1 平面及其基本性质

1.1 空间中点线面的表示

（1）点：用大写字母表示，例如点$A$，点$B$。 （2）直线：小写字母或者直线上两点，例如直线$a$，直线$AB$。 （3）平面：希腊字母或者平面上不公线的三点，例如平面$\alpha$，平面$ABC$。

1.2 空间中点线面的位置关系

（1）点与直线的位置关系

  • 点在直线上：$A \in l$
  • 点不在直线上：$A \notin l$

（2）点与平面的位置关系

  • 点在平面内：$A \in \alpha$
  • 点不在平面内：$A \notin \alpha$

（3）直线与直线的位置关系

  • 平行：$a \parallel \text{直线}AB$
  • 相交：$a \cap \text{直线}AB= C$
  • 异面：$a \cap \text{直线}AB= \emptyset$

异面直线的证明：利用其中一条直线与另一条直线所在平面的交点不在另一条直线上，可以直接证明两直线异面。

（4）直线与平面的位置关系

  • 平行：$a \parallel \alpha$
  • 相交：$a \cap \alpha =A$
  • 直线在平面内：$a \subset \alpha$

（5）平面与平面的位置关系

  • 平行：$\alpha \parallel \beta$
  • 相交：$\alpha \cap \beta = a$

1.3 四公理三推论

公理1（直线在平面内判定）

内容：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 符号：$A \in \alpha,\ B \in \alpha,\ A \in l,\ B \in l \Rightarrow l \subset \alpha$ 作用：①判定直线是否在平面内；②判定一个面是否是平面（如证明某线在面内）。

公理2（确定平面的条件）

内容：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。 符号：$A,B,C$ 不共线 $\Rightarrow$ 存在唯一平面 $\alpha$，使得 $A,B,C \in \alpha$ 作用：①确定一个平面的依据；②证明点、线共面。

公理3（两平面相交）

内容：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号：$P \in \alpha,\ P \in \beta,\ \alpha \neq \beta \Rightarrow \alpha \cap \beta = l$，且 $P \in l$ 作用：①证明两个平面相交；②证明点在直线上（证明点共线）。

公理4（平行公理）

内容：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号：$a \parallel b,\ b \parallel c \Rightarrow a \parallel c$ 作用：空间中直线平行的传递性。

推论1（由直线和直线外一点确定平面）

内容：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。 符号：$A \notin l \Rightarrow$ 存在唯一平面 $\alpha$，使 $l \subset \alpha$ 且 $A \in \alpha$

推论2（由两条相交直线确定平面）

内容：经过两条相交直线，有且只有一个平面。 符号：$a \cap b = P \Rightarrow$ 存在唯一平面 $\alpha$，使 $a \subset \alpha$ 且 $b \subset \alpha$

推论3（由两条平行直线确定平面）

内容：经过两条平行直线，有且只有一个平面。 符号：$a \parallel b \Rightarrow$ 存在唯一平面 $\alpha$，使 $a \subset \alpha$ 且 $b \subset \alpha$

2 空间中平行的证明与性质

2.1 线线平行

2.1.1. 证明（判定）方法

  • 平行公理（公理 4 / 传递性）： 平行于同一条直线的两条直线平行。

    $$ \text{若} a \parallel b \text{ 且 } b \parallel c \implies a \parallel c $$

  • 线面平行的性质： 一条直线与一个平面平行，过该直线的平面与此平面相交，则该直线与交线平行。

  • 面面平行的性质： 两个平行平面同时与第三个平面相交，则两条交线平行。

  • 平面几何性质： 利用三角形中位线、平行四边形对边平行、平行线分线段成比例定理等。

  • 线面垂直的性质： 垂直于同一个平面的两条直线平行（若 $a \perp \alpha, b \perp \alpha \implies a \parallel b$）。

