1 椭圆的定义

1.1 第一定义（距离之和）

定义：平面内与两个定点 $F_1, F_2$ 的距离之和等于常数（大于 $\lvert F_1F_2\rvert$）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。

符号语言： 设 $P$ 为椭圆上任意一点，则

$$ \lvert PF_1\rvert + \lvert PF_2\rvert = 2a \quad (2a > \lvert F_1F_2\rvert = 2c > 0) $$

其中 $a$ 为长半轴长，$c$ 为半焦距。

三个关键不等式：

  • $2a > 2c$，即 $a > c$：轨迹是椭圆；
  • $2a = 2c$，即 $a = c$：轨迹是线段 $F_1F_2$（退化椭圆）；
  • $2a < 2c$：轨迹不存在。

【为什么必须 $2a>2c$】 三角形两边之和大于第三边：$\lvert PF_1\rvert+\lvert PF_2\rvert \ge \lvert F_1F_2\rvert$，等号当且仅当 $P$ 在线段 $F_1F_2$ 上。所以常数小于焦距时无解，等于时退化为线段。

由定义直接得到的推论：

  • 椭圆上任意一点到两焦点的距离之和恒为 $2a$，与点的位置无关；
  • 椭圆上点到两焦点距离之差的绝对值不超过 $2c$，即 $\bigl\lvert \lvert PF_1\rvert-\lvert PF_2\rvert \bigr\rvert \le 2c$，等号在长轴端点处取到；
  • 椭圆上点到两焦点距离之积的范围是 $b^2 \le \lvert PF_1\rvert\cdot\lvert PF_2\rvert \le a^2$。

1.2 第二定义（距离之比，与准线有关）

定义：平面内到定点 $F$ 的距离与到定直线 $l$ 的距离之比等于常数 $e$（$0 < e < 1$）的点的轨迹叫做椭圆。定点 $F$ 是焦点，定直线 $l$ 是对应的准线，常数 $e$ 是离心率。

以焦点在 $x$ 轴、中心在原点的椭圆为例，右焦点 $F_2(c,0)$ 对应的准线为

$$ x = \frac{a^2}{c} $$

左焦点 $F_1(-c,0)$ 对应的准线为 $x = -\dfrac{a^2}{c}$。于是

$$ \frac{\lvert PF_2\rvert}{d(P,\,l_2)} = e = \frac{c}{a},\qquad \frac{\lvert PF_1\rvert}{d(P,\,l_1)} = e = \frac{c}{a} $$

【易错】 用第二定义时必须"焦点与准线配对"：右焦点配右准线 $x=\frac{a^2}{c}$，左焦点配左准线 $x=-\frac{a^2}{c}$。配错会把距离算成 $x_0+\frac{a^2}{c}$，结果全错。

焦准距：焦点到对应准线的距离为

$$ \frac{a^2}{c} - c = \frac{a^2-c^2}{c} = \frac{b^2}{c} $$

1.3 两种定义的关系

由第一定义可以推出第二定义：设 $P(x_0,y_0)$ 在椭圆上，则

$$ \lvert PF_2\rvert = a - ex_0 $$

而 $P$ 到右准线的距离为 $d = \dfrac{a^2}{c} - x_0 = \dfrac{a^2-cx_0}{c} = \dfrac{a(a-ex_0)}{c}$，两式相除得

$$ \frac{\lvert PF_2\rvert}{d} = \frac{c}{a} = e $$

两个定义的分工：

场景用哪个定义
判断轨迹、求 $\lvert PF_1\rvert+\lvert PF_2\rvert$第一定义
出现"到焦点距离"与"到准线距离"的比值第二定义
求最值（$\lvert PF\rvert+\lvert PA\rvert$ 型）第一定义 + 三角形不等式
求最值（$\lvert PF\rvert + \lambda\cdot d$ 型）第二定义化归为一条线段

2 椭圆的方程及图像

2.1 焦点在 $x$ 轴上

标准方程：

$$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a > b > 0) $$

几何要素：

  • 焦点坐标：$F_1(-c, 0),\ F_2(c, 0)$，其中 $c^2 = a^2 - b^2$；
  • 顶点坐标：$(\pm a, 0)$（长轴端点）、$(0, \pm b)$（短轴端点）；
  • 长轴长：$2a$（在 $x$ 轴上）；
  • 短轴长：$2b$（在 $y$ 轴上）；
  • 焦距：$2c$；
  • 离心率：$e = \dfrac{c}{a}$（$0 < e < 1$）；
  • 准线方程：$x = \pm \dfrac{a^2}{c}$。

图像特征：椭圆左右伸展，长轴沿 $x$ 轴方向，关于两坐标轴和原点都对称。

范围与对称性：由 $\dfrac{x^2}{a^2} \le 1$ 得 $-a \le x \le a$，由 $\dfrac{y^2}{b^2} \le 1$ 得 $-b \le y \le b$；图形关于 $x$ 轴、$y$ 轴、原点均对称。

2.2 焦点在 $y$ 轴上

标准方程：

$$ \frac{y^2}{a^2} + \frac{x^2}{b^2} = 1 \quad (a > b > 0) $$

几何要素：

  • 焦点坐标：$F_1(0, -c),\ F_2(0, c)$，其中 $c^2 = a^2 - b^2$；
  • 顶点坐标：$(0, \pm a)$（长轴端点）、$(\pm b, 0)$（短轴端点）；
  • 长轴长：$2a$（在 $y$ 轴上）；
  • 短轴长：$2b$（在 $x$ 轴上）；
  • 焦距：$2c$；
  • 离心率：$e = \dfrac{c}{a}$（$0 < e < 1$）；
  • 准线方程：$y = \pm \dfrac{a^2}{c}$。

图像特征：椭圆上下伸展，长轴沿 $y$ 轴方向。

两种标准方程的对比：

对比项焦点在 $x$ 轴焦点在 $y$ 轴
标准方程$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$$\dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{x^2}{b^2}=1$
焦点坐标$(\pm c, 0)$$(0, \pm c)$
长轴端点$(\pm a, 0)$$(0, \pm a)$
短轴端点$(0, \pm b)$$(\pm b, 0)$
长轴方向$x$ 轴$y$ 轴
$a,b,c$ 关系$c^2=a^2-b^2$$c^2=a^2-b^2$
准线$x=\pm \dfrac{a^2}{c}$$y=\pm \dfrac{a^2}{c}$
离心率$e=\dfrac{c}{a}$$e=\dfrac{c}{a}$

判断焦点位置的方法：看标准方程中分母较大的那一项对应的变量——分母大的那个字母的平方对应 $a^2$，焦点就在该变量对应的轴上。

【易错】 判断焦点位置看的是分母大小，不是分子。写成 $\dfrac{x^2}{m}+\dfrac{y^2}{n}=1$ 时，若 $m>n>0$ 则焦点在 $x$ 轴，若 $n>m>0$ 则焦点在 $y$ 轴。很多题目故意给 $m,n$ 而不给大小关系，需要先讨论。

2.3 椭圆的一般方程

定理：方程

$$ Ax^2 + By^2 = 1 \quad (A>0,\ B>0,\ A \ne B) $$

表示椭圆；当 $A > B$ 时焦点在 $x$ 轴上，长半轴 $a = \dfrac{1}{\sqrt{A}}$、短半轴 $b = \dfrac{1}{\sqrt{B}}$；当 $B > A$ 时焦点在 $y$ 轴上。

更一般地，方程 $Ax^2+By^2+Dx+Ey+F=0$ 在 $A,B$ 同号且 $A\ne B$、判别条件满足时表示椭圆，可用配方法化为标准形式。

求椭圆标准方程的常用方法：

  • 定义法：已知焦点坐标与 $2a$，直接写方程；
  • 待定系数法：设 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 或 $\dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{x^2}{b^2}=1$，代入条件解 $a,b$；
  • 设为 $mx^2+ny^2=1$：焦点位置未知时最省事，避免分类讨论，解出 $m,n$ 后再判断焦点位置；
  • 共焦点系：与 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 共焦点的椭圆可设为 $\dfrac{x^2}{a^2+\lambda}+\dfrac{y^2}{b^2+\lambda}=1$（$\lambda > -b^2$ 且 $\lambda \ne 0$）；
  • 同离心率系：与已知椭圆离心率相同的椭圆可设为 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=\lambda$（$\lambda>0$）。

