1.1 加法原理（分类计数原理）

• 内容：完成一件事有 $n$ 类不同方案，在第 $1$ 类方案中有 $m_1$ 种不同方法，在第 $2$ 类方案中有 $m_2$ 种不同方法，……，在第 $n$ 类方案中有 $m_n$ 种不同方法，那么完成这件事共有：

  $$ N = m_1 + m_2 + \cdots + m_n $$

  种不同方法。

• 核心特征：分类完成。各类方法之间相互独立，任意一类中的任意一种方法都可以独立完成这件事。

• 注意：分类时要不重不漏，即各类之间没有交集，且并集为全集。

1.2 乘法原理（分步计数原理）

• 内容：完成一件事需要 $n$ 个不同步骤，做第 $1$ 步有 $m_1$ 种不同方法，做第 $2$ 步有 $m_2$ 种不同方法，……，做第 $n$ 步有 $m_n$ 种不同方法，那么完成这件事共有：

  $$ N = m_1 \times m_2 \times \cdots \times m_n $$

  种不同方法。

• 核心特征：分步完成。各个步骤之间相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成。

• 注意：分步时要保证各步之间相互独立，即某一步的方法数不受前一步选择的影响。

2 排列

• 定义：从 $n$ 个不同元素中取出 $m$（$m \leq n$）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的一个排列。

• 排列数：从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的所有不同排列的个数，记作 $A_n^m$（或 $P_n^m$，沪教版常用 $P_n^m$）。

  $$ A_n^m = P_n^m = n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1) = \frac{n!}{(n-m)!} $$

• 全排列：$n$ 个不同元素全部取出的排列，$A_n^n = P_n^n = n!$

• 规定：$0! = 1$

• 注意：排列与顺序有关。$A_n^m$（$P_n^m$）的推导依据乘法原理——依次选 $m$ 个位置。

3 组合

• 定义：从 $n$ 个不同元素中取出 $m$（$m \leq n$）个元素并成一组，叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的一个组合。

• 组合数：从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的所有不同组合的个数，记作 $C_n^m$（或 $\binom{n}{m}$）。

  $$ C_n^m = \frac{A_n^m}{A_m^m} = \frac{P_n^m}{P_m^m} = \frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1)}{m!} = \frac{n!}{m!(n-m)!} $$

• 注意：组合与顺序无关。

• 组合数的性质：

  • $C_n^m = C_n^{n-m}$（对称性）
  • $C_n^m = C_{n-1}^m + C_{n-1}^{m-1}$（帕斯卡恒等式）
  • $C_n^0 + C_n^1 + \cdots + C_n^n = 2^n$

4 排列组合的运用

（以下各小节的公式中，排列数统一标注为 $A_n^m$（$P_n^m$），表示两者通用，沪教版优先使用 $P_n^m$。）

4.1 捆绑法

• 适用场景：解决相邻问题（若干元素必须排在一起）。
• 操作方法：将必须相邻的元素捆绑成一个整体（视作一个"大元素"），先与其他元素一起排列，再考虑捆绑内部元素的顺序。
• 注意：捆绑后内部元素之间也要排列。

4.2 插空法

• 适用场景：解决不相邻问题（若干元素不能排在一起）。
• 操作方法：先排其他元素（无限制条件），形成若干空位（含两端），再将不相邻的元素插入这些空位中。
• 注意：若不相邻元素之间有区别，则插入后还需排列。

4.3 特殊位置法

• 适用场景：某些元素或位置有特殊限制（如某人不能站在某位置）。
• 操作方法：优先处理有特殊限制的元素或位置，先安排这些"特殊"对象，再安排其余普通对象。

4.4 隔板法

• 适用场景：解决相同元素的分配问题（如将 $n$ 个相同小球放入 $k$ 个不同盒子，每个盒子至少一个）。
• 操作方法：将 $n$ 个相同元素排成一排，在它们之间的 $n-1$ 个空隙中插入 $k-1$ 个隔板，分成 $k$ 组。方法数为 $C_{n-1}^{k-1}$。
• 推广：若允许有空盒，则先借 $k$ 个元素（转化为每个盒子至少一个），方法数为 $C_{n+k-1}^{k-1}$。

4.5 排除法（间接法）

• 适用场景：从总体中排除不合条件的方案，即"正难则反"。
• 操作方法：先计算总的方法数，再减去不符合条件的方法数。
• 常用情形：“至多"“至少"类问题，或正面分类较多时。

4.6 分组分配法

• 适用场景：将若干元素分成若干组，再分配到不同对象（如将 $n$ 个不同元素分到 $k$ 个不同盒子中）。

• 核心思路：先分组（组合），再分配（排列）。分组与分配是两个不同的阶段。

• 类型一：均匀分组（组间无区别）

  • 将 $mn$ 个不同元素平均分成 $m$ 组，每组 $n$ 个。
  • 方法数：$\dfrac{C_{mn}^n \cdot C_{(m-1)n}^n \cdots C_n^n}{m!}$
  • 除以 $m!$ 的原因：组与组之间无区别，先分出的 $A$ 组与后分出的 $B$ 组调换顺序是同一分法。

• 类型二：非均匀分组（组间无区别）

  • 将 $n$ 个不同元素分成元素个数互不相同的 $m$ 组。
  • 方法数：$C_n^{n_1} \cdot C_{n-n_1}^{n_2} \cdots$（无需除以阶乘，因为各组元素个数不同，已天然区别）

• 类型三：部分均匀分组（组间无区别）

  • 如有若干组元素个数相同，则只需对均匀的组数除以阶乘。
  • 例：将 $6$ 个不同元素分成 $2$ 个、$2$ 个、$1$ 个、$1$ 个四组，方法数为 $\dfrac{C_6^2 \cdot C_4^2 \cdot C_2^1 \cdot C_1^1}{2! \cdot 2!}$。

• 类型四：分配问题（组间有区别）

  • 先按上述分组方法分组（无论是否均匀），再乘以组数的全排列。
  • 例：将 $5$ 个不同元素分给甲、乙、丙三人，甲得 $2$ 个、乙得 $2$ 个、丙得 $1$ 个：方法数为 $C_5^2 \cdot C_3^2 \cdot C_1^1$（因为对象已指定，无需再乘排列）。

• 注意：分组分配法最容易出错的地方在于是否除以阶乘，关键判断在于——组与组之间是否有区别。若分组后还需分配给有区别的对象，则先按无区别分组，再乘以 $m!$ 分配。

4.7 定序法

• 适用场景：解决部分元素顺序固定的问题（如 $m$ 个元素中有几个元素必须按某一特定顺序出现，但不要求相邻）。

• 操作方法一（除法） ：先不考虑定序条件，进行全排列，再除以定序元素的排列数。

  • 若有 $n$ 个元素，其中 $m$ 个元素的顺序固定，则排列数为 $\dfrac{A_n^n}{A_m^m} = \dfrac{P_n^n}{P_m^m} = \dfrac{n!}{m!}$。

• 操作方法二（组合法） ：先从 $n$ 个位置中选 $m$ 个位置给定序元素（位置选好后顺序自然确定），其余元素任意排列。

  • 方法数为 $C_n^m \cdot A_{n-m}^{n-m}$（即 $C_n^m \cdot P_{n-m}^{n-m}$）。

• 特例：若定序元素完全相同（即 $n$ 个元素中有 $m$ 个相同元素），则方法数为 $\dfrac{n!}{m!}$（即重复排列问题）。

• 常见题型：如”$A, B, C$ 三人中，$A$ 必须在 $B$ 前面（不要求相邻）"。

5 二项式定理

• 定理：

  $$ (a + bx)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k a^{n-k} (bx)^k = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1}(bx) + \cdots + C_n^k a^{n-k} b^k x^k + \cdots + C_n^n b^n x^n $$

  其中 $n \in \mathbb{N}^*$。

• 通项公式：第 $k+1$ 项（$k = 0, 1, \cdots, n$）：

  $$ T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k x^k $$

• 二项式系数：$C_n^k$（$k = 0, 1, \cdots, n$）叫做二项式系数。

• 项的系数：指的是展开后每一项的数字因数（包括常数和字母前的倍数），即 $C_n^k a^{n-k} b^k$（若为 $(a+bx)^n$，则 $x^k$ 的系数为 $C_n^k a^{n-k} b^k$，注意 $b$ 可能贡献常数倍数）。

• 注意区分：

  • 二项式系数：$C_n^k$，与 $a, b$ 无关；
  • 项的系数：$C_n^k a^{n-k} b^k$，含 $a, b$ 的幂次。

• 二项式系数的性质：

  • 对称性：$C_n^k = C_n^{n-k}$
  • 单调性：先增后减，当 $n$ 为偶数时，$C_n^{\frac{n}{2}}$ 最大；当 $n$ 为奇数时，$C_n^{\frac{n-1}{2}} = C_n^{\frac{n+1}{2}}$ 最大（且同时最大）
  • 各二项式系数之和：$C_n^0 + C_n^1 + \cdots + C_n^n = 2^n$
  • 奇数项二项式系数和 = 偶数项二项式系数和：$C_n^0 + C_n^2 + C_n^4 + \cdots = C_n^1 + C_n^3 + C_n^5 + \cdots = 2^{n-1}$

5.1 赋值法求系数相关问题

• 核心思想：二项展开式中，各项系数之和或特定项的系数可通过给 $x$ 赋特殊值来求解，而不必将每一项展开。

设

其中 $a_k$ 为 $x^k$ 项的系数（$k = 0, 1, \cdots, n$），则 $a_k = C_n^k a^{n-k} b^k$。

• 令 $x = 1$，得所有项系数之和：

  $$ a_0 + a_1 + a_2 + \cdots + a_n = (a + b)^n $$

• 令 $x = -1$，得各项系数交替和：

  $$ a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \cdots + (-1)^n a_n = (a - b)^n $$

• 令 $x = 0$，得常数项：

  $$ a_0 = a^n $$

• 奇次项系数之和：

  $$ a_1 + a_3 + a_5 + \cdots = \frac{(a+b)^n - (a-b)^n}{2} $$

• 偶次项系数之和：

  $$ a_0 + a_2 + a_4 + \cdots = \frac{(a+b)^n + (a-b)^n}{2} $$

• 所有项系数绝对值之和： 将 $(a + bx)^n$ 中每一项系数取绝对值，等价于将 $b$ 替换为 $|b|$ 后的系数之和，即：

  $$ |a_0| + |a_1| + |a_2| + \cdots + |a_n| = (|a| + |b|)^n $$

  特别地，若 $(a + bx)^n$ 中 $a$ 和 $b$ 均为正数，则所有项系数之和与系数绝对值之和相等，均为 $(a+b)^n$。

• 求特定 $x^m$ 项的系数：利用通项公式 $T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k x^k$，令 $k = m$，得 $a_m = C_n^m a^{n-m} b^m$。

• 多个二项式乘积的系数求法：通常通过组合搭配，寻找产生 $x^m$ 的所有可能组合，再分别计算系数后相加。

1.1 相关关系

相关关系：两个变量之间不 exactly 确定，但存在某种相互依赖的数量关系，称为相关关系。与之对应的是函数关系（确定性的依赖关系）。

相关关系的分类：

按变动方向分：

• 正相关：一个变量增大时，另一个变量也倾向于增大；
• 负相关：一个变量增大时，另一个变量倾向于减小。

按形态特征分：

• 线性相关：散点大致分布在一条直线附近；
• 非线性相关：散点分布在一条曲线附近。

按相关程度分：

• 完全相关（|r|=1）：所有点都在直线上（退化为函数关系）；
• 强相关（|r|接近1）：散点紧密围绕直线；
• 弱相关（|r|接近0）：散点分散，线性关系微弱；
• 不相关（r=0）：无线性关系（但可能存在非线性关系）。

1.2 散点图

散点图：在平面直角坐标系中，将成对数据 $(x_i,y_i)$ 描点得到的图形。通过散点图可以直观判断：

• 两个变量之间是否存在相关关系；
• 是正相关还是负相关；
• 是线性相关还是非线性相关；
• 相关程度的强弱（散点弥散程度）。

1.3 线性回归方程

对于一组样本数据 $(x_1,y_1),(x_2,y_2),\ldots,(x_n,y_n)$，若散点图呈线性相关趋势，可以用一条直线 $\hat{y}=a+bx$ 来近似描述 $y$ 与 $x$ 的关系，称为线性回归方程（或经验回归方程）。

1.4 最小二乘法

核心思想：使各样本点到回归直线的垂直距离的平方和（即残差平方和）最小。

残差：$\hat{e}_i=y_i-\hat{y}_i=y_i-(a+bx_i)$，表示第 $i$ 个观测值与回归估计值的偏差。

目标函数：

求 $a,b$ 使 $Q(a,b)$ 取最小值——最小二乘法（“二乘”即平方）。

求解过程：分别对 $a,b$ 求偏导并令其为零。

对 $a$ 求偏导：

对 $b$ 求偏导：

由 (1)(2) 联立解得：

其中 $\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$，$\bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_i$。

回归直线的性质：

• 回归直线一定经过样本中心点 $(\bar{x},\bar{y})$；
• $\hat{y}$ 是 $y$ 的估计值（预测值），不等于实际值；
• $b$ 的含义：$x$ 每增加 1 个单位，$y$ 平均增加 $b$ 个单位（$b>0$ 正相关，$b<0$ 负相关）。

1.5 相关系数

相关系数 $r$ 用于定量刻画两个变量线性相关关系的强弱和方向：

相关系数的性质：

• $-1 \le r \le 1$；
• $r>0$：正相关；$r<0$：负相关；
• $|r|$ 越接近 1，线性相关程度越强；
• $|r|$ 越接近 0，线性相关程度越弱；
• $r=\pm 1$：完全线性相关（所有点严格在一条直线上）。

注意：$|r|$ 小只能说明线性相关性弱，两变量间仍可能存在强非线性关系。

1.6 决定系数 $R^2$

$R^2$ 越接近 1，说明回归模型拟合效果越好。

2 2×2 列联表

2.1 列联表的定义

列联表：按两个分类变量的不同取值进行交叉分类，统计频数形成的表格。当两个变量各有 2 个类别时，称为 2×2 列联表（四格表）。

2.2 2×2 列联表的标准形式

设两个分类变量 $X$ 和 $Y$，其取值均为 0 或 1：

• $a$：$X=0$ 且 $Y=0$ 的频数；
• $b$：$X=0$ 且 $Y=1$ 的频数；
• $c$：$X=1$ 且 $Y=0$ 的频数；
• $d$：$X=1$ 且 $Y=1$ 的频数。

行合计：$a+b$（$X=0$ 的总数），$c+d$（$X=1$ 的总数）； 列合计：$a+c$（$Y=0$ 的总数），$b+d$（$Y=1$ 的总数）； 总计：$n=a+b+c+d$。

2.3 独立性检验

核心问题：两个分类变量 $X$ 与 $Y$ 是否相互独立？

独立性假设（原假设 $H_0$）：$X$ 与 $Y$ 相互独立。

若 $X$ 与 $Y$ 独立，则应有：

用频数估计概率，在 $H_0$ 成立的条件下，理论频数应为：

同理：

2.4 卡方统计量（$\chi^2$）

构造原理：比较实际频数与理论频数的偏差。

对于 2×2 列联表，化简为：

检验步骤：

第一步：提出假设 $H_0$：$X$ 与 $Y$ 相互独立；$H_1$：$X$ 与 $Y$ 不独立（有关联）；

第二步：计算 $\chi^2$ 的值；

第三步：与临界值比较（查 $\chi^2$ 分布表），作出判断。

常用临界值：

• 显著性水平 $\alpha=0.10$ 时，临界值为 $2.706$；
• 显著性水平 $\alpha=0.05$ 时，临界值为 $3.841$；
• 显著性水平 $\alpha=0.01$ 时，临界值为 $6.635$。

决策规则：

• 若 $\chi^2 \ge 6.635$：在 $0.01$ 水平下拒绝 $H_0$，有 $99\%$ 的把握认为两变量有关联；
• 若 $\chi^2 \ge 3.841$：在 $0.05$ 水平下拒绝 $H_0$，有 $95\%$ 的把握认为两变量有关联；
• 若 $\chi^2 < 3.841$：没有充分证据拒绝 $H_0$，认为两变量独立。

2.5 列联表与独立性检验示例

调查某校学生是否喜欢数学与性别是否有关系，得到如下数据：

• 男生喜欢数学 40 人，不喜欢 20 人，共 60 人；
• 女生喜欢数学 30 人，不喜欢 40 人，共 70 人；
• 合计喜欢数学 70 人，不喜欢数学 60 人，总计 130 人。

这里 $a=40$（男生且喜欢），$b=20$（男生且不喜欢），$c=30$（女生且喜欢），$d=40$（女生且不喜欢）。

计算 $\chi^2$：

因为 $7.37>6.635$，有 $99\%$ 的把握认为性别与是否喜欢数学有关联。

2.6 风险评估指标（拓展）

在 2×2 列联表中，还常用以下指标衡量关联强度：

相对风险（RR）：

RR > 1 表示 $X=1$ 条件下 $Y$ 发生风险更高。

优势比（OR）：

OR 是病例对照研究中常用的关联强度指标，OR = 1 表示两变量独立。

附：线性回归与列联表的联系与区别

变量类型不同：

• 一元线性回归处理的是两个数值型变量；
• 2×2 列联表处理的是两个分类变量。

研究问题不同：

• 线性回归研究数值 $y$ 如何随 $x$ 线性变化；
• 列联表研究两个分类变量是否有关联。

核心指标不同：

• 线性回归的核心指标是斜率 $b$、相关系数 $r$、决定系数 $R^2$；
• 列联表的核心指标是 $\chi^2$ 统计量和 $p$ 值。

判定标准不同：

• 线性回归中 $|r|$ 接近 1 则线性相关强；
• 列联表中 $\chi^2$ 超过临界值则拒绝独立假设。

预测功能不同：

• 线性回归可由 $x$ 预测 $\hat{y}$；
• 列联表只能判断关联性，不能进行数值预测。

随机现象：在一定条件下，可能发生也可能不发生，具有不确定性的现象。与之对应的是确定性现象（必然发生或必然不发生）。

随机试验：对随机现象的实现和观察称为随机试验，简称试验，常用字母 $E$ 表示。随机试验有三个特点：

1. 试验可在相同条件下重复进行；
2. 所有可能结果是明确可知的，且不止一个；
3. 每次试验恰好出现这些结果中的一个，但事先不能确定是哪一个。

样本空间与样本点：

• 样本点：随机试验的每个可能的基本结果，用 $\omega$ 表示。
• 样本空间：全体样本点的集合，用 $\Omega$ 表示。
• 有限样本空间：若试验有 $n$ 个可能结果 $\omega_1,\omega_2,\ldots,\omega_n$，则称 $\Omega=\{\omega_1,\omega_2,\ldots,\omega_n\}$ 为有限样本空间。

随机事件：样本空间的子集称为随机事件，简称事件。只含一个样本点的事件称为基本事件。必然事件是样本空间 $\Omega$ 本身，不可能事件是空集 $\varnothing$。

【例】 同时掷两颗骰子，观察点数和。样本空间为 $\Omega=\{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}$。

2 古典概型

古典概型的两个特征：

1. 有限性：样本空间的样本点只有有限个；
2. 等可能性：每个样本点发生的可能性相等。

古典概型概率公式：设试验 $E$ 是古典概型，样本空间 $\Omega$ 包含 $n$ 个样本点，事件 $A$ 包含其中 $k$ 个样本点，则：

【例】 掷一枚均匀骰子，事件 $A$ 为“出现偶数点”，则 $P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。

3 频率与概率

频率：在 $n$ 次重复试验中，事件 $A$ 发生的次数 $n_A$ 称为频数，比值 $f_n(A)=\frac{n_A}{n}$ 称为事件 $A$ 发生的频率。

频率的稳定性：大量重复试验中，事件 $A$ 的频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是事件 $A$ 的概率 $P(A)$。试验次数越多，频率与概率差距很小的可能性越大。

频率与概率的关系：

• 频率是随机的，试验前不能确定；
• 概率是一个确定的数，客观存在；
• 概率是频率的理论期望值，频率是概率的近似估计。

【注意】 不能将频率等同于概率，只能用频率估计概率。

4 随机事件的独立性

独立性的定义：对于事件 $A$ 与 $B$，若

则称 $A$ 与 $B$ 相互独立（简称独立）。

直观理解：事件 $A$ 是否发生不影响事件 $B$ 发生的概率，反之亦然。

独立性的性质：

• 若 $A$ 与 $B$ 独立，则 $A$ 与 $\overline{B}$、$\overline{A}$ 与 $B$、$\overline{A}$ 与 $\overline{B}$ 也相互独立；
• 必然事件 $\Omega$、不可能事件 $\varnothing$ 与任意事件相互独立。

【辨析】 互斥事件与独立事件是不同的概念：

• 互斥：两事件不能同时发生（$P(A\cap B)=0$），如 $A$ 与 $\overline{A}$；
• 独立：一事件发生与否不影响另一事件的概率。

5 条件概率

定义：在事件 $A$ 发生的条件下，事件 $B$ 发生的概率，记作 $P(B|A)$。

计算公式：

• 适用于古典概型：$\displaystyle P(B|A)=\frac{n(A \cap B)}{n(A)}$（缩小样本空间法）
• 一般公式：$\displaystyle P(B|A)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}$，其中 $P(A)>0$

概率乘法公式：

【注】 若 $A$ 与 $B$ 独立，则 $P(B|A)=P(B)$，乘法公式退化为 $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$。

6 全概率公式

全概率公式：设 $A_1,A_2,\ldots,A_n$ 是一组两两互斥的事件，且 $A_1\cup A_2\cup\ldots\cup A_n=\Omega$，$P(A_i)>0$，则对任意事件 $B\subseteq\Omega$：

理解：将样本空间 $\Omega$ 划分为若干互斥部分 $A_i$（“原因”），$B$ 发生的概率等于在各“原因”下发生 $B$ 的概率的加权和。

【例】 某工厂有甲、乙、丙三条生产线，产量分别占 $30\%$、$30\%$、$40\%$，次品率分别为 $1\%$、$2\%$、$3\%$。任取一件产品，求其为次品的概率。

设 $A_1,A_2,A_3$ 分别表示产品来自甲、乙、丙，$B$ 表示“次品”，则：

7 贝叶斯公式

先验信息与后验信息：在获得新的观测数据之前，我们对“原因” $A_i$ 已有的认知称为先验概率 $P(A_i)$；观察到结果 $B$ 发生后，我们对 $A_i$ 的认知得到更新，称为后验概率 $P(A_i|B)$。