2.1.2 核心性质

  • 若 $a \parallel b$，则 $a$ 与 $b$ 共面，且在同一平面内没有公共点。

2.2 线面平行

2.2.1 判定定理（线线平行 $\Rightarrow$ 线面平行）

  • 文字表述： 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
  • 符号表达：
$$ \begin{cases} a \notin \alpha \\ b \subset \alpha \\ a \parallel b \end{cases} \implies a \parallel \alpha $$
  • 关键要点： 证明时必须严格满足“一在外、一在内、二者平行”三个条件。

2.2.2 性质定理（线面平行 $\Rightarrow$ 线线平行）

  • 文字表述： 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线就和交线平行。
  • 符号表达：
$$ \begin{cases} a \parallel \alpha \\ a \subset \beta \\ \alpha \cap \beta = b \end{cases} \implies a \parallel b $$
  • 关键要点： 这是将“线面平行”转化为“线线平行”构造辅助平面（作交线）的核心定理。

2.3 面面平行

2.3.1 判定定理（线面平行 $\Rightarrow$ 面面平行）

  • 文字表述： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
  • 符号表达：
$$ \begin{cases} a \subset \alpha, b \subset \alpha \\ a \cap b = P \\ a \parallel \beta, b \parallel \beta \end{cases} \implies \alpha \parallel \beta $$
  • 关键要点： 平面内的两条直线必须相交，缺少相交条件结论不成立。

2.3.2 主要性质定理

  • 面面平行 $\Rightarrow$ 线线平行： 两个平行平面同时和第三个平面相交，它们的交线平行。
$$ \begin{cases} \alpha \parallel \beta \\ \alpha \cap \gamma = a \\ \beta \cap \gamma = b \end{cases} \implies a \parallel b $$
  • 面面平行 $\Rightarrow$ 线面平行： 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面。
$$ \begin{cases} \alpha \parallel \beta \\ a \subset \alpha \end{cases} \implies a \parallel \beta $$

  • 传递性与垂直性：

    • 若 $\alpha \parallel \beta$ 且 $\beta \parallel \gamma \implies \alpha \parallel \gamma$。
    • 垂直于同一直线的两个平面平行（若 $l \perp \alpha, l \perp \beta \implies \alpha \parallel \beta$）。

逻辑转化链总结：

$\text{线线平行} \underset{\text{性质定理}}{\overset{\text{判定定理}}{\rightleftharpoons}} \text{线面平行} \underset{\text{性质定理}}{\overset{\text{判定定理}}{\rightleftharpoons}} \text{面面平行}$

3 空间中垂直的证明与性质

3.1 线线垂直

3.1.1 证明（判定）方法

  • 平面几何性质： 利用勾股定理逆定理、等腰三角形三线合一、直角三角形性质等。

  • 线面垂直的性质： 如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于该平面内的任意直线。

    $$ \begin{cases} l \perp \alpha \\ a \subset \alpha \end{cases} \implies l \perp a $$

  • 三垂线定理（及逆定理）：

    • 平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
    • 平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。

  • 向量法（空间向量）： 两直线的方向向量数量积为 0。

    $$ \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \iff a \perp b $$

3.1.2 分类与区别

  • 相交垂直： 两直线相交且所成的角为 $90^\circ$（共面）。
  • 异面垂直： 两直线异面，通过平移后所成的角为 $90^\circ$（不共面）。

3.2 线面垂直

3.2.1 判定定理（线线垂直 $\Rightarrow$ 线面垂直）

  • 文字表述： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

  • 符号表达：

    $$ \begin{cases} m \subset \alpha, n \subset \alpha \\ m \cap n = P \\ l \perp m, l \perp n \end{cases} \implies l \perp \alpha $$

  • 关键要点： 平面内的两条直线必须相交，这是最常用的证明线面垂直的方法。

3.2.2 其他判定方法

  • 面面垂直的性质： 两个平面垂直，在其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面（详见 3.3）。

  • 面面平行的性质： 一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它也垂直于另一个。

    $$ \begin{cases} \alpha \parallel \beta \\ l \perp \alpha \end{cases} \implies l \perp \beta $$

