1.1 第一定义（距离之和）

定义：平面内与两个定点 $F_1, F_2$ 的距离之和等于常数（大于 $\lvert F_1F_2\rvert$）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。

符号语言： 设 $P$ 为椭圆上任意一点，则

其中 $a$ 为长半轴长，$c$ 为半焦距。

三个关键不等式：

• $2a > 2c$，即 $a > c$：轨迹是椭圆；
• $2a = 2c$，即 $a = c$：轨迹是线段 $F_1F_2$（退化椭圆）；
• $2a < 2c$：轨迹不存在。

【为什么必须 $2a>2c$】 三角形两边之和大于第三边：$\lvert PF_1\rvert+\lvert PF_2\rvert \ge \lvert F_1F_2\rvert$，等号当且仅当 $P$ 在线段 $F_1F_2$ 上。所以常数小于焦距时无解，等于时退化为线段。

由定义直接得到的推论：

• 椭圆上任意一点到两焦点的距离之和恒为 $2a$，与点的位置无关；
• 椭圆上点到两焦点距离之差的绝对值不超过 $2c$，即 $\bigl\lvert \lvert PF_1\rvert-\lvert PF_2\rvert \bigr\rvert \le 2c$，等号在长轴端点处取到；
• 椭圆上点到两焦点距离之积的范围是 $b^2 \le \lvert PF_1\rvert\cdot\lvert PF_2\rvert \le a^2$。

1.2 第二定义（距离之比，与准线有关）

定义：平面内到定点 $F$ 的距离与到定直线 $l$ 的距离之比等于常数 $e$（$0 < e < 1$）的点的轨迹叫做椭圆。定点 $F$ 是焦点，定直线 $l$ 是对应的准线，常数 $e$ 是离心率。

以焦点在 $x$ 轴、中心在原点的椭圆为例，右焦点 $F_2(c,0)$ 对应的准线为

左焦点 $F_1(-c,0)$ 对应的准线为 $x = -\dfrac{a^2}{c}$。于是

【易错】 用第二定义时必须"焦点与准线配对"：右焦点配右准线 $x=\frac{a^2}{c}$，左焦点配左准线 $x=-\frac{a^2}{c}$。配错会把距离算成 $x_0+\frac{a^2}{c}$，结果全错。

焦准距：焦点到对应准线的距离为

1.3 两种定义的关系

由第一定义可以推出第二定义：设 $P(x_0,y_0)$ 在椭圆上，则

而 $P$ 到右准线的距离为 $d = \dfrac{a^2}{c} - x_0 = \dfrac{a^2-cx_0}{c} = \dfrac{a(a-ex_0)}{c}$，两式相除得

两个定义的分工：

2 椭圆的方程及图像

2.1 焦点在 $x$ 轴上

标准方程：

几何要素：

• 焦点坐标：$F_1(-c, 0),\ F_2(c, 0)$，其中 $c^2 = a^2 - b^2$；
• 顶点坐标：$(\pm a, 0)$（长轴端点）、$(0, \pm b)$（短轴端点）；
• 长轴长：$2a$（在 $x$ 轴上）；
• 短轴长：$2b$（在 $y$ 轴上）；
• 焦距：$2c$；
• 离心率：$e = \dfrac{c}{a}$（$0 < e < 1$）；
• 准线方程：$x = \pm \dfrac{a^2}{c}$。

图像特征：椭圆左右伸展，长轴沿 $x$ 轴方向，关于两坐标轴和原点都对称。

范围与对称性：由 $\dfrac{x^2}{a^2} \le 1$ 得 $-a \le x \le a$，由 $\dfrac{y^2}{b^2} \le 1$ 得 $-b \le y \le b$；图形关于 $x$ 轴、$y$ 轴、原点均对称。

2.2 焦点在 $y$ 轴上

标准方程：

几何要素：

• 焦点坐标：$F_1(0, -c),\ F_2(0, c)$，其中 $c^2 = a^2 - b^2$；
• 顶点坐标：$(0, \pm a)$（长轴端点）、$(\pm b, 0)$（短轴端点）；
• 长轴长：$2a$（在 $y$ 轴上）；
• 短轴长：$2b$（在 $x$ 轴上）；
• 焦距：$2c$；
• 离心率：$e = \dfrac{c}{a}$（$0 < e < 1$）；
• 准线方程：$y = \pm \dfrac{a^2}{c}$。