【关键注解】 共焦点系 $\dfrac{x^2}{a^2+\lambda}+\dfrac{y^2}{b^2+\lambda}=1$ 中，两分母之差 $(a^2+\lambda)-(b^2+\lambda)=a^2-b^2=c^2$ 恒不变，这正是"焦点相同"的代数表现。

2.4 参数方程

椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 的参数方程为

$$ \begin{cases} x = a\cos\theta,\\[2pt] y = b\sin\theta, \end{cases} \quad \theta \in [0, 2\pi) $$

其中 $\theta$ 称为离心角（注意它不是点 $P$ 与原点连线的倾斜角）。

用途：

  • 把"椭圆上的点"变成一个变量 $\theta$，最值问题直接转化为三角函数求值域；
  • 求椭圆上点到直线距离、求斜率范围、求面积时非常好用。

【易错】 离心角 $\theta$ 与直线 $OP$ 的倾斜角 $\alpha$ 一般不相等，关系是 $\tan\alpha = \dfrac{b}{a}\tan\theta$。凡是题目说"点 $P$ 对应的参数为 $\theta$"，指的是 $x=a\cos\theta,\ y=b\sin\theta$，不是极角。

2.5 常见轨迹方程的求法

求轨迹方程的五种方法：

方法适用情形操作要点
定义法能判断出动点满足某圆锥曲线定义先定型，再定 $a,b,c$
直接法条件可直接翻译成 $x,y$ 的等式设 $P(x,y)$，列式化简
代入法（相关点法）动点 $P$ 随已知曲线上的点 $Q$ 运动用 $P$ 表示 $Q$，代回已知曲线方程
参数法动点坐标便于用参数表示消参得普通方程
交轨法动点是两条动直线的交点写出两直线方程，消去参数

求轨迹方程的三个注意：

  • 漏点：化简过程中除以了含 $x,y$ 的式子，可能丢掉个别点，需回代检验；
  • 多点：平方、开方可能引入不满足原条件的点，需剔除；
  • 范围：轨迹往往只是曲线的一部分，要写出 $x$ 或 $y$ 的取值范围。

3 椭圆的几何性质

3.1 离心率

定义：

$$ e = \frac{c}{a} = \sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2}} = \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} $$

几何意义：$e$ 刻画椭圆的"扁平程度"。

  • $e \to 0$ 时，$c \to 0$，$b \to a$，椭圆趋近于圆；
  • $e \to 1$ 时，$b \to 0$，椭圆趋近于线段；
  • 反过来，$e$ 越大越扁，$e$ 越小越圆。

常用变形：

$$ \frac{b}{a} = \sqrt{1-e^2},\qquad \frac{b^2}{a^2} = 1-e^2,\qquad \frac{c}{b} = \frac{e}{\sqrt{1-e^2}} $$

求离心率的三条路径：

  • 找 $a,c$ 的齐次关系：由条件列出一个只含 $a,b,c$ 的等式，再用 $b^2=a^2-c^2$ 消去 $b$，化为 $e$ 的方程；
  • 找几何关系：利用焦点三角形、直角三角形、等腰关系；
  • 找点坐标：把特殊点（通径端点、顶点等）坐标代入条件。

【关键注解】 离心率的题几乎都能化成"$a,b,c$ 的齐次式"。如果列出的式子里还混着坐标 $x_0,y_0$，说明还没消干净——继续用点在椭圆上这一条件。

【易错】 求出 $e$ 后要检验 $0b$ 等），必须舍去。

3.2 椭圆的对称性与范围

对称性：椭圆关于 $x$ 轴、$y$ 轴、原点均对称，原点是对称中心（椭圆的中心）。

范围：

$$ -a \le x \le a,\qquad -b \le y \le b $$

由此得到的两个常用结论：

  • $\lvert x\rvert \le a$，$\lvert y\rvert \le b$；
  • $x^2+y^2$ 的范围是 $[b^2, a^2]$（短轴端点到原点最近，长轴端点到原点最远）。

3.3 焦半径公式

设 $P(x_0, y_0)$ 是椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 上一点，焦点为 $F_1(-c,0)$、$F_2(c,0)$，则

$$ \lvert PF_1\rvert = a + ex_0,\qquad \lvert PF_2\rvert = a - ex_0 $$

若焦点在 $y$ 轴上（$F_1(0,-c)$、$F_2(0,c)$），则

$$ \lvert PF_1\rvert = a + ey_0,\qquad \lvert PF_2\rvert = a - ey_0 $$

推导：

$$ \lvert PF_2\rvert^2 = (x_0-c)^2+y_0^2 = x_0^2-2cx_0+c^2+b^2-\frac{b^2}{a^2}x_0^2 $$

利用 $b^2+c^2=a^2$ 与 $1-\dfrac{b^2}{a^2}=\dfrac{c^2}{a^2}=e^2$ 化简得

$$ \lvert PF_2\rvert^2 = a^2-2cx_0+e^2x_0^2 = (a-ex_0)^2 $$

又 $a-ex_0 > a-ec = a-c > 0$，故 $\lvert PF_2\rvert = a-ex_0$。

焦半径的范围：

$$ a-c \le \lvert PF_1\rvert \le a+c,\qquad a-c \le \lvert PF_2\rvert \le a+c $$

【易错】 记忆焦半径公式时注意"加号配远焦点"：$P$ 在右半部分（$x_0>0$）时，离左焦点 $F_1$ 远，用 $a+ex_0$；离右焦点 $F_2$ 近，用 $a-ex_0$。代入 $x_0=a$ 验证：$P$ 在右顶点，到 $F_1$ 距离为 $a+c$（对），到 $F_2$ 距离为 $a-c$（对）。

3.4 焦点三角形

设 $P$ 为椭圆上一点，$F_1,F_2$ 为两焦点，$\angle F_1PF_2 = \theta$，记 $r_1=\lvert PF_1\rvert$，$r_2=\lvert PF_2\rvert$。

基本关系：

$$ r_1+r_2 = 2a $$

在 $\triangle F_1PF_2$ 中由余弦定理：

$$ (2c)^2 = r_1^2+r_2^2-2r_1r_2\cos\theta = (r_1+r_2)^2-2r_1r_2(1+\cos\theta) $$

代入 $r_1+r_2=2a$、$a^2-c^2=b^2$ 得

$$ r_1r_2 = \frac{2b^2}{1+\cos\theta} $$

面积公式：

$$ S_{\triangle F_1PF_2} = \frac{1}{2}r_1r_2\sin\theta = \frac{b^2\sin\theta}{1+\cos\theta} = b^2\tan\frac{\theta}{2} $$

另一形式（用 $P$ 的纵坐标）：

$$ S_{\triangle F_1PF_2} = \frac{1}{2}\cdot 2c\cdot \lvert y_0\rvert = c\lvert y_0\rvert $$

周长：

$$ \lvert PF_1\rvert+\lvert PF_2\rvert+\lvert F_1F_2\rvert = 2a+2c $$

（焦点三角形的周长是定值。）

$\angle F_1PF_2$ 的最大值：由 $r_1r_2 = \dfrac{2b^2}{1+\cos\theta}$ 及 $r_1r_2 \le \left(\dfrac{r_1+r_2}{2}\right)^2 = a^2$ 得

$$ \frac{2b^2}{1+\cos\theta} \le a^2 \implies \cos\theta \ge \frac{2b^2}{a^2}-1 = \frac{b^2-c^2}{b^2+c^2} $$

