0.1 三个老问题，一个共同答案

问题一：圆的面积怎么算？ 古人不会算曲边图形的面积，于是用内接正多边形去"逼近"：正六边形 → 正十二边形 → 正二十四边形……多边形面积序列为

边数越多，多边形越"贴"着圆。这个数列的趋势就是圆面积。这就是极限。

问题二：瞬时速度怎么算？ 平均速度是 $\dfrac{\Delta s}{\Delta t}$。但"瞬时"要求 $\Delta t = 0$，而 $0/0$ 没有意义。于是让 $\Delta t$ 无限接近 0 但不等于 0，看平均速度趋向哪个数。这也是极限。

问题三：$0.999\dots$ 到底等不等于 1？ 它等于 1。因为它表示数列 $0.9,\ 0.99,\ 0.999,\ \dots$ 的极限，而这个数列无限接近 1。

一句话总结：极限研究的不是"到了哪里"，而是"越来越靠近哪里"。它把"无限过程"变成一个"确定的数"。

0.2 极限的通俗定义：误差可控

严格的数学定义很长，但它的思想只有一个：

你随便说一个"允许的误差" $\varepsilon$（比如 0.01、0.0001、$10^{-100}$），我总能找到一个"起点"，从这个起点往后，所有的值都落在这个误差范围内。

这就是极限。它是一场挑战—应答游戏：

关键点：$\varepsilon$ 是任意小的（不是某个固定的数），而 $N$ 是依赖于 $\varepsilon$ 的（$\varepsilon$ 越小，$N$ 越大）。顺序绝对不能反：先有 $\varepsilon$，后有 $N$。

为什么不能反？ 如果写成"存在 $N$，对任意 $\varepsilon$"，那就变成"存在某一项之后所有值都精确相等"，那是常数列，不是极限。量词的顺序就是数学的语法，反了就换了意思。

0.3 三个必须建立的直觉

直觉一：无限接近 ≠ 到达。 数列 $a_n = \dfrac{1}{n}$ 永远不等于 0，但它的极限是 0。“极限"描述的是趋势，允许目标值根本取不到。

直觉二：极限只看"远处”，不管"开头"。 改变数列的前一万项，不影响极限。函数极限只看 $x_0$ 附近的"去心邻域"，$f(x_0)$ 本身取什么值（甚至没定义）都不影响 $\lim\limits_{x \to x_0} f(x)$。

直觉三：极限存在 = 左右"殊途同归"。 从左边过来和从右边过来，必须走向同一个数。只要有一边不听话，极限就不存在。

0.4 本章地图

极限
├── 数列极限（离散：n → ∞）
│   ├── ε-N 定义
│   ├── 性质：唯一、有界、保号、四则
│   └── 判别：夹逼准则、单调有界准则、柯西准则
├── 函数极限（连续：x → x0 或 x → ∞）
│   ├── ε-δ / ε-X 定义
│   ├── 单侧极限、海涅定理
│   └── 性质：局部有界、局部保号、四则、复合
├── 无穷小与无穷大
│   └── 比较：高阶、同阶、等价、k 阶
├── 计算工具
│   └── 等价替换、重要极限、洛必达、泰勒、夹逼、定积分定义
└── 应用
    └── 连续与间断、渐近线、导数定义、定积分定义

1 数列的极限

1.1 数列是什么

数列就是按顺序排好的一列数：

记作 $\{a_n\}$。注意它和"集合"不同：集合 $\{1, 2, 3\}$ 没有顺序，数列有顺序，而且允许重复、允许无限长。

本质理解：数列是一个定义在正整数集上的函数 $a_n = f(n)$，$n = 1, 2, 3, \dots$。所以数列是"离散的函数"，这也是为什么数列极限和函数极限的很多性质长得几乎一样。

常见例子：

1.2 收敛的严格定义（ε-N 语言）

定义 1.1（数列极限） 设 $\{a_n\}$ 为数列，$a$ 为常数。若对任意给定的 $\varepsilon > 0$，总存在正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，恒有

$$\lvert a_n - a\rvert < \varepsilon,$$

则称数列 $\{a_n\}$ 收敛于 $a$，记作

$$\lim_{n \to \infty} a_n = a \quad \text{或} \quad a_n \to a\ (n \to \infty).$$

若不存在这样的常数 $a$，则称数列发散。

逐句翻译成人话：

• “对任意 $\varepsilon > 0$” —— 你先挑一个容忍度，多小都行；
• “总存在正整数 $N$” —— 我一定能找到一个位置 $N$；
• “当 $n > N$ 时，恒有 $\lvert a_n - a\rvert < \varepsilon$” —— 从这个位置往后，所有项（不是部分项）都进入 $a$ 的 $\varepsilon$ 邻域。

几何意义：在数轴上以 $a$ 为中心、$\varepsilon$ 为半径画一个"带子" $(a - \varepsilon,\ a + \varepsilon)$。不管这个带子多窄，数列从某一项开始，就整条尾巴都掉进带子里，再也出不来。

注意三个细节：

1. $N$ 不必是最小的，只要存在一个够用的就行；
2. $N$ 一般依赖于 $\varepsilon$，写成 $N(\varepsilon)$；$\varepsilon$ 越小，$N$ 通常越大；
3. 条件 $n > N$ 与 $n \geq N$ 等价（改一下 $N$ 即可），考试里两种写法都算对。

1.3 用定义证明极限：四步模板

几乎所有 $\varepsilon$-$N$ 证明题都可以套这个模板：

第一步：写出 $\lvert a_n - a\rvert$，化简、放大成一个只含 $n$ 的简单式子； 第二步：令这个放大后的式子 $< \varepsilon$，解出 $n > $ 某个关于 $\varepsilon$ 的表达式； 第三步：取 $N = \left[\text{该表达式}\right]$（取整后加 1），并说明 $N$ 是正整数； 第四步：验证"当 $n > N$ 时，原不等式成立"，收尾。

核心技巧是"放大"：把分子放大、把分母缩小，让表达式变简单但仍然大于等于原式。放大要"适度"——放得太大就推不出 $n > N$ 了。

例 1.1（最基础）

证明 $\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} = 0$。

证明：任给 $\varepsilon > 0$，要使

只需 $n > \dfrac{1}{\varepsilon}$。取 $N = \left[\dfrac{1}{\varepsilon}\right] + 1$，则当 $n > N$ 时，有 $\dfrac{1}{n} < \dfrac{1}{N} < \varepsilon$。故 $\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} = 0$。$\blacksquare$

例 1.2（分式，需要放大）

证明 $\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{2n + 1}{3n - 1} = \dfrac{2}{3}$。

分析：先算差

分子是常数 5，分母含 $n$。为了放大，把分母缩小：当 $n \geq 1$ 时 $3n - 1 \geq 2n$，于是

证明：任给 $\varepsilon > 0$，要使 $\dfrac{5}{6n} < \varepsilon$，只需 $n > \dfrac{5}{6\varepsilon}$。取 $N = \left[\dfrac{5}{6\varepsilon}\right] + 1$，则当 $n > N$ 时原不等式成立。故极限为 $\dfrac{2}{3}$。$\blacksquare$

人话版：我们不需要精确解出 $n$，只要找到一个"更宽松但够用"的条件即可。这就是"放大"的意义。

例 1.3（根式，先有理化）

证明 $\lim\limits_{n \to \infty} \left(\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}\right) = 0$。

分析：直接看是 $\infty - \infty$ 型，先有理化：

证明：任给 $\varepsilon > 0$，要使 $\dfrac{1}{2\sqrt{n}} < \varepsilon$，只需 $n > \dfrac{1}{4\varepsilon^2}$。取 $N = \left[\dfrac{1}{4\varepsilon^2}\right] + 1$ 即可。$\blacksquare$

例 1.4（等比数列，用伯努利不等式）

设 $0 < q < 1$，证明 $\lim\limits_{n \to \infty} q^n = 0$。

证明：令 $\dfrac{1}{q} = 1 + h$，则 $h = \dfrac{1}{q} - 1 > 0$。由伯努利不等式 $(1 + h)^n \geq 1 + nh$，得

任给 $\varepsilon > 0$，取 $N = \left[\dfrac{1}{h\varepsilon}\right] + 1$，则当 $n > N$ 时 $q^n < \varepsilon$。故 $q^n \to 0$。$\blacksquare$