  • 线线平行的性质： 两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面。

    $$ \begin{cases} a \parallel b \\ a \perp \alpha \end{cases} \implies b \perp \alpha $$

3.2.3 核心性质

  • 定义性质： 若 $l \perp \alpha$，则 $l$ 垂直于平面 $\alpha$ 内的所有直线。

  • 平行性： 垂直于同一个平面的两条直线互相平行。

    $$ \begin{cases} a \perp \alpha \\ b \perp \alpha \end{cases} \implies a \parallel b $$

3.3 面面垂直

3.3.1 判定定理（线面垂直 $\Rightarrow$ 面面垂直）

  • 文字表述： 一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。

  • 符号表达：

    $$ \begin{cases} l \perp \alpha \\ l \subset \beta \end{cases} \implies \beta \perp \alpha $$

  • 关键要点： 证明面面垂直通常转化为先证明“线面垂直”。

3.3.2 性质定理（面面垂直 $\Rightarrow$ 线面垂直）

  • 文字表述： 两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

  • 符号表达：

    $$ \begin{cases} \alpha \perp \beta \\ \alpha \cap \beta = l \\ a \subset \alpha \\ a \perp l \end{cases} \implies a \perp \beta $$

  • 关键要点： 这是将“面面垂直”降维转化为“线面垂直”的核心定理，作辅助线时常在其中一个平面内向交线作垂线。

3.3.3 其他补充性质

  • 若两个平面垂直，过第一个平面内一点作第二个平面的垂线，则该垂线必在第一个平面内。

  • 如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面。

    $$ \begin{cases} \alpha \perp \gamma \\ \beta \perp \gamma \\ \alpha \cap \beta = l \end{cases} \implies l \perp \gamma $$

逻辑转化链总结：

$\text{线线垂直} \underset{\text{定义/性质}}{\overset{\text{判定定理}}{\rightleftharpoons}} \text{线面垂直} \underset{\text{性质定理}}{\overset{\text{判定定理}}{\rightleftharpoons}} \text{面面垂直}$

4 空间中夹角

4.1 异面直线夹角

4.1.1 概念与取值范围

  • 定义： 过空间任意一点 $P$（常选在其中一条直线上或特定特殊点上），分别作与异面直线 $a, b$ 平行的直线 $a', b'$，这 两条相交直线 $a', b'$ 所成的锐角或直角叫作异面直线 $a$ 与 $b$ 所成的角。
  • 取值范围： $\theta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right]$ 或 $\left(0^\circ, 90^\circ\right]$。

4.1.2 综合几何法（“一平移、二作角、三求解”）

  1. 平移作角： 利用中位线、平行四边形或补形法，将其中一条（或两条）直线平移到同一点，构造出相交直线。
  2. 解三角形： 将该角放入某个三角形中，利用勾股定理、余弦定理（$\cos \theta = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$）或正弦定理求解。
  3. 确定终值： 若解出余弦值为负，需取其绝对值（异面直线夹角不能为钝角）。

4.1.3 空间向量法

  • 公式： 设直线 $a, b$ 的方向向量分别为 $\vec{u}, \vec{v}$，夹角为 $\theta$，则：

    $$ \cos \theta = \frac{\vert{}\vec{u} \cdot \vec{v}\vert{}}{\vert{}\vec{u}\vert{} \vert{}\vec{v}\vert{}} $$

4.2 线面角（直线与平面所成的角）

4.2.1 概念与取值范围

  • 定义： 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角。

    • 若直线与平面平行或在平面内，规定所成角为 $0^\circ$；
    • 若直线与平面垂直，规定所成角为 $90^\circ$。

  • 取值范围： $\theta \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 或 $\left[0^\circ, 90^\circ\right]$。