故 $\theta$ 的最大值在 $P$ 位于短轴端点时取到，此时

$$ \cos\theta_{\max} = \frac{2b^2}{a^2}-1 $$
  • 若 $b \le c$（即 $a \le \sqrt2\,c$，$e \ge \dfrac{\sqrt2}{2}$），则 $\cos\theta_{\max}\le 0$，$\theta$ 可以取到 $90^\circ$ 及以上；
  • 若 $b > c$（$e < \dfrac{\sqrt2}{2}$），则 $\theta$ 的最大值小于 $90^\circ$，即焦点三角形永远是锐角三角形。

【易错】 $\angle F_1PF_2$ 的最大值在短轴端点取到，不是长轴端点。长轴端点处 $P,F_1,F_2$ 三点共线，$\theta = 0$（退化），此时面积也最小（为 $0$）。

3.5 通径与焦点弦

通径：过焦点且垂直于长轴的弦叫做通径，其长度为

$$ \frac{2b^2}{a} $$

推导：令 $x=c$，代入 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 得 $y^2 = b^2\left(1-\dfrac{c^2}{a^2}\right) = \dfrac{b^4}{a^2}$，故 $\lvert y\rvert = \dfrac{b^2}{a}$，通径长 $2\lvert y\rvert = \dfrac{2b^2}{a}$。

焦点弦长公式：设过焦点 $F$ 的弦 $AB$ 的倾斜角为 $\theta$（即与 $x$ 轴正方向的夹角），则

$$ \lvert AB\rvert = \frac{2ab^2}{a^2\sin^2\theta+b^2\cos^2\theta} $$

等价形式（用离心率表示）：

$$ \lvert AB\rvert = \frac{2b^2}{a\left(1-e^2\cos^2\theta\right)} $$

焦点弦长的范围：

$$ \frac{2b^2}{a} \le \lvert AB\rvert \le 2a $$
  • 最小值 $\dfrac{2b^2}{a}$：通径（$\theta = 90^\circ$）；
  • 最大值 $2a$：长轴（$\theta = 0^\circ$）。

焦点弦的倒数定值：

$$ \frac{1}{\lvert AF\rvert}+\frac{1}{\lvert BF\rvert} = \frac{2a}{b^2} $$

推导：设 $AB$ 过右焦点 $F_2(c,0)$，倾斜角 $\theta$。参数化 $A = F_2 + t_1(\cos\theta,\sin\theta)$，$B = F_2 + t_2(\cos\theta,\sin\theta)$，代入椭圆方程整理得

$$ \left(a^2\sin^2\theta+b^2\cos^2\theta\right)t^2 + 2b^2c\cos\theta\cdot t - b^4 = 0 $$

由韦达定理

$$ t_1t_2 = -\frac{b^4}{a^2\sin^2\theta+b^2\cos^2\theta},\qquad t_1+t_2 = -\frac{2b^2c\cos\theta}{a^2\sin^2\theta+b^2\cos^2\theta} $$

而 $\lvert AF\rvert = \lvert t_1\rvert$，$\lvert BF\rvert = \lvert t_2\rvert$，于是

$$ \frac{1}{\lvert AF\rvert}+\frac{1}{\lvert BF\rvert} = \frac{\lvert t_1\rvert+\lvert t_2\rvert}{\lvert t_1t_2\rvert} = \frac{\lvert t_1-t_2\rvert}{\lvert t_1t_2\rvert} $$

（因为 $t_1,t_2$ 异号）。再由 $\lvert t_1-t_2\rvert = \dfrac{2ab^2}{a^2\sin^2\theta+b^2\cos^2\theta}$、$\lvert t_1t_2\rvert = \dfrac{b^4}{a^2\sin^2\theta+b^2\cos^2\theta}$ 相除，得 $\dfrac{2a}{b^2}$。

【关键注解】 焦点弦问题几乎都能用"以焦点为原点的直线参数方程 + 韦达定理“统一处理：设 $P = F + t(\cos\theta,\sin\theta)$，则 $\lvert t\rvert$ 就是到焦点的距离，$t_1t_2$、$t_1+t_2$ 直接给出 $\lvert AF\rvert\cdot\lvert BF\rvert$ 与 $\lvert AF\rvert\pm\lvert BF\rvert$。

3.6 椭圆的面积

椭圆面积：

$$ S = \pi ab $$

内接三角形最大面积：

$$ S_{\max} = \frac{3\sqrt3}{4}ab $$

内接矩形最大面积：

$$ S_{\max} = 2ab $$

（当矩形的边平行于坐标轴、顶点为 $\left(\pm\dfrac{a}{\sqrt2}, \pm\dfrac{b}{\sqrt2}\right)$ 时取到。）

内接平行四边形最大面积：

$$ S_{\max} = 2ab $$

推导要点（仿射变换）：作变换 $x' = \dfrac{x}{a}$，$y' = \dfrac{y}{b}$，椭圆变为单位圆 $x'^2+y'^2=1$，面积缩放因子为 $ab$。于是椭圆内接三角形最大面积 $= ab \times$（单位圆内接三角形最大面积）$= ab\cdot\dfrac{3\sqrt3}{4}$。

【关键注解】 仿射变换保持"共线、平行、中点、比值”，但不保持长度和角度。所以仿射变换可以算面积比、中点弦、平行弦，但不能直接算垂直、距离。

3.7 椭圆的共轭直径

定义：若椭圆的两条直径 $OP$、$OQ$ 满足 $k_{OP}\cdot k_{OQ} = -\dfrac{b^2}{a^2}$，则称它们为共轭直径。

性质：

  • 共轭直径的斜率之积恒为 $-\dfrac{b^2}{a^2}$；
  • 对任意一对共轭直径，有
$$ \lvert OP\rvert^2+\lvert OQ\rvert^2 = a^2+b^2 $$

（定值，与直径的方向无关。）

  • 以一对共轭直径的四个端点为顶点的平行四边形面积为 $4ab$；
  • 以一对共轭直径为邻边的平行四边形（中心在原点）面积为 $ab$。

参数表示：若 $P(a\cos\theta, b\sin\theta)$，则其共轭直径端点可取 $Q(-a\sin\theta, b\cos\theta)$。

【易错】 共轭直径不是"互相垂直的两条直径"。它们一般不垂直，除非 $a=b$（圆）或者恰好是长轴与短轴。

3.8 离心率的几个常用结论

设椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），$e=\dfrac{c}{a}$。

结论一：若 $P$ 是椭圆上一点，$\angle F_1PF_2 = 90^\circ$，则

$$ \lvert PF_1\rvert\cdot\lvert PF_2\rvert = 2b^2,\qquad S_{\triangle F_1PF_2} = b^2 $$

且这样的点 $P$ 存在当且仅当 $b \le c$，即 $e \ge \dfrac{\sqrt2}{2}$。

结论二：若 $\triangle F_1PF_2$ 为等腰直角三角形，按"直角在哪、哪两边相等"分三种情况：

  • 直角在 $P$，且 $\lvert PF_1\rvert=\lvert PF_2\rvert$：由对称性 $P$ 必在短轴端点，此时 $\lvert PF_1\rvert=\lvert PF_2\rvert=a$，再由勾股定理 $2a^2=(2c)^2$，得 $a^2=2c^2$，即
$$ e = \frac{\sqrt2}{2} $$
  • 直角在 $F_2$，且 $\lvert F_1F_2\rvert=\lvert F_2P\rvert$：直角在 $F_2$ 迫使 $P$ 在通径上，故 $\lvert F_2P\rvert=\dfrac{b^2}{a}$；又 $\lvert F_1F_2\rvert=2c$，于是
$$ \frac{b^2}{a}=2c \implies a^2-c^2=2ac \implies 1-e^2=2e \implies e=\sqrt2-1 $$
  • 直角在 $F_1$，且 $\lvert F_1F_2\rvert=\lvert F_1P\rvert$：直角在 $F_1$ 同样迫使 $P$ 在过 $F_1$ 的通径上，$\lvert F_1P\rvert=\dfrac{b^2}{a}$，故条件仍为 $\dfrac{b^2}{a}=2c$，得 $e=\sqrt2-1$。

