外无限延伸，焦半径无最大值；
- 几何意义：焦半径就是点到准线的距离，体现了抛物线的定义本质。
3.3 抛物线的弦长公式
定义：抛物线上两点之间的线段称为抛物线的弦。过焦点的弦称为焦点弦。
（1）一般弦长公式
若直线 $l: y = kx + b$ 与抛物线 $y^2 = 2px$ 交于 $A(x_1, y_1),\ B(x_2, y_2)$ 两点，则弦长：
$$ |AB| = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} $$将 $y = kx + b$ 代入抛物线方程，利用韦达定理：
$$ |AB| = \sqrt{1 + k^2} \cdot |x_1 - x_2| = \sqrt{1 + k^2} \cdot \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2} $$若直线为 $x = my + n$，则：
$$ |AB| = \sqrt{1 + m^2} \cdot |y_1 - y_2| $$（2）焦点弦长公式——抛物线最重要的性质
过焦点 $F\left(\dfrac{p}{2}, 0\right)$ 的弦 $AB$ 称为焦点弦。
若直线 $AB$ 的倾斜角为 $\theta$（$0 < \theta < \pi$），则：
$$ |AB| = \frac{2p}{\sin^2 \theta} $$当 $\theta = 90^\circ$ 时（即焦点弦垂直于对称轴），$|AB| = 2p$，此时为通径，是抛物线最短的焦点弦。
若焦点弦的斜率为 $k$，则：
$$ |AB| = 2p(1 + k^2) $$（3）焦点弦的两个重要性质
设焦点弦 $AB$ 的端点坐标分别为 $A(x_1, y_1),\ B(x_2, y_2)$（抛物线 $y^2 = 2px$）：
- 性质1：$y_1 y_2 = -p^2$，$x_1 x_2 = \dfrac{p^2}{4}$；
- 性质2：$\dfrac{1}{|AF|} + \dfrac{1}{|BF|} = \dfrac{2}{p}$（焦点弦两端点到焦点的距离倒数和为常数）；
由性质2可进一步得：若 $|AF| = m,\ |BF| = n$，则 $\dfrac{1}{m} + \dfrac{1}{n} = \dfrac{2}{p}$，从而 $|AB| = m + n \geq 2p$（当且仅当 $m = n = p$ 时取等号，此时 $AB \perp$ 对称轴，即为通径）。
3.4 抛物线的切线方程
（1）抛物线上一点处的切线方程
情形一：抛物线 $y^2 = 2px$ 上一点 $P(x_0, y_0)$ 处的切线方程为：
$$ y y_0 = p(x + x_0) $$情形二：抛物线 $x^2 = 2py$ 上一点 $P(x_0, y_0)$ 处的切线方程为：
$$ x x_0 = p(y + y_0) $$统一记忆方法：将原方程中的变量按"一半替换"规则——$y^2$ 换成 $y y_0$，$x$ 换成 $\dfrac{x + x_0}{2}$。
（2）斜率已知的切线方程
情形一：斜率为 $k$ 的直线与抛物线 $y^2 = 2px$ 相切，切线方程为：
$$ y = kx + \frac{p}{2k} \quad (k \neq 0) $$情形二：斜率为 $k$ 的直线与抛物线 $x^2 = 2py$ 相切，切线方程为：
$$ y = kx - \frac{p k^2}{2} $$（3）抛物线外一点引切线（切点弦方程）
过抛物线 $y^2 = 2px$ 外一点 $P(x_0, y_0)$ 作两条切线，其切点弦方程为：
$$ y y_0 = p(x + x_0) $$（形式与切线方程相同，但此时 $P$ 在抛物线外。）
几何意义：若 $P$ 在抛物线上，该方程表示过 $P$ 的切线；若 $P$ 在抛物线外，该方程表示两个切点连线的方程。
（4）切线性质——抛物线的光学性质
- 从焦点发出的光线经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于对称轴；
- 反之，平行于对称轴的光线经抛物线反射后，汇聚于焦点；
- 这一性质是抛物线最重要的应用背景（如探照灯、卫星天线、太阳灶等）。