1 随机现象与样本空间
随机现象：在一定条件下，可能发生也可能不发生，具有不确定性的现象。与之对应的是确定性现象（必然发生或必然不发生）。
随机试验：对随机现象的实现和观察称为随机试验，简称试验，常用字母 $E$ 表示。随机试验有三个特点：
- 试验可在相同条件下重复进行；
- 所有可能结果是明确可知的，且不止一个；
- 每次试验恰好出现这些结果中的一个，但事先不能确定是哪一个。
样本空间与样本点：
- 样本点：随机试验的每个可能的基本结果，用 $\omega$ 表示。
- 样本空间：全体样本点的集合，用 $\Omega$ 表示。
- 有限样本空间：若试验有 $n$ 个可能结果 $\omega_1,\omega_2,\ldots,\omega_n$，则称 $\Omega=\{\omega_1,\omega_2,\ldots,\omega_n\}$ 为有限样本空间。
随机事件：样本空间的子集称为随机事件，简称事件。只含一个样本点的事件称为基本事件。必然事件是样本空间 $\Omega$ 本身，不可能事件是空集 $\varnothing$。
【例】 同时掷两颗骰子，观察点数和。样本空间为 $\Omega=\{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}$。
2 古典概型
古典概型的两个特征：
- 有限性：样本空间的样本点只有有限个；
- 等可能性：每个样本点发生的可能性相等。
古典概型概率公式：设试验 $E$ 是古典概型，样本空间 $\Omega$ 包含 $n$ 个样本点，事件 $A$ 包含其中 $k$ 个样本点，则：
$$ P(A)=\frac{k}{n}=\frac{n(A)}{n(\Omega)} $$【例】 掷一枚均匀骰子，事件 $A$ 为“出现偶数点”，则 $P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
3 频率与概率
频率：在 $n$ 次重复试验中，事件 $A$ 发生的次数 $n_A$ 称为频数，比值 $f_n(A)=\frac{n_A}{n}$ 称为事件 $A$ 发生的频率。
频率的稳定性：大量重复试验中，事件 $A$ 的频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是事件 $A$ 的概率 $P(A)$。试验次数越多，频率与概率差距很小的可能性越大。
频率与概率的关系：
- 频率是随机的，试验前不能确定；
- 概率是一个确定的数，客观存在；
- 概率是频率的理论期望值，频率是概率的近似估计。
【注意】 不能将频率等同于概率，只能用频率估计概率。
4 随机事件的独立性
独立性的定义：对于事件 $A$ 与 $B$，若
$$ P(A \cap B)=P(A)\cdot P(B) $$则称 $A$ 与 $B$ 相互独立（简称独立）。
直观理解：事件 $A$ 是否发生不影响事件 $B$ 发生的概率，反之亦然。
独立性的性质：
- 若 $A$ 与 $B$ 独立，则 $A$ 与 $\overline{B}$、$\overline{A}$ 与 $B$、$\overline{A}$ 与 $\overline{B}$ 也相互独立；
- 必然事件 $\Omega$、不可能事件 $\varnothing$ 与任意事件相互独立。
【辨析】 互斥事件与独立事件是不同的概念：
- 互斥：两事件不能同时发生（$P(A\cap B)=0$），如 $A$ 与 $\overline{A}$；
- 独立：一事件发生与否不影响另一事件的概率。
5 条件概率
定义：在事件 $A$ 发生的条件下，事件 $B$ 发生的概率，记作 $P(B|A)$。
计算公式：
- 适用于古典概型：$\displaystyle P(B|A)=\frac{n(A \cap B)}{n(A)}$（缩小样本空间法）
- 一般公式：$\displaystyle P(B|A)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}$，其中 $P(A)>0$
概率乘法公式：
$$ P(A \cap B)=P(B|A)\cdot P(A)=P(A|B)\cdot P(B) $$【注】 若 $A$ 与 $B$ 独立，则 $P(B|A)=P(B)$，乘法公式退化为 $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$。
6 全概率公式