补充：$\lvert q\rvert > 1$ 时 $q^n$ 发散到无穷；$q = -1$ 时 $(-1)^n$ 在 $-1$ 与 $1$ 之间振荡，发散。

例 1.5（证明发散）

证明数列 $a_n = (-1)^n$ 发散。

证明（反证法）：假设 $a_n \to a$。取 $\varepsilon = \dfrac{1}{2}$，则存在 $N$，当 $n > N$ 时 $\lvert (-1)^n - a\rvert < \dfrac{1}{2}$。取两个大于 $N$ 的偶数 $2k$ 与奇数 $2m+1$，则

矛盾。故发散。$\blacksquare$

这个套路的通用性：要证发散，就找两个"互相打架"的子列，或者用"两个子列极限不同 ⟹ 发散"的定理（见 1.4 节 性质五）。

1.4 收敛数列的基本性质

设 $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = a$，$\lim\limits_{n \to \infty} b_n = b$。

性质一：极限唯一

若数列收敛，则极限唯一。

证明思路：假设有两个极限 $a \neq b$，取 $\varepsilon = \dfrac{\lvert a - b\rvert}{2}$，用三角不等式导出 $\lvert a - b\rvert < \lvert a - b\rvert$，矛盾。

性质二：收敛必有界

收敛数列一定有界，即存在 $M > 0$，使 $\lvert a_n\rvert \leq M$ 对一切 $n$ 成立。

证明思路：取 $\varepsilon = 1$，从某项 $N$ 之后所有项都落在 $(a-1, a+1)$ 内，前 $N$ 项是有限个数，取它们与 $\lvert a\rvert + 1$ 的最大值即可。

反过来不成立！ 有界不一定收敛，例如 $(-1)^n$ 有界但发散。所以"有界"是收敛的必要条件，不是充分条件。

性质三：保号性（极重要）

若 $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = a > 0$，则存在 $N$，当 $n > N$ 时 $a_n > 0$。

更一般地：若 $a > p$，则从某项起 $a_n > p$。

推论（保序性）：若从某项起 $a_n \geq 0$，且 $a_n \to a$，则 $a \geq 0$。

注意严格与不严格：$a_n > 0$ 只能推出 $a \geq 0$，推不出 $a > 0$。反例：$a_n = \dfrac{1}{n} > 0$，但极限是 0。

性质四：四则运算

若两数列都收敛，则

前提是"两个极限都存在"。若一个存在一个不存在，结论不确定，必须具体分析。这是最容易丢分的地方。

性质五：与子列的关系（判断发散的利器）

• 若 $a_n \to a$，则任意子列 $a_{n_k} \to a$；
• 若存在两个子列收敛到不同的极限，则原数列发散；
• 若存在一个子列发散，则原数列发散。

例 1.6

设 $a_n = \dfrac{n + (-1)^n}{n}$，求极限。

解：$a_n = 1 + \dfrac{(-1)^n}{n}$。因为 $\left\lvert \dfrac{(-1)^n}{n}\right\rvert = \dfrac{1}{n} \to 0$，所以 $a_n \to 1$。

小技巧：看到 $(-1)^n$ 不要慌，只要它乘着趋于 0 的量，整体就趋于 0（夹逼）。

1.5 夹逼准则（Squeeze Theorem）

定理 1.1（夹逼准则） 若存在 $N_0$，当 $n > N_0$ 时

$$b_n \leq a_n \leq c_n,$$

且 $\lim\limits_{n \to \infty} b_n = \lim\limits_{n \to \infty} c_n = A$，则

$$\lim_{n \to \infty} a_n = A.$$

人话版：如果你被两个都趋向 $A$ 的人"夹"在中间，你也只能去 $A$。

使用要点：

1. 关键是找到上下界，而且上下界要容易求极限；
2. 上下界通常通过"把每一项都换成最大项/最小项"得到；
3. 只要求 $n$ 足够大时成立，前几项无所谓。

例 1.7（n 项和的夹逼）

求 $\lim\limits_{n \to \infty}\left(\dfrac{1}{\sqrt{n^2+1}} + \dfrac{1}{\sqrt{n^2+2}} + \dots + \dfrac{1}{\sqrt{n^2+n}}\right)$。

解：共 $n$ 项。分母最小是 $\sqrt{n^2+1}$，最大是 $\sqrt{n^2+n}$，故

而

由夹逼准则，原极限 $= 1$。

识别特征：n 项和 + 每项结构相似 + 分母只差一点点 → 首选夹逼。

例 1.8（含阶乘、幂次）

求 $\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{n!}{n^n}$。

解：因为 $0 < \dfrac{n!}{n^n} = \dfrac{1}{n}\cdot\dfrac{2}{n}\cdots\dfrac{n}{n} \leq \dfrac{1}{n}\cdot 1 \cdots 1 = \dfrac{1}{n}$，而 $\dfrac{1}{n} \to 0$，故极限为 $0$。

例 1.9（含 $n^{1/n}$，需构造）

证明 $\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1$。

证明：令 $\sqrt[n]{n} = 1 + h_n$，其中 $h_n \geq 0$。由二项式展开

得 $h_n^2 \leq \dfrac{2}{n-1}$，即 $0 \leq h_n \leq \sqrt{\dfrac{2}{n-1}} \to 0$。由夹逼准则 $h_n \to 0$，故 $\sqrt[n]{n} \to 1$。$\blacksquare$

这是"取 $n$ 次根"类极限的标准做法：设根号整体 $= 1 + h_n$，用二项式展开压住 $h_n$。

1.6 单调有界准则

定理 1.2（单调有界准则） 单调递增且有上界的数列必收敛；单调递减且有下界的数列必收敛。

人话版：一个人一直往上爬但头顶有天花板，他一定会"停在某个高度附近"（收敛）。反过来说，如果只单调没界，就会冲到无穷。

重要区别：这个定理只说"存在极限"，不给极限值。要算出极限值，还得另外想办法（通常是先证存在，再对递推式两边取极限）。

例 1.10（经典递推）

设 $a_1 = \sqrt{2}$，$a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}$，证明 $\{a_n\}$ 收敛并求极限。

第一步：证明有界（用数学归纳法证 $a_n < 2$）

$a_1 = \sqrt{2} < 2$。设 $a_k < 2$，则 $a_{k+1} = \sqrt{2 + a_k} < \sqrt{2 + 2} = 2$。故对所有 $n$，$a_n < 2$。

第二步：证明单调递增

因为 $a_n < 2$ 且 $a_n > 0$，故 $a_{n+1} > a_n$。

第三步：求极限

由单调有界准则，极限存在，设为 $A$。对 $a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}$ 两边取极限，得 $A = \sqrt{2 + A}$，即 $A^2 - A - 2 = 0$，解得 $A = 2$ 或 $A = -1$。因 $a_n > 0$，故 $A = 2$。

完整套路：有界 + 单调 = 存在；递推式取极限 = 求值。这两步缺一不可，直接取极限是错的（因为还没证明极限存在）。

例 1.11（证明 $e$ 的存在性）

证明数列 $x_n = \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n$ 收敛。

思路：用二项式展开

可证 $x_n$ 单调递增（每一项的因子都随 $n$ 增大而增大），且

故有上界。由单调有界准则收敛，其极限记为 $e \approx 2.71828$。

1.7 递推数列求极限的固定套路

遇到 $a_{n+1} = f(a_n)$ 求极限，按这个流程走：

判别单调性的三个技巧：

1. 作差法：$a_{n+1} - a_n$ 的符号；
2. 作商法：$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ 与 1 比较（要求正项）；
3. 函数单调性法：若 $f$ 单调递增且 $a_2 > a_1$，则数列单调递增；若 $a_2 < a_1$，则单调递减。

压缩映射（了解）：若 $\lvert a_{n+1} - A\rvert \leq q\lvert a_n - A\rvert$ 且 $0 < q < 1$，则 $a_n \to A$。这是"用距离压缩"证明收敛，比单调有界更直接。

1.8 柯西收敛准则（了解）

定理 1.3（柯西准则） 数列 $\{a_n\}$ 收敛的充要条件是：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N$，当 $m, n > N$ 时，有

$$\lvert a_n - a_m\rvert < \varepsilon.$$

意义：它不需要事先知道极限值就能判断收敛，是"内部一致性"判据。在证明级数收敛、证明极限存在性时很有用。但要看清它是"充要"，而单调有界只是"充分"。

1.9 常见数列极限速查

增长速度排序（$n \to \infty$）：

$$\ln n \ \ll\ n^{\alpha}\ (\alpha > 0) \ \ll\ a^n\ (a > 1) \ \ll\ n! \ \ll\ n^n.$$