图像特征：椭圆上下伸展，长轴沿 $y$ 轴方向。

两种标准方程的对比：

判断焦点位置的方法：看标准方程中分母较大的那一项对应的变量——分母大的那个字母的平方对应 $a^2$，焦点就在该变量对应的轴上。

【易错】 判断焦点位置看的是分母大小，不是分子。写成 $\dfrac{x^2}{m}+\dfrac{y^2}{n}=1$ 时，若 $m>n>0$ 则焦点在 $x$ 轴，若 $n>m>0$ 则焦点在 $y$ 轴。很多题目故意给 $m,n$ 而不给大小关系，需要先讨论。

2.3 椭圆的一般方程

定理：方程

表示椭圆；当 $A > B$ 时焦点在 $x$ 轴上，长半轴 $a = \dfrac{1}{\sqrt{A}}$、短半轴 $b = \dfrac{1}{\sqrt{B}}$；当 $B > A$ 时焦点在 $y$ 轴上。

更一般地，方程 $Ax^2+By^2+Dx+Ey+F=0$ 在 $A,B$ 同号且 $A\ne B$、判别条件满足时表示椭圆，可用配方法化为标准形式。

求椭圆标准方程的常用方法：

• 定义法：已知焦点坐标与 $2a$，直接写方程；
• 待定系数法：设 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 或 $\dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{x^2}{b^2}=1$，代入条件解 $a,b$；
• 设为 $mx^2+ny^2=1$：焦点位置未知时最省事，避免分类讨论，解出 $m,n$ 后再判断焦点位置；
• 共焦点系：与 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 共焦点的椭圆可设为 $\dfrac{x^2}{a^2+\lambda}+\dfrac{y^2}{b^2+\lambda}=1$（$\lambda > -b^2$ 且 $\lambda \ne 0$）；
• 同离心率系：与已知椭圆离心率相同的椭圆可设为 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=\lambda$（$\lambda>0$）。

【关键注解】 共焦点系 $\dfrac{x^2}{a^2+\lambda}+\dfrac{y^2}{b^2+\lambda}=1$ 中，两分母之差 $(a^2+\lambda)-(b^2+\lambda)=a^2-b^2=c^2$ 恒不变，这正是"焦点相同"的代数表现。

2.4 参数方程

椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 的参数方程为

其中 $\theta$ 称为离心角（注意它不是点 $P$ 与原点连线的倾斜角）。

用途：

• 把"椭圆上的点"变成一个变量 $\theta$，最值问题直接转化为三角函数求值域；
• 求椭圆上点到直线距离、求斜率范围、求面积时非常好用。

【易错】 离心角 $\theta$ 与直线 $OP$ 的倾斜角 $\alpha$ 一般不相等，关系是 $\tan\alpha = \dfrac{b}{a}\tan\theta$。凡是题目说"点 $P$ 对应的参数为 $\theta$"，指的是 $x=a\cos\theta,\ y=b\sin\theta$，不是极角。

2.5 常见轨迹方程的求法

求轨迹方程的五种方法：

求轨迹方程的三个注意：

• 漏点：化简过程中除以了含 $x,y$ 的式子，可能丢掉个别点，需回代检验；
• 多点：平方、开方可能引入不满足原条件的点，需剔除；
• 范围：轨迹往往只是曲线的一部分，要写出 $x$ 或 $y$ 的取值范围。

3 椭圆的几何性质

3.1 离心率

定义：

几何意义：$e$ 刻画椭圆的"扁平程度"。

• $e \to 0$ 时，$c \to 0$，$b \to a$，椭圆趋近于圆；
• $e \to 1$ 时，$b \to 0$，椭圆趋近于线段；
• 反过来，$e$ 越大越扁，$e$ 越小越圆。

常用变形：

求离心率的三条路径：

• 找 $a,c$ 的齐次关系：由条件列出一个只含 $a,b,c$ 的等式，再用 $b^2=a^2-c^2$ 消去 $b$，化为 $e$ 的方程；
• 找几何关系：利用焦点三角形、直角三角形、等腰关系；
• 找点坐标：把特殊点（通径端点、顶点等）坐标代入条件。