贝叶斯公式的逻辑推理：

由条件概率定义，对于事件 $A_i$ 与 $B$，有：

再由乘法公式 $P(A_i\cap B)=P(A_i)\cdot P(B|A_i)$，代入得：

而全概率公式给出 $P(B)=\displaystyle\sum_{j=1}^{n}P(A_j)\cdot P(B|A_j)$，因此得到贝叶斯公式：

公式的含义：贝叶斯公式本质上是条件概率定义 + 乘法公式 + 全概率公式的联立结果。它实现了从“由因推果”（$P(B|A_i)$）到“由果溯因”（$P(A_i|B)$）的逆向推理。

【例】 某种疾病在人群中发病率 $5\%$。检测方法：患者检测呈阳性概率 $90\%$，非患者检测呈阳性概率 $5\%$。若某人检测呈阳性，求其真正患病的概率。

设 $A=$“患病”，$B=$“检测阳性”。$P(A)=0.05$，$P(B|A)=0.9$，$P(B|\overline{A})=0.05$。

8 随机变量的分布与特征

8.1 分布列

随机变量：以样本空间 $\Omega$ 为定义域的函数 $X$，对每个样本点 $\omega$ 赋予一个实数 $X(\omega)$。随机变量用大写字母 $X,Y$ 等表示。

离散型随机变量：所有可能取值能一一列举出来的随机变量。

分布列：离散型随机变量 $X$ 所有可能取值 $x_1,x_2,\ldots,x_n$ 及相应概率 $p_1,p_2,\ldots,p_n$ 列成表格：

分布列的性质：

1. $p_i \ge 0$（$i=1,2,\ldots,n$）；
2. $p_1+p_2+\ldots+p_n=1$。

【例】 抛两枚硬币，$X$ 表示正面朝上的次数。样本空间 $\Omega=\{HH,HT,TH,TT\}$，分布列为：

8.2 期望与方差

数学期望（均值）：反映随机变量取值的平均水平。

方差：反映随机变量取值相对于均值的离散程度。

标准差：$\sigma(X)=\sqrt{D(X)}$

方差的拓展公式（计算常用）：

证明：

期望的性质（$a,b$ 为常数）：

1. $E(aX+b)=aE(X)+b$（线性性质）
2. $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$（可加性）
3. 若 $X$ 与 $Y$ 独立，则 $E(XY)=E(X)E(Y)$

方差的性质（$a,b$ 为常数）：

1. $D(aX+b)=a^2D(X)$（平移不变性：$b$ 不影响方差，缩放按平方变化）
2. $D(X)=0 \iff P(X=E(X))=1$（方差为零当且仅当 $X$ 恒为常数）
3. 若 $X$ 与 $Y$ 独立，则 $D(X+Y)=D(X)+D(Y)$

8.3 二项分布

伯努利试验：只有两种结果（成功/失败）的试验。

$n$ 重伯努利试验：独立重复 $n$ 次伯努利试验。

二项分布：若 $X$ 表示 $n$ 重伯努利试验中成功的次数，每次成功概率为 $p$，则：

记作 $X\sim B(n,p)$。

期望与方差：$E(X)=np$，$D(X)=np(1-p)$。

推导要点：二项分布可视为 $n$ 个独立同分布的 $0$-$1$ 变量之和（每个变量取 $1$ 表示成功），利用期望与方差的可加性即可得到。

8.4 超几何分布

超几何分布：从 $N$ 件产品（含 $M$ 件次品）中不放回抽取 $n$ 件，用 $X$ 表示抽到的次品数：

其中 $k$ 满足：$0\le k\le M$ 且 $0\le n-k\le N-M$。

期望与方差：

其中 $\frac{N-n}{N-1}$ 称为有限总体校正系数。当 $N$ 很大时，校正系数 $\approx 1$，超几何分布近似为二项分布 $B\left(n,\frac{M}{N}\right)$。

8.5 正态分布

正态分布：连续型随机变量最重要的一种分布，概率密度函数为：

记作 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$，其中 $\mu$ 为均值，$\sigma$ 为标准差。

标准正态分布：$\mu=0$，$\sigma=1$，记作 $Z\sim N(0,1)$。

标准正态分布表的使用：若 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$，则 $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)$，通过标准化将一般正态分布转化为标准正态分布查表。

$3\sigma$ 原则：

• $P(\mu-\sigma \le X \le \mu+\sigma) \approx 0.6826$
• $P(\mu-2\sigma \le X \le \mu+2\sigma) \approx 0.9544$
• $P(\mu-3\sigma \le X \le \mu+3\sigma) \approx 0.9974$

$3\sigma$ 原则的含义：正态分布的取值几乎全部（$99.74\%$）落在 $[\mu-3\sigma,\mu+3\sigma]$ 范围内，超出这个范围的概率仅有约 $0.26\%$，在统计中可视为小概率事件。这一原则常用于质量控制（过程是否失控）和异常值检测。

1.1 平均变化率

• 定义：函数 $y = f(x)$ 在区间 $[x_0, x_0 + h]$ 上的平均变化率为：

  $$ \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} $$

  它表示函数值在区间内变化的快慢程度。

• 几何意义：平均变化率表示割线的斜率。

1.2 瞬时变化率

• 定义：函数 $y = f(x)$ 在 $x = x_0$ 处的瞬时变化率，即导数的定义：

  $$ f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} $$

  若该极限存在，则称函数 $y = f(x)$ 在 $x = x_0$ 处可导。

• 导函数：把 $x_0$ 换成 $x$，得到导函数 $f'(x)$，简称导数。

1.3 几何意义

• 导数 $f'(x_0)$ 表示曲线 $y = f(x)$ 在点 $(x_0, f(x_0))$ 处切线的斜率。
• 切线方程：曲线在点 $(x_0, f(x_0))$ 处的切线方程为： $$ y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0) $$

2 导数的运算

2.1 基本初等函数求导

• 常数函数：$(C)' = 0$（$C$ 为常数）
• 幂函数：$(x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha - 1}$（$\alpha$ 为常数）
• 指数函数：$(e^x)' = e^x$
• 对数函数：$(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$
• 正弦函数：$(\sin x)' = \cos x$
• 余弦函数：$(\cos x)' = -\sin x$

2.2 导数的四则运算

设 $u(x)$、$v(x)$ 可导：

• 加法：$(u \pm v)' = u' \pm v'$
• 乘法：$(uv)' = u'v + uv'$
• 数乘：$(Cu)' = Cu'$（$C$ 为常数）
• 除法：$\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$（$v \neq 0$）

2.3 复合函数求导

• 法则（链式法则） ：设 $y = f(u)$，$u = g(x)$，则复合函数 $y = f(g(x))$ 的导数为：

  $$ [f(g(x))]' = f'(u) \cdot g'(x) $$

  即 外层求导 × 内层求导。

• 形式：$(ax + b)^n$ 型复合函数：$[(ax + b)^n]' = n(ax + b)^{n-1} \cdot a$。

3 导数求解函数单调性

3.1 核心定理

设函数 $y = f(x)$ 在区间 $I$ 上可导：

• 若 $f'(x) > 0$，则 $f(x)$ 在区间 $I$ 上严格递增；
• 若 $f'(x) < 0$，则 $f(x)$ 在区间 $I$ 上严格递减；
• 若 $f'(x) = 0$，则 $f(x)$ 在区间 $I$ 上为常数函数。

注：若 $f'(x) \geq 0$（且等号只在有限个点成立），函数仍为严格递增。

3.2 求单调区间的步骤

1. 确定定义域——这是前提，单调区间必须是定义域的子集；
2. 求导数 $f'(x)$；
3. 解方程 $f'(x) = 0$，找到驻点；
4. 划分区间——用驻点和导数不存在的点（以及无定义的点）将定义域分成若干区间；
5. 判断符号——在各区间内判断 $f'(x)$ 的正负，从而确定单调性。

3.3 驻点与分界点

• 驻点：使 $f'(x) = 0$ 的点。
• 注意：驻点不一定是单调区间的分界点。例如 $f(x) = x^3$，$f'(0) = 0$，但函数在 $\mathbb{R}$ 上严格递增，$0$ 不是分界点。
• 无定义点也可能成为单调区间的分界点，如 $f(x) = \dfrac{1}{x}$，$x = 0$ 处无定义。

3.4 由单调性求参数范围

若函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上单调递增，则 $f'(x) \geq 0$ 在 $I$ 上恒成立（等号不构成区间）；单调递减则 $f'(x) \leq 0$ 恒成立。

3.5 导数与函数变化速度

• 导数的绝对值越大，函数图像越"陡峭"，函数值变化速度越快。
• $f'(x_0) > 0$ 时，$f'(x_0)$ 越大，递增越快；$f'(x_0) < 0$ 时，$f'(x_0)$ 越小，递减越快。

1.1 定义

• 定义：形如 $z = a + bi$（$a, b \in \mathbb{R}$）的数叫做复数，其中 $i$ 为虚数单位，满足 $i^2 = -1$。$a$ 叫做复数 $z$ 的实部，记作 $\operatorname{Re} z$；$b$ 叫做复数 $z$ 的虚部，记作 $\operatorname{Im} z$。
• 复数相等：$a + bi = c + di \iff a = c$ 且 $b = d$（两个复数相等当且仅当实部与虚部分别相等）。
• 共轭复数：若 $z = a + bi$，则其共轭复数记为 $\bar{z} = a - bi$。共轭复数的实部相同，虚部互为相反数。

1.2 分类

• 实数：$b = 0$ 时，$z = a$ 为实数；
• 虚数：$b \neq 0$ 时，$z$ 为虚数；
• 纯虚数：$a = 0$ 且 $b \neq 0$ 时，$z = bi$ 为纯虚数。
• 注意：$0$ 是实数，也是唯一的既是实数又是纯虚数的数。

2 复数的运算

设 $z_1 = a + bi$，$z_2 = c + di$（$a, b, c, d \in \mathbb{R}$）：

2.1 复数加减

• 加法：$z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i$
• 减法：$z_1 - z_2 = (a - c) + (b - d)i$
• 运算律：交换律、结合律。

2.2 复数的模长

• 定义：$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$，表示复平面上点 $z$ 到原点的距离。

2.3 复数相乘

• 公式：$z_1 \cdot z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i$
• 运算律：交换律、结合律、分配律。
• 性质：$i^2 = -1$，$i^3 = -i$，$i^4 = 1$，周期为 4。
• 共轭复数相乘：$z \cdot \bar{z} = (a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2 = |z|^2$（共轭复数相乘等于模长的平方）。

2.4 复数相除

• 公式：$\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \dfrac{ac + bd}{c^2 + d^2} + \dfrac{bc - ad}{c^2 + d^2}i$（$z_2 \neq 0$）
• 方法：分母实数化，分子分母同乘分母的共轭复数。

2.5 复数模长与乘除

• 模长与乘法：$|z_1 z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$
• 模长与除法：$\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right| = \dfrac{|z_1|}{|z_2|}$（$z_2 \neq 0$）
• 模长与共轭：$|z| = |\bar{z}|$
• 模长性质汇总：
  • $|z| \geq 0$，$|z| = 0 \iff z = 0$；
  • $|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$（三角不等式）；
  • $|z_1 - z_2| \geq \big||z_1| - |z_2|\big|$；
  • $|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$；
  • $\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right| = \dfrac{|z_1|}{|z_2|}$（$z_2 \neq 0$）；
  • $|z| = |\bar{z}|$；
  • $z \cdot \bar{z} = |z|^2$。
• 共轭与四则运算：
  • $\overline{z_1 \pm z_2} = \bar{z_1} \pm \bar{z_2}$
  • $\overline{z_1 \cdot z_2} = \bar{z_1} \cdot \bar{z_2}$
  • $\overline{\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)} = \dfrac{\bar{z_1}}{\bar{z_2}}$（$z_2 \neq 0$）

3 复平面

• 定义：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面（或高斯平面）。其中 $x$ 轴叫做实轴，$y$ 轴叫做虚轴（除原点外，虚轴上的点表示纯虚数）。
• 复数与点的对应：复数 $z = a + bi$ 与复平面内的点 $Z(a, b)$ 一一对应。
• 复数与向量的对应：复数 $z = a + bi$ 与向量 $\overrightarrow{OZ} = (a, b)$ 一一对应。
• 几何意义：
  • $|z|$ 表示点 $z$ 到原点的距离；
  • $|z_1 - z_2|$ 表示复平面上两点 $z_1$，$z_2$ 之间的距离；
  • $|z - z_0| = r$ 表示以 $z_0$ 为圆心、$r$ 为半径的圆；
  • $|z - z_1| = |z - z_2|$ 表示线段 $z_1z_2$ 的垂直平分线。

4 实系数一元二次方程

• 解法：对于实系数一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$（$a \neq 0$），判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$：

  $\Delta$ 的符号	根的情况
  $\Delta > 0$	两个不相等的实数根
  $\Delta = 0$	两个相等的实数根
  $\Delta < 0$	一对共轭虚数根

• 求根公式（在复数范围内通用）：$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$，其中当 $\Delta < 0$ 时 $\sqrt{\Delta} = \sqrt{-\Delta} \cdot i$。

• 韦达定理（仍成立）：$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$，$x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}$（实根和虚根均适用）。

• 重要结论：

  • 实系数一元二次方程若有虚根，则虚根必为共轭复数；
  • 实系数奇次方程必有实数根；
  • 在复数范围内，任何实系数一元二次方程总有两个根（重根按两个计）。

• 平方根：若 $z^2 = w$，则称 $z$ 是 $w$ 的平方根。

  • 正数的平方根：$\pm\sqrt{a}$；
  • 负数的平方根：$\pm\sqrt{-a} \cdot i$（如 $-3$ 的平方根为 $\pm\sqrt{3}i$）；
  • 纯虚数的平方根：需通过设 $z = x + yi$ 解方程组求得。

5 复数的三角形式

• 定义：设复数 $z = a + bi$ 在复平面内对应的点为 $Z$，$r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$，以 $x$ 轴正半轴为始边、$OZ$ 为终边的角为 $\theta$，则：

  $$ z = r(\cos\theta + i\sin\theta) $$

  其中 $\theta$ 叫做复数 $z$ 的辐角，满足 $0 \leq \theta < 2\pi$ 的辐角叫做辐角主值，记作 $\arg z$。

• 代数形式与三角形式的互化：

  • 已知代数形式 $z = a + bi$，则 $r = \sqrt{a^2 + b^2}$，$\theta$ 由 $\cos\theta = \dfrac{a}{r}$，$\sin\theta = \dfrac{b}{r}$ 确定；
  • 已知三角形式 $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$，则代数形式为 $z = r\cos\theta + (r\sin\theta)i$。

• 乘法：设 $z_1 = r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1)$，$z_2 = r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)$，则：

  $$ z_1 \cdot z_2 = r_1r_2[\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)] $$

  即模相乘，辐角相加。

• 除法：

  $$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}[\cos(\theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_1 - \theta_2)] $$

  即模相除，辐角相减。

• 棣莫弗定理（乘方） ：

  $$ [r(\cos\theta + i\sin\theta)]^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta) $$

• 开方：$z^n = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ 的 $n$ 个 $n$ 次方根为：

  $$ z_k = \sqrt[n]{r}\left(\cos\frac{\theta + 2k\pi}{n} + i\sin\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right) \quad (k = 0, 1, \cdots, n-1) $$

1.1 定义

• 向量：既有大小又有方向的量叫做向量。向量有两个要素：大小和方向。
• 表示方法：
  • 几何表示：用有向线段表示；
  • 字母表示：用小写字母 $\vec{a}$，$\vec{b}$，$\vec{c}$ 表示，或记作 $\overrightarrow{AB}$（$A$ 为起点，$B$ 为终点）。
• 向量的模：向量的大小叫做向量的模（长度），记作 $|\vec{a}|$ 或 $|\overrightarrow{AB}|$。

1.2 特殊向量

• 零向量：模为 $0$ 的向量，方向任意，记作 $\vec{0}$。
• 单位向量：模为 $1$ 的向量。
• 相等向量：方向相同且模相等的两个向量，记作 $\vec{a} = \vec{b}$。
• 相反向量（负向量） ：方向相反且模相等的两个向量，$\vec{a}$ 的相反向量记作 $-\vec{a}$。
• 平行向量（共线向量） ：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，记作 $\vec{a} \parallel \vec{b}$。规定：零向量与任意向量平行。

1.3 向量的坐标表示

• 平面向量基本定理：如果 $\vec{e}_1$，$\vec{e}_2$ 是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量 $\vec{a}$，有且只有一对实数 $\lambda_1$，$\lambda_2$，使 $\vec{a} = \lambda_1\vec{e}_1 + \lambda_2\vec{e}_2$。
• 正交分解：取互相垂直的两个单位向量 $\vec{i}$，$\vec{j}$ 作为基底，则任一向量 $\vec{a}$ 可唯一表示为 $\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j}$，有序实数对 $(x, y)$ 叫做 $\vec{a}$ 的坐标，记作 $\vec{a} = (x, y)$。
• 坐标运算规则：设 $\vec{a} = (x_1, y_1)$，$\vec{b} = (x_2, y_2)$：
  • $\vec{a} \pm \vec{b} = (x_1 \pm x_2, y_1 \pm y_2)$
  • $\lambda\vec{a} = (\lambda x_1, \lambda y_1)$
  • 若 $A(x_1, y_1)$，$B(x_2, y_2)$，则 $\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$

2 向量的运算

2.1 向量模长

• 若 $\vec{a} = (x, y)$，则 $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$。
• 若 $A(x_1, y_1)$，$B(x_2, y_2)$，则 $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$。

2.2 向量的加减

• 加法：
  • 三角形法则：$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$；
  • 平行四边形法则：以同一点 $O$ 为起点的两个向量 $\vec{a}$，$\vec{b}$ 为邻边作平行四边形，对角线向量即为 $\vec{a} + \vec{b}$。
• 减法：$\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$，三角形法则为"共起点，连终点，方向指向被减向量"。
• 运算律：交换律 $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$，结合律 $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$。

2.3 向量的数乘

• 定义：实数 $\lambda$ 与向量 $\vec{a}$ 的乘积 $\lambda\vec{a}$ 仍是一个向量。
  • $\lambda > 0$ 时与 $\vec{a}$ 同向，$\lambda < 0$ 时与 $\vec{a}$ 反向，$\lambda = 0$ 时为 $\vec{0}$；
  • $|\lambda\vec{a}| = |\lambda||\vec{a}|$。
• 运算律：结合律 $\lambda(\mu\vec{a}) = (\lambda\mu)\vec{a}$，分配律 $(\lambda + \mu)\vec{a} = \lambda\vec{a} + \mu\vec{a}$，$\lambda(\vec{a} + \vec{b}) = \lambda\vec{a} + \lambda\vec{b}$。
• 向量平行的充要条件：$\vec{a} \parallel \vec{b} \iff \vec{a} = \lambda\vec{b}$（$\vec{b} \neq \vec{0}$）。

2.4 向量的数量积

• 定义：$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\langle\vec{a}, \vec{b}\rangle$。
• 坐标运算：若 $\vec{a} = (x_1, y_1)$，$\vec{b} = (x_2, y_2)$，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$。
• 重要结论（$\vec{a}$，$\vec{b}$ 为非零向量）：
  • $\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$（坐标形式：$x_1x_2 + y_1y_2 = 0$）；
  • $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$；
  • $|\vec{a} \pm \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 \pm 2\vec{a} \cdot \vec{b}$。
• 运算律：交换律 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$，分配律 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$，数乘结合律 $(\lambda\vec{a}) \cdot \vec{b} = \lambda(\vec{a} \cdot \vec{b})$。

2.5 向量的夹角

• 定义：两个非零向量 $\vec{a}$，$\vec{b}$ 的夹角 $\theta$ 是指将两向量起点平移到同一点后，两向量所夹的角，$\theta \in [0, \pi]$。
• 计算公式：$\cos\theta = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$（坐标形式：$\cos\theta = \dfrac{x_1x_2 + y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2}}$）。

2.6 向量的数量投影

• 定义：向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的数量投影（投影数量）为 $|\vec{a}|\cos\theta = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$。
• 几何意义：$\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影数量等于 $\vec{a}$ 的终点在 $\vec{b}$ 所在直线上的投影点到起点的有向距离。

3 向量的应用

3.1 向量与三角形四心

设 $O$ 为 $\triangle ABC$ 内一点，$a = |BC|$，$b = |CA|$，$c = |AB|$。

• 重心（三条中线交点） ：

  • 充要条件：$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \vec{0}$；
  • 若 $G$ 为重心，则 $\overrightarrow{XG} = \dfrac{1}{3}(\overrightarrow{XA} + \overrightarrow{XB} + \overrightarrow{XC})$（$X$ 为任意点）。

• 内心（三条角平分线交点，内切圆圆心） ：

  • 充要条件：$a\overrightarrow{OA} + b\overrightarrow{OB} + c\overrightarrow{OC} = \vec{0}$，或 $\sin A \cdot \overrightarrow{OA} + \sin B \cdot \overrightarrow{OB} + \sin C \cdot \overrightarrow{OC} = \vec{0}$；
  • 若 $I$ 为内心，则 $\overrightarrow{XI} = \dfrac{a\overrightarrow{XA} + b\overrightarrow{XB} + c\overrightarrow{XC}}{a + b + c}$。

• 外心（三条中垂线交点，外接圆圆心） ：

  • 充要条件：$\sin 2A \cdot \overrightarrow{OA} + \sin 2B \cdot \overrightarrow{OB} + \sin 2C \cdot \overrightarrow{OC} = \vec{0}$；
  • 性质：$|\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OB}| = |\overrightarrow{OC}|$。

• 垂心（三条高线交点） ：

  • 充要条件：$\tan A \cdot \overrightarrow{OA} + \tan B \cdot \overrightarrow{OB} + \tan C \cdot \overrightarrow{OC} = \vec{0}$；
  • 性质：$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{OA}$。

3.2 三点共线

• 判定：平面上 $A, B, C$ 三点共线 $\iff$ 存在实数 $\lambda$，使 $\overrightarrow{AB} = \lambda\overrightarrow{AC}$（或 $\overrightarrow{BC} = \lambda\overrightarrow{AB}$ 等）。
• 向量分解形式：若 $\overrightarrow{OC} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB}$，则 $A, B, C$ 三点共线 $\iff$ $x + y = 1$。
• 推论（“爪子"定理） ：若 $P$ 在直线 $AB$ 上，则对任意点 $O$，存在唯一实数 $\lambda$，使 $\overrightarrow{OP} = (1 - \lambda)\overrightarrow{OA} + \lambda\overrightarrow{OB}$。
• 中点公式：若 $M$ 是 $AB$ 的中点，则对任意点 $O$，有 $\overrightarrow{OM} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})$。