记住这个链条，绝大多数"谁压制谁"的题都能秒判。

2 函数的极限

2.1 从数列到函数：两种趋向

数列只有一种趋向方式：$n \to +\infty$（单向、离散）。函数则复杂得多：

2.2 $x \to \infty$ 时的极限（ε-X 定义）

定义 2.1 若对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $X > 0$，使得当 $\lvert x\rvert > X$ 时，恒有

$$\lvert f(x) - A\rvert < \varepsilon,$$

则称 $\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = A$。

和 ε-N 的区别：把"$n > N$“换成了”$\lvert x\rvert > X$"，因为 $x$ 可以往两边跑。若只考虑正方向，就写 $x > X$。

例：证明 $\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{1}{x} = 0$。

任给 $\varepsilon > 0$，取 $X = \dfrac{1}{\varepsilon}$，当 $\lvert x\rvert > X$ 时 $\left\lvert\dfrac{1}{x}\right\rvert < \varepsilon$。$\blacksquare$

2.3 $x \to x_0$ 时的极限（ε-δ 定义）

定义 2.2 设 $f$ 在 $x_0$ 的某个去心邻域内有定义。若对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得当

$$0 < \lvert x - x_0\rvert < \delta$$

时，恒有

$$\lvert f(x) - A\rvert < \varepsilon,$$

则称 $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = A$。

三个必须注意的点：

1. 去心：$0 < \lvert x - x_0\rvert$ 排除了 $x = x_0$。所以 $f(x_0)$ 是否有定义、等于多少，完全不影响极限。
2. 去心邻域内有定义：这是前提。若 $f$ 在 $x_0$ 附近根本没定义，谈极限无意义。
3. $\delta$ 依赖于 $\varepsilon$，且 $\delta$ 不唯一（取小了照样成立）。

几何图像：给定横向的"$\varepsilon$ 带子"（$y$ 方向），总能找到纵向的"$\delta$ 带子"（$x$ 方向），使得 $\delta$ 带子里的函数图像全部落在 $\varepsilon$ 带子里。

例 2.1

证明 $\lim\limits_{x \to 1}(2x + 1) = 3$。

证明：$\lvert (2x+1) - 3\rvert = 2\lvert x - 1\rvert$。任给 $\varepsilon > 0$，取 $\delta = \dfrac{\varepsilon}{2}$，当 $0 < \lvert x - 1\rvert < \delta$ 时，$\lvert (2x+1) - 3\rvert = 2\lvert x-1\rvert < \varepsilon$。$\blacksquare$

例 2.2（需要限制 $\delta$ 的范围）

证明 $\lim\limits_{x \to 2} x^2 = 4$。

分析：$\lvert x^2 - 4\rvert = \lvert x - 2\rvert\cdot\lvert x + 2\rvert$。麻烦在于 $\lvert x + 2\rvert$ 不是常数。于是先"圈定" $x$ 的范围：限制 $\lvert x - 2\rvert < 1$，则 $1 < x < 3$，从而 $\lvert x + 2\rvert < 5$。于是

取 $\delta = \min\left\{1, \dfrac{\varepsilon}{5}\right\}$，则当 $0 < \lvert x - 2\rvert < \delta$ 时，$\lvert x^2 - 4\rvert < 5 \cdot \dfrac{\varepsilon}{5} = \varepsilon$。$\blacksquare$

技巧总结：当 $\lvert f(x) - A\rvert$ 里出现"无界因子"时，先用 $\delta \leq 1$（或别的常数）把它局部有界化，再取 $\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\}$。这是 ε-δ 证明里最常用的手法。

2.4 单侧极限与极限存在的充要条件

定理 2.1

$$\lim_{x \to x_0} f(x) = A \iff \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = A.$$

用途：分段函数在分界点处的极限，必须分别算左右极限；只要左右不相等，极限就不存在。

例 2.3

设 $f(x) = \begin{cases} x + 1, & x < 0 \\ 2x, & x \geq 0\end{cases}$，讨论 $\lim\limits_{x \to 0} f(x)$。

解：左极限 $\lim\limits_{x \to 0^-}(x+1) = 1$，右极限 $\lim\limits_{x \to 0^+}2x = 0$。左右不等，故极限不存在。

易错点：算右极限时用哪一段？看 $x > 0$ 时对应哪一段，不要用错分支。

2.5 海涅定理（归结原则）—— 判断极限不存在的利器

定理 2.2（海涅定理）

$$\lim_{x \to x_0} f(x) = A$$

的充要条件是：对任意满足 $x_n \to x_0$ 且 $x_n \neq x_0$ 的数列 $\{x_n\}$，都有 $\lim\limits_{n \to \infty} f(x_n) = A$。

它的真正用途是"证不存在"：只要找到两条不同的"逼近路径"，得到两个不同的极限值，就能断定函数极限不存在。

例 2.4（经典反例）

证明 $\lim\limits_{x \to 0}\sin\dfrac{1}{x}$ 不存在。

证明：取 $x_n = \dfrac{1}{2n\pi} \to 0$，则 $\sin\dfrac{1}{x_n} = \sin 2n\pi = 0 \to 0$。 再取 $y_n = \dfrac{1}{2n\pi + \frac{\pi}{2}} \to 0$，则 $\sin\dfrac{1}{y_n} = \sin\left(2n\pi + \dfrac{\pi}{2}\right) = 1 \to 1$。

两条路径极限不同，由海涅定理，$\lim\limits_{x \to 0}\sin\dfrac{1}{x}$ 不存在。$\blacksquare$

同类反例：$\lim\limits_{x \to 0}\cos\dfrac{1}{x}$（振荡）、$\lim\limits_{x \to \infty}\sin x$（振荡）、狄利克雷函数在任意点无极限。

另一用途（证存在）：若能用海涅定理证明"任意路径都得同一个值"，也能反过来推出极限存在。但在实践中，“证存在"通常用夹逼更省事。

2.6 函数极限的性质

设 $\lim\limits_{x \to x_0}f(x) = A$，$\lim\limits_{x \to x_0}g(x) = B$。

“局部"二字的含义：只保证在 $x_0$ 附近成立，不保证在整个定义域成立。比如 $f(x) = \dfrac{1}{x}$ 在 $x = 1$ 附近有界，但在整个 $(0, +\infty)$ 上无界。

2.7 无穷小与无穷大

定义 2.3 若 $\lim\limits_{x \to x_0} \alpha(x) = 0$，则称 $\alpha(x)$ 为 $x \to x_0$ 时的无穷小。 若对任意 $M > 0$，存在 $\delta > 0$，当 $0 < \lvert x - x_0\rvert < \delta$ 时 $\lvert f(x)\rvert > M$，则称 $f(x)$ 为无穷大，记作 $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = \infty$。

核心关系：

1. $\lim f(x) = A \iff f(x) = A + \alpha(x)$，其中 $\alpha$ 是无穷小。这是最有用的一条，把"极限"翻译成"常数 + 无穷小”。
2. 在同一极限过程中，若 $f$ 是无穷大，则 $\dfrac{1}{f}$ 是无穷小；反之若 $f$ 是无穷小且 $f \neq 0$，则 $\dfrac{1}{f}$ 是无穷大。
3. 无穷小不是"很小的数”，它是"趋于 0 的变量"。0 是唯一的常数无穷小。

无穷小的性质：

• 有限个无穷小的和仍是无穷小；
• 有界函数与无穷小的乘积是无穷小（重要：$\lim x\sin\dfrac{1}{x} = 0$ 就靠这条）；
• 有限个无穷小的乘积仍是无穷小。

易错：$\infty - \infty$、$0 \cdot \infty$、$\dfrac{\infty}{\infty}$、$\dfrac{0}{0}$、$1^{\infty}$、$0^0$、$\infty^0$ 这七种叫未定式，不能直接代值，必须变形或换方法。

3 无穷小的比较

3.1 为什么需要比较

同样是趋于 0，速度差别巨大：

谁"跑得更快"？这直接影响极限计算：在加减法里，慢的占主导；在乘除法里，可以用快的替换慢的。所以我们必须给"快慢"定量。

3.2 比较的定义

设 $\alpha, \beta$ 都是同一过程（比如 $x \to x_0$）下的无穷小，且 $\beta \neq 0$。

注意 $\sim$ 和 $=$ 的区别：$\alpha \sim \beta$ 是"等价关系"（对称、传递），而 $\alpha = o(\beta)$ 里的"$=$“其实应读作"属于”，不是相等。这是数学记号的历史遗留问题，别被吓到。

