1 空间向量

1.1 空间向量的有关概念

  • 定义：在空间中，既有大小又有方向的量叫做空间向量。
  • 表示方法：
    • 几何表示：用有向线段表示；
    • 字母表示：用小写字母 $\vec{a}$，$\vec{b}$，$\vec{c}$ 表示，或记作 $\overrightarrow{AB}$。
  • 几类常见的空间向量：
    • 零向量：模为 0，方向任意，记作 $\vec{0}$；
    • 单位向量：模为 1，记作 $\vec{e}$；
    • 相反向量：长度相等、方向相反的向量，$\overrightarrow{AB}$ 的相反向量为 $\overrightarrow{BA}$；
    • 相等向量：方向相同、模相等的向量。

1.2 空间向量的线性运算

  • 加法与减法：遵循三角形法则和平行四边形法则，与平面向量一致。
    • 加法：$\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \vec{a} + \vec{b}$
    • 减法：$\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC} = \vec{a} - \vec{b}$
  • 数乘运算：实数 $\lambda$ 与向量 $\vec{a}$ 的乘积 $\lambda\vec{a}$ 仍是一个向量。
    • $\lambda > 0$ 时与 $\vec{a}$ 同向，$\lambda < 0$ 时反向，$\lambda = 0$ 时为零向量；
    • 运算律：结合律、分配律。
  • 运算律：交换律 $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$，结合律 $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$。

1.3 共线向量与共面向量

  • 共线向量（平行向量） ：
    • 定义：表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合；
    • 共线向量定理：对空间任意两个向量 $\vec{a}$，$\vec{b}$（$\vec{b} \neq \vec{0}$），$\vec{a} \parallel \vec{b} \iff$ 存在唯一实数 $\lambda$，使 $\vec{a} = \lambda\vec{b}$；
    • 方向向量：与直线 $l$ 平行的非零向量称为直线 $l$ 的方向向量；
    • 应用：证明三点共线、证明线线平行（进而证线面平行）。
  • 共面向量：
    • 定义：平行于同一平面的向量；
    • 共面向量定理：若向量 $\vec{a}$，$\vec{b}$ 不共线，则 $\vec{p}$ 与 $\vec{a}$，$\vec{b}$ 共面 $\iff$ 存在唯一有序实数对 $(x, y)$，使 $\vec{p} = x\vec{a} + y\vec{b}$；
    • 应用：证明四点共面、证线面平行（进而证面面平行）。

1.4 空间向量的数量积

  • 定义：$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\langle\vec{a}, \vec{b}\rangle$。
  • 重要结论（$\vec{a}$，$\vec{b}$ 为非零向量）：
    • $\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$；
    • $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$；
    • $\cos\langle\vec{a}, \vec{b}\rangle = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$。
  • 运算律：交换律、分配律、数乘结合律。

2 空间直角坐标系

2.1 空间直角坐标系的建立

  • 定义：在空间选定一点 $O$ 引三条互相垂直且有相同长度单位的数轴：$x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴，建立空间直角坐标系，点 $O$ 叫原点。
  • 坐标平面：$xOy$ 平面、$yOz$ 平面、$zOx$ 平面。

2.2 空间中点的坐标

  • 给定空间直角坐标系和向量 $\vec{a}$，存在唯一有序实数组 $(x, y, z)$，使 $\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$，记作 $\vec{a} = (x, y, z)$。
  • 点 $P$ 的坐标即为向量 $\overrightarrow{OP}$ 的坐标。

2.3 空间向量的坐标运算

设 $\vec{a} = (x_1, y_1, z_1)$，$\vec{b} = (x_2, y_2, z_2)$：

  • 加减运算：$\vec{a} \pm \vec{b} = (x_1 \pm x_2, y_1 \pm y_2, z_1 \pm z_2)$
  • 数乘：$\lambda\vec{a} = (\lambda x_1, \lambda y_1, \lambda z_1)$
  • 数量积：$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$
  • 模长：$|\vec{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2}$
  • 夹角：$\cos\langle\vec{a}, \vec{b}\rangle = \dfrac{x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}$
  • 平行：$\vec{a} \parallel \vec{b} \iff \vec{a} = \lambda\vec{b}$
  • 垂直：$\vec{a} \perp \vec{b} \iff x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 = 0$

2.4 空间两点间距离公式

若 $A(x_1, y_1, z_1)$，$B(x_2, y_2, z_2)$，则：

$$ |AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} $$

3 空间向量在立体几何中的应用

3.1 方向向量与法向量

  • 方向向量：与直线 $l$ 平行的非零向量称为直线 $l$ 的方向向量。
  • 法向量：与平面 $\alpha$ 垂直的非零向量称为平面 $\alpha$ 的法向量。

3.2 证明平行与垂直

设直线 $l$，$m$ 的方向向量分别为 $\vec{a}$，$\vec{b}$，平面 $\alpha$，$\beta$ 的法向量分别为 $\vec{n}_1$，$\vec{n}_2$：

  • 线线平行：$l \parallel m \iff \vec{a} \parallel \vec{b}$
  • 线面平行：$l \parallel \alpha \iff \vec{a} \perp \vec{n}_1 \iff \vec{a} \cdot \vec{n}_1 = 0$
  • 面面平行：$\alpha \parallel \beta \iff \vec{n}_1 \parallel \vec{n}_2$
  • 线线垂直：$l \perp m \iff \vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$
  • 线面垂直：$l \perp \alpha \iff \vec{a} \parallel \vec{n}_1$
  • 面面垂直：$\alpha \perp \beta \iff \vec{n}_1 \perp \vec{n}_2 \iff \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0$

3.3 求空间角

设直线 $l$，$m$ 的方向向量分别为 $\vec{a}$，$\vec{b}$，平面 $\alpha$，$\beta$ 的法向量分别为 $\vec{n}_1$，$\vec{n}_2$：

  • 异面直线所成角（范围 $[0, \frac{\pi}{2}]$）：

    $$ \cos\theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}||\vec{b}|} $$

  • 线面角（范围 $[0, \frac{\pi}{2}]$）：

    $$ \sin\theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{n}_1|}{|\vec{a}||\vec{n}_1|} $$

  • 二面角（范围 $[0, \pi]$）：

    $$ \cos\theta = \pm\frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1||\vec{n}_2|} $$

    （正负号需根据二面角是锐角还是钝角判断）

3.4 求距离

  • 点到平面的距离：点 $P$ 到平面 $\alpha$ 的距离，其中 $A$ 是平面 $\alpha$ 内一点，$\vec{n}$ 是平面 $\alpha$ 的法向量： $$ d = \frac{|\overrightarrow{AP} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} $$
  • 异面直线间的距离、线面距离、面面距离均可转化为点到平面的距离求解。