• 解析式：$y = \sin x$
• 定义域：$\mathbb{R}$
• 值域：$[-1, 1]$，最大值 $1$（$x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$），最小值 $-1$（$x = -\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$）
• 周期性：最小正周期 $T = 2\pi$
• 单调性：
  • 递增区间：$\left[-\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi,\ \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\right]$，$k \in \mathbb{Z}$
  • 递减区间：$\left[\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi,\ \dfrac{3\pi}{2} + 2k\pi\right]$，$k \in \mathbb{Z}$
• 对称性：
  • 对称轴：$x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$，$k \in \mathbb{Z}$
  • 对称中心：$(k\pi, 0)$，$k \in \mathbb{Z}$
  • 奇偶性：奇函数
• 零点：$x = k\pi$，$k \in \mathbb{Z}$

2 余弦函数

• 解析式：$y = \cos x$
• 定义域：$\mathbb{R}$
• 值域：$[-1, 1]$，最大值 $1$（$x = 2k\pi$），最小值 $-1$（$x = \pi + 2k\pi$）
• 周期性：最小正周期 $T = 2\pi$
• 单调性：
  • 递增区间：$[-\pi + 2k\pi,\ 2k\pi]$，$k \in \mathbb{Z}$
  • 递减区间：$[2k\pi,\ \pi + 2k\pi]$，$k \in \mathbb{Z}$
• 对称性：
  • 对称轴：$x = k\pi$，$k \in \mathbb{Z}$
  • 对称中心：$\left(\dfrac{\pi}{2} + k\pi, 0\right)$，$k \in \mathbb{Z}$
  • 奇偶性：偶函数
• 零点：$x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$，$k \in \mathbb{Z}$

3 正切函数

• 解析式：$y = \tan x$
• 定义域：$\left\{x \mid x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi,\ k \in \mathbb{Z}\right\}$
• 值域：$\mathbb{R}$（无最大值和最小值）
• 周期性：最小正周期 $T = \pi$
• 单调性：在 $\left(-\dfrac{\pi}{2} + k\pi,\ \dfrac{\pi}{2} + k\pi\right)$，$k \in \mathbb{Z}$ 上单调递增
• 对称性：
  • 对称轴：无
  • 对称中心：$\left(\dfrac{k\pi}{2}, 0\right)$，$k \in \mathbb{Z}$
  • 奇偶性：奇函数
• 零点：$x = k\pi$，$k \in \mathbb{Z}$
• 渐近线：$x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$，$k \in \mathbb{Z}$

4 三角函数

4.1 三种函数性质汇总

4.2 函数 $y = A\sin(\omega x + \varphi)$ 的性质

• 解析式：$y = A\sin(\omega x + \varphi)$（$A > 0$，$\omega > 0$）
• 定义域：$\mathbb{R}$
• 值域：$[-A, A]$（$A$ 为振幅）
• 周期性：最小正周期 $T = \dfrac{2\pi}{\omega}$
• 单调性：令 $t = \omega x + \varphi$，利用 $\sin t$ 的单调区间，反解 $x$ 的范围
• 对称性：
  • 对称轴：令 $\omega x + \varphi = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$，解得 $x = \dfrac{\dfrac{\pi}{2} + k\pi - \varphi}{\omega}$
  • 对称中心：令 $\omega x + \varphi = k\pi$，解得 $x = \dfrac{k\pi - \varphi}{\omega}$
  • 奇偶性：由 $\varphi$ 决定
    • $\varphi = k\pi$ 时为奇函数；
    • $\varphi = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ 时为偶函数
• 零点：$\omega x + \varphi = k\pi$，即 $x = \dfrac{k\pi - \varphi}{\omega}$

4.3 函数 $y = A\cos(\omega x + \varphi)$ 的性质

• 解析式：$y = A\cos(\omega x + \varphi)$（$A > 0$，$\omega > 0$）
• 定义域：$\mathbb{R}$
• 值域：$[-A, A]$
• 周期性：最小正周期 $T = \dfrac{2\pi}{\omega}$
• 单调性：令 $t = \omega x + \varphi$，利用 $\cos t$ 的单调区间，反解 $x$ 的范围
• 对称性：
  • 对称轴：令 $\omega x + \varphi = k\pi$，解得 $x = \dfrac{k\pi - \varphi}{\omega}$
  • 对称中心：令 $\omega x + \varphi = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$，解得 $x = \dfrac{\dfrac{\pi}{2} + k\pi - \varphi}{\omega}$
  • 奇偶性：由 $\varphi$ 决定
    • $\varphi = k\pi$ 时为偶函数；
    • $\varphi = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ 时为奇函数

4.4 函数 $y = A\tan(\omega x + \varphi)$ 的性质

• 解析式：$y = A\tan(\omega x + \varphi)$（$A > 0$，$\omega > 0$）
• 定义域：$\omega x + \varphi \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi$，即 $x \neq \dfrac{\dfrac{\pi}{2} + k\pi - \varphi}{\omega}$
• 值域：$\mathbb{R}$
• 周期性：最小正周期 $T = \dfrac{\pi}{\omega}$
• 单调性：在 $\left(-\dfrac{\pi}{2} + k\pi,\ \dfrac{\pi}{2} + k\pi\right)$ 上单调递增（令 $t = \omega x + \varphi$ 后反解）
• 对称性：
  • 对称轴：无
  • 对称中心：令 $\omega x + \varphi = \dfrac{k\pi}{2}$，解得 $x = \dfrac{\dfrac{k\pi}{2} - \varphi}{\omega}$
  • 奇偶性：$\varphi = k\pi$ 时为奇函数
• 渐近线：$\omega x + \varphi = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$，即 $x = \dfrac{\dfrac{\pi}{2} + k\pi - \varphi}{\omega}$

1.1 任意角及其度量

• 任意角：

  • 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
  • 正角：按逆时针方向旋转形成的角；负角：按顺时针方向旋转形成的角；零角：没有作任何旋转的角。
  • 所有与角 $\alpha$ 终边相同的角（含 $\alpha$ 本身），记作 $\beta = \alpha + 2k\pi$（$k \in \mathbb{Z}$）或 $\beta = \alpha + 360^\circ \cdot k$。

• 弧度制：

  • 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度 的角，记作 $1 \text{ rad}$。
  • 换算：$180^\circ = \pi \text{ rad}$，$1^\circ = \dfrac{\pi}{180} \text{ rad}$，$1 \text{ rad} = \left(\dfrac{180}{\pi}\right)^\circ \approx 57.30^\circ$。
  • 弧长公式：$l = |\alpha| r$（$\alpha$ 为弧度制）；扇形面积公式：$S = \dfrac{1}{2} l r = \dfrac{1}{2} |\alpha| r^2$。

1.2 任意角的三角值

• 定义：设 $\alpha$ 是任意角，在 $\alpha$ 终边上任取一点 $P(x, y)$，$OP = r = \sqrt{x^2 + y^2} > 0$，则：

  • $\sin\alpha = \dfrac{y}{r}$，$\cos\alpha = \dfrac{x}{r}$，$\tan\alpha = \dfrac{y}{x}$（$x \neq 0$），$\cot\alpha = \dfrac{x}{y}$（$y \neq 0$）。

• 单位圆定义：以原点 $O$ 为圆心，单位长度为半径的圆上，角 $\alpha$ 的终边与单位圆交于点 $P(x, y)$，则 $\sin\alpha = y$，$\cos\alpha = x$，$\tan\alpha = \dfrac{y}{x}$。

• 三角函数线（单位圆中）：

  • $\sin\alpha = MP$（正弦线，有向线段）；
  • $\cos\alpha = OM$（余弦线，有向线段）；
  • $\tan\alpha = AT$（正切线，有向线段）。

• 各象限符号（口诀"一全正、二正弦、三正切、四余弦"）：

• 特殊角的三角函数值（需熟记）：

• 同角三角函数基本关系：
  • 平方关系：$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$，$1 + \tan^2\alpha = \sec^2\alpha$，$1 + \cot^2\alpha = \csc^2\alpha$；
  • 商数关系：$\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$，$\cot\alpha = \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$；
  • 倒数关系：$\tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1$，$\sin\alpha \cdot \csc\alpha = 1$，$\cos\alpha \cdot \sec\alpha = 1$。

好的，我将诱导公式部分改为以原理为主，不再逐一罗列公式。以下是修改后的内容：

1.3 诱导公式

• 核心原理：诱导公式的本质是将任意角的三角函数值转化为 锐角（$0$ 到 $\dfrac{\pi}{2}$）的三角函数值。其推导依据是三角函数的定义（单位圆上点的坐标）和对称性（关于坐标轴、原点及直线 $y = x$ 的对称）。

• 记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”

  • “奇变偶不变” —— 指公式左边的角可写成 $k \cdot \dfrac{\pi}{2} \pm \alpha$ 的形式，其中 $k$ 为整数：

    • 若 $k$ 为偶数，则右边的函数名不变（$\sin$ 仍写 $\sin$，$\cos$ 仍写 $\cos$，$\tan$ 仍写 $\tan$）；
    • 若 $k$ 为奇数，则右边的函数名改变（$\sin \leftrightarrow \cos$，$\tan \leftrightarrow \cot$）。
    • 原理：$k \cdot \dfrac{\pi}{2}$ 对应坐标轴上的角度（$0, \dfrac{\pi}{2}, \pi, \dfrac{3\pi}{2}, 2\pi$），函数名是否改变取决于终边是否跨越了 $y$ 轴。

  • “符号看象限” —— 将 $\alpha$ 视为锐角，判断 $k \cdot \dfrac{\pi}{2} \pm \alpha$ 所在的象限，然后根据该象限对应的原始函数（即公式左边的函数）的正负，决定右边是否添加负号。

    • 原理：三角函数值的符号由终边所在象限决定（“一全正，二正弦，三正切，四余弦”）。

• 操作步骤（将任意角化为锐角三角函数）：

  1. 大角化小角：利用终边相同的角公式 $\beta = \alpha + 2k\pi$，将角化到 $[0, 2\pi)$ 范围内；
  2. 去负号：利用 $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$，$\cos(-\alpha) = \cos\alpha$，$\tan(-\alpha) = -\tan\alpha$ 处理负角；
  3. 化到 $[0, \dfrac{\pi}{2}]$：根据角所在的象限，选用适当的诱导公式（$\pi \pm \alpha$ 或 $\dfrac{\pi}{2} \pm \alpha$ 等），转化为锐角的三角函数。

2 常用三角公式

2.1 两角和与差

• $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$
• $\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$
• $\tan(\alpha \pm \beta) = \dfrac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}$（注意分母不为 0）

2.2 二倍角和半角

• 二倍角公式：

  • $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$
  • $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha$
  • $\tan 2\alpha = \dfrac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}$（$\alpha \neq \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{k\pi}{2}$）

• 降幂公式（由二倍角逆推）：

  • $\sin^2\alpha = \dfrac{1 - \cos 2\alpha}{2}$
  • $\cos^2\alpha = \dfrac{1 + \cos 2\alpha}{2}$
  • $\sin\alpha\cos\alpha = \dfrac{1}{2}\sin 2\alpha$

• 半角公式（正负由 $\dfrac{\alpha}{2}$ 所在象限决定）：

  • $\sin\dfrac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\dfrac{1 - \cos\alpha}{2}}$
  • $\cos\dfrac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\dfrac{1 + \cos\alpha}{2}}$
  • $\tan\dfrac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\dfrac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha}} = \dfrac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha} = \dfrac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha}$（$\sin\alpha \neq 0$）

2.3 万能公式

设 $t = \tan\dfrac{\alpha}{2}$（$\alpha \neq \pi + 2k\pi$，$k \in \mathbb{Z}$），则：

• $\sin\alpha = \dfrac{2t}{1 + t^2}$
• $\cos\alpha = \dfrac{1 - t^2}{1 + t^2}$
• $\tan\alpha = \dfrac{2t}{1 - t^2}$（$\alpha \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi$）

2.4 和差化积与积化和差

• 积化和差：

  • $\sin\alpha\cos\beta = \dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)]$
  • $\cos\alpha\sin\beta = \dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta) - \sin(\alpha-\beta)]$
  • $\cos\alpha\cos\beta = \dfrac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)]$
  • $\sin\alpha\sin\beta = -\dfrac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta) - \cos(\alpha-\beta)]$

• 和差化积：

  • $\sin A + \sin B = 2\sin\dfrac{A+B}{2}\cos\dfrac{A-B}{2}$
  • $\sin A - \sin B = 2\cos\dfrac{A+B}{2}\sin\dfrac{A-B}{2}$
  • $\cos A + \cos B = 2\cos\dfrac{A+B}{2}\cos\dfrac{A-B}{2}$
  • $\cos A - \cos B = -2\sin\dfrac{A+B}{2}\sin\dfrac{A-B}{2}$

2.5 辅助角公式

• $a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2 + b^2}\sin(x + \varphi)$，其中 $\tan\varphi = \dfrac{b}{a}$，$\varphi$ 所在象限由 $(a, b)$ 确定。
• 等价形式：$a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2 + b^2}\cos(x - \theta)$，其中 $\tan\theta = \dfrac{a}{b}$。
• 应用：用于求三角函数的值域、最值、周期、单调区间等。

3 解三角形

3.1 正弦定理

在 $\triangle ABC$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$，外接圆半径为 $R$：

• 推论：

  • $a : b : c = \sin A : \sin B : \sin C$
  • $a = 2R\sin A$，$b = 2R\sin B$，$c = 2R\sin C$
  • $\sin A = \dfrac{a}{2R}$，$\sin B = \dfrac{b}{2R}$，$\sin C = \dfrac{c}{2R}$

• 应用：

  • 已知两角和一边，求其他边和角；
  • 已知两边和其中一边的对角，求其他边和角（注意一解、两解或无解的判断）。

3.2 余弦定理

在 $\triangle ABC$ 中：

• $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$

• $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$

• $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

• 推论：

  • $\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$
  • $\cos B = \dfrac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$
  • $\cos C = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

• 应用：

  • 已知三边，求各角；
  • 已知两边和它们的夹角，求第三边和其他角。

3.3 三角形面积

• $S = \dfrac{1}{2} ah_a = \dfrac{1}{2} bh_b = \dfrac{1}{2} ch_c$（$h_a$ 为边 $a$ 上的高）
• $S = \dfrac{1}{2} ab\sin C = \dfrac{1}{2} ac\sin B = \dfrac{1}{2} bc\sin A$
• $S = \dfrac{abc}{4R}$（$R$ 为外接圆半径）
• $S = 2R^2\sin A\sin B\sin C$
• $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$（海伦公式，其中 $p = \dfrac{a+b+c}{2}$ 为半周长）

• 基本性质（设 $a, b, c \in \mathbb{R}$）：

  1. 对称性：$a > b \iff b < a$
  2. 传递性：$a > b$ 且 $b > c \Rightarrow a > c$
  3. 加法法则：$a > b \iff a + c > b + c$
  4. 乘法法则：
     • $a > b$，$c > 0 \Rightarrow ac > bc$
     • $a > b$，$c < 0 \Rightarrow ac < bc$

• 运算推论： 5. 加法同向可加：$a > b$，$c > d \Rightarrow a + c > b + d$ 6. 乘法同向可乘（正数） ：$a > b > 0$，$c > d > 0 \Rightarrow ac > bd$ 7. 乘方：$a > b > 0 \Rightarrow a^n > b^n$（$n \in \mathbb{N}^*$） 8. 开方：$a > b > 0 \Rightarrow \sqrt[n]{a} > \sqrt[n]{b}$（$n \in \mathbb{N}^*$，$n \geq 2$） 9. 倒数法则：$a > b$，$ab > 0 \Rightarrow \dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{b}$

2 解不等式

2.1 一元二次不等式

• 标准形式：$ax^2 + bx + c > 0$（或 $\geq 0$，$<$，$\leq 0$），$a \neq 0$

• 解法原理：令 $ax^2 + bx + c = 0$，求判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$，结合二次函数图像（开口方向、与 $x$ 轴交点）确定解集。

• $ax^2 + bx + c > 0$（$a > 0$）的解集结论：

  $\Delta$ 的符号	对应方程$=0$ 的根的情况	解集
  $\Delta > 0$	两根$x_1 < x_2$	$x < x_1$ 或 $x > x_2$（大于取两边）
  $\Delta = 0$	$x_1 = x_2$	$x \neq x_1$
  $\Delta < 0$	无实根	$\mathbb{R}$

• 口诀记忆（$a > 0$ 时）：

  • $ax^2 + bx + c > 0$：大于取两边（$x < x_1$ 或 $x > x_2$）
  • $ax^2 + bx + c < 0$：小于取中间（$x_1 < x < x_2$）

• 一般步骤：

  1. 将二次项系数化为正数；
  2. 求对应方程的根（判别式法或因式分解法）；
  3. 画数轴或根据口诀写出解集；
  4. 注意 $\geq$ 或 $\leq$ 时端点是否取到（需单独判断开闭）。

2.2 分式不等式

• 标准形式：$\dfrac{f(x)}{g(x)} > 0$（或 $\geq 0$，$<$，$\leq 0$），$g(x) \neq 0$

• 解题核心：利用同号为正、异号为负的原理，转化为整式不等式（组）：

  • $\dfrac{f(x)}{g(x)} > 0 \iff f(x) \cdot g(x) > 0$（但要注意分母不为 0）
  • $\dfrac{f(x)}{g(x)} \geq 0 \iff f(x) \cdot g(x) \geq 0$ 且 $g(x) \neq 0$（单独排除使分母为 0 的点）

• 解题步骤：

  1. 移项，使一边为 0，通分化为 $\dfrac{f(x)}{g(x)} > 0$ 的形式；
  2. 将分式不等式等价转化为整式不等式（组）；
  3. 解整式不等式；
  4. 注意：分母不为 0，即 $g(x) \neq 0$ 的端点要挖掉（除非分子也为 0，但一般需单独检验）。

• 高次不等式（穿根法 / 数轴标根法）：

  1. 将所有因式移到一边，系数化为正；
  2. 求出所有零点，按大小在数轴上标出；
  3. 从右上方开始穿根（奇穿偶不穿：奇次重根穿过，偶次重根不穿过）；
  4. 根据不等号方向确定解集。

2.3 绝对值不等式

• 基本形式（$a > 0$）：

  • $|x| < a \iff -a < x < a$
  • $|x| > a \iff x < -a$ 或 $x > a$

• 一般形式：

  • $|f(x)| < a \iff -a < f(x) < a$
  • $|f(x)| > a \iff f(x) < -a$ 或 $f(x) > a$
  • $|f(x)| < g(x) \iff -g(x) < f(x) < g(x)$（需保证 $g(x) > 0$）
  • $|f(x)| > g(x) \iff f(x) < -g(x)$ 或 $f(x) > g(x)$（$g(x)$ 可正可负）

• 核心方法：

  1. 定义法：$|x| = \begin{cases} x, & x \geq 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$，分段讨论去绝对值；
  2. 平方法：$|f(x)| < |g(x)| \iff f^2(x) < g^2(x) \iff [f(x)-g(x)][f(x)+g(x)] < 0$；
  3. 几何法：$|x-a|$ 表示数轴上点 $x$ 到点 $a$ 的距离，$|x-a| + |x-b|$ 表示到两点距离之和，可结合数轴求解。

3 基本不等式

3.1 基本不等式（均值不等式）

• 内容：若 $a > 0$，$b > 0$，则 $\dfrac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$，当且仅当 $a = b$ 时取等号。

• 也可写作 $a + b \geq 2\sqrt{ab}$。

• 几何意义：两个正数的算术平均数 $\geq$ 几何平均数。

• 常用变形：

  • $ab \leq \left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2$（积的最大值）
  • $a^2 + b^2 \geq 2ab$（当且仅当 $a = b$ 取等号）
  • $\dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{b} \geq 2$（$ab > 0$）

3.2 应用与注意点

• 一正：参与运算的两数必须为正数；
• 二定：和或积必须为定值（常数）；
• 三相等：等号成立的条件必须能够取到（即 $a = b$ 在可行域内）。

3.3 重要结论汇总

3.4 柯西不等式

3.4.1 二维形式

• 内容：$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) \geq (ac + bd)^2$，当且仅当 $ad = bc$（即 $\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d}$）时取等号。
• 向量形式：$|\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta}| \leq |\vec{\alpha}| \cdot |\vec{\beta}|$，当且仅当两向量共线时取等号。
• 三角形式：$\sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{c^2 + d^2} \geq \sqrt{(a+c)^2 + (b+d)^2}$，当且仅当 $ad = bc$ 时取等号。

3.4.2 三维形式

• 内容：$(a_1^2 + a_2^2 + a_3^2)(b_1^2 + b_2^2 + b_3^2) \geq (a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3)^2$，当且仅当 $\dfrac{a_1}{b_1} = \dfrac{a_2}{b_2} = \dfrac{a_3}{b_3}$ 时取等号。

3.4.3 一般形式

• 内容：$(a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2) \geq (a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n)^2$，当且仅当 $\dfrac{a_1}{b_1} = \dfrac{a_2}{b_2} = \cdots = \dfrac{a_n}{b_n}$ 时取等号。

3.4.4 应用场景

• 求多元函数的最值（已知平方和求线性式的最值，或已知线性式求平方和的最值）；
• 证明不等式；
• 解方程（利用取等条件反推变量取值）。

3.4.5 配凑技巧

• 利用柯西不等式时，核心在于合理分组配凑，使已知条件与目标式匹配。
• 常见变形：已知 $a^2 + b^2$ 为定值，求 $ma + nb$ 的最大值，可直接套用 $(a^2 + b^2)(m^2 + n^2) \geq (ma + nb)^2$。

3.5 三角不等式

3.5.1 绝对值三角不等式

• 内容：对任意实数 $a, b$，有：

  • $|a + b| \leq |a| + |b|$（三角形两边之和大于第三边）
  • $\big||a| - |b|\big| \leq |a - b|$（三角形两边之差小于第三边）
  • $|a - b| \leq |a| + |b|$

• 取等条件：

  • $|a + b| = |a| + |b| \iff ab \geq 0$（$a, b$ 同号或至少一个为 0）；
  • $|a - b| = |a| + |b| \iff ab \leq 0$（$a, b$ 异号或至少一个为 0）。

3.5.2 推广形式

• 多维形式：对任意实数 $a_1, a_2, \cdots, a_n$，有： $$ |a_1 + a_2 + \cdots + a_n| \leq |a_1| + |a_2| + \cdots + |a_n| $$