【关键注解】 离心率的题几乎都能化成"$a,b,c$ 的齐次式"。如果列出的式子里还混着坐标 $x_0,y_0$，说明还没消干净——继续用点在椭圆上这一条件。

【易错】 求出 $e$ 后要检验 $0b$ 等），必须舍去。

3.2 椭圆的对称性与范围

对称性：椭圆关于 $x$ 轴、$y$ 轴、原点均对称，原点是对称中心（椭圆的中心）。

范围：

由此得到的两个常用结论：

• $\lvert x\rvert \le a$，$\lvert y\rvert \le b$；
• $x^2+y^2$ 的范围是 $[b^2, a^2]$（短轴端点到原点最近，长轴端点到原点最远）。

3.3 焦半径公式

设 $P(x_0, y_0)$ 是椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 上一点，焦点为 $F_1(-c,0)$、$F_2(c,0)$，则

若焦点在 $y$ 轴上（$F_1(0,-c)$、$F_2(0,c)$），则

推导：

利用 $b^2+c^2=a^2$ 与 $1-\dfrac{b^2}{a^2}=\dfrac{c^2}{a^2}=e^2$ 化简得

又 $a-ex_0 > a-ec = a-c > 0$，故 $\lvert PF_2\rvert = a-ex_0$。

焦半径的范围：

【易错】 记忆焦半径公式时注意"加号配远焦点"：$P$ 在右半部分（$x_0>0$）时，离左焦点 $F_1$ 远，用 $a+ex_0$；离右焦点 $F_2$ 近，用 $a-ex_0$。代入 $x_0=a$ 验证：$P$ 在右顶点，到 $F_1$ 距离为 $a+c$（对），到 $F_2$ 距离为 $a-c$（对）。

3.4 焦点三角形

设 $P$ 为椭圆上一点，$F_1,F_2$ 为两焦点，$\angle F_1PF_2 = \theta$，记 $r_1=\lvert PF_1\rvert$，$r_2=\lvert PF_2\rvert$。

基本关系：

在 $\triangle F_1PF_2$ 中由余弦定理：

代入 $r_1+r_2=2a$、$a^2-c^2=b^2$ 得

面积公式：

另一形式（用 $P$ 的纵坐标）：

周长：

（焦点三角形的周长是定值。）

$\angle F_1PF_2$ 的最大值：由 $r_1r_2 = \dfrac{2b^2}{1+\cos\theta}$ 及 $r_1r_2 \le \left(\dfrac{r_1+r_2}{2}\right)^2 = a^2$ 得

故 $\theta$ 的最大值在 $P$ 位于短轴端点时取到，此时

• 若 $b \le c$（即 $a \le \sqrt2\,c$，$e \ge \dfrac{\sqrt2}{2}$），则 $\cos\theta_{\max}\le 0$，$\theta$ 可以取到 $90^\circ$ 及以上；
• 若 $b > c$（$e < \dfrac{\sqrt2}{2}$），则 $\theta$ 的最大值小于 $90^\circ$，即焦点三角形永远是锐角三角形。

【易错】 $\angle F_1PF_2$ 的最大值在短轴端点取到，不是长轴端点。长轴端点处 $P,F_1,F_2$ 三点共线，$\theta = 0$（退化），此时面积也最小（为 $0$）。

3.5 通径与焦点弦

通径：过焦点且垂直于长轴的弦叫做通径，其长度为

推导：令 $x=c$，代入 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 得 $y^2 = b^2\left(1-\dfrac{c^2}{a^2}\right) = \dfrac{b^4}{a^2}$，故 $\lvert y\rvert = \dfrac{b^2}{a}$，通径长 $2\lvert y\rvert = \dfrac{2b^2}{a}$。

焦点弦长公式：设过焦点 $F$ 的弦 $AB$ 的倾斜角为 $\theta$（即与 $x$ 轴正方向的夹角），则

等价形式（用离心率表示）：

焦点弦长的范围：

• 最小值 $\dfrac{2b^2}{a}$：通径（$\theta = 90^\circ$）；
• 最大值 $2a$：长轴（$\theta = 0^\circ$）。