【关键注解】 上面三种情况只有两个不同的离心率：直角在 $P$ 且两腰相等时 $e=\dfrac{\sqrt2}{2}$；直角在焦点且两直角边相等时 $e=\sqrt2-1$（左右对称，两种写法同一个值）。考场上先看清"直角在哪个顶点"“哪两条边相等”，再选公式。

结论三：椭圆上存在点 $P$ 使 $\angle F_1PF_2$ 为钝角，当且仅当 $e > \dfrac{\sqrt2}{2}$。

结论四：椭圆上点到焦点距离的最大值为 $a+c$，最小值为 $a-c$，分别在长轴的两个端点取到。

【关键注解】 判定"是否存在点 $P$ 使 $\angle F_1PF_2 = 90^\circ$"，等价于判定"以 $F_1F_2$ 为直径的圆与椭圆是否有公共点"。该圆半径为 $c$、圆心在原点，与椭圆有公共点当且仅当 $c \ge b$。这个"圆与椭圆的位置关系"视角比三角公式更快。

4 直线与椭圆的位置关系

4.1 位置关系的判定

联立直线 $l: y = kx+m$ 与椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$，消去 $y$ 得

$$ \left(a^2k^2+b^2\right)x^2 + 2a^2km\,x + a^2\left(m^2-b^2\right) = 0 $$

记

$$ D = a^2k^2+b^2 $$

则判别式

$$ \Delta = 4a^2b^2\left(D-m^2\right) $$

其中 $D = a^2k^2+b^2$。于是判别式只看 $D-m^2$ 的符号，这就是下面三条结论的来源。

更实用的形式是直接记结论：

$$ \Delta > 0 \iff a^2k^2+b^2 > m^2 \quad(\text{相交，两交点}) $$$$ \Delta = 0 \iff a^2k^2+b^2 = m^2 \quad(\text{相切，一个交点}) $$$$ \Delta < 0 \iff a^2k^2+b^2 < m^2 \quad(\text{相离，无交点}) $$

记忆要点：把直线写成 $y=kx+m$（不含 $x=my+t$ 形式），比较 $m^2$ 与 $a^2k^2+b^2$ 的大小——$m$ 小则相交，$m$ 大则相离。

【易错】 若直线设成 $x = my+t$，代入后得到的"判别式条件"变成 $t^2 < a^2+b^2m^2$，形式不同。设线方式与判别式必须配套，混用会算错。稳妥做法：每次老老实实写 $\Delta$，或统一用 $D=a^2k^2+b^2$ 这一套。

4.2 弦长公式

设直线 $l: y=kx+m$ 与椭圆交于 $A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$，则

$$ \lvert AB\rvert = \sqrt{1+k^2}\,\lvert x_1-x_2\rvert = \sqrt{1+k^2}\cdot\frac{\sqrt{\Delta}}{\lvert a^2k^2+b^2\rvert} $$

若直线设为 $x = my+t$，则

$$ \lvert AB\rvert = \sqrt{1+m^2}\,\lvert y_1-y_2\rvert $$

三种等价写法：

形式表达式何时好用
斜截式$\sqrt{1+k^2}\,\lvert x_1-x_2\rvert$斜率存在且不为 $0$
横截式$\sqrt{1+m^2}\,\lvert y_1-y_2\rvert$斜率可能不存在、或竖直线多
参数式$\lvert t_1-t_2\rvert$直线过已知点（尤其焦点）

弦长公式的完整推导（斜截式）：

$$ \lvert AB\rvert^2 = (x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2 = (x_1-x_2)^2\left[1+\left(\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\right)^2\right] = (1+k^2)(x_1-x_2)^2 $$

其中 $x_1-x_2$ 由韦达定理给出：

$$ (x_1-x_2)^2 = (x_1+x_2)^2-4x_1x_2 = \frac{\Delta}{(a^2k^2+b^2)^2} $$

【易错】 用 $\sqrt{1+k^2}\lvert x_1-x_2\rvert$ 的前提是直线不垂直于 $x$ 轴。若斜率不存在，必须改用 $\lvert y_1-y_2\rvert$。很多压轴题的"陷阱"就是斜率不存在的那条线。

4.3 中点弦与点差法

中点弦定理：设 $M(x_0,y_0)$ 是椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 内部一点，$AB$ 是以 $M$ 为中点的弦，则

$$ k_{AB} = -\frac{b^2x_0}{a^2y_0}\qquad (y_0 \ne 0) $$

推导（点差法）：设 $A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$，都在椭圆上，则

$$ \frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1,\qquad \frac{x_2^2}{a^2}+\frac{y_2^2}{b^2}=1 $$

两式相减：

$$ \frac{(x_1-x_2)(x_1+x_2)}{a^2}+\frac{(y_1-y_2)(y_1+y_2)}{b^2}=0 $$

代入 $x_1+x_2 = 2x_0$、$y_1+y_2 = 2y_0$，得

$$ \frac{x_1-x_2}{a^2}\cdot 2x_0 + \frac{y_1-y_2}{b^2}\cdot 2y_0 = 0 \implies k_{AB} = \frac{y_1-y_2}{x_1-x_2} = -\frac{b^2x_0}{a^2y_0} $$

存在性判据：

  • 椭圆内任一点 $M$（$x_0^2/a^2+y_0^2/b^2 < 1$）都存在以它为端点的中点弦；
  • 若 $M$ 在椭圆上或椭圆外，则不存在以 $M$ 为中点的弦。

【关键注解】 点差法的威力在于"避开求根"：不需要解出 $x_1,x_2$，直接用中点坐标和斜率的关系。凡是题目出现"中点"“平分"“对称"字样，优先想点差法。

中点弦的另一个常用结论（椭圆中心与中点连线）：

$$ k_{AB}\cdot k_{OM} = -\frac{b^2}{a^2} $$

即"弦的斜率 × 中心与中点连线的斜率"为定值。

【易错】 用点差法求出 $k_{AB}$ 后，必须回代检验这条弦是否真的存在（$\Delta > 0$）。因为点差法只用了"中点在椭圆内"这一必要条件，若中点恰在椭圆上，算出的弦退化为切线（只有一个交点）。

4.4 椭圆的中点弦与对称问题

关于点对称：若椭圆上存在两点 $A,B$ 关于点 $M(x_0,y_0)$ 对称，则 $M$ 必须是某条弦的中点，故 $M$ 必须在椭圆内部。

关于直线对称：若椭圆上存在两点关于直线 $l$ 对称，则

  • 这两点所在弦的中点在 $l$ 上；
  • 该弦与 $l$ 垂直。

由此可列出"中点在 $l$ 上"与”$k_{AB}\cdot k_l=-1$“两个方程求参数。

典型处理流程：

  1. 设对称的两点为 $A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$，中点为 $M$；
  2. 由点差法得 $k_{AB} = -\dfrac{b^2x_M}{a^2y_M}$；
  3. 由垂直条件 $k_{AB}\cdot k_l = -1$ 得 $M$ 的一个关系；
  4. 由 $M$ 在 $l$ 上得另一个关系；
  5. 解出 $M$，再要求 $M$ 在椭圆内部（这是最容易漏的一步）。

4.5 弦的中点轨迹

当直线 $l$ 平行移动（斜率 $k$ 固定）时，弦的中点轨迹是一条直线（过原点的直径）；当 $l$ 绕定点旋转时，中点轨迹一般是另一条圆锥曲线。

平行弦中点轨迹：斜率恒为 $k$ 的平行弦的中点满足

$$ k = -\frac{b^2x}{a^2y} \implies y = -\frac{b^2}{a^2k}x $$

即中点在过原点的直线上（椭圆的一条直径）。

4.6 椭圆中的"硬解定理”

设直线 $l: y=kx+m$ 与椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 交于 $A,B$ 两点，记 $D=a^2k^2+b^2$，则

