一、填空题（本大题共 12 题，第 1—6 题每题 4 分，第 7—12 题每题 5 分，共 54 分）

1.（4 分）已知全集 $U=\{x\mid 2\le x\le 5,\ x\in\mathbf R\}$，集合 $A=\{x\mid 2\le x<4,\ x\in\mathbf R\}$，则 $\bar A=$ ______。

2.（4 分）不等式 $\dfrac{x-1}{x-3}<0$ 的解集为 ______。

3.（4 分）已知等差数列 $\{a_n\}$ 的首项 $a_1=-3$，公差 $d=2$，则该数列的前 6 项和为 ______。

4.（4 分）在二项式 $(2x-1)^5$ 的展开式中，$x^3$ 的系数为 ______。

5.（4 分）函数 $y=\cos x$ 在 $\left[-\dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{\pi}{4}\right]$ 上的值域为 ______。

6.（4 分）已知随机变量 $X$ 的分布为 $\begin{pmatrix}5 & 6 & 7 \\ 0.2 & 0.3 & 0.5\end{pmatrix}$，则期望 $E[X]=$ ______。

7.（5 分）如图，在正四棱柱 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$BD=4\sqrt2$，$DB_1=9$，则该正四棱柱的体积为 ______。

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8.（5 分）设 $a,b>0$，$a+\dfrac1b=1$，则 $b+\dfrac1a$ 的最小值为 ______。

9.（5 分）4 个家长和 2 个儿童去爬山。6 个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有 ______ 种。

10.（5 分）已知复数 $z$ 满足 $z^2=(\bar z)^2$，$|z|\le 1$，则 $|z-2-3\mathrm i|$ 的最小值是 ______。

11.（5 分）小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上。某斜面上有两根长为 1 米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为 $A$、$B$，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光：其中一根杆子的影子在水平面上，长度为 0.4 米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为 0.45 米。则斜面的底角 $\theta=$ ______。（结果用角度制表示，精确到 $0.01^\circ$）

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12.（5 分）已知函数 $f(x)=\begin{cases}1, & x>0 \\ 0, & x=0 \\ -1, & x<0\end{cases}$，$\vec a$、$\vec b$、$\vec c$ 是平面内三个不同的单位向量。若 $f(\vec a\cdot\vec b)+f(\vec b\cdot\vec c)+f(\vec c\cdot\vec a)=0$，则 $|\vec a+\vec b+\vec c|$ 的取值范围是 ______。

二、选择题（本大题共 4 题，第 13、14 题每题 4 分，第 15、16 题每题 5 分，共 18 分）

13.（4 分）已知事件 $A$、$B$ 相互独立，事件 $A$ 发生的概率为 $P(A)=\dfrac12$，事件 $B$ 发生的概率为 $P(B)=\dfrac12$，则事件 $A\cap B$ 发生的概率 $P(A\cap B)$ 为（　　）

A. $\dfrac18$　　B. $\dfrac14$　　C. $\dfrac12$　　D. $0$

14.（4 分）设 $a>0$，$s\in\mathbf R$。下列各项中，能推出 $a^s>a$ 的一项是（　　）

A. $a>1$，且 $s>0$　　B. $a>1$，且 $s<0$　　C. $00$　　D. $0

15.（5 分）已知 $A(0,1)$，$B(1,2)$，$C$ 在 $\Gamma:x^2-y^2=1\ (x\ge1,\ y\ge0)$ 上，则 $\triangle ABC$ 的面积（　　）

A. 有最大值，但没有最小值　　B. 没有最大值，但有最小值

C. 既有最大值，也有最小值　　D. 既没有最大值，也没有最小值

16.（5 分）设 $\lambda\in[0,1]$，数列 $a_n=10n-9$，数列 $b_n=2^n$，设 $c_n=\lambda a_n+(1-\lambda)b_n$。若对任意 $\lambda\in[0,1]$，长为 $a_n$、$b_n$、$c_n$ 的线段均能构成三角形，则满足条件的 $n$ 有（　　）

A. 1 个　　B. 3 个　　C. 4 个　　D. 无穷

三、解答题（本大题共 5 题，第 17—19 题每题 14 分，第 20—21 题每题 18 分，共 78 分）

17.（14 分；第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分）

2024 年东京奥运会，中国获得了男子 $4\times100$ 米混合泳接力金牌。以下是历届奥运会男子 $4\times100$ 米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列：

206.78207.46207.95209.34209.35210.68213.73214.84216.93216.93

（1）求这组数据的极差与中位数；

（2）从这 10 个数据中任选 3 个，求恰有 2 个数据在 211 以上的概率；

（3）若比赛成绩 $y$ 关于年份 $x$ 的回归方程为 $\hat y=-0.311x+\hat b$，年份 $x$ 的平均数为 2006，预测 2028 年冠军队的成绩（精确到 0.01 秒）。

18.（14 分；第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分）

如图，$P$ 是圆锥的顶点，$O$ 是底面圆心，$AB$ 是底面直径，且 $AB=2$。

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（1）若直线 $PA$ 与圆锥底面所成的角为 $\dfrac{\pi}{3}$，求圆锥的侧面积；

（2）已知 $Q$ 是母线 $PA$ 的中点，点 $C$、$D$ 在底面圆周上，且弧 $\overset{\frown}{AC}$ 的长为 $\dfrac{\pi}{3}$，$CD\parallel AB$。设点 $M$ 在线段 $OC$ 上，证明：直线 $QM\parallel$ 平面 $PBD$。

19.（14 分；第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分）

已知 $f(x)=x^2-(m+2)x+m\ln x$，$m\in\mathbf R$。

（1）若 $f(1)=0$，求不等式 $f(x)\le x^2-1$ 的解集；

（2）若函数 $y=f(x)$ 满足在 $(0,+\infty)$ 上存在极大值，求 $m$ 的取值范围。

20.（18 分；第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 8 分）

已知椭圆 $\Gamma:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{5}=1\ (a>\sqrt5)$，$M(0,m)\ (m>0)$，$A$ 是 $\Gamma$ 的右顶点。

（1）若 $\Gamma$ 的焦点是 $(2,0)$，求离心率 $e$；

（2）若 $a=4$，且 $\Gamma$ 上存在一点 $P$，满足 $\overrightarrow{PA}=2\overrightarrow{MP}$，求 $m$；

（3）若 $AM$ 的中垂线 $l$ 的斜率为 2，$l$ 与 $\Gamma$ 交于 $C$、$D$ 两点，$\angle CMD$ 为钝角，求 $a$ 的取值范围。

21.（18 分；第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 8 分）

已知函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $\mathbf R$。对于正实数 $a$，定义集合 $M_a=\{x\mid f(x+a)=f(x)\}$。

（1）若 $f(x)=\sin x$，判断 $\dfrac{\pi}{3}$ 是否是 $M_\pi$ 中的元素，并说明理由；

（2）若 $f(x)=\begin{cases}x+2, & x<0 \\ \sqrt x, & x\ge0\end{cases}$，$M_a\ne\varnothing$，求 $a$ 的取值范围；

（3）设 $y=f(x)$ 是偶函数，当 $x\in(0,1]$ 时，$f(x)=1-x$，且对任意 $a\in(0,2)$，均有 $M_a\subseteq M_2$。写出 $y=f(x)$，$x\in(1,2)$ 的解析式，并证明：对任意实数 $c$，函数 $y=f(x)-c$ 在 $[-3,3]$ 上至多有 9 个零点。