全概率公式：设 $A_1,A_2,\ldots,A_n$ 是一组两两互斥的事件，且 $A_1\cup A_2\cup\ldots\cup A_n=\Omega$，$P(A_i)>0$，则对任意事件 $B\subseteq\Omega$：
$$ P(B)=\sum_{i=1}^{n}P(A_i)\cdot P(B|A_i) $$理解：将样本空间 $\Omega$ 划分为若干互斥部分 $A_i$（“原因”），$B$ 发生的概率等于在各“原因”下发生 $B$ 的概率的加权和。
【例】 某工厂有甲、乙、丙三条生产线，产量分别占 $30\%$、$30\%$、$40\%$，次品率分别为 $1\%$、$2\%$、$3\%$。任取一件产品，求其为次品的概率。
设 $A_1,A_2,A_3$ 分别表示产品来自甲、乙、丙，$B$ 表示“次品”，则：
$$ P(B)=0.3\times0.01+0.3\times0.02+0.4\times0.03=0.021 $$7 贝叶斯公式
先验信息与后验信息：在获得新的观测数据之前，我们对“原因” $A_i$ 已有的认知称为先验概率 $P(A_i)$；观察到结果 $B$ 发生后，我们对 $A_i$ 的认知得到更新，称为后验概率 $P(A_i|B)$。
贝叶斯公式的逻辑推理：
由条件概率定义，对于事件 $A_i$ 与 $B$，有：
$$ P(A_i|B)=\frac{P(A_i\cap B)}{P(B)} $$再由乘法公式 $P(A_i\cap B)=P(A_i)\cdot P(B|A_i)$，代入得：
$$ P(A_i|B)=\frac{P(A_i)\cdot P(B|A_i)}{P(B)} $$而全概率公式给出 $P(B)=\displaystyle\sum_{j=1}^{n}P(A_j)\cdot P(B|A_j)$，因此得到贝叶斯公式：
$$ P(A_i|B)=\frac{P(A_i)\cdot P(B|A_i)}{\displaystyle\sum_{j=1}^{n}P(A_j)\cdot P(B|A_j)} $$公式的含义：贝叶斯公式本质上是条件概率定义 + 乘法公式 + 全概率公式的联立结果。它实现了从“由因推果”（$P(B|A_i)$）到“由果溯因”（$P(A_i|B)$）的逆向推理。
【例】 某种疾病在人群中发病率 $5\%$。检测方法：患者检测呈阳性概率 $90\%$，非患者检测呈阳性概率 $5\%$。若某人检测呈阳性，求其真正患病的概率。
设 $A=$“患病”，$B=$“检测阳性”。$P(A)=0.05$，$P(B|A)=0.9$，$P(B|\overline{A})=0.05$。
$$ P(A|B)=\frac{0.05\times0.9}{0.05\times0.9+0.95\times0.05}\approx0.486 $$8 随机变量的分布与特征
8.1 分布列
随机变量：以样本空间 $\Omega$ 为定义域的函数 $X$，对每个样本点 $\omega$ 赋予一个实数 $X(\omega)$。随机变量用大写字母 $X,Y$ 等表示。
离散型随机变量：所有可能取值能一一列举出来的随机变量。
分布列：离散型随机变量 $X$ 所有可能取值 $x_1,x_2,\ldots,x_n$ 及相应概率 $p_1,p_2,\ldots,p_n$ 列成表格：
| $X$ | $x_1$ | $x_2$ | $\ldots$ | $x_n$ |
|---|---|---|---|---|
| $P$ | $p_1$ | $p_2$ | $\ldots$ | $p_n$ |
分布列的性质：
- $p_i \ge 0$（$i=1,2,\ldots,n$）；
- $p_1+p_2+\ldots+p_n=1$。
【例】 抛两枚硬币，$X$ 表示正面朝上的次数。样本空间 $\Omega=\{HH,HT,TH,TT\}$，分布列为：
| $X$ | $0$ | $1$ | $2$ |
|---|---|---|---|
| $P$ | $\frac14$ | $\frac12$ | $\frac14$ |
8.2 期望与方差
数学期望（均值）：反映随机变量取值的平均水平。
$$ E(X)=\sum_{i=1}^{n}x_i p_i $$方差：反映随机变量取值相对于均值的离散程度。
$$ D(X)=\sum_{i=1}^{n}(x_i-E(X))^2 p_i $$标准差：$\sigma(X)=\sqrt{D(X)}$
方差的拓展公式（计算常用）：
$$ D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=\sum_{i=1}^{n}x_i^2p_i-\left(\sum_{i=1}^{n}x_i p_i\right)^2 $$证明：
