一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1—6 题每题 4 分，第 7—12 题每题 5 分）
1. 已知集合 $A = \{2,\ a+1\}$，且 $-1 \in A$，则 $a =$ ______．
2. 已知 $\{a_n\}$ 为等比数列，$a_1 = 2$，$a_2 = 6$，则 $a_4 =$ ______．
3. 已知 $\sin\alpha = \dfrac{1}{5}$，则 $\cos 2\alpha =$ ______．
4. 已知事件 $A$ 和事件 $B$ 互斥，$P(A) = 0.2$，$P(B) = 0.5$，则 $P(A \cup B) =$ ______．
5. 已知函数 $f(x)$ 是偶函数，当 $x \geq 0$ 时 $f(x) = \sqrt{x} - a$，若 $f(-4) = 3$，则 $a =$ ______．
6. 已知 $(x^2 + x)^5$，则其展开式中 $x^7$ 项的系数为 ______．
7. 已知 $a^2 + 4b^2 = 1$，则 $(ab)_{\max} =$ ______．
8. 已知随机变量 $X$ 的分布为$\left(\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 1 \\ a & 0.3 & b \end{array}\right)$且 $E[X] = 0.5$，则 $b =$ ______．
9. 已知等差数列 $\{a_n\}$ 中 $a_1 = 0$，公差为 $d$，其前 $n$ 项和 $S_n$ 在区间 $(0, 1)$ 内至少有两项，则公差 $d$ 的取值范围是 ______．
10. 已知 $\vec a,\ \vec b,\ \vec c$ 是两两不平行的向量，且 $\vec a + 3\vec b \parallel \vec b + \vec c$，$2\vec a + k\vec c \parallel \vec b + \vec c$，则 $k$ 的值为 ______．
11. 已知三角函数 $f(t) = A\sin(\omega t + \varphi) + B$（$A>0$，$B \in \mathbb{R}$，$\omega > 0$，$0 \leq \varphi < 2\pi$），若 $v = f(t)$，当 $v = 0$ 或 $v = 4$ 时其导数为 $0$，初始速度为 $0$，且速度第一次达到 $4$ 时用时为 $0.1$ 秒，则 $f(t) =$ ______．
12. 在 $\triangle ABC$ 中，$AB = 3$，$BC = \sqrt{14}$，$AC = 5$。已知点 $A,\ B,\ C$ 分别为某椭圆的上顶点、下顶点、右顶点，以及两个焦点中的三点，则该椭圆的离心率为 ______．
二、选择题（本大题共有 4 题，满分 18 分，第 13、14 题每题 4 分，第 15、16 题每题 5 分）
13. $a$ 为不为 $1$ 的任意实数，则 $a\sqrt[3]{a} = $ （ ）
A. $a^{\frac{3}{2}}$ B. $a^{\frac{4}{3}}$ C. $a^{\frac{5}{2}}$ D. $a^{\frac{5}{3}}$
14. 事件 $A$ 和事件 $B$ 相互独立，「$A$ 和 $B$ 至少一个发生」的对立事件是（ ）
A. $A \cap B$ B. $A \cup B$ C. $\bar{A} \cap \bar{B}$ D. $\bar{A} \cup \bar{B}$
15. 已知 $z,\ w$ 为复数，当 $z - w$ 为实数或 $z - \bar{w}$ 为实数时，称 $z$ 与 $w$ 互相伴随。则当 $z$ 与 $w$ 互相伴随时，$w - i$ 与 $z + i$ 互相伴随的充要条件是（ ）
A. $\mathrm{Re}\,z + \mathrm{Re}\,w = 0$ B. $\mathrm{Re}\,z - \mathrm{Re}\,w = 0$
C. $\mathrm{Im}\,z + \mathrm{Im}\,w = 0$ D. $\mathrm{Im}\,z - \mathrm{Im}\,w = 0$
16. 已知空间直角坐标系中有一正方体 $ABCD\text{-}A_1B_1C_1D_1$，其三组棱分别与 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴重合，顶点 $A$ 与坐标原点重合，点 $C$ 是正方体底面中与 $A$ 相对的对角顶点，点 $C_1$ 在 $C$ 的正上方。将正方体绕直线 $AC_1$ 旋转一周，试问点 $C$ 的运动轨迹会经过几个空间卦限？（ ）
A. $1$ B. $3$ C. $4$ D. $7$
三、解答题（本大题共有 5 题，满分 78 分）
17. 某工厂为进行环境保护和改善，对 $2023$ 年前九年间空气中颗粒物密度和二氧化硫密度进行了监测和记录，数据如下（单位：$\mu\mathrm{g}/\mathrm{m}^3$）：
| 年份 $x$ | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 | 2020 | 2021 | 2022 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 颗粒物密度 $y$ | 101.02 | 87.02 | 57.47 | 21.85 | 11.76 | 8.86 | 5.03 | 4.63 | 3.86 |
