简单几何体

1 柱体

1.1 棱柱

• 定义：有两个面互相平行（底面），其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体。
• 分类：
  • 按底面边数：三棱柱、四棱柱、……
  • 按侧棱与底面关系：直棱柱（侧棱 $\perp$ 底面）、斜棱柱（侧棱不 $\perp$ 底面）。
  • 底面为正多边形且为直棱柱 $\Rightarrow$ 正棱柱。
• 性质：
  • 侧棱互相平行且相等；
  • 侧面都是平行四边形（直棱柱侧面为矩形，正棱柱侧面为全等矩形）；
  • 两个底面是全等的多边形。
• 体积：$V = S_{\text{底}} \cdot h$（$h$ 为高，即两底面间的距离）。
• 表面积：$S_{\text{表}} = 2S_{\text{底}} + S_{\text{侧}}$。

1.2 圆柱

• 定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体。
• 相关概念：
  • 旋转轴叫做圆柱的轴；
  • 垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面；
  • 平行于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面；
  • 无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做母线（母线长度 = 高）。
• 性质：
  • 两个底面是互相平行且全等的圆面；
  • 所有母线平行且相等（$l = h$）；
  • 轴截面（过轴的截面）是矩形，边长为 $2r$ 和 $h$。
• 体积：$V = \pi r^2 h$（$r$ 为底面半径，$h$ 为高）。
• 侧面积：$S_{\text{侧}} = 2\pi r h$（侧面展开图为矩形）。
• 表面积：$S_{\text{表}} = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r(r + h)$。

2 锥体

2.1 棱锥

• 定义：有一个面是多边形（底面），其余各面是有一个公共顶点的三角形（侧面），由这些面所围成的多面体。
• 相关概念：
  • 底面为正多边形，且顶点在底面上的射影是底面正多边形的中心 $\Rightarrow$ 正棱锥。
• 性质（正棱锥）：
  • 各侧棱相等；
  • 各侧面是全等的等腰三角形（斜高相等）；
  • 高、斜高、底面边心距构成直角三角形；高、侧棱、底面外接圆半径构成直角三角形。
• 体积：$V = \dfrac{1}{3} S_{\text{底}} \cdot h$（$h$ 为顶点到底面的距离）。
• 表面积：$S_{\text{表}} = S_{\text{底}} + S_{\text{侧}}$。

2.2 圆锥

（注：你框架中“2.22”应为笔误，这里修正为 2.2）

• 定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体。
• 相关概念：
  • 旋转轴叫做圆锥的轴；
  • 垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面；
  • 斜边旋转而成的曲面叫做侧面，斜边在旋转中的任一位置叫做母线（$l$）；
  • 顶点与底面圆心的连线叫做高（$h$）。
• 性质：
  • 所有母线相等，$l^2 = r^2 + h^2$；
  • 轴截面（过轴的截面）是等腰三角形，腰长为 $l$，底边长为 $2r$，高为 $h$。
• 体积：$V = \dfrac{1}{3} \pi r^2 h$。
• 侧面积：$S_{\text{侧}} = \pi r l$（侧面展开图为扇形，扇形半径 $=$ 母线 $l$，弧长 $=$ 底面周长 $2\pi r$）。
• 表面积：$S_{\text{表}} = \pi r^2 + \pi r l = \pi r(r + l)$。

3 台体

3.1 棱台

• 定义：用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台。
• 相关概念：
  • 原棱锥的底面叫下底面，截面叫上底面；
  • 其余各面叫侧面，侧面都是梯形；
  • 由正棱锥截得的棱台叫正棱台。
• 性质（正棱台）：
  • 各侧棱相等；
  • 各侧面是全等的等腰梯形（斜高相等）；
  • 高、斜高、上下底面边心距构成直角梯形。
• 体积：$V = \dfrac{1}{3} h (S_{\text{上}} + \sqrt{S_{\text{上}}S_{\text{下}}} + S_{\text{下}})$（$h$ 为台高，$S_{\text{上}}$、$S_{\text{下}}$ 分别为上、下底面面积）。
• 表面积：$S_{\text{表}} = S_{\text{上}} + S_{\text{下}} + S_{\text{侧}}$。

3.2 圆台

• 定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台。
• 相关概念：
  • 原圆锥的底面叫下底面，截面叫上底面（均为圆面）；
  • 侧面展开图是扇环；
  • 母线 $l$，上底半径 $r$，下底半径 $R$，高 $h$，满足 $l^2 = h^2 + (R - r)^2$。
• 性质：
  • 所有母线相等；
  • 轴截面（过轴的截面）是等腰梯形，两底边长分别为 $2r$ 和 $2R$，腰长为 $l$，高为 $h$。
• 体积：$V = \dfrac{1}{3} \pi h (r^2 + rR + R^2)$。
• 侧面积：$S_{\text{侧}} = \pi (r + R) l$。
• 表面积：$S_{\text{表}} = \pi r^2 + \pi R^2 + \pi (r + R) l$。

好的，在“台体”后面补充“球体”部分。以下是完整补充后的内容：

4 球体

• 定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球。
• 相关概念：
  • 半圆的圆心叫做球的球心，记作 $O$；
  • 球心到球面上任意一点的连线叫做半径，记作 $R$；
  • 连接球面上两点且经过球心的线段叫做直径。
• 性质：
  • 用一个平面去截球，截面是圆面：
    • 截面过球心时，截面圆半径最大，等于球的半径 $R$，称为大圆；
    • 截面不过球心时，截面圆半径 $r$ 小于 $R$，称为小圆，且 $r = \sqrt{R^2 - d^2}$（其中 $d$ 为球心到截面的距离）。
  • 球心到截面的距离 $d$ 与截面圆半径 $r$ 满足：$r^2 + d^2 = R^2$。
• 体积：$\displaystyle V = \frac{4}{3} \pi R^3$
• 表面积：$\displaystyle S = 4 \pi R^2$

补充：柱、锥、台、球的体积与表面积公式汇总