3.3 等价无穷小替换表（必须背熟）

以下均在 $x \to 0$ 时成立：

推广（把 $x$ 换成 $\square(x) \to 0$）：

这是最实用的形式。比如 $\sin(x^2) \sim x^2$，$\ln(1 + 3x) \sim 3x$，$e^{\sin x} - 1 \sim \sin x \sim x$。

3.4 等价替换的三大铁律（最容易出错的地方）

铁律一：只能在乘除法中替换，加减法中要小心。

错误示范：$\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\tan x - \sin x}{x^3}$，如果直接把 $\tan x$ 和 $\sin x$ 都换成 $x$，得到 $\dfrac{x - x}{x^3} = 0$。这是错的！ 正确答案是 $\dfrac{1}{2}$。

原因：两个无穷小相减，主要部分抵消了，剩下的是更高阶的"残渣"。你把两个都换成主要部分，残渣就丢了。

正确做法：

所以原极限 $= \dfrac{1}{2}$。

铁律二：加减法要替换，必须保证"替换后不抵消"，或者精度足够。 判断方法：把每一项都换成它的主要部分，如果没有全部抵消，那么可以替换；如果全部抵消了，就必须保留更高阶项。

再看一个：$\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sin x - x}{x^3}$。换成 $x - x = 0$，抵消了，所以必须用三阶展开：$\sin x = x - \dfrac{x^3}{6} + o(x^3)$，得 $\sin x - x = -\dfrac{x^3}{6} + o(x^3)$，极限 $= -\dfrac{1}{6}$。

铁律三：替换必须"整体替换"，不能只换分子的一部分。

例如 $\dfrac{e^x - 1 - x}{x^2}$，如果只把 $e^x - 1$ 换成 $x$，得 0，错。正确：$e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2} + o(x^2)$，故 $e^x - 1 - x = \dfrac{x^2}{2} + o(x^2)$，极限 $= \dfrac{1}{2}$。

一条实用的判断法则

对 $\dfrac{f(x) \pm g(x)}{h(x)}$，若 $\alpha \sim \alpha'$、$\beta \sim \beta'$，问能否把 $\alpha \pm \beta$ 换成 $\alpha' \pm \beta'$？

可以 $\iff$ 替换后 $\alpha' \pm \beta' \neq 0$（在该极限意义下不恒为零），且 $\dfrac{\alpha' \pm \beta'}{h(x)}$ 的极限存在。

一句话：替换后不能"消成 0"。

3.5 主部法（“抓大头”）

思想：把表达式里最低阶（最快趋于 0，即阶数最小）的项作为"主部"，其他项都是高阶小量，可以忽略。

例 3.1：求 $\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sin x \cdot (e^x - 1)}{x^2}$。

解：$\sin x \sim x$，$e^x - 1 \sim x$，都是乘法，直接替换：$\dfrac{x \cdot x}{x^2} = 1$。

例 3.2：求 $\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{1 - \cos x \cos 2x}{x^2}$。

解：用"减 1 加 1"拆开：

第一部分 $\sim \dfrac{x^2}{2}$，第二部分 $\cos x \cdot \dfrac{(2x)^2}{2} = 2x^2$（$\cos x \to 1$）。总计 $\sim \dfrac{x^2}{2} + 2x^2 = \dfrac{5x^2}{2}$。故极限 $= \dfrac{5}{2}$。

拆项技巧：遇到"连乘型减 1"，就逐个减 1 再补回去，每拆一项就多一个可替换的无穷小。

3.6 无穷大的比较

设 $x \to x_0$ 时 $\alpha, \beta \to \infty$，同样定义高阶、低阶、同阶：

• $\lim\dfrac{\alpha}{\beta} = \infty$：$\alpha$ 是高阶无穷大（涨得快）；
• $\lim\dfrac{\alpha}{\beta} = 0$：$\alpha$ 是低阶无穷大；
• $\lim\dfrac{\alpha}{\beta} = c \neq 0$：同阶。

增长速度阶梯（$x \to +\infty$）：

（$A \ll B$ 表示 $A/B \to 0$。）

这个阶梯是"抓大头"的理论依据：求 $\dfrac{a^x}{x^{100}}$ 的极限，指数秒杀幂，答案无穷大。

4 极限计算的十大方法

4.1 方法总览与选用顺序

拿到一个极限
│
├─ 先代入试试（连续函数直接算）
│   └─ 能算出数 → 结束
│
├─ 是未定式？是哪一种？
│   ├─ 0/0 或 ∞/∞ ─────────→ 洛必达 / 等价替换 / 泰勒
│   ├─ ∞ - ∞ ──────────────→ 通分、有理化、提取公因子
│   ├─ 0 · ∞ ───────────────→ 改写成分式（0/0 或 ∞/∞）
│   ├─ 1^∞ ─────────────────→ 用 e 的极限公式
│   ├─ 0^0, ∞^0 ────────────→ 取对数
│   └─ 数列极限 ────────────→ 夹逼 / 单调有界 / 定积分定义
│
├─ 有根式 ─────────────────→ 有理化
├─ 有三角函数 ─────────────→ 重要极限 / 泰勒
├─ 有 n 项和 ──────────────→ 夹逼 / 定积分定义
└─ 有递推 ─────────────────→ 单调有界准则

优先级建议（考试时按这个顺序想）：

1. 代入 —— 能直接算就直接算；
2. 等价替换 —— 乘法结构优先，最快；
3. 重要极限 —— 见到 $\dfrac{\sin \square}{\square}$ 或 $(1 + \square)^{1/\square}$；
4. 洛必达 —— 纯 $\dfrac{0}{0}$、$\dfrac{\infty}{\infty}$ 且求导简单；
5. 泰勒 —— 洛必达求导会变复杂、或需要高阶精度时；
6. 夹逼 / 定积分定义 —— 数列求和型；
7. 单调有界 —— 递推型。

4.2 方法一：直接代入与连续性

若 $f$ 在 $x_0$ 连续，则 $\lim\limits_{x \to x_0}f(x) = f(x_0)$，直接代值即可。

例 4.1：$\lim\limits_{x \to 2}\dfrac{x^2 + 3}{x - 1} = \dfrac{4 + 3}{1} = 7$。

注意：代入得到 $\dfrac{0}{0}$ 不代表极限不存在，只代表"需要变形"。这是初学者最大的误解。

4.3 方法二：因式分解与约去零因子

例 4.2：$\lim\limits_{x \to 1}\dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$。

解：$\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x + 1 \to 2$。

例 4.3：$\lim\limits_{x \to 2}\dfrac{x^3 - 8}{x^2 - 4}$。

解：分子 $= (x-2)(x^2 + 2x + 4)$，分母 $= (x-2)(x+2)$，约去 $(x-2)$ 得 $\dfrac{x^2+2x+4}{x+2} \to \dfrac{12}{4} = 3$。

因式分解的常用公式：

$$a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + b^{n-1}).$$

特别地 $x^n - 1 = (x-1)(x^{n-1} + x^{n-2} + \dots + 1)$。

4.4 方法三：有理化

例 4.4：$\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sqrt{1 + x} - 1}{x}$。

解：分子分母同乘 $\sqrt{1+x} + 1$：

更快的做法：直接用等价无穷小 $\sqrt{1+x} - 1 \sim \dfrac{x}{2}$，一步得 $\dfrac{1}{2}$。

例 4.5（双有理化）：$\lim\limits_{x \to +\infty}\left(\sqrt{x^2 + x} - x\right)$。

解：

识别特征：见到 $\infty - \infty$ 且含根式 → 有理化（分子分母同乘共轭）。

4.5 方法四：两个重要极限

重要极限一

$$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1.$$

重要极限二

$$\lim_{x \to 0}(1 + x)^{\frac{1}{x}} = e, \qquad \lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e.$$

使用心法：它们都是"结构型"公式，要求完全匹配：

例 4.6：$\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sin 3x}{x}$。

解：凑结构：$\dfrac{\sin 3x}{3x}\cdot 3 \to 1 \cdot 3 = 3$。

例 4.7：$\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\tan x - \sin x}{x^3}$（见 3.4 节）。

例 4.8（1^∞ 型）：$\lim\limits_{x \to 0}(1 + 3x)^{\frac{1}{x}}$。

解：$= \lim\left[(1+3x)^{\frac{1}{3x}}\right]^3 = e^3$。

例 4.9（1^∞ 型的通用公式）：求 $\lim\limits_{x \to \infty}\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)^x$。