| 二氧化硫密度 | 119.47 | 81.94 | 53.20 | 9.16 | 6.60 | 4.40 | 3.31 | 3.35 | 3.86 |
（1）为进一步研究，从这 $9$ 年间随机抽取一年，该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率是多少？
（2）为研究颗粒物密度与二氧化硫密度的相关性，该工厂应选取茎叶图、扇形图、散点图中的哪一种进行分析，并请你判断相关系数在 $(-1, 0)$、$(0, 1)$、$(1, 2)$ 哪个区间内？（直接写结论）
（3）$2023$ 年前 $9$ 年的年份 $x$ 的平均数为 $2018$，颗粒物密度 $y$ 关于年份 $x$ 的回归方程拟采用
$$y = 106.544\,\mathrm{e}^{-0.461(x-2014)} \quad \text{或} \quad y = a(x - 2014) + 83.743$$已知 $2023$ 年实际颗粒物密度为 $3.88$，则哪个回归方程对于 $2023$ 年的预测值与实际值的差值绝对值更小？
18. 已知四棱锥 $P\text{-}ABCD$，底面 $ABCD$ 为矩形，$PH \perp$ 底面 $ABCD$，垂足 $H$ 在边 $AD$ 上，且 $AH = 1$，$HD = 4$，$AB = 2$。
（1）求证：$HC \perp PB$；
（2）若四棱锥的体积为 $\dfrac{10\sqrt{5}}{3}$，求二面角 $C\text{-}PB\text{-}H$ 的大小。
19. 已知 $a \in \mathbb{R}$，函数 $f(x) = x^2 + ax + 3$，$g(x) = 4x + \dfrac{1}{x^2}$。
（1）已知 $f(1) = 4$，求 $f(x) + \dfrac{1}{x^2} > g(x)$ 的解集；
（2）已知 $a \neq 0$，$l_1$ 是 $f(x)$ 在点 $(0, 3)$ 处的切线，$l_2$ 是过点 $(0,3)$ 且垂直于 $l_1$ 的直线，$g(x)$ 与 $l_1$、$l_2$ 在第一象限内均无公共点，求 $a$ 的取值范围。
20. 已知双曲线 $\Gamma:\ x^2 - y^2 = 1$，$F_1$、$F_2$ 分别为双曲线的左、右焦点。
（1）求点 $(2, 0)$ 到 $\Gamma$ 的渐近线的距离；
（2）点 $P$ 在 $\Gamma$ 上，若 $\vec{PF_1} \cdot \vec{PF_2} = 1$，求 $\triangle PF_1F_2$ 的面积；
（3）记 $\Omega$ 为双曲线 $x^2 - y^2 = 1$ 中满足 $\begin{cases} x < 0 \\ y \leq -1 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} x > 0 \\ y \geq -1 \end{cases}$ 的部分；直线 $l$、$m$ 均过右焦点 $F_2$，$l$ 与 $\Omega$ 交于 $P$、$Q$ 两点（分别在第一、第四象限），$m$ 与 $\Omega$ 交于 $M$、$N$ 两点（分别在第三、四象限）。问：是否存在常数 $\lambda$，使得对任意直线 $l$，都存在唯一对应的直线 $m$ 满足 $|MN| = \lambda |PQ|$？若存在，求出 $\lambda$ 的取值范围；若不存在，请说明理由。
21. $(i, j, k)$ 是 $1, 2, 3$ 的一个排列。对函数 $f_1(x)$、$f_2(x)$、$f_3(x)$，若对任意 $x \in I$，都有
$$f_1(x) \leq f_i(x) \quad \text{且} \quad f_1(x) + f_2(x) \leq f_i(x) + f_j(x)$$则称 $(i, j, k)$ 是关于 $f_1(x)$、$f_2(x)$、$f_3(x)$ 的一个 $I$ 排列。关于 $f_1, f_2, f_3$ 的 $I$ 排列总数记为 $n_I$。
（1）对 $I = [3, +\infty)$，$f_1(x) = x$，$f_2(x) = 0$，$f_3(x) = x^2 + 1$，判断 $(3, 1, 2)$ 是否为 $I$ 排列；
（2）对 $I = (0, +\infty)$，$f_1(x) = x - 1$，$f_2(x) = x + m$，$f_3(x) = x^2$，满足条件的 $n_I = 6$，求 $m$ 的取值范围；
（3）对 $x \in [0, +\infty)$，且对任意 $x \in [0, +\infty)$ 都有 $0 < F(x) < 1$。令
$$f_1(x) = F(x), \qquad f_2(x) = \frac{1}{2}\bigl[F(x + a) + F(x - a)\bigr], \qquad f_3(x) = 1 - \mathrm{e}^{-x}$$证明：若 $F(x)$ 严格减，则存在 $a > 0$，使 $n_I \geq 4$；若 $F(x)$ 严格增，则存在 $a \in (0,1)$，使 $n_I \neq 2$。（其中 $I = [a, +\infty)$）