3.5.3 几何意义

• 数轴上，$|a - b|$ 表示点 $a$ 与点 $b$ 之间的距离；
• $|a - b| \leq |a - c| + |c - b|$ 表示两点之间线段最短（三角不等式在数轴上的体现）。

3.5.4 应用场景

• 求含绝对值的函数的最值或取值范围；
• 证明绝对值不等式；
• 利用取等条件解绝对值方程（判断何时取到最值）。

3.5.5 常见题型

• 已知 $|x - a| + |x - b|$ 的最小值：当 $x$ 位于 $a, b$ 之间时，最小值为 $|a - b|$；
• 已知 $|x - a| - |x - b|$ 的最大值与最小值：最大值为 $|a - b|$，最小值为 $-|a - b|$。

• 定义一（变量说） ：如果在某个变化过程中有两个变量 $x$，$y$，对于 $x$ 在某个范围 $D$ 内的每一个确定的值，按照某种对应法则，都有唯一确定的 $y$ 值与它对应，那么 $y$ 就是 $x$ 的函数，记作 $y = f(x)$。$x$ 叫做自变量，$x$ 的取值范围 $D$ 叫做函数的定义域，和 $x$ 的值相对应的 $y$ 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

• 定义二（对应说） ：非空数集 $A$ 到非空数集 $B$ 的一个对应关系 $f: A \to B$，使 $A$ 中每一个元素在 $B$ 中都有唯一确定的元素和它对应，那么对应关系 $f: A \to B$ 叫做 $A$ 到 $B$ 的函数，记作 $y = f(x)$，其中 $x \in A$，$y \in B$。

• 注意要点：

  • 对应法则可以是"一对一"或"多对一"，但不能是"一对多"（即一个 $x$ 对应多个 $y$）。
  • 定义域与值域都必须是非空数集。

• 函数的三要素：定义域、值域、对应关系。

• 相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等。

• 函数的表示法：解析法、图象法、列表法。

2 基本初等函数

2.1 一次函数

• 定义：形如 $y = kx + b$（$k \neq 0$）的函数叫做一次函数。
• 图像：一条直线，$k$ 为斜率，$b$ 为 $y$ 轴截距。
• 性质：
  • 定义域、值域均为 $\mathbb{R}$；
  • $k > 0$ 时单调递增，$k < 0$ 时单调递减；
  • 与 $x$ 轴交点为 $(-\frac{b}{k}, 0)$，与 $y$ 轴交点为 $(0, b)$。

2.2 二次函数

• 定义：形如 $y = ax^2 + bx + c$（$a \neq 0$）的函数叫做二次函数。
• 标准形式：$y = a(x - h)^2 + k$，其中顶点坐标为 $(h, k)$，$h = -\frac{b}{2a}$，$k = \frac{4ac - b^2}{4a}$。
• 性质：
  • 定义域为 $\mathbb{R}$；
  • $a > 0$ 时开口向上，有最小值 $k$；$a < 0$ 时开口向下，有最大值 $k$；
  • 对称轴为 $x = h$；
  • 值域：$a > 0$ 时为 $[k, +\infty)$，$a < 0$ 时为 $(-\infty, k]$。

2.3 幂函数

• 定义：形如 $y = x^\alpha$（$\alpha$ 为常数）的函数叫做幂函数。
• 常见幂函数图像与性质（$y = x, x^2, x^3, x^{\frac{1}{2}}, x^{-1}$）：
  • $y = x$：定义域 $\mathbb{R}$，奇函数，$\mathbb{R}$ 上单调递增；
  • $y = x^2$：定义域 $\mathbb{R}$，偶函数，$(-\infty, 0]$ 递减，$[0, +\infty)$ 递增；
  • $y = x^3$：定义域 $\mathbb{R}$，奇函数，$\mathbb{R}$ 上单调递增；
  • $y = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$：定义域 $[0, +\infty)$，非奇非偶，单调递增；
  • $y = x^{-1} = \frac{1}{x}$：定义域 $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$，奇函数，$(-\infty, 0)$ 和 $(0, +\infty)$ 上单调递减。

2.4 指数函数

• 定义：形如 $y = a^x$（$a > 0$ 且 $a \neq 1$）的函数叫做指数函数。
• 性质：
  • 定义域为 $\mathbb{R}$，值域为 $(0, +\infty)$；
  • 过定点 $(0, 1)$；
  • $a > 1$ 时在 $\mathbb{R}$ 上单调递增；$0 < a < 1$ 时在 $\mathbb{R}$ 上单调递减；
  • 图像在 $x$ 轴上方，渐近线为 $x$ 轴（$y \to 0$）。

2.5 对数函数

• 定义：形如 $y = \log_a x$（$a > 0$ 且 $a \neq 1$）的函数叫做对数函数。
• 性质：
  • 定义域为 $(0, +\infty)$，值域为 $\mathbb{R}$；
  • 过定点 $(1, 0)$；
  • $a > 1$ 时在 $(0, +\infty)$ 上单调递增；$0 < a < 1$ 时在 $(0, +\infty)$ 上单调递减；
  • 图像在 $y$ 轴右侧，渐近线为 $y$ 轴（$x \to 0^+$）。

3 函数性质

3.1 单调性

• 定义（代数定义） ：对于函数 $f(x)$ 定义域 $D$ 内某个区间 $I$ 上的任意两个自变量的值 $x_1, x_2$：

  • 若 $x_1 < x_2$ 时，都有 $f(x_1) < f(x_2)$，则 $f(x)$ 在区间 $I$ 上是增函数；
  • 若 $x_1 < x_2$ 时，都有 $f(x_1) > f(x_2)$，则 $f(x)$ 在区间 $I$ 上是减函数。

• 证明方法：

  • 定义法：作差 $f(x_1) - f(x_2)$，变形后判断符号；
  • 导数法：若 $f'(x) > 0$，则 $f(x)$ 单调递增；若 $f'(x) < 0$，则 $f(x)$ 单调递减。（导数法适用于可导函数，是判断单调性的常用工具。）

• 复合函数单调性：同增异减。

• 注意：单调区间是定义域的子集，多个单调区间不能用"$\cup$“连接。

3.2 对称性

3.2.1 轴对称

• 定义：若存在直线 $x = a$，使得函数 $f(x)$ 定义域内任意 $x$ 都有 $f(a + x) = f(a - x)$，则函数图像关于直线 $x = a$ 对称，$x = a$ 称为对称轴。

• 常见变形（核心：括号内自变量之和为常数）：

  • 形式一：$f(a + x) = f(a - x)$ $\iff$ 对称轴为 $x = a$；
  • 形式二：$f(x) = f(2a - x)$ $\iff$ 对称轴为 $x = a$（令 $x \to a + x$ 即得形式一）；
  • 形式三：$f(x + a) = f(-x + b)$ $\iff$ 对称轴为 $x = \dfrac{a + b}{2}$。

• 特例——偶函数：当对称轴为 $x = 0$（即 $a = 0$）时，$f(-x) = f(x)$，称 $f(x)$ 为偶函数。

3.2.2 中心对称

• 定义：若存在点 $(a, b)$，使得函数 $f(x)$ 定义域内任意 $x$ 都有 $f(a + x) + f(a - x) = 2b$，则函数图像关于点 $(a, b)$ 对称，$(a, b)$ 称为对称中心。

• 常见变形（核心：括号内自变量之和为常数，函数值之和为常数）：

  • 形式一：$f(a + x) + f(a - x) = 2b$ $\iff$ 对称中心为 $(a, b)$；
  • 形式二：$f(x) + f(2a - x) = 2b$ $\iff$ 对称中心为 $(a, b)$（令 $x \to a + x$ 即得形式一）；
  • 形式三：$f(a + x) + f(b - x) = 2c$ $\iff$ 对称中心为 $\left(\dfrac{a + b}{2}, c\right)$；
  • 形式四：$f(x + a) = -f(-x + b) + 2c$ $\iff$ 对称中心为 $\left(\dfrac{a + b}{2}, c\right)$。

• 特例——奇函数：当对称中心为原点 $(0, 0)$ 时，$f(-x) = -f(x)$，称 $f(x)$ 为奇函数。

3.3 周期性

• 定义：若存在非零常数 $T$，使得函数 $f(x)$ 定义域内任意 $x$ 都有 $f(x + T) = f(x)$，则称 $T$ 为函数的一个周期。若所有周期中存在最小正数，则称为最小正周期。

• 常见变形（通用格式） ：

  设 $a, b$ 为常数，$a \neq b$，且 $f(x)$ 定义域足够大：

• 周期性常见变形汇总：

（一）代数递推型（设 $a \neq 0$）

1. $f(x+a)=f(x+b)$ $\Longrightarrow$ 周期 $T=|a-b|$
2. $f(x+a)=-f(x)$ $\Longrightarrow$ 周期 $T=2a$
3. $f(x+a)=\dfrac{1}{f(x)}$ $\Longrightarrow$ 周期 $T=2a$
4. $f(x+a)=-\dfrac{1}{f(x)}$ $\Longrightarrow$ 周期 $T=2a$
5. $f(x+a)=\dfrac{1+f(x)}{1-f(x)}$ $\Longrightarrow$ 周期 $T=4a$
6. $f(x+a)=\dfrac{1-f(x)}{1+f(x)}$ $\Longrightarrow$ 周期 $T=4a$
7. $f(x+a)=f(x)+k$（$k$ 为常数） $\Longrightarrow$ 周期 $T=2a$（需结合对称性或零点条件）

（二）对称组合型（设 $a \neq b$）

8. 若 $f(x)$ 关于两条直线 $x=a$ 和 $x=b$ 都对称 $\Longrightarrow$ 周期 $T=2|a-b|$
9. 若 $f(x)$ 关于两个点 $(a,0)$ 和 $(b,0)$ 都对称 $\Longrightarrow$ 周期 $T=2|a-b|$
10. 若 $f(x)$ 关于直线 $x=a$ 和点 $(b,0)$ 都对称 $\Longrightarrow$ 周期 $T=4|a-b|$

1.1 空间向量的有关概念

• 定义：在空间中，既有大小又有方向的量叫做空间向量。
• 表示方法：
  • 几何表示：用有向线段表示；
  • 字母表示：用小写字母 $\vec{a}$，$\vec{b}$，$\vec{c}$ 表示，或记作 $\overrightarrow{AB}$。
• 几类常见的空间向量：
  • 零向量：模为 0，方向任意，记作 $\vec{0}$；
  • 单位向量：模为 1，记作 $\vec{e}$；
  • 相反向量：长度相等、方向相反的向量，$\overrightarrow{AB}$ 的相反向量为 $\overrightarrow{BA}$；
  • 相等向量：方向相同、模相等的向量。

1.2 空间向量的线性运算

• 加法与减法：遵循三角形法则和平行四边形法则，与平面向量一致。
  • 加法：$\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \vec{a} + \vec{b}$
  • 减法：$\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC} = \vec{a} - \vec{b}$
• 数乘运算：实数 $\lambda$ 与向量 $\vec{a}$ 的乘积 $\lambda\vec{a}$ 仍是一个向量。
  • $\lambda > 0$ 时与 $\vec{a}$ 同向，$\lambda < 0$ 时反向，$\lambda = 0$ 时为零向量；
  • 运算律：结合律、分配律。
• 运算律：交换律 $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$，结合律 $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$。

1.3 共线向量与共面向量

• 共线向量（平行向量） ：
  • 定义：表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合；
  • 共线向量定理：对空间任意两个向量 $\vec{a}$，$\vec{b}$（$\vec{b} \neq \vec{0}$），$\vec{a} \parallel \vec{b} \iff$ 存在唯一实数 $\lambda$，使 $\vec{a} = \lambda\vec{b}$；
  • 方向向量：与直线 $l$ 平行的非零向量称为直线 $l$ 的方向向量；
  • 应用：证明三点共线、证明线线平行（进而证线面平行）。
• 共面向量：
  • 定义：平行于同一平面的向量；
  • 共面向量定理：若向量 $\vec{a}$，$\vec{b}$ 不共线，则 $\vec{p}$ 与 $\vec{a}$，$\vec{b}$ 共面 $\iff$ 存在唯一有序实数对 $(x, y)$，使 $\vec{p} = x\vec{a} + y\vec{b}$；
  • 应用：证明四点共面、证线面平行（进而证面面平行）。

1.4 空间向量的数量积

• 定义：$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\langle\vec{a}, \vec{b}\rangle$。
• 重要结论（$\vec{a}$，$\vec{b}$ 为非零向量）：
  • $\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$；
  • $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$；
  • $\cos\langle\vec{a}, \vec{b}\rangle = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$。
• 运算律：交换律、分配律、数乘结合律。

2 空间直角坐标系

2.1 空间直角坐标系的建立

• 定义：在空间选定一点 $O$ 引三条互相垂直且有相同长度单位的数轴：$x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴，建立空间直角坐标系，点 $O$ 叫原点。
• 坐标平面：$xOy$ 平面、$yOz$ 平面、$zOx$ 平面。

2.2 空间中点的坐标

• 给定空间直角坐标系和向量 $\vec{a}$，存在唯一有序实数组 $(x, y, z)$，使 $\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$，记作 $\vec{a} = (x, y, z)$。
• 点 $P$ 的坐标即为向量 $\overrightarrow{OP}$ 的坐标。

2.3 空间向量的坐标运算

设 $\vec{a} = (x_1, y_1, z_1)$，$\vec{b} = (x_2, y_2, z_2)$：

• 加减运算：$\vec{a} \pm \vec{b} = (x_1 \pm x_2, y_1 \pm y_2, z_1 \pm z_2)$
• 数乘：$\lambda\vec{a} = (\lambda x_1, \lambda y_1, \lambda z_1)$
• 数量积：$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$
• 模长：$|\vec{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2}$
• 夹角：$\cos\langle\vec{a}, \vec{b}\rangle = \dfrac{x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}$
• 平行：$\vec{a} \parallel \vec{b} \iff \vec{a} = \lambda\vec{b}$
• 垂直：$\vec{a} \perp \vec{b} \iff x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 = 0$

2.4 空间两点间距离公式

若 $A(x_1, y_1, z_1)$，$B(x_2, y_2, z_2)$，则：

3 空间向量在立体几何中的应用

3.1 方向向量与法向量

• 方向向量：与直线 $l$ 平行的非零向量称为直线 $l$ 的方向向量。
• 法向量：与平面 $\alpha$ 垂直的非零向量称为平面 $\alpha$ 的法向量。

3.2 证明平行与垂直

设直线 $l$，$m$ 的方向向量分别为 $\vec{a}$，$\vec{b}$，平面 $\alpha$，$\beta$ 的法向量分别为 $\vec{n}_1$，$\vec{n}_2$：

• 线线平行：$l \parallel m \iff \vec{a} \parallel \vec{b}$
• 线面平行：$l \parallel \alpha \iff \vec{a} \perp \vec{n}_1 \iff \vec{a} \cdot \vec{n}_1 = 0$
• 面面平行：$\alpha \parallel \beta \iff \vec{n}_1 \parallel \vec{n}_2$
• 线线垂直：$l \perp m \iff \vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$
• 线面垂直：$l \perp \alpha \iff \vec{a} \parallel \vec{n}_1$
• 面面垂直：$\alpha \perp \beta \iff \vec{n}_1 \perp \vec{n}_2 \iff \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0$

3.3 求空间角

设直线 $l$，$m$ 的方向向量分别为 $\vec{a}$，$\vec{b}$，平面 $\alpha$，$\beta$ 的法向量分别为 $\vec{n}_1$，$\vec{n}_2$：

• 异面直线所成角（范围 $[0, \frac{\pi}{2}]$）：

  $$ \cos\theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}||\vec{b}|} $$

• 线面角（范围 $[0, \frac{\pi}{2}]$）：

  $$ \sin\theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{n}_1|}{|\vec{a}||\vec{n}_1|} $$

• 二面角（范围 $[0, \pi]$）：

  $$ \cos\theta = \pm\frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1||\vec{n}_2|} $$

  （正负号需根据二面角是锐角还是钝角判断）

3.4 求距离

• 点到平面的距离：点 $P$ 到平面 $\alpha$ 的距离，其中 $A$ 是平面 $\alpha$ 内一点，$\vec{n}$ 是平面 $\alpha$ 的法向量： $$ d = \frac{|\overrightarrow{AP} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} $$
• 异面直线间的距离、线面距离、面面距离均可转化为点到平面的距离求解。

1.1 棱柱

• 定义：有两个面互相平行（底面），其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体。
• 分类：
  • 按底面边数：三棱柱、四棱柱、……
  • 按侧棱与底面关系：直棱柱（侧棱 $\perp$ 底面）、斜棱柱（侧棱不 $\perp$ 底面）。
  • 底面为正多边形且为直棱柱 $\Rightarrow$ 正棱柱。
• 性质：
  • 侧棱互相平行且相等；
  • 侧面都是平行四边形（直棱柱侧面为矩形，正棱柱侧面为全等矩形）；
  • 两个底面是全等的多边形。
• 体积：$V = S_{\text{底}} \cdot h$（$h$ 为高，即两底面间的距离）。
• 表面积：$S_{\text{表}} = 2S_{\text{底}} + S_{\text{侧}}$。

1.2 圆柱

• 定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体。
• 相关概念：
  • 旋转轴叫做圆柱的轴；
  • 垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面；
  • 平行于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面；
  • 无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做母线（母线长度 = 高）。
• 性质：
  • 两个底面是互相平行且全等的圆面；
  • 所有母线平行且相等（$l = h$）；
  • 轴截面（过轴的截面）是矩形，边长为 $2r$ 和 $h$。
• 体积：$V = \pi r^2 h$（$r$ 为底面半径，$h$ 为高）。
• 侧面积：$S_{\text{侧}} = 2\pi r h$（侧面展开图为矩形）。
• 表面积：$S_{\text{表}} = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r(r + h)$。

2 锥体

2.1 棱锥

• 定义：有一个面是多边形（底面），其余各面是有一个公共顶点的三角形（侧面），由这些面所围成的多面体。
• 相关概念：
  • 底面为正多边形，且顶点在底面上的射影是底面正多边形的中心 $\Rightarrow$ 正棱锥。
• 性质（正棱锥）：
  • 各侧棱相等；
  • 各侧面是全等的等腰三角形（斜高相等）；
  • 高、斜高、底面边心距构成直角三角形；高、侧棱、底面外接圆半径构成直角三角形。
• 体积：$V = \dfrac{1}{3} S_{\text{底}} \cdot h$（$h$ 为顶点到底面的距离）。
• 表面积：$S_{\text{表}} = S_{\text{底}} + S_{\text{侧}}$。

2.2 圆锥

（注：你框架中“2.22”应为笔误，这里修正为 2.2）

• 定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体。
• 相关概念：
  • 旋转轴叫做圆锥的轴；
  • 垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面；
  • 斜边旋转而成的曲面叫做侧面，斜边在旋转中的任一位置叫做母线（$l$）；
  • 顶点与底面圆心的连线叫做高（$h$）。
• 性质：
  • 所有母线相等，$l^2 = r^2 + h^2$；
  • 轴截面（过轴的截面）是等腰三角形，腰长为 $l$，底边长为 $2r$，高为 $h$。
• 体积：$V = \dfrac{1}{3} \pi r^2 h$。
• 侧面积：$S_{\text{侧}} = \pi r l$（侧面展开图为扇形，扇形半径 $=$ 母线 $l$，弧长 $=$ 底面周长 $2\pi r$）。
• 表面积：$S_{\text{表}} = \pi r^2 + \pi r l = \pi r(r + l)$。

3 台体

3.1 棱台

• 定义：用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台。
• 相关概念：
  • 原棱锥的底面叫下底面，截面叫上底面；
  • 其余各面叫侧面，侧面都是梯形；
  • 由正棱锥截得的棱台叫正棱台。
• 性质（正棱台）：
  • 各侧棱相等；
  • 各侧面是全等的等腰梯形（斜高相等）；
  • 高、斜高、上下底面边心距构成直角梯形。
• 体积：$V = \dfrac{1}{3} h (S_{\text{上}} + \sqrt{S_{\text{上}}S_{\text{下}}} + S_{\text{下}})$（$h$ 为台高，$S_{\text{上}}$、$S_{\text{下}}$ 分别为上、下底面面积）。
• 表面积：$S_{\text{表}} = S_{\text{上}} + S_{\text{下}} + S_{\text{侧}}$。

3.2 圆台

• 定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台。
• 相关概念：
  • 原圆锥的底面叫下底面，截面叫上底面（均为圆面）；
  • 侧面展开图是扇环；
  • 母线 $l$，上底半径 $r$，下底半径 $R$，高 $h$，满足 $l^2 = h^2 + (R - r)^2$。
• 性质：
  • 所有母线相等；
  • 轴截面（过轴的截面）是等腰梯形，两底边长分别为 $2r$ 和 $2R$，腰长为 $l$，高为 $h$。
• 体积：$V = \dfrac{1}{3} \pi h (r^2 + rR + R^2)$。
• 侧面积：$S_{\text{侧}} = \pi (r + R) l$。
• 表面积：$S_{\text{表}} = \pi r^2 + \pi R^2 + \pi (r + R) l$。

好的，在“台体”后面补充“球体”部分。以下是完整补充后的内容：

4 球体

• 定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球。
• 相关概念：
  • 半圆的圆心叫做球的球心，记作 $O$；
  • 球心到球面上任意一点的连线叫做半径，记作 $R$；
  • 连接球面上两点且经过球心的线段叫做直径。
• 性质：
  • 用一个平面去截球，截面是圆面：
    • 截面过球心时，截面圆半径最大，等于球的半径 $R$，称为大圆；
    • 截面不过球心时，截面圆半径 $r$ 小于 $R$，称为小圆，且 $r = \sqrt{R^2 - d^2}$（其中 $d$ 为球心到截面的距离）。
  • 球心到截面的距离 $d$ 与截面圆半径 $r$ 满足：$r^2 + d^2 = R^2$。
• 体积：$\displaystyle V = \frac{4}{3} \pi R^3$
• 表面积：$\displaystyle S = 4 \pi R^2$

补充：柱、锥、台、球的体积与表面积公式汇总

1.1 倾斜角

• 定义：在平面直角坐标系中，对于一条与 $x$ 轴相交的直线，把 $x$ 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角。
• 范围：$0 \le \alpha < \pi$（即 $0^\circ \le \alpha < 180^\circ$）。
• 特例：当直线与 $x$ 轴平行或重合时，倾斜角 $\alpha = 0$。当直线与 $x$ 轴垂直时，倾斜角 $\alpha = \frac{\pi}{2}$（$90^\circ$）。