4.2.2 综合几何法（“一作垂线、二找射影、三求角”）

  1. 作垂线找射影： 从斜线上一点向平面作垂线（垂足为 $H$），连接斜足与垂足，得到斜线在平面内的射影。
  2. 解直角三角形： 构成以斜线段为斜边、垂线段和射影线段为直角边的直角三角形，求出正弦值或正切值。
  3. 常用技巧： “等体积法”求点到平面的距离（即垂线段长度 $h$），再利用 $\sin \theta = \frac{h}{L}$（$L$ 为斜线段长）计算。

4.2.3 空间向量法

  • 公式： 设直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{u}$，平面 $\alpha$ 的法向量为 $\vec{n}$，线面角为 $\theta$，则：

    $$ \sin \theta = \cos \langle \vec{u}, \vec{n} \rangle = \frac{\vert{}\vec{u} \cdot \vec{n}\vert{}}{\vert{}\vec{u}\vert{} \vert{}\vec{n}\vert{}} $$

4.3 二面角（平面与平面所成的角）

4.3.1 概念与取值范围

  • 定义： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角。这条直线叫作二面角的棱，两个半平面叫作二面角的面。
  • 二面角的平面角： 在二面角的棱上任取一点 $O$，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线 $OA, OB$，则 $\angle AOB$ 叫作二面角的平面角。
  • 取值范围： $\alpha \in [0, \pi]$ 或 $[0^\circ, 180^\circ]$。

4.3.2 综合几何法（寻找/构造平面角）

  1. 定义法（垂线法）： 在棱上找特殊点，过该点在两个半平面内分别作棱的垂线。

  2. 三垂线法： 过其中一个平面内一点作另一个平面的垂线，再作棱的垂线，连接垂足构成平面角。

  3. 垂面法： 作一个垂直于二面角棱的平面，该平面与两个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角。

  4. 面积投影法： 若已知平面图形面积为 $S$，其在另一个平面内的射影图形面积为 $S'$，则二面角 $\theta$ 的余弦值为：

    $$ cos \theta = \frac{S'}{S} $$

4.3.3 空间向量法

  • 公式： 设平面 $\alpha, \beta$ 的法向量分别为 $\vec{n}_1, \vec{n}_2$，二面角大小为 $\theta$：

    $$ \vert{}\cos \theta\vert{} = \frac{\vert{}\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2\vert{}}{\vert{}\vec{n}_1\vert{} \vert{}\vec{n}_2\vert{}} $$

  • 钝锐判断： 需结合几何图形的实际开合方向，判断两法向量的方向是“同向/反向”与二面角的“锐/钝”关系（若法向量一指向二面角内部、一指向外部，则 $\cos \theta = \frac{\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2}{\vert{}\vec{n}_1\vert{} \vert{}\vec{n}_2\vert{}}$）。

空间三角函数关系链总结：

  • 异面直线角 $\rightarrow$ 利用方向向量求 $\boldsymbol{\cos}$ 值；
  • 线面角 $\rightarrow$ 利用方向向量与法向量求 $\boldsymbol{\sin}$ 值；
  • 二面角 $\rightarrow$ 利用双法向量求 $\boldsymbol{\cos}$ 值。

5 空间中的距离问题

5.1 点到线的距离

5.1.1 概念与取值范围

  • 定义： 从点向直线引垂线，该点与垂足之间的线段长度叫作点到直线的距离。
  • 取值范围： $d \in [0, +\infty)$。若点在直线上，则距离为 $0$。

5.1.2 综合几何法（“作垂线，解三角形”）

  1. 作垂线： 过点 $P$ 作直线 $l$ 的垂线，垂足为 $H$（或利用三垂线定理/等腰三角形性质寻找垂足）。
  2. 解三角形： 将线段 $PH$ 放入直角三角形或一般三角形中，利用勾股定理、正弦定理或面积法（$d = \frac{2S_{三角形}}{\text{底边长}}$）求出 $PH$ 的长度。

5.1.3 空间向量法

  • 公式： 设已知点为 $P$，直线 $l$ 上有一已知点 $A$，直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{u}$，则点 $P$ 到直线 $l$ 的距离为：

    $$ d= \sqrt{\vert{}\overrightarrow{AP}\vert{}^2 - \left(\frac{\overrightarrow{AP} \cdot \vec{u}}{\vert{}\vec{u}\vert{}}\right)^2} $$