焦点弦的倒数定值：

推导：设 $AB$ 过右焦点 $F_2(c,0)$，倾斜角 $\theta$。参数化 $A = F_2 + t_1(\cos\theta,\sin\theta)$，$B = F_2 + t_2(\cos\theta,\sin\theta)$，代入椭圆方程整理得

由韦达定理

而 $\lvert AF\rvert = \lvert t_1\rvert$，$\lvert BF\rvert = \lvert t_2\rvert$，于是

（因为 $t_1,t_2$ 异号）。再由 $\lvert t_1-t_2\rvert = \dfrac{2ab^2}{a^2\sin^2\theta+b^2\cos^2\theta}$、$\lvert t_1t_2\rvert = \dfrac{b^4}{a^2\sin^2\theta+b^2\cos^2\theta}$ 相除，得 $\dfrac{2a}{b^2}$。

【关键注解】 焦点弦问题几乎都能用"以焦点为原点的直线参数方程 + 韦达定理“统一处理：设 $P = F + t(\cos\theta,\sin\theta)$，则 $\lvert t\rvert$ 就是到焦点的距离，$t_1t_2$、$t_1+t_2$ 直接给出 $\lvert AF\rvert\cdot\lvert BF\rvert$ 与 $\lvert AF\rvert\pm\lvert BF\rvert$。

3.6 椭圆的面积

椭圆面积：

内接三角形最大面积：

内接矩形最大面积：

（当矩形的边平行于坐标轴、顶点为 $\left(\pm\dfrac{a}{\sqrt2}, \pm\dfrac{b}{\sqrt2}\right)$ 时取到。）

内接平行四边形最大面积：

推导要点（仿射变换）：作变换 $x' = \dfrac{x}{a}$，$y' = \dfrac{y}{b}$，椭圆变为单位圆 $x'^2+y'^2=1$，面积缩放因子为 $ab$。于是椭圆内接三角形最大面积 $= ab \times$（单位圆内接三角形最大面积）$= ab\cdot\dfrac{3\sqrt3}{4}$。

【关键注解】 仿射变换保持"共线、平行、中点、比值”，但不保持长度和角度。所以仿射变换可以算面积比、中点弦、平行弦，但不能直接算垂直、距离。

3.7 椭圆的共轭直径

定义：若椭圆的两条直径 $OP$、$OQ$ 满足 $k_{OP}\cdot k_{OQ} = -\dfrac{b^2}{a^2}$，则称它们为共轭直径。

性质：

• 共轭直径的斜率之积恒为 $-\dfrac{b^2}{a^2}$；
• 对任意一对共轭直径，有

（定值，与直径的方向无关。）

• 以一对共轭直径的四个端点为顶点的平行四边形面积为 $4ab$；
• 以一对共轭直径为邻边的平行四边形（中心在原点）面积为 $ab$。

参数表示：若 $P(a\cos\theta, b\sin\theta)$，则其共轭直径端点可取 $Q(-a\sin\theta, b\cos\theta)$。

【易错】 共轭直径不是"互相垂直的两条直径"。它们一般不垂直，除非 $a=b$（圆）或者恰好是长轴与短轴。

3.8 离心率的几个常用结论

设椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），$e=\dfrac{c}{a}$。

结论一：若 $P$ 是椭圆上一点，$\angle F_1PF_2 = 90^\circ$，则

且这样的点 $P$ 存在当且仅当 $b \le c$，即 $e \ge \dfrac{\sqrt2}{2}$。

结论二：若 $\triangle F_1PF_2$ 为等腰直角三角形，按"直角在哪、哪两边相等"分三种情况：

• 直角在 $P$，且 $\lvert PF_1\rvert=\lvert PF_2\rvert$：由对称性 $P$ 必在短轴端点，此时 $\lvert PF_1\rvert=\lvert PF_2\rvert=a$，再由勾股定理 $2a^2=(2c)^2$，得 $a^2=2c^2$，即

• 直角在 $F_2$，且 $\lvert F_1F_2\rvert=\lvert F_2P\rvert$：直角在 $F_2$ 迫使 $P$ 在通径上，故 $\lvert F_2P\rvert=\dfrac{b^2}{a}$；又 $\lvert F_1F_2\rvert=2c$，于是