解：

$1^\infty$ 型速算公式：若 $\lim u(x) = 1$，$\lim v(x) = \infty$，且 $\lim v(x)\left(u(x) - 1\right) = L$，则

$$\lim u(x)^{v(x)} = e^{L}.$$

例 4.9 中 $v(u - 1) = x\left(\dfrac{x+1}{x-1} - 1\right) = \dfrac{2x}{x-1} \to 2$，故极限 $e^2$。

4.6 方法五：洛必达法则

定理 4.1（洛必达法则） 若 (1) $\lim\limits_{x \to x_0}f(x) = \lim\limits_{x \to x_0}g(x) = 0$（或都为 $\infty$）；(2) 在去心邻域内 $f'$、$g'$ 存在且 $g'(x) \neq 0$；(3) $\lim\limits_{x \to x_0}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$ 存在（或为 $\infty$），则

$$\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}.$$

使用前的三条自检：

1. 必须是 $\dfrac{0}{0}$ 或 $\dfrac{\infty}{\infty}$，其他未定式要先变形；
2. 求导后的极限要存在（若 $\lim\dfrac{f'}{g'}$ 不存在，不能断定原极限不存在，只能说洛必达失效）；
3. 注意循环：$\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ 型求导会无限循环，需换方法。

例 4.10：$\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{e^x - 1 - x}{x^2}$。

解：$\dfrac{0}{0}$，洛必达一次得 $\dfrac{e^x - 1}{2x}$，仍是 $\dfrac{0}{0}$，再一次得 $\dfrac{e^x}{2} \to \dfrac{1}{2}$。

例 4.11（洛必达失效的例子）：$\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{x + \sin x}{x}$。

解：这是 $\dfrac{\infty}{\infty}$，但求导得 $\dfrac{1 + \cos x}{1}$，极限不存在（振荡）。洛必达失效。

但原极限其实存在：$\dfrac{x + \sin x}{x} = 1 + \dfrac{\sin x}{x} \to 1$。

教训：洛必达失效 ≠ 原极限不存在。先尝试代数变形。

例 4.12（$\infty - \infty$ 转分式）：$\lim\limits_{x \to 1}\left(\dfrac{1}{\ln x} - \dfrac{1}{x - 1}\right)$。

解：通分得 $\dfrac{x - 1 - \ln x}{(x-1)\ln x}$，$\dfrac{0}{0}$。洛必达：

仍 $\dfrac{0}{0}$，再洛必达得 $\dfrac{1}{\ln x + 1 + 1} \to \dfrac{1}{2}$。

例 4.13（$0 \cdot \infty$ 型）：$\lim\limits_{x \to 0^+} x\ln x$。

解：改写为 $\dfrac{\ln x}{1/x}$，$\dfrac{-\infty}{\infty}$。洛必达：$\dfrac{1/x}{-1/x^2} = -x \to 0$。

例 4.14（$0^0$ 型）：$\lim\limits_{x \to 0^+} x^x$。

解：取对数，$x\ln x \to 0$（例 4.13），故 $x^x = e^{x\ln x} \to e^0 = 1$。

4.7 方法六：泰勒公式（最可靠的方法）

定理 4.2（带佩亚诺余项的泰勒公式） 若 $f$ 在 $x_0$ 处 $n$ 阶可导，则

$$f(x) = \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x - x_0)^k + o\left((x - x_0)^n\right).$$

为什么泰勒比洛必达强：

1. 洛必达每求一次导，式子可能变复杂；泰勒是"一次性展开"，一步到位；
2. 洛必达需要多次求导，容易算错；泰勒只需套公式；
3. 泰勒能看出阶数，洛必达看不出来。

常用麦克劳林展开（$x \to 0$，必背）：

展开到几阶？ 看分母的阶数。若分母是 $x^n$，分子就要展开到 $x^n$ 项（含 $o(x^n)$）。这条规则能解决 95% 的泰勒题。

例 4.15：$\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\cos x - e^{-\frac{x^2}{2}}}{x^4}$。

解：分母是 $x^4$，分子展开到 $x^4$：

相减得 $\left(\dfrac{1}{24} - \dfrac{1}{8}\right)x^4 = -\dfrac{x^4}{12}$，故极限 $= -\dfrac{1}{12}$。

这题用洛必达要算四次，极其痛苦；泰勒两行搞定。

例 4.16：$\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{x - \sin x}{x^3}$。

解：$\sin x = x - \dfrac{x^3}{6} + o(x^3)$，故 $x - \sin x = \dfrac{x^3}{6} + o(x^3)$，极限 $= \dfrac{1}{6}$。

4.8 方法七：夹逼准则（函数版）

例 4.17：求 $\lim\limits_{x \to 0}x\sin\dfrac{1}{x}$。

解：$0 \leq \left\lvert x\sin\dfrac{1}{x}\right\rvert \leq \lvert x\rvert \to 0$，故极限 $= 0$。

例 4.18：求 $\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{\lfloor x\rfloor}{x}$（$\lfloor\cdot\rfloor$ 为取整函数）。

解：由 $x - 1 < \lfloor x\rfloor \leq x$，得 $1 - \dfrac{1}{x} < \dfrac{\lfloor x\rfloor}{x} \leq 1$，两端都趋于 1，故极限 $= 1$。

4.9 方法八：定积分定义（数列求和型极限）

公式

$$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x.$$

识别特征：$\dfrac{1}{n}\sum f\left(\dfrac{k}{n}\right)$ 的结构，即"$n$ 项和 + 每项是 $\frac{1}{n}$ 乘一个 $f(\frac{k}{n})$"。

例 4.19：求 $\lim\limits_{n \to \infty}\left(\dfrac{1}{n+1} + \dfrac{1}{n+2} + \dots + \dfrac{1}{n+n}\right)$。

解：写成标准形式

例 4.20：求 $\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{1}{n}\left(\sqrt{\dfrac{1}{n}} + \sqrt{\dfrac{2}{n}} + \dots + \sqrt{\dfrac{n}{n}}\right)$。

解：$= \dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}\sqrt{\dfrac{k}{n}} \to \int_0^1\sqrt{x}\,\mathrm{d}x = \dfrac{2}{3}$。

和夹逼的区别：夹逼适用于"上下界好求"的情况（如分母只差一点）；定积分定义适用于"能凑成 $\frac{1}{n}f(\frac{k}{n})$“的情况。若凑不成标准形式（比如 $k^2$ 出现但不是 $\frac{k}{n}$ 的结构），可能要用夹逼或其他技巧。

例 4.21（凑不成标准形式）：$\lim\limits_{n \to \infty}\left(\dfrac{1}{n^2} + \dfrac{2}{n^2} + \dots + \dfrac{n}{n^2}\right)$。

解：直接求和：$\dfrac{1 + 2 + \dots + n}{n^2} = \dfrac{n(n+1)/2}{n^2} = \dfrac{n+1}{2n} \to \dfrac{1}{2}$。

能直接求和的，先求和再取极限，这是最简单的路。

4.10 方法九：利用导数定义

公式

$$f'(x_0) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = \lim_{x \to x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}.$$

例 4.22：$\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{e^x - 1}{x}$。

解：这就是 $f(x) = e^x$ 在 $x = 0$ 处的导数定义，故 $= f'(0) = 1$。

例 4.23：$\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\ln(1 + x)}{x}$。

解：$f(x) = \ln(1+x)$，$f'(0) = 1$，故极限为 1。

识别特征：极限形如 $\dfrac{f(x_0 + \square) - f(x_0)}{\square}$，就是导数定义，直接写 $f'(x_0)$。

4.11 方法十：变量代换

思想：把"不熟悉的过程"换成"熟悉的过程”。常用代换：

例 4.24：$\lim\limits_{x \to \infty}x\left(\sqrt[n]{\cdot}\right)$ 类问题，常令 $t = \dfrac{1}{x}$。

例如 $\lim\limits_{x \to \infty}x\left(\sqrt[x]{a} - 1\right)$（$a > 0$）：令 $t = \dfrac{1}{x} \to 0^+$，则

4.12 方法选用对照表

5 连续与间断

5.1 连续的三句话

直观：连续就是"一笔画得下来，不断开"。

数学定义（三种等价写法，都要会）：

定义 5.1（连续） 设 $f$ 在 $x_0$ 的某邻域内有定义。若

$$\lim_{x \to x_0}f(x) = f(x_0),$$

则称 $f$ 在 $x_0$ 处连续。

等价地，令 $\Delta x = x - x_0$，$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$，则连续等价于