    (原理：利用勾股定理，$\vert{}\overrightarrow{AP}\vert{}$ 为斜边，$\frac{\overrightarrow{AP} \cdot \vec{u}}{\vert{}\vec{u}\vert{}}$ 为向量 $\overrightarrow{AP}$ 在直线 $l$ 上的投影长)

    $$

    $$

5.2 点到面的距离

5.2.1 概念与取值范围

  • 定义： 从点向平面引垂线，该点与垂足之间的线段长度叫作点到平面的距离。
  • 取值范围： $d \in [0, +\infty)$。若点在平面内，则距离为 $0$。

5.2.2 综合几何法（“直接作垂线”或“等体积法”）

  1. 直接法： 寻找或构造过该点的平面的垂线，证明线面垂直后，求出垂线段长。
  2. 等体积转化法（最常用）： 利用三棱锥的体积不随顶点和底面的改变而改变的性质（$\text{V}_{P-ABC} = \text{V}_{A-PBC}$），通过公式 $V = \frac{1}{3} S_{\text{底}} \cdot h$ 反解出高 $h$。
  3. 平行转化法： 若直线 $a \parallel \alpha$，则直线 $a$ 上任意一点到平面 $\alpha$ 的距离相等（线面距离转化为点面距离）；若平面 $\alpha \parallel \beta$，则两平行平面间距离亦可转化为点面距离。

5.2.3 空间向量法（法向量投影法）

  • 公式： 设已知点为 $P$，平面 $\alpha$ 内有一已知点 $A$，平面 $\alpha$ 的法向量为 $\vec{n}$，则点 $P$ 到平面 $\alpha$ 的距离为：

    $$ d= \frac{\vert{}\overrightarrow{AP} \cdot \vec{n}\vert{}}{\vert{}\vec{n}\vert{}} $$

    (原理：点与平面内任一点构成的向量在平面法向量上的投影长度)

    $$

    $$

5.3 异面直线间的距离

5.3.1 概念与取值范围

  • 定义： 和两条异面直线都垂直且相交的直线叫作异面直线的公垂线，公垂线段的长度叫作两条异面直线间的距离。
  • 取值范围： $d \in (0, +\infty)$（异面直线不可能相交，故距离恒大于 $0$）。

5.3.2 综合几何法

  1. 公垂线段法： 作出公垂线段（通常利用特殊几何图形如正方体、长方体中的垂直关系直接观察），然后求其长度。
  2. 线面平行转化法： 过其中一条直线 $a$ 作一个与另一条直线 $b$ 平行的平面 $\alpha$，则直线 $b$ 上任意一点到平面 $\alpha$ 的距离，即为两条异面直线间的距离（转化为 5.2 点到面的距离）。
  3. 面面平行转化法： 分别过直线 $a$ 和 $b$ 作两个互相平行的平面 $\alpha$ 和 $\beta$，这两个平行平面间的距离即为异面直线间的距离。

5.3.3 空间向量法

  • 公式： 设 $A$ 为直线 $a$ 上一点，$B$ 为直线 $b$ 上一点，向量 $\vec{u}$ 和 $\vec{v}$ 分别为直线 $a, b$ 的方向向量，$\vec{n}$ 为与 $a, b$ 都垂直的向量（即 $\vec{n} \perp \vec{u}$ 且 $\vec{n} \perp \vec{v}$，可通过解方程组求得），则两条异面直线间的距离为：

    $$ d = \frac{\vert{}\overrightarrow{AB} \cdot \vec{n}\vert{}}{\vert{}\vec{n}\vert{}} $$

核心思想总结：

空间距离问题本质上是降维求线段长。

  • 几何法核心在于“找垂足、构造直角三角形”或利用“体积/面积等量代换”；
  • 向量法核心在于求得方向向量与法向量，利用“向量投影公式”快速代数化求解。