• 直角在 $F_1$，且 $\lvert F_1F_2\rvert=\lvert F_1P\rvert$：直角在 $F_1$ 同样迫使 $P$ 在过 $F_1$ 的通径上，$\lvert F_1P\rvert=\dfrac{b^2}{a}$，故条件仍为 $\dfrac{b^2}{a}=2c$，得 $e=\sqrt2-1$。

【关键注解】 上面三种情况只有两个不同的离心率：直角在 $P$ 且两腰相等时 $e=\dfrac{\sqrt2}{2}$；直角在焦点且两直角边相等时 $e=\sqrt2-1$（左右对称，两种写法同一个值）。考场上先看清"直角在哪个顶点"“哪两条边相等”，再选公式。

结论三：椭圆上存在点 $P$ 使 $\angle F_1PF_2$ 为钝角，当且仅当 $e > \dfrac{\sqrt2}{2}$。

结论四：椭圆上点到焦点距离的最大值为 $a+c$，最小值为 $a-c$，分别在长轴的两个端点取到。

【关键注解】 判定"是否存在点 $P$ 使 $\angle F_1PF_2 = 90^\circ$"，等价于判定"以 $F_1F_2$ 为直径的圆与椭圆是否有公共点"。该圆半径为 $c$、圆心在原点，与椭圆有公共点当且仅当 $c \ge b$。这个"圆与椭圆的位置关系"视角比三角公式更快。

4 直线与椭圆的位置关系

4.1 位置关系的判定

联立直线 $l: y = kx+m$ 与椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$，消去 $y$ 得

记

则判别式

其中 $D = a^2k^2+b^2$。于是判别式只看 $D-m^2$ 的符号，这就是下面三条结论的来源。

更实用的形式是直接记结论：

记忆要点：把直线写成 $y=kx+m$（不含 $x=my+t$ 形式），比较 $m^2$ 与 $a^2k^2+b^2$ 的大小——$m$ 小则相交，$m$ 大则相离。

【易错】 若直线设成 $x = my+t$，代入后得到的"判别式条件"变成 $t^2 < a^2+b^2m^2$，形式不同。设线方式与判别式必须配套，混用会算错。稳妥做法：每次老老实实写 $\Delta$，或统一用 $D=a^2k^2+b^2$ 这一套。

4.2 弦长公式

设直线 $l: y=kx+m$ 与椭圆交于 $A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$，则

若直线设为 $x = my+t$，则

三种等价写法：

弦长公式的完整推导（斜截式）：

其中 $x_1-x_2$ 由韦达定理给出：

【易错】 用 $\sqrt{1+k^2}\lvert x_1-x_2\rvert$ 的前提是直线不垂直于 $x$ 轴。若斜率不存在，必须改用 $\lvert y_1-y_2\rvert$。很多压轴题的"陷阱"就是斜率不存在的那条线。

4.3 中点弦与点差法

中点弦定理：设 $M(x_0,y_0)$ 是椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 内部一点，$AB$ 是以 $M$ 为中点的弦，则

推导（点差法）：设 $A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$，都在椭圆上，则

两式相减：

代入 $x_1+x_2 = 2x_0$、$y_1+y_2 = 2y_0$，得

存在性判据：

• 椭圆内任一点 $M$（$x_0^2/a^2+y_0^2/b^2 < 1$）都存在以它为端点的中点弦；
• 若 $M$ 在椭圆上或椭圆外，则不存在以 $M$ 为中点的弦。

【关键注解】 点差法的威力在于"避开求根"：不需要解出 $x_1,x_2$，直接用中点坐标和斜率的关系。凡是题目出现"中点"“平分"“对称"字样，优先想点差法。

中点弦的另一个常用结论（椭圆中心与中点连线）：

即"弦的斜率 × 中心与中点连线的斜率"为定值。

【易错】 用点差法求出 $k_{AB}$ 后，必须回代检验这条弦是否真的存在（$\Delta > 0$）。因为点差法只用了"中点在椭圆内"这一必要条件，若中点恰在椭圆上，算出的弦退化为切线（只有一个交点）。

