集合

集合初问

什么是集合？

通俗来说，集合就是一些东西组成的整体，比如一个班的所有学生，比如一个学校的所有老师，或者所有男老师等等，这些都可以称之为集合。

而在数学中，我们常见的集合主要有两种：

  • “数字”构成的集合，我们称之为“数集”
  • ”点“构成的集合，我们称之为“点集”

集合里面的是什么？

一个集合里面有很多东西，我们肯定需要一个名词去描述它，而在集合中，我们所用的名词为——元素。

比如上面我们提到的例子，一个班的所有学生，那这些学生每一个都是这个集合的元素。

元素有什么要求吗？

当然有要求。

我们思考一个问题：

你去买了一袋水果，当别人问起你你买了哪些水果时，你会怎么回答？你大概会说出你买的这些水果有哪些种类，比如你会说：“我买了苹果、香蕉、梨。”

这个问题中就展现出了元素的一些要求。

  • 确定性：你回答的内容一定是你买的，而不是任意挑一些就说出来，所以元素必须有限制，而且限制必须明确。如果不明确，你就不好回答了。
  • 互异性：你的回答中只说了种类，并没有说个数。这就是互异性的体现，都是苹果，对于“哪些水果”这个限制来说，这个苹果和那个苹果都是只是苹果而已。毕竟数学不需要“一棵是枣树，另一棵也是枣树”这样的至理名言。
  • 无序性：你回答中即便打乱几个水果名词的数序，你买的还是那些水果，并不会改变不是嘛，所以集合里谁在谁前面，实际上并无意义。

集合中必须有元素吗？

并不是必须的。

比如，你想构建一个集合——出生于唐朝现在还活着的人。这个集合中对于元素的描述或者说要求十分明确，但我们能找到符合它要求的元素吗？不能，所以我们对于这样的没有元素的集合称之为空集。

集合知识点

通过前面的的内容，我们大致明白了什么是集合与元素，下面我们真正开始学习数学中的集合。

元素性质

（1）确定性：元素必须是确定的。

（2）互异性：同一集合的元素必须是相互不同的。

（3）无序性：同一集合内的元素对于排序并无要求。

特殊集合与符号

（1）实数集：$R$

（2）有理数集：$Q$

（3）整数集：$Z$

（4）自然数集：$N$

（5）空集：$\emptyset$

补充：对于前四个来说，若我们只想取其中正的部分，或者负的部分，我们可以在其右上角填上正负号即可（有些省区教材里好像不允许用了）。

$$ R^+,Q^+,Z^+,N^+;R^-,Q^-,Z^- $$

集合与元素表示

1.集合通常用大写字母表示：集合$A$，集合$B$。

2.元素通常用小写字母表示：元素$a$，元素$b$

集合描述方法

  • 列举法：直接写出集合元素的方法，适用于元素个数有限，或者元素有规律的集合。（外部用$\{\}$包裹）

    $$ \{1,2,4\},\{2,4,6,...,100\} $$

  • 描述法：将元素用字母代替，并通过给出字母所满足的条件，进而描述集合。

    $$ \text{点集}:\{x|x<3\},\\这个就表示小于3的所有数表示的集合。 \\（没有限制数的类型默认为实数） $$$$ 点集：\{(x,y)|y=f(x)\},\\这个表示函数y=f(x)图像上所有点构成的集合。 $$

  • 区间法：利用小括号和中括号代替“大于$>$”、“小于$<$”、“大于等于$\geq$”、“小于等于$\leq$”。

    $$ \begin{align*} &(a,b):表示大于a小于b的数 \\ &[a,b]:表示大于等于a小于等于b的数 \\ &(a,b]:表示大于a小于等于b的数 \\ &[a,b):表示大于等于a小于b的数 \\ &(a,+\infty):表示大于a的数 \\ &(-\infty,b]：表示小于等于b的数 \end{align*} $$

集合与元素关系

  • 元素$x$在集合$A$内：$x \in A$
  • 元素$y$不在集合$A$内：$y \notin A$

集合与集合之间的关系

  • 集合$A$中所有元素都在集合$B$中，则称集合$A$包含于集合$B$，记为$A \subseteq B$，即集合$A$是集合$B$的子集。
  • 集合$A$中所有元素都在集合$B$中，且集合$B$中存在集合$A$中没有的元素，则称集合$A$包真含于集合$B$，记为$A \subset B$，即集合$A$是集合$B$的真子集。
空集是任意集合的自己，包括自身。
  • 含有$n$个元素的子集的个数：$2^n$
  • 含有$n$个元素的真子集的个数：$2^n-1$
  • 含有$n$个元素的非空真子集的个数：$2^n-2$

集合的运算

  • 交集：取两个集合的公共元素。

    $$ A \cap B= \{x|x \in A且x\in B \} $$

  • 并集：取两个集合的所有元素。

    $$ A \cup B= \{x|x \in A或x\in B \} $$

  • 补集：在集合$U$（全集）的前提下，不在其子集$A$中构成的元素的集合。

    $$ \complement_{U}{A}=\overline{A}=\{x|x\in U且x\notin A\} $$
补集符号请参考当地教材。