弦长：

$$ \lvert AB\rvert = \frac{2ab\sqrt{D-m^2}}{D} $$

原点三角形面积：

$$ S_{\triangle OAB} = \frac{ab\lvert m\rvert\sqrt{D-m^2}}{D} $$

推导要点：

  • 由韦达定理 $x_1+x_2 = -\dfrac{2a^2km}{D}$，$x_1x_2 = \dfrac{a^2(m^2-b^2)}{D}$；
  • $\lvert x_1-x_2\rvert = \dfrac{2ab\sqrt{D-m^2}}{D}$；
  • 代入弦长公式 $\lvert AB\rvert = \sqrt{1+k^2}\lvert x_1-x_2\rvert$ 并利用 $\sqrt{1+k^2}\cdot ab = ab\sqrt{1+k^2}$ 与 $D$ 的关系化简；
  • 面积用 $S = \dfrac{1}{2}\lvert m\rvert\cdot\lvert x_1-x_2\rvert$（因为底边在 $x$ 轴上截距为 $m$）。

【关键注解】 硬解定理的价值是”一步出答案"：只要题目是"直线与椭圆交于两点 + 求弦长/求原点三角形面积"，直接代公式，省去大量化简。但考试必须写推导过程，公式只用于自检和抢时间。

【易错】 硬解定理要求 $D - m^2 > 0$（即相交）。若忘了验证，$D-m^2<0$ 时会算出"负数的平方根"，形式上还能算但毫无意义。

5 椭圆的切线

5.1 椭圆上一点处的切线

设 $P(x_0,y_0)$ 是椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 上一点，则过 $P$ 的切线方程为

$$ \frac{xx_0}{a^2}+\frac{yy_0}{b^2}=1 $$

记忆口诀：把标准方程中的 $x^2$ 换成 $xx_0$，$y^2$ 换成 $yy_0$，其余不变。

推导（隐函数求导）：对方程两边关于 $x$ 求导：

$$ \frac{2x}{a^2}+\frac{2y}{b^2}\cdot y' = 0 \implies y' = -\frac{b^2x}{a^2y} $$

在 $P(x_0,y_0)$ 处，$y' = -\dfrac{b^2x_0}{a^2y_0}$，故切线方程为

$$ y-y_0 = -\frac{b^2x_0}{a^2y_0}(x-x_0) $$

整理并利用 $\dfrac{x_0^2}{a^2}+\dfrac{y_0^2}{b^2}=1$ 即得 $\dfrac{xx_0}{a^2}+\dfrac{yy_0}{b^2}=1$。

【关键注解】 高中不做隐函数求导，考场上用"判别式法"：设切线 $y-y_0=k(x-x_0)$，代入椭圆方程，令 $\Delta=0$ 解出 $k$。两种方法结论相同，判别式法更符合考试规范。

5.2 斜率已知的切线方程

已知切线斜率为 $k$，则椭圆的切线方程为

$$ y = kx \pm \sqrt{a^2k^2+b^2} $$

存在性：对任意实数 $k$，这样的切线都存在（共两条，分居两侧）。

推导：设切线 $y=kx+m$，代入椭圆方程，令 $\Delta = 0$：

$$ \Delta = 4a^2b^2\left(a^2k^2+b^2-m^2\right) = 0 \implies m^2 = a^2k^2+b^2 $$

故 $m = \pm\sqrt{a^2k^2+b^2}$。

与双曲线、抛物线的对比：

曲线斜率已知的切线存在条件
椭圆$y=kx\pm\sqrt{a^2k^2+b^2}$任意 $k$ 都存在
双曲线$y=kx\pm\sqrt{a^2k^2-b^2}$$\lvert k\rvert \ge \dfrac{b}{a}$
抛物线$y=kx+\dfrac{p}{2k}$$k \ne 0$

【易错】 椭圆切线公式里根号内是"加号"（$a^2k^2+b^2$），双曲线是"减号"（$a^2k^2-b^2$），抛物线则不含 $b$。三者容易记混，建议记成"椭圆最安全（永远存在），所以是加号"。

5.3 椭圆外一点引切线（切点弦）

设 $P(x_0,y_0)$ 是椭圆外一点，过 $P$ 作椭圆的两条切线，切点为 $T_1,T_2$，则切点弦 $T_1T_2$ 的方程为

$$ \frac{xx_0}{a^2}+\frac{yy_0}{b^2}=1 $$

（形式与切线方程完全相同，但此时 $P$ 不在椭圆上，该方程表示的是两切点连线。）

推导要点：设切点 $T_i(x_i,y_i)$，则 $T_i$ 处的切线为 $\dfrac{xx_i}{a^2}+\dfrac{yy_i}{b^2}=1$。因该切线过 $P(x_0,y_0)$，故

$$ \frac{x_0x_i}{a^2}+\frac{y_0y_i}{b^2}=1 $$

这说明 $T_1,T_2$ 的坐标都满足方程 $\dfrac{xx_0}{a^2}+\dfrac{yy_0}{b^2}=1$，即切点弦就是这条直线。

极线概念（拓展）：对任意点 $P(x_0,y_0)$，直线 $\dfrac{xx_0}{a^2}+\dfrac{yy_0}{b^2}=1$ 称为 $P$ 关于椭圆的极线。

  • $P$ 在椭圆上：极线是过 $P$ 的切线；
  • $P$ 在椭圆外：极线是切点弦；
  • $P$ 在椭圆内：极线与椭圆不相交。

【关键注解】 切点弦方程与切线方程"长得一样"，区别只在 $P$ 的位置。这个"同形不同义"是解析几何里最漂亮的对偶现象之一。

5.4 切线的几个性质

性质一（切线平分外角）：椭圆上一点 $P$ 处的切线，平分 $\angle F_1PF_2$ 的外角（即平分两条焦半径所成角的外角）。

性质二（光学性质）：从一个焦点发出的光线经椭圆反射后，必过另一个焦点。

性质三（切线与两坐标轴围成的三角形）：设切点为 $P(a\cos\theta, b\sin\theta)$，切线与两坐标轴围成的三角形面积为

$$ S = \frac{ab}{\lvert \sin 2\theta\rvert} $$

最小值为 $ab$（当 $\theta = \dfrac{\pi}{4}$ 或 $\dfrac{3\pi}{4}$ 时取到）。

推导：切线 $\dfrac{x\cdot a\cos\theta}{a^2}+\dfrac{y\cdot b\sin\theta}{b^2}=1$，即 $\dfrac{x\cos\theta}{a}+\dfrac{y\sin\theta}{b}=1$。截距为 $\dfrac{a}{\cos\theta}$ 与 $\dfrac{b}{\sin\theta}$，故

$$ S = \frac{1}{2}\left\lvert\frac{a}{\cos\theta}\right\rvert\left\lvert\frac{b}{\sin\theta}\right\rvert = \frac{ab}{\lvert\sin 2\theta\rvert} $$

5.5 蒙日圆

定理：椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 的两条互相垂直的切线的交点 $P$ 的轨迹是圆

$$ x^2+y^2 = a^2+b^2 $$

这个圆称为椭圆的蒙日圆（外准圆）。

证明：设 $P(x_0,y_0)$ 在椭圆外，过 $P$ 的两条切线斜率为 $k_1,k_2$。设切线为 $y-y_0=k(x-x_0)$，即 $y=kx+(y_0-kx_0)$，代入椭圆方程并令 $\Delta=0$，得

$$ \left(a^2-x_0^2\right)k^2+2x_0y_0\,k+\left(b^2-y_0^2\right)=0 $$

由韦达定理

$$ k_1k_2 = \frac{b^2-y_0^2}{a^2-x_0^2} $$

两切线垂直 $\iff k_1k_2=-1$（注意斜率不存在的情形需单独讨论，结论仍成立），故

$$ \frac{b^2-y_0^2}{a^2-x_0^2} = -1 \implies x_0^2+y_0^2 = a^2+b^2 $$

蒙日圆的三个常用结论：

  • 蒙日圆上任意一点向椭圆所作的两条切线互相垂直；
  • 反过来，椭圆外一点向椭圆所作的两条切线互相垂直 $\iff$ 该点在蒙日圆上；
  • 蒙日圆半径 $R=\sqrt{a^2+b^2}$，圆心是椭圆的中心。