1.2 斜率

• 定义：一条直线的倾斜角 $\alpha$ 的正切值叫做这条直线的斜率。
• 公式：$k = \tan \alpha$（$\alpha \neq \frac{\pi}{2}$）。
• 过两点的斜率公式：若直线上两点 $P_1(x_1, y_1)$，$P_2(x_2, y_2)$（$x_1 \neq x_2$），则： $$ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} $$

1.3 两者关系

• $\alpha = 0 \iff k = 0$（直线水平）；
• $0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \iff k > 0$（直线从左下往右上倾斜）；
• $\alpha = \frac{\pi}{2} \iff k$ 不存在（直线竖直）；
• $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \iff k < 0$（直线从左上往右下倾斜）。
• 单调性：斜率 $k$ 随倾斜角 $\alpha$ 在 $[0, \frac{\pi}{2})$ 和 $(\frac{\pi}{2}, \pi)$ 上分别单调递增。

2 直线方程

2.1 斜截式

• 已知斜率 $k$ 和 $y$ 轴上的截距 $b$（过点 $(0, b)$）。
• 方程：$y = kx + b$
• 限制：不能表示垂直于 $x$ 轴的直线（斜率不存在）。

2.2 点斜式

• 已知斜率 $k$ 和直线上一点 $P_0(x_0, y_0)$。
• 方程：$y - y_0 = k(x - x_0)$
• 限制：不能表示垂直于 $x$ 轴的直线。

2.3 两点式

• 已知直线上两点 $P_1(x_1, y_1)$，$P_2(x_2, y_2)$（$x_1 \neq x_2$，$y_1 \neq y_2$）。
• 方程：$\dfrac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \dfrac{x - x_1}{x_2 - x_1}$
• 限制：不能表示垂直于坐标轴的直线。

2.4 点方向式

• 已知直线上一点 $P_0(x_0, y_0)$ 和一个方向向量 $\vec{d} = (u, v)$（$u, v$ 不全为 0）。
• 方程：$\dfrac{x - x_0}{u} = \dfrac{y - y_0}{v}$（当 $u \neq 0, v \neq 0$ 时）；若 $u=0$ 或 $v=0$，则直线分别垂直于 $x$ 轴或 $y$ 轴。
• 核心：$(x - x_0, y - y_0) \parallel (u, v)$。

2.5 点法向式

• 已知直线上一点 $P_0(x_0, y_0)$ 和一个法向量 $\vec{n} = (a, b)$（$a, b$ 不全为 0）。
• 方程：$a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0$
• 核心：$(x - x_0, y - y_0) \perp (a, b)$。

2.6 截距式

• 已知直线在 $x$ 轴上的截距为 $a$（过点 $(a,0)$），在 $y$ 轴上的截距为 $b$（过点 $(0,b)$），且 $ab \neq 0$。
• 方程：$\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1$
• 限制：不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线。

2.7 一般式

• 定义：关于 $x, y$ 的二元一次方程。
• 方程：$Ax + By + C = 0$（$A, B$ 不全为 0）。
• 优势：可表示平面内任意一条直线（包含竖直）。
• 重要关系：
  • 斜率 $k = -\dfrac{A}{B}$（当 $B \neq 0$ 时）；
  • 法向量 $\vec{n} = (A, B)$；
  • 方向向量 $\vec{d} = (B, -A)$。

好的，在“直线位置关系”部分，除了原有的一般式，我补充上斜截式 $y = kx + b$ 的对应判断方法，方便你在不同题型中选用。以下是完整修改后的内容：

3 直线位置关系

设两条直线分别为：

• 一般式：$l_1: A_1x + B_1y + C_1 = 0$，$l_2: A_2x + B_2y + C_2 = 0$
• 斜截式：$l_1: y = k_1x + b_1$，$l_2: y = k_2x + b_2$（斜率存在时）

3.1 重合

• 一般式判定：存在非零常数 $\lambda$，使得 $A_1 = \lambda A_2$，$B_1 = \lambda B_2$，$C_1 = \lambda C_2$。
• 斜截式判定：$k_1 = k_2$ 且 $b_1 = b_2$。
• 方程解：方程组有无穷多组解。

3.2 平行

• 一般式判定：$\dfrac{A_1}{A_2} = \dfrac{B_1}{B_2} \neq \dfrac{C_1}{C_2}$（分母不为 0 时）；或 $A_1B_2 - A_2B_1 = 0$ 且 $A_1C_2 - A_2C_1 \neq 0$（或 $B_1C_2 - B_2C_1 \neq 0$）。
• 斜截式判定：$k_1 = k_2$ 且 $b_1 \neq b_2$。
• 方程解：方程组无解。

3.3 相交

• 一般式判定：$\dfrac{A_1}{A_2} \neq \dfrac{B_1}{B_2}$，即 $A_1B_2 - A_2B_1 \neq 0$。
• 斜截式判定：$k_1 \neq k_2$。
• 方程解：方程组有唯一解（交点坐标可通过联立方程求得）。

3.4 垂直

• 一般式判定：$A_1A_2 + B_1B_2 = 0$（法向量互相垂直）。
• 斜截式判定：$k_1 \cdot k_2 = -1$（两条斜率都存在时）。
• 特例（斜截式无法表示的情况）：一条斜率为 $0$（水平），另一条斜率不存在（竖直），此时两直线也垂直。

3.5 夹角

设两条直线的夹角为 $\theta$（$0 \le \theta \le \dfrac{\pi}{2}$）。

• 已知斜率（斜截式）：$\tan \theta = \left| \dfrac{k_2 - k_1}{1 + k_1k_2} \right|$。
• 已知一般式：$\cos \theta = \dfrac{|A_1A_2 + B_1B_2|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2+B_2^2}}$。

4 直线距离

4.1 点到直线距离

• 已知：点 $P(x_0, y_0)$，直线 $l: Ax + By + C = 0$。
• 公式： $$ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} $$
• 注意：使用前必须将直线方程化为一般式。

4.2 平行线之间距离

• 已知：两条平行直线 $l_1: Ax + By + C_1 = 0$，$l_2: Ax + By + C_2 = 0$（$A, B$ 必须对应相同）。
• 公式： $$ d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}} $$
• 注意：使用前必须将两条直线中 $x, y$ 的系数化为相同。

定义：平面内与一个定点 $F$ 和一条定直线 $l$（$l$ 不经过点 $F$）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点 $F$ 叫做抛物线的焦点，定直线 $l$ 叫做抛物线的准线。

符号语言： 设 $P$ 为抛物线上任意一点，则

其中 $d(P,l)$ 表示点 $P$ 到准线 $l$ 的距离。

定义要点：

• 焦点 $F$ 不在准线 $l$ 上（若 $F \in l$，轨迹为过 $F$ 且垂直于 $l$ 的直线）；
• 抛物线是到定点与到定直线距离相等的点的集合；
• 抛物线是圆锥曲线中离心率 $e = 1$ 的情形（椭圆 $01$）。

补充定义（统一定义）：抛物线是平面内到定点 $F$ 的距离与到定直线 $l$ 的距离之比为常数 $e$（$e = 1$）的点的轨迹，即

2 抛物线的方程及图像

2.1 焦点在 $x$ 轴上

抛物线焦点在 $x$ 轴上时，标准方程有两种情况（开口向右或向左）。

（1）开口向右（焦点在 $x$ 轴正半轴）

标准方程：

几何要素：

• 焦点坐标：$F\left(\dfrac{p}{2}, 0\right)$；
• 准线方程：$x = -\dfrac{p}{2}$；
• 顶点坐标：$(0, 0)$；
• 对称轴：$x$ 轴；
• 离心率：$e = 1$；
• 焦参数：$p$（焦点到准线的距离）；
• 通径长：$2p$（过焦点且垂直于对称轴的弦）。

图像特征：抛物线开口向右，顶点在原点，对称轴为 $x$ 轴，$x \geq 0$ 部分有曲线。

（2）开口向左（焦点在 $x$ 轴负半轴）

标准方程：

几何要素：

• 焦点坐标：$F\left(-\dfrac{p}{2}, 0\right)$；
• 准线方程：$x = \dfrac{p}{2}$；
• 顶点坐标：$(0, 0)$；
• 对称轴：$x$ 轴；
• 离心率：$e = 1$；
• 通径长：$2p$。

图像特征：抛物线开口向左，顶点在原点，$x \leq 0$ 部分有曲线。

2.2 焦点在 $y$ 轴上

抛物线焦点在 $y$ 轴上时，标准方程有两种情况（开口向上或向下）。

（1）开口向上（焦点在 $y$ 轴正半轴）

标准方程：

几何要素：

• 焦点坐标：$F\left(0, \dfrac{p}{2}\right)$；
• 准线方程：$y = -\dfrac{p}{2}$；
• 顶点坐标：$(0, 0)$；
• 对称轴：$y$ 轴；
• 离心率：$e = 1$；
• 通径长：$2p$。

图像特征：抛物线开口向上，顶点在原点，对称轴为 $y$ 轴，$y \geq 0$ 部分有曲线。

（2）开口向下（焦点在 $y$ 轴负半轴）

标准方程：

几何要素：

• 焦点坐标：$F\left(0, -\dfrac{p}{2}\right)$；
• 准线方程：$y = \dfrac{p}{2}$；
• 顶点坐标：$(0, 0)$；
• 对称轴：$y$ 轴；
• 离心率：$e = 1$；
• 通径长：$2p$。

图像特征：抛物线开口向下，顶点在原点，$y \leq 0$ 部分有曲线。

四种标准方程对比总结：

记忆规律：

• 一次项决定对称轴位置（$y^2$ 对应 $x$ 轴，$x^2$ 对应 $y$ 轴）；
• 一次项系数符号决定开口方向（正号朝正半轴，负号朝负半轴）；
• $p$ 始终为正，等于焦点到准线的距离。

3 抛物线的性质

3.1 抛物线的定义（见第1节）

抛物线满足第一定义（到定点与定直线距离相等），其核心性质可归纳为：

• 第一定义（几何定义）：到定点 $F$ 与到定直线 $l$ 距离相等的轨迹；
• 第二定义（统一定义）：到定点与到定直线距离之比为 $e = 1$ 的轨迹；
• 抛物线的离心率恒为 $1$，是椭圆（$e<1$）与双曲线（$e>1$）之间的"临界情形"。

3.2 抛物线上点到焦点的距离

（1）焦点半径公式（焦半径）

抛物线上任意一点 $P(x_0, y_0)$ 到焦点 $F$ 的距离称为焦半径。

四种标准方程的焦半径：

| 标准方程 | 焦半径 $|PF|$ | |—|—| | $y^2 = 2px$ | $|PF| = x_0 + \dfrac{p}{2}$ | | $y^2 = -2px$ | $|PF| = -x_0 + \dfrac{p}{2}$ | | $x^2 = 2py$ | $|PF| = y_0 + \dfrac{p}{2}$ | | $x^2 = -2py$ | $|PF| = -y_0 + \dfrac{p}{2}$ |

统一记忆：焦半径等于点到准线的距离（由定义直接可得），即 $|PF| = d(P, l)$。

（2）重要性质

• 最小值：当 $P$ 在顶点时，焦半径取最小值 $\dfrac{p}{2}$；
• 无上界：抛物线向外无限延伸，焦半径无最大值；
• 几何意义：焦半径就是点到准线的距离，体现了抛物线的定义本质。

3.3 抛物线的弦长公式

定义：抛物线上两点之间的线段称为抛物线的弦。过焦点的弦称为焦点弦。

（1）一般弦长公式

若直线 $l: y = kx + b$ 与抛物线 $y^2 = 2px$ 交于 $A(x_1, y_1),\ B(x_2, y_2)$ 两点，则弦长：

将 $y = kx + b$ 代入抛物线方程，利用韦达定理：

若直线为 $x = my + n$，则：

（2）焦点弦长公式——抛物线最重要的性质

过焦点 $F\left(\dfrac{p}{2}, 0\right)$ 的弦 $AB$ 称为焦点弦。

若直线 $AB$ 的倾斜角为 $\theta$（$0 < \theta < \pi$），则：

当 $\theta = 90^\circ$ 时（即焦点弦垂直于对称轴），$|AB| = 2p$，此时为通径，是抛物线最短的焦点弦。

若焦点弦的斜率为 $k$，则：

（3）焦点弦的两个重要性质

设焦点弦 $AB$ 的端点坐标分别为 $A(x_1, y_1),\ B(x_2, y_2)$（抛物线 $y^2 = 2px$）：

• 性质1：$y_1 y_2 = -p^2$，$x_1 x_2 = \dfrac{p^2}{4}$；
• 性质2：$\dfrac{1}{|AF|} + \dfrac{1}{|BF|} = \dfrac{2}{p}$（焦点弦两端点到焦点的距离倒数和为常数）；

由性质2可进一步得：若 $|AF| = m,\ |BF| = n$，则 $\dfrac{1}{m} + \dfrac{1}{n} = \dfrac{2}{p}$，从而 $|AB| = m + n \geq 2p$（当且仅当 $m = n = p$ 时取等号，此时 $AB \perp$ 对称轴，即为通径）。

3.4 抛物线的切线方程

（1）抛物线上一点处的切线方程

情形一：抛物线 $y^2 = 2px$ 上一点 $P(x_0, y_0)$ 处的切线方程为：

情形二：抛物线 $x^2 = 2py$ 上一点 $P(x_0, y_0)$ 处的切线方程为：

统一记忆方法：将原方程中的变量按"一半替换"规则——$y^2$ 换成 $y y_0$，$x$ 换成 $\dfrac{x + x_0}{2}$。

（2）斜率已知的切线方程

情形一：斜率为 $k$ 的直线与抛物线 $y^2 = 2px$ 相切，切线方程为：

情形二：斜率为 $k$ 的直线与抛物线 $x^2 = 2py$ 相切，切线方程为：

（3）抛物线外一点引切线（切点弦方程）

过抛物线 $y^2 = 2px$ 外一点 $P(x_0, y_0)$ 作两条切线，其切点弦方程为：

（形式与切线方程相同，但此时 $P$ 在抛物线外。）

几何意义：若 $P$ 在抛物线上，该方程表示过 $P$ 的切线；若 $P$ 在抛物线外，该方程表示两个切点连线的方程。

（4）切线性质——抛物线的光学性质

• 从焦点发出的光线经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于对称轴；
• 反之，平行于对称轴的光线经抛物线反射后，汇聚于焦点；
• 这一性质是抛物线最重要的应用背景（如探照灯、卫星天线、太阳灶等）。

定义：平面内与两个定点 $F_1, F_2$ 的距离之差的绝对值等于常数（大于 $0$ 且小于 $|F_1F_2|$）的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。

符号语言： 设 $P$ 为双曲线上任意一点，则

去掉绝对值时，双曲线分为两支：

• $|PF_1| - |PF_2| = 2a$：靠近 $F_2$ 的一支（右支）；
• $|PF_1| - |PF_2| = -2a$：靠近 $F_1$ 的一支（左支）。

定义中常数的要求：

• $0 < 2a < 2c$：轨迹为双曲线（两支）；
• $2a = 2c$：轨迹为以 $F_1, F_2$ 为端点的两条射线；
• $2a > 2c$：轨迹不存在；
• $2a = 0$：轨迹为线段 $F_1F_2$ 的垂直平分线。

补充定义（第二定义）：双曲线是平面内到定点 $F$（焦点）的距离与到定直线 $l$（准线）的距离之比为常数 $e$（$e > 1$）的点的轨迹，即

其中 $e$ 为双曲线的离心率。

2 双曲线的方程及图像

2.1 焦点在 $x$ 轴上

标准方程：

几何要素：

• 焦点坐标：$F_1(-c, 0),\ F_2(c, 0)$，其中 $c^2 = a^2 + b^2$；
• 顶点坐标：$(\pm a, 0)$（实轴端点）；
• 虚轴端点：$(0, \pm b)$（虚轴端点，非双曲线上的点）；
• 实轴长：$2a$（在 $x$ 轴上）；
• 虚轴长：$2b$（在 $y$ 轴上）；
• 焦距：$2c$；
• 离心率：$e = \dfrac{c}{a}$（$e > 1$）；
• 渐近线方程：$y = \pm \dfrac{b}{a}x$；
• 准线方程：$x = \pm \dfrac{a^2}{c}$。

图像特征：双曲线左右两支开口，实轴沿 $x$ 轴方向，渐近线为过原点的两条直线。

2.2 焦点在 $y$ 轴上

标准方程：

几何要素：

• 焦点坐标：$F_1(0, -c),\ F_2(0, c)$，其中 $c^2 = a^2 + b^2$；
• 顶点坐标：$(0, \pm a)$（实轴端点）；
• 虚轴端点：$(\pm b, 0)$（虚轴端点，非双曲线上的点）；
• 实轴长：$2a$（在 $y$ 轴上）；
• 虚轴长：$2b$（在 $x$ 轴上）；
• 焦距：$2c$；
• 离心率：$e = \dfrac{c}{a}$（$e > 1$）；
• 渐近线方程：$y = \pm \dfrac{a}{b}x$；
• 准线方程：$y = \pm \dfrac{a^2}{c}$。

图像特征：双曲线上下两支开口，实轴沿 $y$ 轴方向。

两种标准方程的对比：

判断焦点位置的方法：看标准方程中 正号项 对应的变量——正号项分母为 $a^2$，焦点在该变量对应的轴上。

等轴双曲线：当 $a = b$ 时，称为等轴双曲线，方程为 $x^2 - y^2 = a^2$（或 $y^2 - x^2 = a^2$），其渐近线为 $y = \pm x$，互相垂直，离心率 $e = \sqrt{2}$。

共轭双曲线：$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 与 $\dfrac{y^2}{b^2} - \dfrac{x^2}{a^2} = 1$ 互为共轭双曲线，它们有共同的渐近线。

3 双曲线的性质

3.1 双曲线的定义（见第1节）

双曲线的第一定义和第二定义等价，综合表述为：

• 第一定义（几何定义）：到两定点距离之差的绝对值为常数 $2a$ 的轨迹；
• 第二定义（统一定义）：到定点与到定直线距离之比为离心率 $e$（$e>1$）的轨迹。

第一定义与第二定义的关系：由标准方程可推导出 $\dfrac{|PF|}{d(P,l)} = \dfrac{c}{a} = e$。

3.2 双曲线上点到焦点的距离

（1）焦点半径公式（焦半径）

双曲线上任意一点 $P(x_0, y_0)$ 到两焦点的距离称为焦半径。

焦点在 $x$ 轴上：双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$，焦点 $F_1(-c,0),\ F_2(c,0)$。

• 当 $P$ 在右支上（$x_0 \geq a$）：

• 当 $P$ 在左支上（$x_0 \leq -a$）：

统一形式（利用 $|x_0| \geq a$）：

焦点在 $y$ 轴上：双曲线 $\dfrac{y^2}{a^2} - \dfrac{x^2}{b^2} = 1$，焦点 $F_1(0,-c),\ F_2(0,c)$。

• 当 $P$ 在上支上（$y_0 \geq a$）：

• 当 $P$ 在下支上（$y_0 \leq -a$）：

（2）重要性质

• 差的绝对值恒定：$\bigl||PF_1| - |PF_2|\bigr| = 2a$（双曲线定义）；
• 范围：焦点半径无上界（双曲线向外无限延伸）；
• 最值：当 $P$ 在顶点处时，焦半径取最小值 $c - a$（近焦点）和 $a + c$（远焦点）。

3.3 双曲线的弦长公式

定义：双曲线上两点之间的线段称为双曲线的弦。过焦点的弦称为焦点弦。

（1）一般弦长公式

若直线 $l: y = kx + m$ 与双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 交于 $A(x_1, y_1),\ B(x_2, y_2)$ 两点，则弦长：

将 $y = kx + m$ 代入双曲线方程，利用韦达定理：

若直线为 $x = my + n$，则：

注意：双曲线弦长公式与椭圆形式相同，但联立方程后韦达定理的形式不同（$x^2$ 系数可能为 $0$，此时直线与渐近线平行，与双曲线只有一个交点）。

（2）焦点弦长公式

过焦点 $F(c,0)$ 的弦 $AB$，若直线斜率为 $k$，则：

特殊情形——通径：过焦点且垂直于实轴的弦称为通径，其长度为：

（通径是双曲线中最短的焦点弦，与椭圆通径公式形式相同。）

3.4 双曲线的切线方程

（1）双曲线上一点处的切线方程

设 $P(x_0, y_0)$ 是双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 上一点，则过点 $P$ 的切线方程为：

记忆口诀：将标准方程中的 $x^2$ 换成 $x x_0$，$y^2$ 换成 $y y_0$。

（2）斜率已知的切线方程

已知切线斜率为 $k$，则与双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 相切的直线方程为：

存在条件：$a^2 k^2 - b^2 \geq 0$，即 $|k| \geq \dfrac{b}{a}$。

当 $|k| < \dfrac{b}{a}$ 时，直线与双曲线没有切点（可能无交点或有两个交点）； 当 $|k| = \dfrac{b}{a}$ 时，直线与渐近线平行（或重合），此时切点在无穷远处，退化为渐近线方向。

（3）双曲线外一点引切线

若点 $P(x_0, y_0)$ 在双曲线外部（且不在渐近线上），过 $P$ 作双曲线的两条切线，其切点弦方程为：

（形式与切线方程相同，但此时 $P$ 在双曲线外，该方程表示两切点所在的直线。）

（4）切线性质

• 双曲线上一点 $P$ 处的切线平分该点与两焦点连线所成的内角（光学性质：从一焦点发出的光线经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过另一焦点）；
• 切线与法线垂直（法线方向与焦半径方向有固定关系）。

定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆。定点叫做圆的圆心，定长叫做圆的半径。

符号语言： 设圆心为 $O$，半径为 $r$（$r > 0$），$P$ 为圆上任意一点，则

补充定义（解析几何角度）：圆是平面内与定点距离为常数的点的轨迹。也可以理解为到两个定点（圆心和无穷远点）距离之比为 $1$ 的点的轨迹。

2 圆的方程

2.1 标准方程

形式： 设圆心为 $O(a, b)$，半径为 $r$（$r > 0$），则圆的标准方程为

特例：当圆心在原点 $O(0, 0)$ 时，方程为

要点：

• 标准方程直接给出了圆心坐标 $(a, b)$ 和半径 $r$；
• 左边为平方和形式，右边为半径平方；
• 若点 $P(x_0, y_0)$ 在圆上，则 $(x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2 = r^2$。

2.2 一般方程

将标准方程展开，得到圆的一般方程：

其中 $D, E, F$ 为常数，且满足 $D^2 + E^2 - 4F > 0$。

圆心与半径： 由一般方程配方可得：

因此：

• 圆心坐标：$\left(-\dfrac{D}{2}, -\dfrac{E}{2}\right)$；
• 半径：$r = \dfrac{1}{2}\sqrt{D^2 + E^2 - 4F}$。