这个写法很直观：自变量变化很小时，函数值变化也很小——这就是"不断"。

三要素：连续必须同时满足

1. $f(x_0)$ 有定义（点在图上）；
2. $\lim\limits_{x \to x_0}f(x)$ 存在（左右极限相等）；
3. 二者相等（点正好落在极限位置上）。

缺一个就是间断。

连续 vs 极限的区别：极限只看"附近"，连续还要看"本身"。所以极限存在是连续的必要条件，但不是充分条件（还要等于函数值）。

5.2 左连续与右连续

• 左连续：$\lim\limits_{x \to x_0^-}f(x) = f(x_0)$；
• 右连续：$\lim\limits_{x \to x_0^+}f(x) = f(x_0)$。

定理 5.1

$$f \text{ 在 } x_0 \text{ 连续} \iff f \text{ 在 } x_0 \text{ 既左连续又右连续}.$$

用途：分段函数在分界点处讨论连续性，就是分别算左右极限，看是否都等于该点的函数值。

例 5.1

设 $f(x) = \begin{cases}\dfrac{\sin x}{x}, & x \neq 0\\ a, & x = 0\end{cases}$，问 $a$ 取何值时 $f$ 在 $x = 0$ 处连续。

解：$\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x} = 1$，故需 $a = 1$。

例 5.2

设 $f(x) = \begin{cases}x^2 + 1, & x < 1\\ 2x, & x \geq 1\end{cases}$，讨论在 $x = 1$ 处的连续性。

解：左极限 $\lim\limits_{x \to 1^-}(x^2+1) = 2$；右极限 $\lim\limits_{x \to 1^+}2x = 2$；$f(1) = 2$。三者相等，故连续。

5.3 间断点的分类

若 $f$ 在 $x_0$ 处不连续，则 $x_0$ 是间断点。按"左右极限是否存在"分类：

图示理解：

• 可去间断点：图上就一个"洞"。补上那个点就连续了，所以叫"可去"。例：$\dfrac{\sin x}{x}$ 在 $x = 0$ 处。
• 跳跃间断点：图上"台阶"。例：符号函数 $\operatorname{sgn} x$ 在 $x = 0$ 处；$f(x) = \dfrac{\lvert x\rvert}{x}$ 在 $x = 0$ 处。
• 无穷间断点：图上有竖直渐近线。例：$\dfrac{1}{x}$ 在 $x = 0$ 处，$\tan x$ 在 $x = \dfrac{\pi}{2}$ 处。
• 振荡间断点：图在某个范围内疯狂抖动。例：$\sin\dfrac{1}{x}$ 在 $x = 0$ 处。

例 5.3（逐个判断）

判断下列函数在指定点处的间断类型：

(1) $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$，$x = 1$。 $\lim\limits_{x \to 1}f(x) = 2$ 存在，但 $f(1)$ 无定义 → 可去间断点（补充定义 $f(1)=2$ 即连续）。

(2) $f(x) = \begin{cases}x + 1, & x < 0\\ x - 1, & x \geq 0\end{cases}$，$x = 0$。 左极限 $1$，右极限 $-1$，都存在但不等 → 跳跃间断点。

(3) $f(x) = \dfrac{1}{x^2}$，$x = 0$。 $\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{1}{x^2} = +\infty$ → 无穷间断点。

(4) $f(x) = \sin\dfrac{1}{x}$，$x = 0$。 $x \to 0$ 时函数值在 $[-1, 1]$ 内反复振荡，极限不存在 → 振荡间断点。

(5) $f(x) = \begin{cases}\dfrac{\sin x}{x}, & x \neq 0\\ 0, & x = 0\end{cases}$，$x = 0$。 $\lim\limits_{x \to 0}f(x) = 1 \neq f(0) = 0$ → 可去间断点。

判题流程：① 算左极限；② 算右极限；③ 都存在且相等 → 看是否等于 $f(x_0)$，是则连续，否则可去；④ 都存在但不等 → 跳跃；⑤ 至少一侧不存在 → 看是 $\infty$ 还是振荡。

5.4 连续函数的运算法则

定理 5.2 若 $f$、$g$ 在 $x_0$ 连续，则 $f \pm g$、$f \cdot g$、$\dfrac{f}{g}$（$g(x_0) \neq 0$）都在 $x_0$ 连续。

定理 5.3（复合函数） 若 $u = g(x)$ 在 $x_0$ 连续，$y = f(u)$ 在 $u_0 = g(x_0)$ 连续，则 $f(g(x))$ 在 $x_0$ 连续。

定理 5.4（反函数） 若 $f$ 在区间上严格单调且连续，则其反函数也连续。

结论：初等函数在其定义区间内连续。这句话极其重要——它意味着求初等函数在定义域内某点的极限，直接代值即可。

注意"定义区间"四个字：是在定义区间内连续，不是在整个定义域内。比如 $\dfrac{1}{x}$ 在 $x = 0$ 处根本没定义，谈不上连续。

5.5 闭区间上连续函数的四大定理

设 $f$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续。这四个定理是"连续"最有价值的结论，也是证明题的核心工具。

定理一：有界性定理

$f$ 在 $[a, b]$ 上有界，即存在 $M > 0$，使 $\lvert f(x)\rvert \leq M$ 对一切 $x \in [a, b]$ 成立。

必须是闭区间！开区间 $(0, 1)$ 上的 $\dfrac{1}{x}$ 连续但无界，说明"闭"字不能丢。

定理二：最值定理

$f$ 在 $[a, b]$ 上必能取到最大值和最小值，即存在 $\xi_1, \xi_2 \in [a, b]$，使

和"有界"的区别：有界只说"不超过某个数"，最值定理说"真的能取到"。开区间上可能取不到（如 $(0,1)$ 上的 $x$ 取不到 0 和 1）。

定理三：零点定理（介值定理的特例）

若 $f(a) \cdot f(b) < 0$，则存在 $\xi \in (a, b)$，使 $f(\xi) = 0$。

人话：从负跑到正，中间必须穿过 0（因为不能"跳"）。

定理四：介值定理

若 $f(a) = A$，$f(b) = B$，$A \neq B$，则对 $A$ 与 $B$ 之间的任意数 $C$，存在 $\xi \in (a, b)$，使 $f(\xi) = C$。

人话：连续函数能取到两个端点值之间的一切值，中间不会"漏"。

零点定理是介值定理取 $C = 0$ 的特例，但考试里零点定理用得更多，因为它直接对应"方程有根"。

例 5.4（证明方程有根）

证明方程 $x = \cos x$ 在 $\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$ 内至少有一个根。

证明：令 $f(x) = x - \cos x$，在 $\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]$ 上连续。

由零点定理，存在 $\xi \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$ 使 $f(\xi) = 0$，即 $\xi = \cos\xi$。$\blacksquare$

例 5.5（证明"至少两个根"）

证明方程 $x = a + b\sin x$（$0 < a < 1$，$b > 0$）至少有一个正根，且不超过 $a + b$。

证明：令 $f(x) = x - a - b\sin x$，在 $[0, a+b]$ 上连续。

若 $f(a+b) = 0$，则 $a+b$ 就是根；若 $f(a+b) > 0$，由零点定理，在 $(0, a+b)$ 内有根。总之至少有一个不超过 $a+b$ 的正根。$\blacksquare$

技巧：$f(a+b) \geq 0$ 而不是 $> 0$，所以要分情况讨论（等于 0 直接是根）。这种"端点值可能为 0"的情况很容易漏。

例 5.6（介值定理证不等式）

设 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续，$x_1, \dots, x_n \in [a, b]$。证明存在 $\xi \in [a, b]$，使

证明：设 $m$、$M$ 分别为 $f$ 在 $[a,b]$ 上的最小值与最大值，则

由介值定理，存在 $\xi$ 使 $f(\xi)$ 等于该平均值。$\blacksquare$

这个结论的妙处：它把"平均"变成了"某点的值"，是积分中值定理的雏形。

5.6 一致连续（了解）

定义 5.2 若对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$（只依赖于 $\varepsilon$，与 $x$ 无关），使得对区间 $I$ 上任意两点 $x_1, x_2$，只要 $\lvert x_1 - x_2\rvert < \delta$，就有 $\lvert f(x_1) - f(x_2)\rvert < \varepsilon$，则称 $f$ 在 $I$ 上一致连续。