【易错】 蒙日圆的半径是 $\sqrt{a^2+b^2}$，不是 $\sqrt{a^2-b^2}=c$。$c$ 是"焦点到中心的距离"，蒙日圆半径更大。记忆技巧：蒙日圆包住了椭圆的整个外接矩形，所以必然比 $a$ 和 $b$ 都大。

5.6 椭圆的切线与焦点弦的综合结论

结论：过椭圆外一点 $P$ 作两条切线，切点为 $T_1,T_2$，则 $P$ 与椭圆中心的连线平分切点弦 $T_1T_2$。

结论：切点弦 $T_1T_2$ 的中点 $M$ 满足

$$ k_{OM}\cdot k_{T_1T_2} = -\frac{b^2}{a^2} $$

（与中点弦的结论形式一致。）

结论：切点弦 $T_1T_2$ 与椭圆在 $T_1,T_2$ 处的两条切线围成的三角形，其面积与 $P$ 的位置有关；当 $P$ 在蒙日圆上时，这个三角形是直角三角形。

【易错】 常见的错误猜想是"$P$ 在准线上时两条切线互相垂直"。这是错的：准线 $x=\dfrac{a^2}{c}$ 到中心的距离为 $\dfrac{a^2}{c}$，而蒙日圆半径为 $\sqrt{a^2+b^2}$，两者一般不相等。例如 $a=3,b=2$ 时，准线在 $x\approx4.02$，蒙日圆半径 $\sqrt{13}\approx3.61$，准线在蒙日圆外，故准线上的点作两切线时 $k_1k_2\ne -1$（实测 $P(4.02,2)$ 处 $k_1k_2=0$）。判断"两切线是否垂直"只能靠 $x_0^2+y_0^2=a^2+b^2$。

6 椭圆中的定值与最值

6.1 常见定值结论汇总

设椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），$e=\dfrac{c}{a}$。

条件定值说明
$AB$ 为焦点弦$\dfrac{1}{\lvert AF\rvert}+\dfrac{1}{\lvert BF\rvert}=\dfrac{2a}{b^2}$与弦的方向无关
$AB$ 为焦点弦$\lvert AF\rvert\cdot\lvert BF\rvert$ 的范围见下
$OA\perp OB$$\dfrac{1}{\lvert OA\rvert^2}+\dfrac{1}{\lvert OB\rvert^2}=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}$与 $A,B$ 位置无关
$OA\perp OB$点 $O$ 到 $AB$ 的距离 $=\dfrac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}$与 $A,B$ 位置无关
$M$ 为中点弦中点$k_{AB}\cdot k_{OM}=-\dfrac{b^2}{a^2}$与中点位置无关
$OP,OQ$ 为共轭直径$\lvert OP\rvert^2+\lvert OQ\rvert^2=a^2+b^2$与直径方向无关
$P$ 为椭圆上点$\lvert PF_1\rvert+\lvert PF_2\rvert=2a$定义本身
焦点三角形周长 $=2a+2c$与 $P$ 位置无关
焦点三角形$S=b^2\tan\dfrac{\theta}{2}$与 $P$ 位置有关但形式固定

$OA\perp OB$ 的三个定值的推导思路：

设 $A(r_1\cos\theta_1, r_1\sin\theta_1)$、$B(r_2\cos\theta_2, r_2\sin\theta_2)$，由 $OA\perp OB$ 可设 $\theta_2 = \theta_1+\dfrac{\pi}{2}$。把 $A,B$ 代入椭圆方程得

$$ \frac{1}{r_1^2} = \frac{\cos^2\theta}{a^2}+\frac{\sin^2\theta}{b^2},\qquad \frac{1}{r_2^2} = \frac{\sin^2\theta}{a^2}+\frac{\cos^2\theta}{b^2} $$

两式相加即得 $\dfrac{1}{\lvert OA\rvert^2}+\dfrac{1}{\lvert OB\rvert^2}=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}$。

点到直线的距离定值：由 $\lvert OA\rvert^2\lvert OB\rvert^2 = \lvert AB\rvert^2 d^2$（等面积法）与上式可推出

$$ d = \frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}} $$

6.2 椭圆的面积最值

内接三角形最大面积：

$$ S_{\max} = \frac{3\sqrt3}{4}ab $$

内接矩形最大面积：

$$ S_{\max} = 2ab $$

原点三角形面积范围（$OA\perp OB$）：

$$ \frac{a^2b^2}{a^2+b^2} \le S_{\triangle OAB} \le \frac{ab}{2} $$

焦点三角形面积：

$$ S = b^2\tan\frac{\theta}{2} = c\lvert y_0\rvert \le bc $$

（最大值 $bc$ 在短轴端点取到。）

焦点弦与原点构成的三角形面积：设焦点弦 $AB$ 过右焦点 $F_2(c,0)$，则

$$ S_{\triangle OAB} = \frac{1}{2}\lvert AB\rvert\cdot d(O,AB) $$

最大值分两种情况（记 $e=\dfrac{c}{a}$）：

  • 当 $e > \dfrac{\sqrt2}{2}$（即 $a^2 > 2b^2$）时，最大值在某个非通径位置取到，值为
$$ S_{\max} = \frac{ab}{2} $$
  • 当 $e \le \dfrac{\sqrt2}{2}$（即 $a^2 \le 2b^2$）时，函数关于倾斜角单调递增，最大值取不到，上确界为通径处的值
$$ \sup S = \frac{b^2c}{a} $$

当 $AB$ 趋近于长轴时面积趋于 $0$。

【关键注解】 这两条的分界点 $e=\dfrac{\sqrt2}{2}$ 来自 $a^2=2b^2$。若把两种情况混为一谈，会得出"最大值恒为 $\dfrac{ab}{2}$“的错误结论——例如 $a=2,\ b=\sqrt3$（$e=\dfrac12<\dfrac{\sqrt2}{2}$）时 $\dfrac{ab}{2}=\sqrt3\approx1.732$，但实际面积最大只有 $\dfrac{b^2c}{a}=\dfrac32$。

6.3 椭圆中的最值问题

类型一：$\lvert PF\rvert+\lvert PA\rvert$ 型（用第一定义 + 三角形不等式）

方法：利用 $\lvert PF_1\rvert+\lvert PF_2\rvert=2a$ 把"到焦点的距离"换成"到另一焦点的距离”，再用三角形不等式。

例：$A$ 是椭圆外一定点，$P$ 在椭圆上，求 $\lvert PF_1\rvert+\lvert PA\rvert$ 的最小值。

  • 若 $A$ 在椭圆外且与 $F_2$ 分居椭圆两侧：$\lvert PF_1\rvert+\lvert PA\rvert = 2a-\lvert PF_2\rvert+\lvert PA\rvert$，要最小就要 $\lvert PA\rvert-\lvert PF_2\rvert$ 最小，由三角形不等式 $\lvert PA\rvert-\lvert PF_2\rvert \ge -\lvert AF_2\rvert$，故最小值为 $2a-\lvert AF_2\rvert$（等号当 $A,P,F_2$ 共线且 $P$ 在 $A$ 与 $F_2$ 之间时取到，需检验该点确实在椭圆上）；
  • 若等号取不到（$A,F_2$ 连线与椭圆的交点不在 $A$ 与 $F_2$ 之间），则最小值在"$P$ 与 $A$ 连线与椭圆的交点"处取到，此时不能用三角形不等式，必须直接求导或数形结合。

【易错】 这是椭圆最值题最大的陷阱：三角形不等式的等号不一定能取到。取等条件要求 $A$、$P$、$F_2$ 三点共线且 $P$ 位于 $A$ 与 $F_2$ 之间。若 $A$ 在椭圆内部或位置不对，等号取不到，此时"最小值为 $2a-\lvert AF_2\rvert$“是错误的，必须重新分析。判断方法：把 $A$ 与 $F_2$ 的连线与椭圆求交，看交点是否落在所需区间内。