$$ \begin{aligned} D(X)&=\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2p_i \\ &=\sum_{i=1}^{n}(x_i^2-2\mu x_i+\mu^2)p_i \\ &=\sum_{i=1}^{n}x_i^2p_i-2\mu\sum_{i=1}^{n}x_i p_i+\mu^2\sum_{i=1}^{n}p_i \\ &=E(X^2)-2\mu\cdot\mu+\mu^2\cdot1 \\ &=E(X^2)-\mu^2 \end{aligned} $$期望的性质（$a,b$ 为常数）：
- $E(aX+b)=aE(X)+b$（线性性质）
- $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$（可加性）
- 若 $X$ 与 $Y$ 独立，则 $E(XY)=E(X)E(Y)$
方差的性质（$a,b$ 为常数）：
- $D(aX+b)=a^2D(X)$（平移不变性：$b$ 不影响方差，缩放按平方变化）
- $D(X)=0 \iff P(X=E(X))=1$（方差为零当且仅当 $X$ 恒为常数）
- 若 $X$ 与 $Y$ 独立，则 $D(X+Y)=D(X)+D(Y)$
8.3 二项分布
伯努利试验：只有两种结果（成功/失败）的试验。
$n$ 重伯努利试验：独立重复 $n$ 次伯努利试验。
二项分布：若 $X$ 表示 $n$ 重伯努利试验中成功的次数，每次成功概率为 $p$，则：
$$ P(X=k)=C_n^k p^k(1-p)^{n-k}\quad(k=0,1,2,\ldots,n) $$记作 $X\sim B(n,p)$。
期望与方差：$E(X)=np$，$D(X)=np(1-p)$。
推导要点：二项分布可视为 $n$ 个独立同分布的 $0$-$1$ 变量之和（每个变量取 $1$ 表示成功），利用期望与方差的可加性即可得到。
8.4 超几何分布
超几何分布：从 $N$ 件产品（含 $M$ 件次品）中不放回抽取 $n$ 件，用 $X$ 表示抽到的次品数：
$$ P(X=k)=\frac{C_M^k C_{N-M}^{n-k}}{C_N^n} $$其中 $k$ 满足：$0\le k\le M$ 且 $0\le n-k\le N-M$。
期望与方差：
$$ E(X)=n\cdot\frac{M}{N} $$$$ D(X)=n\cdot\frac{M}{N}\cdot\left(1-\frac{M}{N}\right)\cdot\frac{N-n}{N-1} $$其中 $\frac{N-n}{N-1}$ 称为有限总体校正系数。当 $N$ 很大时，校正系数 $\approx 1$，超几何分布近似为二项分布 $B\left(n,\frac{M}{N}\right)$。
8.5 正态分布
正态分布：连续型随机变量最重要的一种分布，概率密度函数为：
$$ f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $$记作 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$，其中 $\mu$ 为均值，$\sigma$ 为标准差。
标准正态分布：$\mu=0$，$\sigma=1$，记作 $Z\sim N(0,1)$。
标准正态分布表的使用：若 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$，则 $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)$，通过标准化将一般正态分布转化为标准正态分布查表。
$3\sigma$ 原则：
- $P(\mu-\sigma \le X \le \mu+\sigma) \approx 0.6826$
- $P(\mu-2\sigma \le X \le \mu+2\sigma) \approx 0.9544$
- $P(\mu-3\sigma \le X \le \mu+3\sigma) \approx 0.9974$
$3\sigma$ 原则的含义：正态分布的取值几乎全部（$99.74\%$）落在 $[\mu-3\sigma,\mu+3\sigma]$ 范围内，超出这个范围的概率仅有约 $0.26\%$，在统计中可视为小概率事件。这一原则常用于质量控制（过程是否失控）和异常值检测。