和普通连续的区别：普通连续的 $\delta$ 依赖于 $x_0$ 和 $\varepsilon$；一致连续的 $\delta$ 只依赖 $\varepsilon$，对整条曲线"一视同仁"。

判别：

• 康托尔定理：闭区间上的连续函数一定一致连续；
• 开区间上连续但不一定一致连续。例：$\dfrac{1}{x}$ 在 $(0, 1)$ 上连续但不一致连续（越靠近 0 越陡）；
• 若 $f$ 在 $I$ 上连续且 $f'$ 有界，则 $f$ 一致连续（拉格朗日中值定理可得）。

考试定位：多数学校只要求"了解概念 + 会判断闭区间上一致连续"，证明题较少。

6 极限的三大应用

6.1 应用一：导数就是极限

定义 6.1（导数）

$$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}.$$

导数本质上是一个 $\dfrac{0}{0}$ 型极限。所以求导法则的每一条，都是极限运算的结果。反过来，很多极限题可以用导数定义直接看出答案（见 4.10 节）。

例 6.1：用导数定义求 $f(x) = x^2$ 在 $x = 1$ 处的导数。

解：

6.2 应用二：渐近线

渐近线是"曲线无限接近的直线"，分三类：

斜渐近线的完整步骤：

1. 先求 $k = \lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{f(x)}{x}$（若不存在则无斜渐近线）；
2. 再求 $b = \lim\limits_{x \to \infty}\left[f(x) - kx\right]$（若不存在则无）；
3. 写出 $y = kx + b$。

注意 $x \to +\infty$ 与 $x \to -\infty$ 可能得到不同的渐近线，要分别讨论。

例 6.2

求 $f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x - 1}$ 的所有渐近线。

解：

• 铅直：$x = 1$ 时分母为 0，$\lim\limits_{x \to 1}\dfrac{x^2+1}{x-1} = \infty$，故 $x = 1$ 是铅直渐近线。
• 斜：$k = \lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{x^2+1}{x(x-1)} = 1$；$b = \lim\limits_{x \to \infty}\left(\dfrac{x^2+1}{x-1} - x\right) = \lim\dfrac{x^2+1-x^2+x}{x-1} = \lim\dfrac{x+1}{x-1} = 1$。故 $y = x + 1$ 是斜渐近线。
• 水平：因为已有斜渐近线，且 $\lim\limits_{x \to \infty}f(x) = \infty$，故无水平渐近线。

小技巧：有理函数可用多项式除法。$\dfrac{x^2+1}{x-1} = x + 1 + \dfrac{2}{x-1}$，商 $x+1$ 就是斜渐近线，余项趋于 0。

例 6.3

求 $f(x) = x + \arctan x$ 的渐近线。

解：$k = \lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{x + \arctan x}{x} = 1$。 $b = \lim\limits_{x \to \infty}(x + \arctan x - x) = \lim\arctan x$。

注意：$x \to +\infty$ 时 $b = \dfrac{\pi}{2}$，$x \to -\infty$ 时 $b = -\dfrac{\pi}{2}$。故有两条斜渐近线：

6.3 应用三：定积分的定义

定义 6.2（定积分）

$$\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \lim_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i,$$

其中 $\lambda$ 为最大子区间长度，$\xi_i$ 为第 $i$ 个子区间内任一点。

极限与积分的关系：定积分是"和的极限"。所以 4.9 节的公式

就是定积分定义在"等分 + 取右端点"下的特例。反过来，算不出来的极限有时能变成积分，这是重要的解题方向。

例 6.4

用定积分定义求 $\lim\limits_{n \to \infty}\left(\dfrac{n}{n^2 + 1^2} + \dfrac{n}{n^2 + 2^2} + \dots + \dfrac{n}{n^2 + n^2}\right)$。

解：通项写成

故原极限 $= \displaystyle\int_0^1\dfrac{1}{1 + x^2}\,\mathrm{d}x = \arctan 1 - \arctan 0 = \dfrac{\pi}{4}$。

凑标准形式的要点：每项必须能拆出 $\dfrac{1}{n}$，剩下的部分必须是 $\dfrac{k}{n}$ 的函数。若出现 $\dfrac{k^2}{n^3}$ 之类，要重新整理。

7 多元函数的极限（入门）

7.1 二重极限的定义

定义 7.1 若对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得当

$$0 < \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} < \delta$$

时，恒有 $\lvert f(x, y) - A\rvert < \varepsilon$，则称

$$\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)}f(x, y) = A.$$

关键区别：一元极限只有"左右两条路"，二元极限有无穷多条路（可以沿任何曲线逼近）。所以二元极限"存在"的要求高得多。

7.2 二重极限不存在的判断（路径法）

方法：找两条不同的路径，得到两个不同的极限值，即可断定不存在。

常用路径：

1. 沿坐标轴：$y = 0$ 或 $x = 0$；
2. 沿直线：$y = kx$（$k$ 不同得到不同直线）；
3. 沿抛物线：$y = x^2$、$y = kx^2$；
4. 沿极坐标方向：$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$r \to 0$。

例 7.1（经典反例）

证明 $\lim\limits_{(x,y) \to (0,0)}\dfrac{xy}{x^2 + y^2}$ 不存在。

证明：沿 $y = kx$ 逼近：

这个值与 $k$ 有关。取 $k = 0$ 得 0，取 $k = 1$ 得 $\dfrac{1}{2}$。两条路径极限不同，故二重极限不存在。$\blacksquare$

注意：如果沿所有直线 $y = kx$ 都得到同一个值，仍然不能断定极限存在！因为还可能沿抛物线跑偏。例如 $\dfrac{x^2y}{x^4 + y^2}$ 沿任何直线都趋于 0，但沿 $y = x^2$ 得 $\dfrac{1}{2}$，极限不存在。

例 7.2

证明 $\lim\limits_{(x,y) \to (0,0)}\dfrac{x^2y}{x^4 + y^2}$ 不存在。

证明：沿 $y = kx$：$\dfrac{kx^3}{x^4 + k^2x^2} = \dfrac{kx}{x^2 + k^2} \to 0$。 但沿 $y = x^2$：$\dfrac{x^2 \cdot x^2}{x^4 + x^4} = \dfrac{x^4}{2x^4} = \dfrac{1}{2}$。 两路径极限不同，故不存在。$\blacksquare$

7.3 二重极限存在的证明（夹逼 + 极坐标）

常用不等式：

极坐标法：令 $x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，若 $f$ 在 $r \to 0$ 时一致地（对 $\theta$ 无关地）趋于 $A$，则极限存在。

例 7.3

求 $\lim\limits_{(x,y) \to (0,0)}\dfrac{x^2y^2}{x^2 + y^2}$。

解：因为 $x^2 \leq x^2 + y^2$，所以

由夹逼，极限 $= 0$。

7.4 二次极限与累次极限（易混点）

• 二重极限：$(x, y)$ 同时趋于 $(x_0, y_0)$；
• 累次极限：先让 $x \to x_0$（$y$ 固定），再让 $y \to y_0$，记作 $\lim\limits_{y \to y_0}\lim\limits_{x \to x_0}f(x, y)$。

重要结论：二重极限存在 ⟹ 累次极限存在且相等（在一定条件下）。但累次极限存在不能推出二重极限存在，两个累次极限相等也不能推出二重极限存在。

反例：$f(x,y) = \dfrac{xy}{x^2+y^2}$ 在 $(0,0)$ 处，两个累次极限都是 0，但二重极限不存在（见例 7.1）。

考试定位：多数非数学专业只考"判断二重极限是否存在"，用路径法 + 夹逼即可。累次极限了解定义即可。

7.5 二元函数的连续

定义 7.2 若 $\lim\limits_{(x,y) \to (x_0,y_0)}f(x, y) = f(x_0, y_0)$，则 $f$ 在 $(x_0, y_0)$ 处连续。

间断点的复杂性：一元函数间断点只是"点"，二元函数间断可以是点、曲线、甚至区域。例如 $f(x,y) = \dfrac{1}{x^2+y^2}$ 在原点不连续（一条"点"），而 $f(x,y) = \dfrac{1}{x - y}$ 在整条直线 $y = x$ 上都不连续。

有界闭区域上连续函数的性质：与一元类似——有界性、最值定理、介值定理都成立。

8 常见题型与易错点清单

8.1 题型清单

8.2 十大易错点（逐条对照）

易错 1：把"极限存在"和"函数值"混为一谈。 $\lim\limits_{x \to x_0}f(x)$ 与 $f(x_0)$ 无关。极限可以存在而函数值无定义（如 $\dfrac{\sin x}{x}$ 在 0 处）。