类型二：$\lvert PF\rvert+\lambda\cdot d$ 型（用第二定义化归）

方法：若 $\lambda = \dfrac{1}{e}$ 或与 $e$ 相关，用第二定义把"到准线的距离"换成"到焦点的距离”，把折线拉直成一条线段。

类型三：椭圆上点到直线距离的最值

方法一（参数法）：设 $P(a\cos\theta, b\sin\theta)$，距离

$$ d = \frac{\lvert a\cos\theta\cdot A + b\sin\theta\cdot B + C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}} $$

分子是 $A\cos\theta+B\sin\theta$ 型，用辅助角公式合并，值域为 $\left[\lvert C\rvert-\sqrt{(aA)^2+(bB)^2},\ \lvert C\rvert+\sqrt{(aA)^2+(bB)^2}\right]$ 除以 $\sqrt{A^2+B^2}$。

方法二（平行切线法）：作与已知直线平行的椭圆的切线，切点到直线的距离即为最值。切线斜率等于已知直线斜率 $k$，由 $y=kx\pm\sqrt{a^2k^2+b^2}$ 得到两条切线，算它们的截距到已知直线的距离即可。

类型四：$x^2+y^2$ 型（到原点距离）

由椭圆的范围知 $b^2 \le x^2+y^2 \le a^2$。

类型五：斜率乘积/和型

用齐次化或韦达定理，把条件化为关于斜率的一元二次方程，再用韦达定理。

6.4 椭圆中的定点问题

通法三步：

  1. 设线：设 $AB: y=kx+m$（或 $x=my+t$），与椭圆联立；
  2. 用条件：把题设条件（斜率之积、斜率之和、向量数量积、$\lvert PA\rvert=\lvert PB\rvert$ 等）用韦达定理翻译成 $k,m$ 的关系；
  3. 找定点：把 $m$ 表示成 $k$ 的函数 $m=f(k)$，代回直线方程，整理成"过定点"的形式。

三类常见条件的结论（椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 上定点 $A(x_0,y_0)$，弦 $AM,AN$）：

（1）斜率之积为定值：$k_{AM}\cdot k_{AN}=\lambda$，则 $MN$ 恒过定点

$$ P\left(\frac{\mu+1}{\mu-1}x_0,\ -\frac{\mu+1}{\mu-1}y_0\right),\qquad \mu = \frac{\lambda a^2}{b^2} $$

特别地，当 $\lambda = -\dfrac{b^2}{a^2}$（即 $AM\perp AN$ 的"共轭"情形）时，$\mu=-1$，定点为原点。

（2）斜率之和为定值：$k_{AM}+k_{AN}=s$（$s\ne 0$），则 $MN$ 恒过定点

$$ P\left(x_0-\frac{2y_0}{s},\ -y_0-\frac{2b^2x_0}{a^2s}\right) $$

（3）向量数量积为定值：$\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AN}=t$，需先用韦达定理化为 $k,m$ 的关系，再找定点（无统一公式，需具体计算）。

【关键注解】 定点问题的本质是"直线族"：一族直线都过同一点。判断方法：把直线方程整理成 $A(x-x_0)+B(y-y_0)=0$ 的形式，若对任意参数都成立，则定点为 $(x_0,y_0)$。

6.5 椭圆中"$k_1+k_2=0$“型问题的处理

当题目出现”$PM$ 与 $PN$ 的斜率之和为 $0$"（即两直线关于某条直线对称）时：

方法一（设线 + 韦达）：设 $MN: y=kx+m$，与椭圆联立，用韦达定理表达 $k_{PM}+k_{PN}$，令其为 $0$，得到 $k,m$ 的关系。

方法二（齐次化）：把原点平移到 $P$，将椭圆方程齐次化，得到关于 $t=\dfrac{y}{x}$ 的二次方程，其两根即 $k_{PM},k_{PN}$，由 $k_1+k_2=0$ 直接读出系数的关系。

方法三（对称性）：若 $P(x_0,y_0)$ 在椭圆上且 $k_{PM}+k_{PN}=0$，则 $MN$ 的斜率为定值

$$ k_{MN} = \frac{b^2x_0}{a^2y_0} $$

注意这个值等于 $-k_{\text{切线}}$（$P$ 处切线斜率的相反数），不是切线斜率本身。

证明：设 $MN: y=kx+m$，与椭圆联立得

$$ \left(a^2k^2+b^2\right)x^2+2a^2km\,x+a^2\left(m^2-b^2\right)=0 $$

记 $D=a^2k^2+b^2$，由韦达定理

$$ x_1+x_2 = -\frac{2a^2km}{D}=S,\qquad x_1x_2 = \frac{a^2(m^2-b^2)}{D}=P $$

则

$$ k_{PM}+k_{PN} = \frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}+\frac{y_2-y_0}{x_2-x_0} = \frac{(kx_1+m-y_0)(x_2-x_0)+(kx_2+m-y_0)(x_1-x_0)}{(x_1-x_0)(x_2-x_0)} $$

记分子为 $N$。展开并利用 $x_1^2x_2+x_1x_2^2 = PS$、$x_1^2+x_2^2=S^2-2P$：

$$ N = 2kP - kx_0S + (m-y_0)S - 2(m-y_0)x_0 $$

把 $S,P$ 的表达式代入并两边乘以 $D$：

$$ ND = 2a^2k\left[m(kx_0+y_0)-b^2\right] - 2(m-y_0)x_0D $$

关键的一步：$N$ 对 $k$ 不是一次式，但可以验证它恰好在

$$ k_0 = \frac{b^2x_0}{a^2y_0} $$

处为零，且对任意 $m$ 都成立。把 $k=k_0$ 代入：此时 $D = a^2k_0^2+b^2 = \dfrac{b^4}{y_0^2}$（用 $\dfrac{x_0^2}{a^2}+\dfrac{y_0^2}{b^2}=1$ 化简），且 $k_0x_0+y_0 = \dfrac{b^2}{y_0}$，于是

$$ ND = 2a^2k_0\left[m\cdot\frac{b^2}{y_0}-b^2\right] - 2(m-y_0)x_0\cdot\frac{b^4}{y_0^2} = \frac{2a^2b^2}{y_0}\cdot\frac{b^2x_0}{a^2y_0}\cdot(m-y_0) - \frac{2b^4x_0}{y_0^2}(m-y_0) = 0 $$

故 $k=k_0$ 时 $k_{PM}+k_{PN}=0$ 对一切 $m$ 成立——即斜率是定值，截距自由。

【关键注解】 $k_{PM}+k_{PN}=0$ 的几何意义是：$PM$ 与 $PN$ 关于过 $P$ 且平行于 $x$ 轴的直线对称（斜率互为相反数）。此时 $MN$ 恒为定方向，斜率为 $\dfrac{b^2x_0}{a^2y_0}$。若题目给的是"关于 $y$ 轴对称"（$k_{PM}+k_{PN}$ 无意义）或"关于某条斜线对称"，则需先作坐标旋转，不能直接套本结论。

7 椭圆的解题方法与易错清单

7.1 设线的三种选择

设法适用情形优点缺点
$y=kx+m$斜率存在且可能为 $0$最常用，公式熟悉漏掉斜率不存在
$x=my+t$斜率可能不存在，或竖直线多不漏竖直线判别式形式不同，需重推
过定点参数式直线过已知点（尤其焦点）$\lvert t\rvert$ 直接是距离只适合过定点

选择原则：

  • 题目出现"过焦点"$\to$ 用参数式；
  • 题目要求弦长、且不涉及竖直方向 $\to$ 用 $y=kx+m$；
  • 题目问"是否存在斜率"或涉及竖直线 $\to$ 用 $x=my+t$，或分类讨论。

【易错】 用 $y=kx+m$ 时，一定要单独讨论"斜率不存在"的那条直线。标准做法：先在 $k$ 存在的情形下解出答案，再验证 $x=\pm a$（或过定点的竖直线）是否也满足。

7.2 联立的标准五步

  1. 设线：$y=kx+m$；
  2. 代入：消去 $y$，得到关于 $x$ 的二次方程；
  3. 写条件：$\Delta>0$，即 $a^2k^2+b^2>m^2$；
  4. 韦达：写出 $x_1+x_2$、$x_1x_2$；
  5. 翻译：把题设的几何条件翻译成 $x_1+x_2$、$x_1x_2$ 的表达式。