方程条件：

• $D^2 + E^2 - 4F > 0$：表示一个圆；
• $D^2 + E^2 - 4F = 0$：表示一个点（点圆）$\left(-\dfrac{D}{2}, -\dfrac{E}{2}\right)$；
• $D^2 + E^2 - 4F < 0$：不表示任何图形。

标准方程与一般方程可以互化：标准方程展开即得一般方程；一般方程配方即得标准方程。

2.3 参数方程

形式一（圆心在原点）： 圆 $x^2 + y^2 = r^2$ 的参数方程为

其中 $\theta$ 为参数，表示点 $P$ 与 $x$ 轴正方向的夹角。

形式二（圆心在 $(a, b)$）： 圆 $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ 的参数方程为

参数 $\theta$ 的几何意义：$\theta$ 是点 $P$ 与圆心连线与 $x$ 轴正方向所成的角（有向角）。

应用：参数方程常用于处理"点在圆上运动"的动点问题，以及最值问题（可将二元最值转化为三角最值）。

3 圆与点、直线、圆的位置关系

3.1 圆与点的位置关系

设圆 $C$ 的圆心为 $O$，半径为 $r$，点 $P$ 到圆心 $O$ 的距离为 $d = |OP|$，则：

坐标判断法：若圆方程为 $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$，点 $P(x_0, y_0)$，则：

• $(x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2 < r^2$：点在圆内；
• $(x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2 = r^2$：点在圆上；
• $(x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2 > r^2$：点在圆外。

3.2 圆与直线的位置关系

设圆心 $O$ 到直线 $l$ 的距离为 $d$，圆的半径为 $r$，则：

几何法（最常用）： 设直线方程为 $Ax + By + C = 0$，圆心为 $O(a, b)$，则圆心到直线的距离：

比较 $d$ 与 $r$ 的大小即可判断。

代数法（判别式法）： 将直线方程代入圆方程，消去一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，计算判别式 $\Delta$：

• $\Delta < 0$：相离；
• $\Delta = 0$：相切；
• $\Delta > 0$：相交。

推荐：几何法更简洁直观，代数法适用于需要求交点坐标的情形。

3.3 圆与圆的位置关系

设两圆 $C_1$ 的半径为 $r_1$，圆心距为 $d = |O_1O_2|$，$r_1 \geq r_2$，则：

判断步骤：

1. 求两圆圆心距 $d$；
2. 比较 $d$ 与 $r_1 + r_2$、$|r_1 - r_2|$ 的大小；
3. 按上表确定位置关系。

两圆公共弦：当两圆相交时，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程。

4 圆的弦长公式

定义：直线与圆相交时，直线被圆截得的两交点之间的线段称为圆的弦。

弦长公式（几何法）： 设圆心 $O$ 到直线 $l$ 的距离为 $d$，圆的半径为 $r$，则弦长

推导：由垂径定理，圆心到弦的垂线平分弦，构成直角三角形，斜边为 $r$，一条直角边为 $d$，另一条直角边为弦长的一半。

坐标法（直线与圆联立）： 若直线方程为 $y = kx + b$，与圆 $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ 交于 $A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$，则

特殊情形：

• 当直线过圆心时，$d = 0$，弦长 $|AB| = 2r$（直径）；
• 当直线与圆相切时，$d = r$，弦长 $|AB| = 0$。

5 圆的切线

5.1 圆上点切线方程

形式一：圆 $x^2 + y^2 = r^2$ 上一点 $P(x_0, y_0)$ 处的切线方程为：

形式二：圆 $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ 上一点 $P(x_0, y_0)$ 处的切线方程为：

记忆口诀：将标准方程中的 $x^2$ 换成 $x x_0$，$y^2$ 换成 $y y_0$；若圆心不在原点，则 $(x-a)^2$ 换成 $(x-a)(x_0-a)$。

几何法（当圆心在原点时）： 圆心 $O$ 与切点 $P$ 连线垂直于切线，故切线斜率为 $-\dfrac{x_0}{y_0}$（当 $y_0 \neq 0$ 时），利用点斜式可得切线方程。

5.2 过圆外一点的切点弦方程

定义：从圆外一点 $P(x_0, y_0)$ 向圆引两条切线，两个切点 $A$、$B$ 的连线称为切点弦（或切点弦方程）。

切点弦方程（圆 $x^2 + y^2 = r^2$，点 $P(x_0, y_0)$ 在圆外）：

切点弦方程（圆 $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$，点 $P(x_0, y_0)$ 在圆外）：

切点弦的性质：

• 切点弦方程的形式与切点处切线方程完全相同，但 $P$ 从圆上换成了圆外；
• 当 $P$ 在圆上时，切点弦退化为该点处的切线；
• $OP$ 垂直于切点弦 $AB$（$O$ 为圆心）；
• 切点弦 $AB$ 的方程为"极线方程"的体现（在极坐标意义下）。

6 圆系方程

6.1 两圆的公共弦所在直线方程

设两圆 $C_1$、$C_2$ 的方程分别为：

两圆方程相减，得到公共弦所在直线方程（两圆相交时）：

当两圆相切时，该方程表示两圆的公切线（切点处的公切线）；当两圆相离时，该方程表示两圆的根轴（等幂轴）。

6.2 过两圆公共点圆的方程

过两圆交点的圆系方程： 若两圆 $C_1$ 与 $C_2$ 相交（或相切）于公共点，则经过它们的所有公共点的圆（包括两圆本身）的方程可表示为：

即：

其中 $\lambda$ 为参数（$\lambda \neq -1$）。

说明：

• 当 $\lambda = 0$ 时，表示圆 $C_1$；
• 当 $\lambda \to \infty$ 时，表示圆 $C_2$（实际上取 $\lambda$ 为某一值可表示过公共点的所有圆，但不包含 $C_2$ 本身，$C_2$ 需单独处理）；
• 若已知第三个条件（如圆心坐标或经过第三个点），可确定 $\lambda$ 的值。

过两圆公共点且圆心在已知直线上的圆：先写出圆系方程，再根据圆心坐标满足的直线条件求出 $\lambda$。

过直线与圆的交点的圆系方程： 若直线 $l: Ax + By + C = 0$ 与圆 $C: x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ 交于两点，则过这两个交点的所有圆可表示为：

即：

6.3 圆系方程性质汇总

2 抽样方法

抽样方法是连接总体与样本的桥梁。选择合理的抽样方式，是保证样本代表性、控制抽样误差的关键。沪教版教材主要介绍了三种基本的概率抽样方法。

2.1 简单随机抽样

2.1.1 定义

简单随机抽样（simple random sampling），又称纯随机抽样，是指从容量为 $N$ 的总体中，不放回地抽取容量为 $n$ 的样本，使得每一个容量为 $n$ 的样本被抽中的概率相等的一种抽样方法。

简单随机抽样是最基本、最直观的概率抽样方法，是理解其他抽样方法的基础。

2.1.2 特点

• 等概率性：总体中每个个体被抽中的概率相同，均为 $\frac{n}{N}$；
• 独立性：每次抽取时，各个个体被抽到的可能性不受其他个体影响；
• 不放回抽样：通常采用不放回方式，已抽中的个体不再放回总体。

2.1.3 优缺点

2.1.4 适用情形

• 总体容量 $N$ 不大；
• 总体内个体差异较小；
• 有完整的抽样框（即总体所有个体的名单）。

2.2 分层抽样

2.2.1 定义

分层抽样（stratified sampling），又称类型抽样。它是先将总体按某种特征分成若干个互不重叠的部分（称为“层”），然后在每一层中独立地进行简单随机抽样，最后将各层样本合并，组成总的样本。

核心思想：“分而治之”——让层内个体尽可能相似（同质性高），层间差异尽可能大（异质性高），从而提高样本代表性。

2.2.2 步骤

1. 分层：根据与研究目标密切相关的特征（如性别、年龄、年级等）将总体划分成若干层；
2. 定比：确定各层应抽取的样本量。最常用的方法是分层比例抽样，即各层样本数与该层总体数的比值相等：

其中 $N_i$ 为第 $i$ 层的个体数，$n_i$ 为第 $i$ 层应抽取的样本数，$N$ 为总体容量，$n$ 为样本容量。

3. 抽样：在各层内分别用简单随机抽样（或系统抽样）抽取个体；
4. 整合：将各层抽出的个体合并，组成最终样本。

2.2.3 优缺点

2.2.4 适用情形

• 总体由差异明显的几部分组成（如按性别、年龄段、城乡划分）；
• 需要同时了解总体和各个子群体的特征；
• 希望提高样本代表性、降低抽样误差。

典型例题：某单位职工500人，不到35岁125人，35~49岁280人，50岁以上95人。现要抽取100人进行身体状况调查。由于年龄与身体状况相关，应采用分层抽样。各层按比例抽取：

• 不到35岁：$125 \times \frac{100}{500} = 25$ 人
• 35~49岁：$280 \times \frac{100}{500} = 56$ 人
• 50岁以上：$95 \times \frac{100}{500} = 19$ 人

2.3 随机数表法

2.3.1 定义

随机数表法是利用随机数表（random number table）来抽取样本的一种具体操作方式。随机数表是由 $0 \sim 9$ 的数码随机排列而成的表格，表中每个位置出现哪个数字的概率均等，且各位置之间相互独立。

随机数表法是简单随机抽样在实际操作中的常用工具，尤其适用于总体容量中等、手工抽签不便的情形。

2.3.2 操作步骤

1. 编号：将总体中的所有个体统一编号，编号位数根据总体容量 $N$ 确定。例如 $N \leq 99$ 用两位数编号，$N \leq 999$ 用三位数编号；
2. 确定起点：在随机数表上任意确定一个起始位置（某行某列）；
3. 确定方向和规则：规定读数的方向（如从左到右、从上到下等），按固定规则逐个读取号码；
4. 选号：读取的号码若在编号范围内，则对应个体入选样本；若超出范围或重复出现（不重复抽样时），则跳过，继续读取，直到抽满所需样本容量 $n$ 为止。

2.3.3 重复抽样与不重复抽样

• 重复抽样：已抽中的号码可再次被选中，允许同一单位多次入选；
• 不重复抽样（通常采用）：已抽中的号码再次出现时跳过，保证每个个体至多入选一次。

操作示例：从95户居民中抽取10户，编号为01~95，从随机数表某行某列开始读数：

依次读得：37、38、63、69、64、73、66、14、69、16…

其中69重复出现（重复抽样情形）。若采用不重复抽样，则跳过第二个69，继续往后读取，直到抽满10个不重复号码为止。

2.3.4 适用情形

• 总体容量不大到中等（编号和查表工作量可接受）；
• 需要完全随机、排除主观因素的抽样。

3 整理数据

收集到的原始数据通常是杂乱无章的，需要通过整理、分组和图表化，将数据的分布特征直观地呈现出来。本节介绍两种常用的数据整理工具：频率分布直方图和茎叶图。

3.1 频率分布直方图

3.1.1 定义

频率分布直方图（frequency distribution histogram）是以组距为底边长、以频率/组距（即频率密度）为高绘制的一系列矩形统计图。它用于直观展示一组数据的分布形态——数据集中在哪个区间、在哪个区间分布稀疏。

注意：直方图纵轴是“频率/组距”，所以各矩形面积 = 频率，所有矩形面积之和等于 1。

3.1.2 绘制步骤

第1步：求极差 计算数据的最大值与最小值之差，确定数据的变动范围。

第2步：决定组距与组数

• 组距（class interval）：每个小区间的长度，通常取 2、5、10 的倍数以便于计算；
• 组数：将数据分成多少组。常用经验公式：组数 $k \approx 1 + \log_2 n$（$n$ 为样本容量），一般取 $5 \sim 12$ 组为宜；
• 三者关系：$\text{组数} = \left\lceil \dfrac{\text{极差}}{\text{组距}} \right\rceil$（向上取整）。

第3步：确定分点（组限）

• 确定各组的上限和下限，通常采用左闭右开区间 $[a, b)$，以免数据落在边界上造成归属不清；
• 为简化操作，常使分点比数据多一位小数，避免数据恰好落在分点上。

第4步：列频率分布表

• 频数（frequency）：落在该组内的数据个数；
• 频率（relative frequency）：频数与样本容量的比值，即 $\text{频率} = \dfrac{\text{频数}}{n}$；
• 频率密度（频率/组距）：$\text{频率密度} = \dfrac{\text{频率}}{\text{组距}}$（直方图的纵轴高度）。

第5步：绘制直方图

• 横轴：表示数据的分组区间；
• 纵轴：表示频率/组距（频率密度）；
• 以各组区间为底边，以频率密度为高，画出各矩形。

3.1.3 直方图的性质

性质1：每个小矩形的面积 = 组距 $\times$ 频率密度 = 该组的频率。

性质2：所有小矩形的面积之和 = $\sum$（各矩形面积） = $\sum$（各组频率） = 1。

性质3：在频率分布直方图中，众数约为最高矩形中点对应的数值；中位数约为使左右两侧面积相等（各占 0.5）的横坐标。

3.1.4 与条形图的区别

3.2 茎叶图

3.2.1 定义

茎叶图（stem-and-leaf plot）是一种将数据按数位进行分拆整理的统计图。它将每个数据拆分为茎（高位部分）和叶（低位部分），用茎表示共同的部分，用叶表示个体的细微差别。

茎叶图既能显示数据的具体取值（不损失原始数据信息），又能反映数据的分布形态，是兼具统计和整理功能的有效工具。

3.2.2 作图步骤

第1步：确定“茎”和“叶”的分位（通常以十位及更高位为茎，个位为叶）。

第2步：将数据按从小到大排序后，按茎分组，将每个数据的“叶”写在对应茎的右侧。

第3步：在茎的左侧记录频数，通常按从小到大的顺序排列茎，并将相同茎的叶按从小到大排列。

作图示例： 现有 10 名学生某次测验成绩（满分 100）：

绘制茎叶图（茎为十位，叶为个位）：

读法：第一行表示 $73, 78, 79$ 三个数据，第二行表示 $81, 82, 85, 86, 88$，第三行表示 $90, 94$。

3.2.3 茎叶图的特点

优点：

• 保留原始数据：所有数据的具体数值一目了然，不像直方图那样丢失细节；
• 便于排序和查找：叶按大小排列后，容易找到中位数、众数、极值等；
• 适合小样本：尤其适用于样本容量 $n \leq 50$ 的情形，手工整理方便；
• 直观显示分布：茎叶图的“叶”的疏密程度等同于直方图，可直观看出数据的集中趋势和分散情况。

局限：

• 样本容量较大时，叶子过长，不便阅读；
• 不便于多组数据直接对比（但可以绘制背靠背茎叶图来对比两组数据）。

3.2.4 补充：背靠背茎叶图

当需要比较两组数据的分布时，可以绘制背靠背茎叶图：将两组数据的叶分别写在茎的左右两侧（通常左侧按从小到大排列，右侧也按从小到大排列），便于直观对比两组数据的集中位置和离散程度。

示例：比较甲、乙两组学生的成绩

4 统计指标

4.1 平均数

4.1.1 具体数据的平均事

设一组样本数据为 $x_1, x_2, \ldots, x_n$，样本平均数为 $\bar{x}$，则

4.1.2 频率分布直方图求平均数

取每一段的中点值作为该段的所有数据的值，结合每段的频率求解平均数。

设一组样本绘制成频率分布直方图后，每段的中点值和频率如下所示：

4.2 极差

极差（range），又称全距，是一组数据的最大值与最小值之差，反映一组数据的变动幅度。

4.3 百分位数

4.3.1 定义

一组数据的第 $p$ 百分位数是这样一个值 $p$，它使得这组数据中至少有 $p\%$ 的数据小于或等于这个值，且至少有 $(100-p)\%$ 的数据大于或等于这个值。

4.3.2 计算方法

（1）具体数据 计算一组 $n$ 个数据的第 $p$ 百分位数的步骤如下：

第1步：将原始数据按从小到大排列。

第2步：计算 $i = n \times p\%$。

第3步：判断结果：

• 若 $i$ 不是整数，而大于 $i$ 的相邻整数为 $j$，则第 $p$ 百分位数为第 $j$ 项数据；
• 若 $i$ 是整数，则第 $p$ 百分位数为第 $i$ 项与第 $(i+1)$ 项数据的平均数。

（2）频率分布直方图 前置：假设数据在每一段内均匀分布。

步骤：

第1步：确定第$p$百分位数所在段，并确定该段的起始值$a$，还有面积$S_{\text{所在段}}$

第2步：计算出所在段前面所有段的面积和$S_{\text{和}}$

第$p$百分位数为

4.4 方差与标准差

.4.1 定义 方差（variance）是各个数据与平均数之差的平方的平均数，描述一组数据偏离平均数的程度；标准差（standard deviation）是方差的算术平方根。

4.4.2 计算公式

设一组数据为 $x_1, x_2, \ldots, x_n$，平均数为 $\bar{x}$：

样本方差 $s^2$：

样本标准差 $s$：

注意：方差（标准差）越大，说明数据的波动越大，越不稳定；反之，方差（标准差）越小，数据越集中、越稳定。

4.4.3 简化计算公式

方差也可用如下公式计算（便于手算或编程）：

4.4.4 统计意义

• 方差和标准差是描述数据离散程度最常用的指标；
• 与极差相比，方差利用了每一个数据的信息，更加全面可靠；
• 标准差的单位与数据本身一致，便于实际解释。

1.1 空间中点线面的表示

（1）点：用大写字母表示，例如点$A$，点$B$。 （2）直线：小写字母或者直线上两点，例如直线$a$，直线$AB$。 （3）平面：希腊字母或者平面上不公线的三点，例如平面$\alpha$，平面$ABC$。

1.2 空间中点线面的位置关系

（1）点与直线的位置关系

• 点在直线上：$A \in l$
• 点不在直线上：$A \notin l$

（2）点与平面的位置关系

• 点在平面内：$A \in \alpha$
• 点不在平面内：$A \notin \alpha$

（3）直线与直线的位置关系

• 平行：$a \parallel \text{直线}AB$
• 相交：$a \cap \text{直线}AB= C$
• 异面：$a \cap \text{直线}AB= \emptyset$

异面直线的证明：利用其中一条直线与另一条直线所在平面的交点不在另一条直线上，可以直接证明两直线异面。

（4）直线与平面的位置关系

• 平行：$a \parallel \alpha$
• 相交：$a \cap \alpha =A$
• 直线在平面内：$a \subset \alpha$

（5）平面与平面的位置关系

• 平行：$\alpha \parallel \beta$
• 相交：$\alpha \cap \beta = a$

1.3 四公理三推论

公理1（直线在平面内判定）

内容：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 符号：$A \in \alpha,\ B \in \alpha,\ A \in l,\ B \in l \Rightarrow l \subset \alpha$ 作用：①判定直线是否在平面内；②判定一个面是否是平面（如证明某线在面内）。

公理2（确定平面的条件）

内容：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。 符号：$A,B,C$ 不共线 $\Rightarrow$ 存在唯一平面 $\alpha$，使得 $A,B,C \in \alpha$ 作用：①确定一个平面的依据；②证明点、线共面。

公理3（两平面相交）

内容：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号：$P \in \alpha,\ P \in \beta,\ \alpha \neq \beta \Rightarrow \alpha \cap \beta = l$，且 $P \in l$ 作用：①证明两个平面相交；②证明点在直线上（证明点共线）。

公理4（平行公理）

内容：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号：$a \parallel b,\ b \parallel c \Rightarrow a \parallel c$ 作用：空间中直线平行的传递性。

推论1（由直线和直线外一点确定平面）

内容：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。 符号：$A \notin l \Rightarrow$ 存在唯一平面 $\alpha$，使 $l \subset \alpha$ 且 $A \in \alpha$

推论2（由两条相交直线确定平面）

内容：经过两条相交直线，有且只有一个平面。 符号：$a \cap b = P \Rightarrow$ 存在唯一平面 $\alpha$，使 $a \subset \alpha$ 且 $b \subset \alpha$

推论3（由两条平行直线确定平面）

内容：经过两条平行直线，有且只有一个平面。 符号：$a \parallel b \Rightarrow$ 存在唯一平面 $\alpha$，使 $a \subset \alpha$ 且 $b \subset \alpha$

2 空间中平行的证明与性质

2.1 线线平行

2.1.1. 证明（判定）方法

• 平行公理（公理 4 / 传递性）： 平行于同一条直线的两条直线平行。

  $$ \text{若} a \parallel b \text{ 且 } b \parallel c \implies a \parallel c $$

• 线面平行的性质： 一条直线与一个平面平行，过该直线的平面与此平面相交，则该直线与交线平行。

• 面面平行的性质： 两个平行平面同时与第三个平面相交，则两条交线平行。

• 平面几何性质： 利用三角形中位线、平行四边形对边平行、平行线分线段成比例定理等。

• 线面垂直的性质： 垂直于同一个平面的两条直线平行（若 $a \perp \alpha, b \perp \alpha \implies a \parallel b$）。

2.1.2 核心性质

• 若 $a \parallel b$，则 $a$ 与 $b$ 共面，且在同一平面内没有公共点。

2.2 线面平行

2.2.1 判定定理（线线平行 $\Rightarrow$ 线面平行）

• 文字表述： 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
• 符号表达：

• 关键要点： 证明时必须严格满足“一在外、一在内、二者平行”三个条件。

2.2.2 性质定理（线面平行 $\Rightarrow$ 线线平行）

• 文字表述： 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线就和交线平行。
• 符号表达：

• 关键要点： 这是将“线面平行”转化为“线线平行”构造辅助平面（作交线）的核心定理。

2.3 面面平行

2.3.1 判定定理（线面平行 $\Rightarrow$ 面面平行）

• 文字表述： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
• 符号表达：

• 关键要点： 平面内的两条直线必须相交，缺少相交条件结论不成立。

2.3.2 主要性质定理

• 面面平行 $\Rightarrow$ 线线平行： 两个平行平面同时和第三个平面相交，它们的交线平行。

• 面面平行 $\Rightarrow$ 线面平行： 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面。

• 传递性与垂直性：

  • 若 $\alpha \parallel \beta$ 且 $\beta \parallel \gamma \implies \alpha \parallel \gamma$。
  • 垂直于同一直线的两个平面平行（若 $l \perp \alpha, l \perp \beta \implies \alpha \parallel \beta$）。

逻辑转化链总结：

$\text{线线平行} \underset{\text{性质定理}}{\overset{\text{判定定理}}{\rightleftharpoons}} \text{线面平行} \underset{\text{性质定理}}{\overset{\text{判定定理}}{\rightleftharpoons}} \text{面面平行}$