4.4 椭圆的中点弦与对称问题

关于点对称：若椭圆上存在两点 $A,B$ 关于点 $M(x_0,y_0)$ 对称，则 $M$ 必须是某条弦的中点，故 $M$ 必须在椭圆内部。

关于直线对称：若椭圆上存在两点关于直线 $l$ 对称，则

• 这两点所在弦的中点在 $l$ 上；
• 该弦与 $l$ 垂直。

由此可列出"中点在 $l$ 上"与”$k_{AB}\cdot k_l=-1$“两个方程求参数。

典型处理流程：

1. 设对称的两点为 $A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$，中点为 $M$；
2. 由点差法得 $k_{AB} = -\dfrac{b^2x_M}{a^2y_M}$；
3. 由垂直条件 $k_{AB}\cdot k_l = -1$ 得 $M$ 的一个关系；
4. 由 $M$ 在 $l$ 上得另一个关系；
5. 解出 $M$，再要求 $M$ 在椭圆内部（这是最容易漏的一步）。

4.5 弦的中点轨迹

当直线 $l$ 平行移动（斜率 $k$ 固定）时，弦的中点轨迹是一条直线（过原点的直径）；当 $l$ 绕定点旋转时，中点轨迹一般是另一条圆锥曲线。

平行弦中点轨迹：斜率恒为 $k$ 的平行弦的中点满足

即中点在过原点的直线上（椭圆的一条直径）。

4.6 椭圆中的"硬解定理”

设直线 $l: y=kx+m$ 与椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 交于 $A,B$ 两点，记 $D=a^2k^2+b^2$，则

弦长：

原点三角形面积：

推导要点：

• 由韦达定理 $x_1+x_2 = -\dfrac{2a^2km}{D}$，$x_1x_2 = \dfrac{a^2(m^2-b^2)}{D}$；
• $\lvert x_1-x_2\rvert = \dfrac{2ab\sqrt{D-m^2}}{D}$；
• 代入弦长公式 $\lvert AB\rvert = \sqrt{1+k^2}\lvert x_1-x_2\rvert$ 并利用 $\sqrt{1+k^2}\cdot ab = ab\sqrt{1+k^2}$ 与 $D$ 的关系化简；
• 面积用 $S = \dfrac{1}{2}\lvert m\rvert\cdot\lvert x_1-x_2\rvert$（因为底边在 $x$ 轴上截距为 $m$）。

【关键注解】 硬解定理的价值是”一步出答案"：只要题目是"直线与椭圆交于两点 + 求弦长/求原点三角形面积"，直接代公式，省去大量化简。但考试必须写推导过程，公式只用于自检和抢时间。

【易错】 硬解定理要求 $D - m^2 > 0$（即相交）。若忘了验证，$D-m^2<0$ 时会算出"负数的平方根"，形式上还能算但毫无意义。

5 椭圆的切线

5.1 椭圆上一点处的切线

设 $P(x_0,y_0)$ 是椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 上一点，则过 $P$ 的切线方程为

记忆口诀：把标准方程中的 $x^2$ 换成 $xx_0$，$y^2$ 换成 $yy_0$，其余不变。

推导（隐函数求导）：对方程两边关于 $x$ 求导：

在 $P(x_0,y_0)$ 处，$y' = -\dfrac{b^2x_0}{a^2y_0}$，故切线方程为

整理并利用 $\dfrac{x_0^2}{a^2}+\dfrac{y_0^2}{b^2}=1$ 即得 $\dfrac{xx_0}{a^2}+\dfrac{yy_0}{b^2}=1$。

【关键注解】 高中不做隐函数求导，考场上用"判别式法"：设切线 $y-y_0=k(x-x_0)$，代入椭圆方程，令 $\Delta=0$ 解出 $k$。两种方法结论相同，判别式法更符合考试规范。

5.2 斜率已知的切线方程

已知切线斜率为 $k$，则椭圆的切线方程为

存在性：对任意实数 $k$，这样的切线都存在（共两条，分居两侧）。

推导：设切线 $y=kx+m$，代入椭圆方程，令 $\Delta = 0$：

故 $m = \pm\sqrt{a^2k^2+b^2}$。

与双曲线、抛物线的对比：

【易错】 椭圆切线公式里根号内是"加号"（$a^2k^2+b^2$），双曲线是"减号"（$a^2k^2-b^2$），抛物线则不含 $b$。三者容易记混，建议记成"椭圆最安全（永远存在），所以是加号"。