第 5 步的常见翻译表：

几何条件代数表达
$A,B$ 在椭圆上各自满足椭圆方程
$\lvert AB\rvert$$\sqrt{1+k^2}\lvert x_1-x_2\rvert$
$AB$ 中点 $M$$x_M=\dfrac{x_1+x_2}{2}$，$y_M=\dfrac{y_1+y_2}{2}$
$OA\perp OB$$x_1x_2+y_1y_2=0$
$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=t$$x_1x_2+y_1y_2=t$
$k_{PA}+k_{PB}=s$$\dfrac{y_1-y_P}{x_1-x_P}+\dfrac{y_2-y_P}{x_2-x_P}=s$
$k_{PA}\cdot k_{PB}=\lambda$$\dfrac{(y_1-y_P)(y_2-y_P)}{(x_1-x_P)(x_2-x_P)}=\lambda$
$A,B$ 关于直线对称中点在直线上 $+$ 弦与直线垂直
以 $AB$ 为直径的圆过 $O$$x_1x_2+y_1y_2=0$

7.3 椭圆题的四类基本题型

题型一：求椭圆方程

  • 给焦点 $+$ 过某点 $\to$ 定义法；
  • 给离心率 $+$ 过某点 $\to$ 待定系数法（设 $mx^2+ny^2=1$ 最省事）；
  • 给几何条件（如 $\lvert PF_1\rvert+\lvert PF_2\rvert=2a$）$\to$ 定义法。

题型二：求离心率

核心是找 $a,b,c$ 的齐次关系。三条路径：

  • 用焦点三角形的边角关系（余弦定理 $+$ 定义）；
  • 用点在椭圆上（把特殊点坐标代入）；
  • 用几何性质（通径、准线、蒙日圆等）。

题型三：位置关系与弦

  • 弦长 $\to$ 弦长公式（或硬解定理）；
  • 中点弦 $\to$ 点差法；
  • 弦的中点轨迹 $\to$ 点差法 $+$ 消参。

题型四：定点、定值、最值、存在性

  • 定点 $\to$ 设线联立，把 $m$ 表示成 $k$ 的函数；
  • 定值 $\to$ 算出表达式后证明与参数无关；
  • 最值 $\to$ 参数法或几何意义；
  • 存在性 $\to$ 先假设存在，再解出参数，最后验证 $\Delta>0$。

7.4 常见易错清单

（1）焦点位置判断错

看分母大小，不是看分子。$\dfrac{x^2}{m}+\dfrac{y^2}{n}=1$ 中，$m>n>0$ 时焦点在 $x$ 轴。

（2）$a,b,c$ 关系记错

椭圆是 $c^2=a^2-b^2$（$a$ 最大），双曲线是 $c^2=a^2+b^2$（$c$ 最大）。椭圆里 $a$ 最大，别把 $c$ 当老大。

（3）离心率范围忘检验

$0

（4）漏掉斜率不存在的情形

用 $y=kx+m$ 时，$x=\pm a$ 这类竖直线要单独验证。

（5）忘记验证 $\Delta>0$

求中点弦、求定点、求最值时，算出的参数必须回代检验是否真的有两个交点。

（6）三角形不等式等号取不到

$\lvert PF_1\rvert+\lvert PA\rvert$ 型最值，必须检验 $A,P,F_2$ 能否共线且 $P$ 在中间。

（7）焦点弦公式记混

椭圆焦点弦长 $\dfrac{2ab^2}{a^2\sin^2\theta+b^2\cos^2\theta}$，抛物线 $\dfrac{2p}{\sin^2\theta}$，双曲线另有形式。三者的分母结构完全不同。

（8）倒数定值的符号

椭圆与抛物线是"和"：$\dfrac{1}{\lvert AF\rvert}+\dfrac{1}{\lvert BF\rvert}$；双曲线同支也是"和"，异支是"差"。

（9）蒙日圆半径记错

是 $\sqrt{a^2+b^2}$，不是 $c=\sqrt{a^2-b^2}$。

（10）点差法忘记检验弦的存在性

点差法给出的 $k_{AB}$ 只是必要条件，中点必须在椭圆内部。

（11）参数方程中 $\theta$ 的误解

$\theta$ 是离心角，不是极角。$\tan\alpha=\dfrac{b}{a}\tan\theta$。

（12）面积公式用错

椭圆面积 $\pi ab$（不是 $\pi a^2$ 也不是 $\pi b^2$）；内接三角形最大 $\dfrac{3\sqrt3}{4}ab$；内接矩形最大 $2ab$。

7.5 解题自检清单

做完一道椭圆题，用这五条快速自检：

  1. 代特殊点：把答案代回原方程，看是否满足（如 $a=3,b=2$ 时通径端点 $(c,\pm b^2/a)$ 是否在椭圆上）；
  2. 验范围：$e\in(0,1)$、$a>b>0$、$\Delta>0$ 是否都满足；
  3. 看端点：最值题检查端点是否可取到；
  4. 查漏解：斜率不存在、$y_0=0$、$x_0=0$ 等退化情形是否漏掉；
  5. 量纲检查：面积的量纲应是长度的平方，弦长的量纲应是长度。

7.6 椭圆核心结论速查表

项目结论
定义$\lvert PF_1\rvert+\lvert PF_2\rvert=2a$（$2a>2c$）
关系$c^2=a^2-b^2$，$e=\dfrac{c}{a}$
焦半径$\lvert PF_1\rvert=a+ex_0$，$\lvert PF_2\rvert=a-ex_0$
焦半径范围$[a-c,\ a+c]$
通径$\dfrac{2b^2}{a}$
焦点弦长$\dfrac{2ab^2}{a^2\sin^2\theta+b^2\cos^2\theta}\in\left[\dfrac{2b^2}{a},\,2a\right]$
焦点弦倒数$\dfrac{1}{\lvert AF\rvert}+\dfrac{1}{\lvert BF\rvert}=\dfrac{2a}{b^2}$
焦点三角形面积$b^2\tan\dfrac{\theta}{2}=c\lvert y_0\rvert\le bc$
焦点三角形周长$2a+2c$
$\angle F_1PF_2$ 最大值在短轴端点，$\cos\theta_{\max}=\dfrac{2b^2}{a^2}-1$
存在直角的判据$e\ge\dfrac{\sqrt2}{2}$（即 $c\ge b$）
面积$\pi ab$
内接三角形最大面积$\dfrac{3\sqrt3}{4}ab$
内接矩形最大面积$2ab$
中点弦斜率$k_{AB}=-\dfrac{b^2x_0}{a^2y_0}$
中点弦定值$k_{AB}\cdot k_{OM}=-\dfrac{b^2}{a^2}$
中点弦存在条件$M$ 在椭圆内部
$OA\perp OB$ 距离定值$d=\dfrac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}$
$OA\perp OB$ 倒数定值$\dfrac{1}{\lvert OA\rvert^2}+\dfrac{1}{\lvert OB\rvert^2}=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}$
共轭直径$k_1k_2=-\dfrac{b^2}{a^2}$，$\lvert OP\rvert^2+\lvert OQ\rvert^2=a^2+b^2$
切线（切点已知）$\dfrac{xx_0}{a^2}+\dfrac{yy_0}{b^2}=1$
切线（斜率已知）$y=kx\pm\sqrt{a^2k^2+b^2}$
蒙日圆$x^2+y^2=a^2+b^2$
焦点弦三角形面积最大$a^2>2b^2$ 时为 $\dfrac{ab}{2}$，否则上确界为 $\dfrac{b^2c}{a}$
$k_{PM}+k_{PN}=0$ 时$k_{MN}=\dfrac{b^2x_0}{a^2y_0}$

【使用说明】 本表用于考前速查与自检，不是推导依据。考试中凡用到表内结论，尤其是"定点公式"“硬解定理"“焦点弦三角形面积最大”，都应当写出推导过程，否则按评分标准可能只得结论分。