3 空间中垂直的证明与性质

3.1 线线垂直

3.1.1 证明（判定）方法

• 平面几何性质： 利用勾股定理逆定理、等腰三角形三线合一、直角三角形性质等。

• 线面垂直的性质： 如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于该平面内的任意直线。

  $$ \begin{cases} l \perp \alpha \\ a \subset \alpha \end{cases} \implies l \perp a $$

• 三垂线定理（及逆定理）：

  • 平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
  • 平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。

• 向量法（空间向量）： 两直线的方向向量数量积为 0。

  $$ \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \iff a \perp b $$

3.1.2 分类与区别

• 相交垂直： 两直线相交且所成的角为 $90^\circ$（共面）。
• 异面垂直： 两直线异面，通过平移后所成的角为 $90^\circ$（不共面）。

3.2 线面垂直

3.2.1 判定定理（线线垂直 $\Rightarrow$ 线面垂直）

• 文字表述： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

• 符号表达：

  $$ \begin{cases} m \subset \alpha, n \subset \alpha \\ m \cap n = P \\ l \perp m, l \perp n \end{cases} \implies l \perp \alpha $$

• 关键要点： 平面内的两条直线必须相交，这是最常用的证明线面垂直的方法。

3.2.2 其他判定方法

• 面面垂直的性质： 两个平面垂直，在其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面（详见 3.3）。

• 面面平行的性质： 一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它也垂直于另一个。

  $$ \begin{cases} \alpha \parallel \beta \\ l \perp \alpha \end{cases} \implies l \perp \beta $$

• 线线平行的性质： 两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面。

  $$ \begin{cases} a \parallel b \\ a \perp \alpha \end{cases} \implies b \perp \alpha $$

3.2.3 核心性质

• 定义性质： 若 $l \perp \alpha$，则 $l$ 垂直于平面 $\alpha$ 内的所有直线。

• 平行性： 垂直于同一个平面的两条直线互相平行。

  $$ \begin{cases} a \perp \alpha \\ b \perp \alpha \end{cases} \implies a \parallel b $$

3.3 面面垂直

3.3.1 判定定理（线面垂直 $\Rightarrow$ 面面垂直）

• 文字表述： 一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。

• 符号表达：

  $$ \begin{cases} l \perp \alpha \\ l \subset \beta \end{cases} \implies \beta \perp \alpha $$

• 关键要点： 证明面面垂直通常转化为先证明“线面垂直”。

3.3.2 性质定理（面面垂直 $\Rightarrow$ 线面垂直）

• 文字表述： 两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

• 符号表达：

  $$ \begin{cases} \alpha \perp \beta \\ \alpha \cap \beta = l \\ a \subset \alpha \\ a \perp l \end{cases} \implies a \perp \beta $$

• 关键要点： 这是将“面面垂直”降维转化为“线面垂直”的核心定理，作辅助线时常在其中一个平面内向交线作垂线。

3.3.3 其他补充性质

• 若两个平面垂直，过第一个平面内一点作第二个平面的垂线，则该垂线必在第一个平面内。

• 如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面。

  $$ \begin{cases} \alpha \perp \gamma \\ \beta \perp \gamma \\ \alpha \cap \beta = l \end{cases} \implies l \perp \gamma $$

逻辑转化链总结：

$\text{线线垂直} \underset{\text{定义/性质}}{\overset{\text{判定定理}}{\rightleftharpoons}} \text{线面垂直} \underset{\text{性质定理}}{\overset{\text{判定定理}}{\rightleftharpoons}} \text{面面垂直}$

4 空间中夹角

4.1 异面直线夹角

4.1.1 概念与取值范围

• 定义： 过空间任意一点 $P$（常选在其中一条直线上或特定特殊点上），分别作与异面直线 $a, b$ 平行的直线 $a', b'$，这 两条相交直线 $a', b'$ 所成的锐角或直角叫作异面直线 $a$ 与 $b$ 所成的角。
• 取值范围： $\theta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right]$ 或 $\left(0^\circ, 90^\circ\right]$。

4.1.2 综合几何法（“一平移、二作角、三求解”）

1. 平移作角： 利用中位线、平行四边形或补形法，将其中一条（或两条）直线平移到同一点，构造出相交直线。
2. 解三角形： 将该角放入某个三角形中，利用勾股定理、余弦定理（$\cos \theta = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$）或正弦定理求解。
3. 确定终值： 若解出余弦值为负，需取其绝对值（异面直线夹角不能为钝角）。

4.1.3 空间向量法

• 公式： 设直线 $a, b$ 的方向向量分别为 $\vec{u}, \vec{v}$，夹角为 $\theta$，则：

  $$ \cos \theta = \frac{\vert{}\vec{u} \cdot \vec{v}\vert{}}{\vert{}\vec{u}\vert{} \vert{}\vec{v}\vert{}} $$

4.2 线面角（直线与平面所成的角）

4.2.1 概念与取值范围

• 定义： 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角。

  • 若直线与平面平行或在平面内，规定所成角为 $0^\circ$；
  • 若直线与平面垂直，规定所成角为 $90^\circ$。

• 取值范围： $\theta \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 或 $\left[0^\circ, 90^\circ\right]$。

4.2.2 综合几何法（“一作垂线、二找射影、三求角”）

1. 作垂线找射影： 从斜线上一点向平面作垂线（垂足为 $H$），连接斜足与垂足，得到斜线在平面内的射影。
2. 解直角三角形： 构成以斜线段为斜边、垂线段和射影线段为直角边的直角三角形，求出正弦值或正切值。
3. 常用技巧： “等体积法”求点到平面的距离（即垂线段长度 $h$），再利用 $\sin \theta = \frac{h}{L}$（$L$ 为斜线段长）计算。

4.2.3 空间向量法

• 公式： 设直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{u}$，平面 $\alpha$ 的法向量为 $\vec{n}$，线面角为 $\theta$，则：

  $$ \sin \theta = \cos \langle \vec{u}, \vec{n} \rangle = \frac{\vert{}\vec{u} \cdot \vec{n}\vert{}}{\vert{}\vec{u}\vert{} \vert{}\vec{n}\vert{}} $$

4.3 二面角（平面与平面所成的角）

4.3.1 概念与取值范围

• 定义： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角。这条直线叫作二面角的棱，两个半平面叫作二面角的面。
• 二面角的平面角： 在二面角的棱上任取一点 $O$，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线 $OA, OB$，则 $\angle AOB$ 叫作二面角的平面角。
• 取值范围： $\alpha \in [0, \pi]$ 或 $[0^\circ, 180^\circ]$。

4.3.2 综合几何法（寻找/构造平面角）

1. 定义法（垂线法）： 在棱上找特殊点，过该点在两个半平面内分别作棱的垂线。

2. 三垂线法： 过其中一个平面内一点作另一个平面的垂线，再作棱的垂线，连接垂足构成平面角。

3. 垂面法： 作一个垂直于二面角棱的平面，该平面与两个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角。

4. 面积投影法： 若已知平面图形面积为 $S$，其在另一个平面内的射影图形面积为 $S'$，则二面角 $\theta$ 的余弦值为：

   $$ cos \theta = \frac{S'}{S} $$

4.3.3 空间向量法

• 公式： 设平面 $\alpha, \beta$ 的法向量分别为 $\vec{n}_1, \vec{n}_2$，二面角大小为 $\theta$：

  $$ \vert{}\cos \theta\vert{} = \frac{\vert{}\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2\vert{}}{\vert{}\vec{n}_1\vert{} \vert{}\vec{n}_2\vert{}} $$

• 钝锐判断： 需结合几何图形的实际开合方向，判断两法向量的方向是“同向/反向”与二面角的“锐/钝”关系（若法向量一指向二面角内部、一指向外部，则 $\cos \theta = \frac{\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2}{\vert{}\vec{n}_1\vert{} \vert{}\vec{n}_2\vert{}}$）。

空间三角函数关系链总结：

• 异面直线角 $\rightarrow$ 利用方向向量求 $\boldsymbol{\cos}$ 值；
• 线面角 $\rightarrow$ 利用方向向量与法向量求 $\boldsymbol{\sin}$ 值；
• 二面角 $\rightarrow$ 利用双法向量求 $\boldsymbol{\cos}$ 值。

5 空间中的距离问题

5.1 点到线的距离

5.1.1 概念与取值范围

• 定义： 从点向直线引垂线，该点与垂足之间的线段长度叫作点到直线的距离。
• 取值范围： $d \in [0, +\infty)$。若点在直线上，则距离为 $0$。

5.1.2 综合几何法（“作垂线，解三角形”）

1. 作垂线： 过点 $P$ 作直线 $l$ 的垂线，垂足为 $H$（或利用三垂线定理/等腰三角形性质寻找垂足）。
2. 解三角形： 将线段 $PH$ 放入直角三角形或一般三角形中，利用勾股定理、正弦定理或面积法（$d = \frac{2S_{三角形}}{\text{底边长}}$）求出 $PH$ 的长度。

5.1.3 空间向量法

• 公式： 设已知点为 $P$，直线 $l$ 上有一已知点 $A$，直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{u}$，则点 $P$ 到直线 $l$ 的距离为：

  $$ d= \sqrt{\vert{}\overrightarrow{AP}\vert{}^2 - \left(\frac{\overrightarrow{AP} \cdot \vec{u}}{\vert{}\vec{u}\vert{}}\right)^2} $$

  (原理：利用勾股定理，$\vert{}\overrightarrow{AP}\vert{}$ 为斜边，$\frac{\overrightarrow{AP} \cdot \vec{u}}{\vert{}\vec{u}\vert{}}$ 为向量 $\overrightarrow{AP}$ 在直线 $l$ 上的投影长)

  $$

  $$

5.2 点到面的距离

5.2.1 概念与取值范围

• 定义： 从点向平面引垂线，该点与垂足之间的线段长度叫作点到平面的距离。
• 取值范围： $d \in [0, +\infty)$。若点在平面内，则距离为 $0$。

5.2.2 综合几何法（“直接作垂线”或“等体积法”）

1. 直接法： 寻找或构造过该点的平面的垂线，证明线面垂直后，求出垂线段长。
2. 等体积转化法（最常用）： 利用三棱锥的体积不随顶点和底面的改变而改变的性质（$\text{V}_{P-ABC} = \text{V}_{A-PBC}$），通过公式 $V = \frac{1}{3} S_{\text{底}} \cdot h$ 反解出高 $h$。
3. 平行转化法： 若直线 $a \parallel \alpha$，则直线 $a$ 上任意一点到平面 $\alpha$ 的距离相等（线面距离转化为点面距离）；若平面 $\alpha \parallel \beta$，则两平行平面间距离亦可转化为点面距离。

5.2.3 空间向量法（法向量投影法）

• 公式： 设已知点为 $P$，平面 $\alpha$ 内有一已知点 $A$，平面 $\alpha$ 的法向量为 $\vec{n}$，则点 $P$ 到平面 $\alpha$ 的距离为：

  $$ d= \frac{\vert{}\overrightarrow{AP} \cdot \vec{n}\vert{}}{\vert{}\vec{n}\vert{}} $$

  (原理：点与平面内任一点构成的向量在平面法向量上的投影长度)

  $$

  $$

5.3 异面直线间的距离

5.3.1 概念与取值范围

• 定义： 和两条异面直线都垂直且相交的直线叫作异面直线的公垂线，公垂线段的长度叫作两条异面直线间的距离。
• 取值范围： $d \in (0, +\infty)$（异面直线不可能相交，故距离恒大于 $0$）。

5.3.2 综合几何法

1. 公垂线段法： 作出公垂线段（通常利用特殊几何图形如正方体、长方体中的垂直关系直接观察），然后求其长度。
2. 线面平行转化法： 过其中一条直线 $a$ 作一个与另一条直线 $b$ 平行的平面 $\alpha$，则直线 $b$ 上任意一点到平面 $\alpha$ 的距离，即为两条异面直线间的距离（转化为 5.2 点到面的距离）。
3. 面面平行转化法： 分别过直线 $a$ 和 $b$ 作两个互相平行的平面 $\alpha$ 和 $\beta$，这两个平行平面间的距离即为异面直线间的距离。

5.3.3 空间向量法

• 公式： 设 $A$ 为直线 $a$ 上一点，$B$ 为直线 $b$ 上一点，向量 $\vec{u}$ 和 $\vec{v}$ 分别为直线 $a, b$ 的方向向量，$\vec{n}$ 为与 $a, b$ 都垂直的向量（即 $\vec{n} \perp \vec{u}$ 且 $\vec{n} \perp \vec{v}$，可通过解方程组求得），则两条异面直线间的距离为：

  $$ d = \frac{\vert{}\overrightarrow{AB} \cdot \vec{n}\vert{}}{\vert{}\vec{n}\vert{}} $$

核心思想总结：

空间距离问题本质上是降维求线段长。

• 几何法核心在于“找垂足、构造直角三角形”或利用“体积/面积等量代换”；
• 向量法核心在于求得方向向量与法向量，利用“向量投影公式”快速代数化求解。

1 等差数列

等差数列是指数列的后一项减去前一项恒为定值，比如对于数列$\{a_n\}$，若满足$a_{n+1}-a_n=\text{定值}$恒成立，则称数列$\{a_n\}$为等差数列，这里的定值为公差，常用字母$d$表示。

1.1 等差数列的通项公式

数列$\{a_n\}$为等差数列，则称该数列的第一项，即$a_1$为首项，$d$为公差，则$a_n$的表达式如下：

若$a_1$未知，而是知道数列$\{a_n\}$中的其他项，例如$a_m$，我们也可以按照如下方式写出通项公式：

无论是上面那一种，在将通项公式写成关于$n$的表达式之后，我们会发现在公差$d \neq 0$时，等差数列的通项公式都是关于$n$的一次函数。

1.2 中项公式

等差数列中连续的三项满足如下关系：

这个关系不止是对连续的三项成立，若$m+n=2k$，则有

但需要注意的是，这个不能完全逆推，即$a_m+a_n=2a_k$不一定能够推导$m+n=2k$，因为公差$d=0$时，等差数列中的每一项均相等。

这个关系可以无限拓展。当$x_1+x_2+...+x_n= nk$时，有

同时我们也可以对右侧进行更改，即当$m+n=p+q$时，有如下关系：

1.3 等差数列和

由中项公式的性质我们可以得到：

所以根据这个原理，我们可以推导出等差数列前$n$项和的公式：

推导过程如下：

两者相加

在1.1中我们知道了$a_n=a_1+(n-1)d$，将其带入$S_n$中，得到下方的表达式。

将其化简为关于$n$的函数，

当公差$d \neq 0$时，等比数列和是一个关于$n$的无常数项的二次函数：

1.4 等差数列和的性质

2 等比数列

等比数列是指数列中的后一项除以前一项为定值，且定值不为$0$。比如对于数列$\{a_n\}$，若满足$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\text{定值}$恒成立，则称数列$\{a_n\}$为等比数列，这里的定值为公比，常用字母$q$表示。

2.1 等比数列通项公式

数列$\{a_n\}$为等比数列，则称该数列的第一项，即$a_1$为首项，$q$为公比，则$a_n$的表达式如下：

注意：等比数列所有项均不为0，且奇数项同号，偶数项同号

若$a_1$未知，而是知道数列$\{a_n\}$中的其他项，例如$a_m$，我们也可以按照如下方式写出通项公式：

2.2 中项公式

等比数列中连续的三项满足如下关系：

这个关系不止是对连续的三项成立，若$m+n=2k$，则有

但需要注意的是，这个不能完全逆推，即$a_ma_n=a^2_k$不一定能够推导$m+n=2k$，因为公差$q=1$时，等比数列中的每一项均相等。

这个关系可以无限拓展，当$x_1+x_2+...+x_n= nk$时，有

同时我们也可以对右侧进行更改，即当$m+n=p+q$时，有如下关系：

2.3 等比数列和

等比数列和的公式根据公比$q$的取值不同有两结果，首先但$q=1$时，所有项都和首项$a_1$相同，所以有：

而当$q \neq 1,0$时，

我们对其进行变形，会发现其公式有规律性，规律如下。

2.4 等比数列和的性质

3 求数列通项

3.1 公式法

若数列是等差数列或者等比数列，可以直接采用上面的公式求解数列的通项公式。

但需要注意以下三点：

（1）题目中的“什么”是等差或者等比数列，即主体是什么？ （2）首项是什么？ （3）公差或者公比是什么？

例如：数列$\{a_n+f(n)\}$是等差数列，且公差为$d$，$a_1=3$，求等差数列通项公式。

这道题目中是$a_n+f(n)$这一部分为等差数列，而不是$a_n$，所以通项公式左侧是“$a_n+f(n)$”，首项也不是$a_1$，而是$a_1+f(1)$，所以本题根据题目写出来的直接结果：

3.2 累加法

适用题型：已知$a_1$的值，且$a_{n+1}=a_n+f(n)$，求数列$\{a_n\}$的通项公式。

方法：

根据题目条件——$a_{n+1}=a_n+f(n)$，从$a_n$开始写：

将上方$n-1$个等式相加，得到如下

化简后：

3.3 累乘法

适用题型： 已知 $a_1$ 的值，且递推关系为 $a_{n+1} = a_n \cdot f(n)$（或等价地 $\frac{a_{n+1}}{a_n}=f(n)$），其中 $f(n)\neq 0$，求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式。

方法步骤：

1. 改写递推式由 $a_{n+1} = a_n \cdot f(n)$，将下标退一位，可得：

   $$ \frac{a_n}{a_{n-1}} = f(n-1) \quad (n \ge 2) $$

2. 列举前 $n-1$ 个比值式从 $n$ 到 2 依次列出：

   $$ \frac{a_n}{a_{n-1}} = f(n-1) $$$$ \frac{a_{n-1}}{a_{n-2}} = f(n-2) $$$$ \vdots $$$$ \frac{a_3}{a_2} = f(2) $$$$ \frac{a_2}{a_1} = f(1) $$

3. 累乘求积将上述 $n-1$ 个等式的左右两边分别相乘。左边分子分母交错约分，右边为 $f(1)$ 到 $f(n-1)$ 的连乘积：

   $$ \frac{a_n}{a_{n-1}} \cdot \frac{a_{n-1}}{a_{n-2}} \cdots \frac{a_2}{a_1} = f(n-1) \cdot f(n-2) \cdots f(1) $$

4. 化简得通项 左边化简为 $\frac{a_n}{a_1}$，因此：

   $$ \frac{a_n}{a_1} = \prod_{i=1}^{n-1} f(i) $$$$ a_n = a_1 \cdot \prod_{i=1}^{n-1} f(i) \quad $$

3.4 待定系数法

适用题型： 已知 $a_1$ 的值，且递推关系为 $a_{n+1} = p a_n + q$（其中 $p \neq 1$，$q \neq 0$，且 $p$、$q$ 为常数），求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式。

方法步骤：

1. **设定常数 $\lambda$**将递推式改写为以下形式（目标是将 $\{a_n + \lambda\}$ 构造为等比数列）：

   $$ a_{n+1} + \lambda = p(a_n + \lambda) $$

2. **展开并确定 $\lambda$**将上式展开：

   $$ a_{n+1} + \lambda = p a_n + p\lambda $$

   与原递推式 $a_{n+1} = p a_n + q$ 对比，可得：

   $$ q = p\lambda - \lambda = \lambda(p-1) $$

   因为 $p \neq 1$，所以：

   $$ \lambda = \frac{q}{p-1} $$

3. 构造等比数列将 $\lambda = \frac{q}{p-1}$ 代入，得到：

   $$ a_{n+1} + \frac{q}{p-1} = p\left(a_n + \frac{q}{p-1}\right) $$

   因此，数列 $\left\{a_n + \frac{q}{p-1}\right\}$ 是等比数列，首项为 $a_1 + \frac{q}{p-1}$，公比为 $p$。

4. 写出等比数列通项根据等比数列通项公式：

   $$ a_n + \frac{q}{p-1} = \left(a_1 + \frac{q}{p-1}\right) \cdot p^{\,n-1} $$

5. 解得 $\{a_n\}$ 的通项公式 移项得到：

   $$ \boxed{a_n = \left(a_1 + \frac{q}{p-1}\right) p^{\,n-1} - \frac{q}{p-1}} \quad (n \ge 1) $$

   当 $n=1$ 时，代入验证显然成立。

3.5 倒数法

适用题型： 已知 $a_1$ 的值，且递推关系为 $a_{n+1} = \dfrac{a_n}{p a_n + q}$（其中 $p$、$q$ 为常数，且 $a_n \neq 0$），求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式。

方法步骤：

1. 两边取倒数对递推式 $a_{n+1} = \dfrac{a_n}{p a_n + q}$ 两边同时取倒数，得：

   $$ \frac{1}{a_{n+1}} = \frac{p a_n + q}{a_n} = p + \frac{q}{a_n} $$

2. 换元构造新数列令 $b_n = \dfrac{1}{a_n}$，则递推式化为：

   $$ b_{n+1} = q b_n + p $$

3. 求解新数列 $\{b_n\}$ 的通项此时转化为形如 $b_{n+1} = q b_n + p$ 的递推式，需分两种情况讨论：

   • 当 $q = 1$ 时：$b_{n+1} = b_n + p$，数列 $\{b_n\}$ 为等差数列，直接利用累加法得：

     $$ b_n = b_1 + (n-1)p = \frac{1}{a_1} + (n-1)p $$

   • 当 $q \neq 1$ 时： 使用待定系数法（参考 2.4 节），构造：

     $$ b_{n+1} + \frac{p}{q-1} = q\left(b_n + \frac{p}{q-1}\right) $$

     因此 $\left\{b_n + \dfrac{p}{q-1}\right\}$ 为等比数列，首项为 $b_1 + \dfrac{p}{q-1} = \dfrac{1}{a_1} + \dfrac{p}{q-1}$，公比为 $q$，故：

     $$ b_n + \frac{p}{q-1} = \left(\frac{1}{a_1} + \frac{p}{q-1}\right) q^{\,n-1} $$

     所以：

     $$ b_n = \left(\frac{1}{a_1} + \frac{p}{q-1}\right) q^{\,n-1} - \frac{p}{q-1} $$

4. 回代得 $\{a_n\}$ 的通项公式由 $a_n = \dfrac{1}{b_n}$，得到：

   • 当 $q = 1$ 时：

     $$ \boxed{a_n = \dfrac{1}{\dfrac{1}{a_1} + (n-1)p}} \quad (n \ge 1) $$

   • 当 $q \neq 1$ 时：

     $$ \boxed{a_n = \dfrac{1}{\left(\dfrac{1}{a_1} + \dfrac{p}{q-1}\right) q^{\,n-1} - \dfrac{p}{q-1}}} \quad (n \ge 1) $$