易错 2：加减法中滥用等价替换。 $\tan x - \sin x \sim x - x = 0$ 是错的。加减法替换前先检查是否"全抵消"。

易错 3：洛必达用在非未定式上。 $\dfrac{0}{0}$、$\dfrac{\infty}{\infty}$ 才能用。$\dfrac{1}{0}$、$\dfrac{0}{\infty}$ 不是未定式，直接得 $\infty$ 或 0。

易错 4：洛必达失效就断定极限不存在。 $\lim\dfrac{x + \sin x}{x}$ 洛必达后极限不存在，但原极限存在（=1）。洛必达失效只是"这招不管用"。

易错 5：$1^\infty$ 型直接写成 1。 $1^\infty$ 是未定式，结果可能是 $e$、$e^2$、$1$ 等等，必须计算。

易错 6：忽略 $\lvert x\rvert$ 的符号。 $\sqrt{x^2} = \lvert x\rvert$，不是 $x$。求 $x \to -\infty$ 的极限时，$\sqrt{x^2} = -x$。

易错 7：分段函数在分界点用错分支。 算右极限时要用 $x > x_0$ 那一支，不要用错。

易错 8：无穷小阶数算错。 $1 - \cos x \sim \dfrac{x^2}{2}$ 是二阶，不是一阶。$x - \sin x$ 是三阶。

易错 9：零点定理忘记验证连续性。 使用前必须说明"$f$ 在 $[a,b]$ 上连续"，否则定理不成立。

易错 10：把"有界"当成"收敛"。 $(-1)^n$ 有界但发散。有界只是收敛的必要条件。

8.3 求参数题的固定套路

类型：已知 $\lim\limits_{x \to x_0}\dfrac{f(x)}{g(x)} = c$（$c \neq 0$ 有限），求参数。

核心原理：若 $\lim g(x) = 0$ 而极限存在且非零，则必有 $\lim f(x) = 0$。这是"分母趋于 0，分子必须也趋于 0，否则极限是无穷"。

例 8.1

已知 $\lim\limits_{x \to 1}\dfrac{x^2 + ax + b}{x - 1} = 3$，求 $a, b$。

解：分母 $\to 0$，极限有限，故分子 $\to 0$：

于是

故 $a = 1$，$b = -2$。

检验：$\dfrac{x^2 + x - 2}{x-1} = \dfrac{(x-1)(x+2)}{x-1} = x + 2 \to 3$。✓

例 8.2（含参数与无穷）

已知 $\lim\limits_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^2 + ax} - x\right) = 1$，求 $a$。

解：有理化得

故 $\dfrac{a}{2} = 1$，$a = 2$。

8.4 数列极限的"三看"原则

拿到数列极限题，按顺序看三件事：

1. 看类型：分式？根式？n 项和？递推？
2. 看主导项：分式就找分子分母的最高次幂；含指数/阶乘就比增长速度。
3. 看是否需要变形：有理化、通分、取对数、凑标准形式。

例 8.3：$\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{3^n + 2^n}{3^{n+1} - 2^n}$。

解：同除 $3^n$：

例 8.4：$\lim\limits_{n \to \infty}\left(\dfrac{n-1}{n+1}\right)^n$。

解：$= \lim\left(1 - \dfrac{2}{n+1}\right)^n$。用 $1^\infty$ 公式：$v(u-1) = n \cdot \dfrac{-2}{n+1} \to -2$，故极限 $= e^{-2}$。

9 公式速查表

9.1 定义类

9.2 重要极限

9.3 常用数列极限

9.4 增长阶梯

9.5 等价无穷小（$x \to 0$）

9.6 泰勒展开（$x \to 0$）

9.7 渐近线公式

9.8 定积分定义型极限

附录 A ε-δ 证明模板

A.1 数列（ε-N）

题目：证明 $\lim\limits_{n \to \infty}a_n = a$。

模板：

任给 $\varepsilon > 0$，要使 $\lvert a_n - a\rvert < \varepsilon$， 只需 $\underline{\quad\text{化简并放大后的表达式}\quad} < \varepsilon$， 即 $n > \underline{\quad N(\varepsilon) \quad}$。 取 $N = \left[\underline{\quad N(\varepsilon) \quad}\right] + 1$， 则当 $n > N$ 时，$\lvert a_n - a\rvert < \varepsilon$ 成立。 故 $\lim\limits_{n \to \infty}a_n = a$。$\blacksquare$

放大技巧速查：

A.2 函数（ε-δ）

题目：证明 $\lim\limits_{x \to x_0}f(x) = A$。

模板：

任给 $\varepsilon > 0$，要使 $\lvert f(x) - A\rvert < \varepsilon$。 第一步（局部化）：先限制 $\lvert x - x_0\rvert \leq \delta_1$（通常取 $\delta_1 = 1$），把 $\lvert f(x) - A\rvert$ 放大成 $M\lvert x - x_0\rvert$ 的形式。 第二步（求解）：令 $M\lvert x - x_0\rvert < \varepsilon$，得 $\lvert x - x_0\rvert < \dfrac{\varepsilon}{M}$。 第三步（取 min）：取 $\delta = \min\left\{\delta_1, \dfrac{\varepsilon}{M}\right\}$，则当 $0 < \lvert x - x_0\rvert < \delta$ 时结论成立。$\blacksquare$

A.3 常见错误

1. 量词顺序颠倒：先写 $\exists N$ 后写 $\forall\varepsilon$，逻辑就变了；
2. 忘了"去心"：$x \to x_0$ 的极限定义必须写 $0 < \lvert x - x_0\rvert$；
3. $\delta$ 里含 $x$：$\delta$ 只能依赖 $\varepsilon$（一致连续时甚至不依赖 $x_0$），写成含 $x$ 的 $\delta$ 就错了；
4. 不说明 $N$ 是正整数：取整后要加 1 保证为正。

附录 B 泰勒展开速查

B.1 常用展开（$x \to 0$）

B.2 展开阶数的选择原则

原则：展开到分母的阶数（或更高一阶，视分子抵消情况而定）。

若分子有"相减抵消"：要展开到"抵消后剩下的最低阶"为止。例如 $\cos x - e^{-x^2/2}$ 在 $x^4$ 分母下，因为 $x^2$ 项抵消，所以要展开到 $x^4$。

B.3 泰勒 vs 洛必达的选择

附录 C 极限计算决策树

┌─────────────────────────────────┐
│ 拿到极限 lim f(x)                │
└───────────────┬─────────────────┘
                │
        ┌───────▼────────┐
        │ 先代入，连续？  │
        └───────┬────────┘
          是 ───┴───► 直接得答案
          否
                │
        ┌───────▼────────────┐
        │ 判断未定式类型      │
        └───────┬────────────┘
                │
    ┌───────────┼───────────┬───────────┬──────────┐
    ▼           ▼           ▼           ▼          ▼
  0/0        ∞/∞        ∞-∞        0·∞       1^∞/0^0/∞^0
    │           │           │           │          │
    ├─等价替换  ├─同除最高次 ├─通分      ├─改写分式 ├─取对数
    ├─因式分解  ├─洛必达    ├─有理化    ├─洛必达   ├─用 e^L 公式
    ├─洛必达    └─抓大头    └─提取公因子└─抓大头   └─洛必达
    └─泰勒
                │
        ┌───────▼────────────┐
        │ 都不行？           │
        ├─ 有界×无穷小 → 夹逼 │
        ├─ 数列求和 → 定积分  │
        ├─ 递推 → 单调有界    │
        └─ 振荡 → 证不存在    │

C.1 快速自查清单

做完一道极限题，问自己四个问题：

1. 是未定式吗？ 不是就直接代值。
2. 变形合法吗？ 等价替换有没有用在加减法里？约分有没有约掉 0？
3. 洛必达用对了吗？ 是不是 $\dfrac{0}{0}$ 或 $\dfrac{\infty}{\infty}$？求导后极限存在吗？
4. 答案合理吗？ 用数值验证一下（代入 $x = 0.001$ 或 $n = 1000$ 算一算）。

数值验证是好习惯。比如算得 $\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\cos x - e^{-x^2/2}}{x^4} = -\dfrac{1}{12} \approx -0.0833$，代 $x = 0.01$ 得 $\dfrac{0.99995 - 0.99995000}{10^{-8}}$，量级对得上就基本没错。