3.6 取对数法

适用题型： 已知 $a_1 > 0$，且递推关系为 $a_{n+1} = p \cdot (a_n)^r$（其中 $p > 0$，$r$ 为常数，且 $r \neq 1$，$a_n > 0$），求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式。

方法步骤：

1. 判断各项符号并取对数由 $a_1 > 0$ 及 $p > 0$ 可知，数列各项均为正数。对递推式两边取常用对数（或自然对数），这里以取常用对数 $\lg$ 为例：

   $$ \lg a_{n+1} = \lg\left[p \cdot (a_n)^r\right] = \lg p + r \cdot \lg a_n $$

2. 换元构造新数列令 $b_n = \lg a_n$，则递推式化为：

   $$ b_{n+1} = r \cdot b_n + \lg p $$

3. 求解新数列 $\{b_n\}$ 的通项此时转化为形如 $b_{n+1} = r b_n + \lg p$ 的递推式，需分情况讨论：

   • 当 $r = 1$ 时：递推式变为 $b_{n+1} = b_n + \lg p$，数列 $\{b_n\}$ 为等差数列，利用累加法得：

     $$ b_n = b_1 + (n-1)\lg p = \lg a_1 + (n-1)\lg p $$

   • 当 $r \neq 1$ 时（通常考查情况）： 使用待定系数法（参考 2.4 节），构造等比数列：

     $$ b_{n+1} + \frac{\lg p}{r-1} = r\left(b_n + \frac{\lg p}{r-1}\right) $$

     因此 $\left\{b_n + \dfrac{\lg p}{r-1}\right\}$ 为等比数列，首项为 $\lg a_1 + \dfrac{\lg p}{r-1}$，公比为 $r$，故：

     $$ b_n + \frac{\lg p}{r-1} = \left(\lg a_1 + \frac{\lg p}{r-1}\right) \cdot r^{\,n-1} $$

     化简得：

     $$ b_n = \lg a_1 \cdot r^{\,n-1} + \lg p \cdot \frac{r^{\,n-1} - 1}{r-1} $$

4. 回代得 $\{a_n\}$ 的通项公式由 $a_n = 10^{\,b_n}$，得到：

   • 当 $r = 1$ 时：

     $$ a_n = 10^{\lg a_1 + (n-1)\lg p} = a_1 \cdot p^{\,n-1} $$

     （此时即等比数列，与预期一致）

   • 当 $r \neq 1$ 时：

     $$ \boxed{a_n = a_1^{\,r^{\,n-1}} \cdot p^{\,\frac{r^{\,n-1} - 1}{\,r-1\,}}} \quad (n \ge 1) $$

3.7 根据$S_n$表达式求通项

适用题型： 已知数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ 的显式表达式（仅含 $n$，例如 $S_n = n^2 + 2n$），求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式。

方法步骤：

1. **求首项 $a_1$**由定义 $S_1 = a_1$，直接代入 $S_n$ 表达式：

   $$ a_1 = S_1 = f(1) $$

2. 求 $n \ge 2$ 时的通项利用关系式 $a_n = S_n - S_{n-1}$（$n \ge 2$），代入 $S_n = f(n)$ 得：

   $$ a_n = f(n) - f(n-1) \quad (n \ge 2) $$

3. 验证并写出最终结果检验上式中令 $n=1$ 时，$f(1) - f(0)$ 是否等于步骤 1 求出的 $a_1$。

   • 若相等，则可统一写为：

     $$ \boxed{a_n = f(n) - f(n-1)} \quad (n \ge 1) $$

     此时通常默认 $f(0) = 0$（即空集和为零），使得 $a_1 = f(1) - f(0) = f(1) = S_1$ 成立。

   • 若不相等，则必须写成分段形式：

     $$ \boxed{a_n = \begin{cases} f(1), & n=1 \\[4pt] f(n) - f(n-1), & n \ge 2 \end{cases}} $$

3.8 根据$S_n$与$a_n$关系式求通项

适用题型： 已知数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ 与通项 $a_n$ 满足一个等式（如 $S_n = 2a_n - 1$，或 $S_n = a_n + n^2$ 等），且等式中同时含有 $S_n$ 和 $a_n$（或 $S_{n-1}$ 与 $a_{n-1}$），求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式。

方法步骤：

1. **求首项 $a_1$**令 $n=1$，由 $S_1 = a_1$ 代入混合关系式，解出 $a_1$（注意此时 $S_1$ 直接等于 $a_1$，不涉及 $S_0$）。

2. 写出 $n-1$ 时的关系式将原式中的 $n$ 替换为 $n-1$（要求 $n-1 \ge 1$，即 $n \ge 2$），得到：

   $$ S_{n-1} = \text{关于 } a_{n-1}, n-1 \text{ 的表达式} $$

3. **两式相减消去 $S_n$**用原式减去第 2 步得到的式子，左边为：

   $$ S_n - S_{n-1} = a_n \quad (n \ge 2) $$

   右边则得到关于 $a_n$ 与 $a_{n-1}$（以及 $n$）的等式：

   $$ a_n = \text{（化简后的式子）} $$

4. 求解所得的递推关系式根据化简后递推式的具体形式，选用合适的方法求解：

   • 若为 $a_n - a_{n-1} = f(n)$（或类似），用累加法；
   • 若为 $\dfrac{a_n}{a_{n-1}} = f(n)$，用累乘法；
   • 若为 $a_n = p a_{n-1} + q$，用待定系数法；
   • 若为分式型，尝试倒数法；
   • 若为幂指型，尝试取对数法等。

   求得 $n \ge 2$ 时的通项表达式 $a_n = g(n)$。

5. 验证首项并写出最终结果将 $n=1$ 代入 $g(n)$，检查是否等于步骤 1 中求出的 $a_1$。

   • 若相等，则通项公式可统一写为： $$ \boxed{a_n = g(n)} \quad (n \ge 1) $$
   • 若不相等，则必须写成分段形式： $$ \boxed{a_n = \begin{cases} a_1, & n=1 \\ g(n), & n \ge 2 \end{cases}} $$

4 求数列和

4.1 公式法

适用题型： 题目直接说明数列 $\{a_n\}$ 是等差数列或等比数列，或者通过计算（如相邻两项差为常数、比为常数）能够直接判断其为等差或等比数列，此时直接套用公式求通项或前 $n$ 项和。

方法步骤：

1. 确定基本量根据题意，求出首项 $a_1$ 和公差 $d$（等差）或公比 $q$（等比，且 $q \neq 0$）。

2. 代入通项公式

   • 若为等差数列： $$ a_n = a_1 + (n-1)d \quad (n \ge 1) $$
   • 若为等比数列： $$ a_n = a_1 \cdot q^{\,n-1} \quad (n \ge 1) $$

3. 代入前 $n$ 项和公式（若题目要求求和）

   • 等差数列求和（两种形式，视条件选用）： $$ S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} \quad \text{或} \quad S_n = n a_1 + \frac{n(n-1)}{2}d $$
   • 等比数列求和（关键：务必讨论公比 $q$ 是否为 $1$）： $$ S_n = \begin{cases} n a_1, & q = 1 \\[6pt] \dfrac{a_1(1 - q^n)}{1 - q} = \dfrac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}, & q \neq 1 \end{cases} $$

4. 化简得出结果 将 $a_1$、$d$ 或 $q$ 代入后，合并整理成最简形式即可。

4.2 分组求和法

适用题型： 数列 $\{a_n\}$ 的通项可以分解为若干个（通常为两个或三个）简单数列的和（或差），而这些简单数列的前 $n$ 项和是已知的（如等差数列、等比数列、裂项相消数列、常数数列等），此时可将通项拆开，分别求和后再合并，得到原数列的前 $n$ 项和 $S_n$。

方法步骤：

1. **分解通项（拆分）**将 $a_n$ 拆分成几个已知求和公式的子项之和：

   $$ a_n = b_n + c_n + d_n + \cdots $$

   其中 $\{b_n\}$、$\{c_n\}$、$\{d_n\}$ 均为可直接求和的简单数列（如等差、等比、裂项型等）。

2. 分别求和利用已知的求和公式，分别计算前 $n$ 项和：

   $$ \sum_{i=1}^n b_i, \quad \sum_{i=1}^n c_i, \quad \sum_{i=1}^n d_i, \cdots $$

3. 合并相加 将步骤 2 中各部分的求和结果相加（若是 $a_n = b_n - c_n$ 则相减），化简合并同类项，即得 $S_n$：

   $$ \boxed{S_n = \sum_{i=1}^n b_i + \sum_{i=1}^n c_i + \sum_{i=1}^n d_i + \cdots} $$

典型拆分模式（参考速查）：

示例（简略）： 已知 $a_n = 2n + 3^{n}$，则：

4.3 裂项相消

适用题型： 数列 $\{a_n\}$ 的通项可以拆分为相邻两项（或相隔 $k$ 项）的代数差的形式，即 $a_n = f(n) - f(n+1)$（或 $a_n = f(n) - f(n+k)$），使得求前 $n$ 项和 $S_n$ 时，展开后中间的项全部正负抵消，只剩下为数不多的首项和末项，从而大幅简化计算。

方法步骤：

1. **拆项变形（裂项）**将通项 $a_n$ 分解为两项之差：

   $$ a_n = f(n) - f(n+1) $$

   或更一般地：

   $$ a_n = f(n) - f(n+k) \quad (k \text{ 为常数}) $$

   若通项为分式，通常需通过待定系数法配平系数，保证等式成立。

2. 写出前 $n$ 项和并展开

   $$ S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n $$

   将裂项后的表达式代入：

   $$ S_n = [f(1)-f(2)] + [f(2)-f(3)] + [f(3)-f(4)] + \cdots + [f(n)-f(n+1)] $$

3. 观察并抵消中间项观察展开式，相邻两项中前一项的 $-f(2)$ 与后一项的 $+f(2)$ 抵消，$-f(3)$ 与 $+f(3)$ 抵消……依次类推，中间项全部消去。

4. 化简并得出结果 消去中间项后，只剩首项与末项（若 $a_n = f(n) - f(n+1)$，剩余 $f(1)$ 与 $-f(n+1)$）：

   $$ \boxed{S_n = f(1) - f(n+1)} $$

   若 $a_n = f(n) - f(n+k)$，则剩余前 $k$ 项与末 $k$ 项，需根据具体情况书写。

注意事项：

• 系数配平（核心易错点）：若直接相减后分子不为原分子，必须乘上配平系数。例如：

  $$ \frac{1}{n(n+2)} \neq \frac{1}{n} - \frac{1}{n+2} \quad (\text{因为右边通分为 } \frac{2}{n(n+2)}) $$

  正确应为：

  $$ \frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right) $$

• 剩余项的规律：

  • 若 $a_n = f(n) - f(n+1)$，求和后剩 前 1 项 和 末 1 项：$f(1) - f(n+1)$。
  • 若 $a_n = f(n) - f(n+2)$，求和后剩 前 2 项 和 末 2 项：$f(1)+f(2) - f(n+1)-f(n+2)$。
  • 一般地，若 $a_n = f(n) - f(n+k)$，则剩前 $k$ 项和末 $k$ 项。

• 根式型裂项（有理化）：对于形如 $a_n = \dfrac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$ 的通项，利用分母有理化：

  $$ \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \sqrt{n+1} - \sqrt{n} $$

  此时 $f(n) = \sqrt{n}$，可直接套用上述公式。

• 验证 $n=1$： 求出 $S_n$ 后，令 $n=1$ 代入，检验是否等于 $a_1$。若不等，说明裂项过程或系数配平有误。

常见裂项公式速查（$\boldsymbol{k}$ 为常数）：

4.4 倒序相加

适用题型： 求数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$，其中数列 $\{a_n\}$ 满足“与首末两端等距离的两项之和等于常数”，即：

最典型的应用是推导等差数列前 $n$ 项和公式，以及求解具有函数对称性（如 $f(x) + f(1-x) = 1$）特征的数列求和。

方法步骤：

1. **正序写出 $S_n$**将前 $n$ 项和按原顺序展开：

   $$ S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_{n-1} + a_n $$

2. **倒序写出 $S_n$**将上式中各项的顺序反过来重新写一遍：

   $$ S_n = a_n + a_{n-1} + a_{n-2} + \cdots + a_2 + a_1 $$

3. 两式相加将上述两个等式左右两边分别相加，左边为 $2S_n$，右边将对应项（首尾配对）相加：

   $$ 2S_n = (a_1 + a_n) + (a_2 + a_{n-1}) + (a_3 + a_{n-2}) + \cdots + (a_n + a_1) $$

4. 化简并求解 若满足 $a_1 + a_n = a_2 + a_{n-1} = \cdots = C$，则右边共有 $n$ 对，每对和为 $C$，故：

   $$ 2S_n = n \cdot C $$

   即：

   $$ \boxed{S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)} $$

4.5 错位相减

适用题型： 求数列 $\{c_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$，其中 $c_n = a_n \cdot b_n$，$\{a_n\}$ 为等差数列，$\{b_n\}$ 为等比数列（公比为 $q$，且 $q \neq 1$）。即 $c_n$ 的通项形如 $(An + B) \cdot q^{n-1}$ 或 $(An + B) \cdot q^n$。

方法步骤：

1. 写出 $S_n$ 的展开式设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$，等比数列 $\{b_n\}$ 的公比为 $q$（$q \neq 1$）。将前 $n$ 项和按“等差项”与“等比项”的乘积展开：

   $$ S_n = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 + \cdots + a_n b_n $$

2. **两边同乘公比 $q$**将上式左右两边同时乘以等比数列的公比 $q$，得到 $qS_n$ 的展开式（注意右边每一项的等比部分下标整体向后移一位）：

   $$ qS_n = a_1 b_2 + a_2 b_3 + a_3 b_4 + \cdots + a_n b_{n+1} $$

3. 错位相减用 $S_n$ 减去 $qS_n$（或反向相减，视方便而定），将两式右端“对齐的同类项”相减。由于 $\{a_n\}$ 是等差数列，相邻项之差为常数 $d = a_{k+1} - a_k$，中间的绝大部分项会相互抵消：

   $$ S_n - qS_n = a_1 b_1 + (a_2 - a_1)b_2 + (a_3 - a_2)b_3 + \cdots + (a_n - a_{n-1})b_n - a_n b_{n+1} $$

   即：

   $$ (1 - q)S_n = a_1 b_1 + d(b_2 + b_3 + \cdots + b_n) - a_n b_{n+1} $$

4. 化简求和并解出 $S_n$ 上式右端括号中 $b_2 + b_3 + \cdots + b_n$ 是等比数列 $\{b_n\}$ 从第 $2$ 项到第 $n$ 项的和（共 $n-1$ 项），利用等比数列求和公式计算。最后将 $(1-q)$ 除到等式右边，即得 $S_n$ 的表达式：

   $$ \boxed{S_n = \frac{a_1 b_1 + d \cdot \dfrac{b_2(1 - q^{n-1})}{1-q} - a_n b_{n+1}}{1-q}} \quad (q \neq 1) $$

5 无穷等比数列和

2.12 无穷等比数列求和（极限法）

适用题型： 求无穷等比数列 $\{a_n\}$ 的各项之和（即前 $n$ 项和 $S_n$ 当 $n \to \infty$ 时的极限），其中公比 $q$ 满足 $|q| < 1$（且 $q \neq 0$）。

方法步骤：

1. 写出前 $n$ 项和公式设无穷等比数列首项为 $a_1$，公比为 $q$。根据 2.1 节，先写出有限项的前 $n$ 项和（$q \neq 1$ 时）：

   $$ S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q} $$

2. 判断极限是否存在对 $n \to \infty$ 取极限。由于 $|q| < 1$，则：

   $$ \lim_{n \to \infty} q^n = 0 $$

3. 取极限并化简 无穷等比数列各项和 $S$ 定义为 $S_n$ 的极限：

   $$ S = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q} = \frac{a_1(1 - 0)}{1 - q} $$

   即得到无穷等比数列求和公式：

   $$ \boxed{S = \frac{a_1}{1 - q}} \quad (|q| < 1) $$

6 数学归纳法（归纳—猜想—证明）

适用题型： 已知数列的递推公式（或前 $n$ 项和 $S_n$ 与 $a_n$ 的关系），通过计算前几项能够猜想出通项公式 $a_n$（或前 $n$ 项和 $S_n$）的形式，但无法直接通过常规方法（累加、累乘等）推导，需要利用数学归纳法进行严格证明的题型。 （常用于证明涉及正整数 $n$ 的恒等式、不等式或数列通项猜想。）

方法步骤：

1. **归纳奠基（验证起始值）**验证当 $n$ 取第一个值 $n_0$（通常 $n_0=1$）时，命题成立。例如验证猜想 $a_n = f(n)$，需计算：

   $$ a_1 = f(1) $$

   若命题是求和 $S_n = g(n)$，则验证 $S_1 = a_1 = g(1)$。

2. **归纳假设（假设 $n=k$ 时成立）**假设当 $n = k$（$k \ge n_0$，$k \in \mathbb{N}^*$）时命题成立，即：

   $$ a_k = f(k) \quad \text{（或 } S_k = g(k) \text{）} $$

3. **归纳递推（证明 $n=k+1$ 时也成立）**利用题设给定的递推关系式（或 $a_{k+1} = S_{k+1} - S_k$），将假设的 $a_k = f(k)$ 代入，推导出 $n = k+1$ 时的形式：

   $$ a_{k+1} = f(k+1) $$

   （或通过 $S_{k+1} = S_k + a_{k+1}$ 推导出 $S_{k+1} = g(k+1)$。）

4. 得出结论 由步骤 1 和步骤 3 可知，命题对 $n = n_0, n_0+1, n_0+2, \cdots$ 均成立。根据数学归纳法原理，原猜想通项公式对所有 $n \ge n_0$ 的正整数成立：

   $$ \boxed{a_n = f(n)} \quad (n \ge 1) $$

集合初问

什么是集合？

通俗来说，集合就是一些东西组成的整体，比如一个班的所有学生，比如一个学校的所有老师，或者所有男老师等等，这些都可以称之为集合。

而在数学中，我们常见的集合主要有两种：

• “数字”构成的集合，我们称之为“数集”
• ”点“构成的集合，我们称之为“点集”

集合里面的是什么？

一个集合里面有很多东西，我们肯定需要一个名词去描述它，而在集合中，我们所用的名词为——元素。

比如上面我们提到的例子，一个班的所有学生，那这些学生每一个都是这个集合的元素。

元素有什么要求吗？

当然有要求。

我们思考一个问题：

你去买了一袋水果，当别人问起你你买了哪些水果时，你会怎么回答？你大概会说出你买的这些水果有哪些种类，比如你会说：“我买了苹果、香蕉、梨。”

这个问题中就展现出了元素的一些要求。

• 确定性：你回答的内容一定是你买的，而不是任意挑一些就说出来，所以元素必须有限制，而且限制必须明确。如果不明确，你就不好回答了。
• 互异性：你的回答中只说了种类，并没有说个数。这就是互异性的体现，都是苹果，对于“哪些水果”这个限制来说，这个苹果和那个苹果都是只是苹果而已。毕竟数学不需要“一棵是枣树，另一棵也是枣树”这样的至理名言。
• 无序性：你回答中即便打乱几个水果名词的数序，你买的还是那些水果，并不会改变不是嘛，所以集合里谁在谁前面，实际上并无意义。

集合中必须有元素吗？

并不是必须的。

比如，你想构建一个集合——出生于唐朝现在还活着的人。这个集合中对于元素的描述或者说要求十分明确，但我们能找到符合它要求的元素吗？不能，所以我们对于这样的没有元素的集合称之为空集。

集合知识点

通过前面的的内容，我们大致明白了什么是集合与元素，下面我们真正开始学习数学中的集合。

元素性质

（1）确定性：元素必须是确定的。

（2）互异性：同一集合的元素必须是相互不同的。

（3）无序性：同一集合内的元素对于排序并无要求。

特殊集合与符号

（1）实数集：$R$

（2）有理数集：$Q$

（3）整数集：$Z$

（4）自然数集：$N$

（5）空集：$\emptyset$

补充：对于前四个来说，若我们只想取其中正的部分，或者负的部分，我们可以在其右上角填上正负号即可（有些省区教材里好像不允许用了）。

集合与元素表示

1.集合通常用大写字母表示：集合$A$，集合$B$。

2.元素通常用小写字母表示：元素$a$，元素$b$

集合描述方法

• 列举法：直接写出集合元素的方法，适用于元素个数有限，或者元素有规律的集合。（外部用$\{\}$包裹）

  $$ \{1,2,4\},\{2,4,6,...,100\} $$

• 描述法：将元素用字母代替，并通过给出字母所满足的条件，进而描述集合。

  $$ \text{点集}:\{x|x<3\},\\这个就表示小于3的所有数表示的集合。 \\（没有限制数的类型默认为实数） $$$$ 点集：\{(x,y)|y=f(x)\},\\这个表示函数y=f(x)图像上所有点构成的集合。 $$

• 区间法：利用小括号和中括号代替“大于$>$”、“小于$<$”、“大于等于$\geq$”、“小于等于$\leq$”。

  $$ \begin{align*} &(a,b):表示大于a小于b的数 \\ &[a,b]:表示大于等于a小于等于b的数 \\ &(a,b]:表示大于a小于等于b的数 \\ &[a,b):表示大于等于a小于b的数 \\ &(a,+\infty):表示大于a的数 \\ &(-\infty,b]：表示小于等于b的数 \end{align*} $$

集合与元素关系

• 元素$x$在集合$A$内：$x \in A$
• 元素$y$不在集合$A$内：$y \notin A$

集合与集合之间的关系

• 集合$A$中所有元素都在集合$B$中，则称集合$A$包含于集合$B$，记为$A \subseteq B$，即集合$A$是集合$B$的子集。
• 集合$A$中所有元素都在集合$B$中，且集合$B$中存在集合$A$中没有的元素，则称集合$A$包真含于集合$B$，记为$A \subset B$，即集合$A$是集合$B$的真子集。

空集是任意集合的自己，包括自身。

• 含有$n$个元素的子集的个数：$2^n$
• 含有$n$个元素的真子集的个数：$2^n-1$
• 含有$n$个元素的非空真子集的个数：$2^n-2$

集合的运算

• 交集：取两个集合的公共元素。

  $$ A \cap B= \{x|x \in A且x\in B \} $$

• 并集：取两个集合的所有元素。

  $$ A \cup B= \{x|x \in A或x\in B \} $$

• 补集：在集合$U$（全集）的前提下，不在其子集$A$中构成的元素的集合。

  $$ \complement_{U}{A}=\overline{A}=\{x|x\in U且x\notin A\} $$

补集符号请参考当地教材。