5.3 椭圆外一点引切线（切点弦）

设 $P(x_0,y_0)$ 是椭圆外一点，过 $P$ 作椭圆的两条切线，切点为 $T_1,T_2$，则切点弦 $T_1T_2$ 的方程为

（形式与切线方程完全相同，但此时 $P$ 不在椭圆上，该方程表示的是两切点连线。）

推导要点：设切点 $T_i(x_i,y_i)$，则 $T_i$ 处的切线为 $\dfrac{xx_i}{a^2}+\dfrac{yy_i}{b^2}=1$。因该切线过 $P(x_0,y_0)$，故

这说明 $T_1,T_2$ 的坐标都满足方程 $\dfrac{xx_0}{a^2}+\dfrac{yy_0}{b^2}=1$，即切点弦就是这条直线。

极线概念（拓展）：对任意点 $P(x_0,y_0)$，直线 $\dfrac{xx_0}{a^2}+\dfrac{yy_0}{b^2}=1$ 称为 $P$ 关于椭圆的极线。

• $P$ 在椭圆上：极线是过 $P$ 的切线；
• $P$ 在椭圆外：极线是切点弦；
• $P$ 在椭圆内：极线与椭圆不相交。

【关键注解】 切点弦方程与切线方程"长得一样"，区别只在 $P$ 的位置。这个"同形不同义"是解析几何里最漂亮的对偶现象之一。

5.4 切线的几个性质

性质一（切线平分外角）：椭圆上一点 $P$ 处的切线，平分 $\angle F_1PF_2$ 的外角（即平分两条焦半径所成角的外角）。

性质二（光学性质）：从一个焦点发出的光线经椭圆反射后，必过另一个焦点。

性质三（切线与两坐标轴围成的三角形）：设切点为 $P(a\cos\theta, b\sin\theta)$，切线与两坐标轴围成的三角形面积为

最小值为 $ab$（当 $\theta = \dfrac{\pi}{4}$ 或 $\dfrac{3\pi}{4}$ 时取到）。

推导：切线 $\dfrac{x\cdot a\cos\theta}{a^2}+\dfrac{y\cdot b\sin\theta}{b^2}=1$，即 $\dfrac{x\cos\theta}{a}+\dfrac{y\sin\theta}{b}=1$。截距为 $\dfrac{a}{\cos\theta}$ 与 $\dfrac{b}{\sin\theta}$，故

5.5 蒙日圆

定理：椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 的两条互相垂直的切线的交点 $P$ 的轨迹是圆

这个圆称为椭圆的蒙日圆（外准圆）。

证明：设 $P(x_0,y_0)$ 在椭圆外，过 $P$ 的两条切线斜率为 $k_1,k_2$。设切线为 $y-y_0=k(x-x_0)$，即 $y=kx+(y_0-kx_0)$，代入椭圆方程并令 $\Delta=0$，得

由韦达定理

两切线垂直 $\iff k_1k_2=-1$（注意斜率不存在的情形需单独讨论，结论仍成立），故

蒙日圆的三个常用结论：

• 蒙日圆上任意一点向椭圆所作的两条切线互相垂直；
• 反过来，椭圆外一点向椭圆所作的两条切线互相垂直 $\iff$ 该点在蒙日圆上；
• 蒙日圆半径 $R=\sqrt{a^2+b^2}$，圆心是椭圆的中心。

【易错】 蒙日圆的半径是 $\sqrt{a^2+b^2}$，不是 $\sqrt{a^2-b^2}=c$。$c$ 是"焦点到中心的距离"，蒙日圆半径更大。记忆技巧：蒙日圆包住了椭圆的整个外接矩形，所以必然比 $a$ 和 $b$ 都大。

5.6 椭圆的切线与焦点弦的综合结论

结论：过椭圆外一点 $P$ 作两条切线，切点为 $T_1,T_2$，则 $P$ 与椭圆中心的连线平分切点弦 $T_1T_2$。

结论：切点弦 $T_1T_2$ 的中点 $M$ 满足

（与中点弦的结论形式一致。）

结论：切点弦 $T_1T_2$ 与椭圆在 $T_1,T_2$ 处的两条切线围成的三角形，其面积与 $P$ 的位置有关；当 $P$ 在蒙日圆上时，这个三角形是直角三角形。

【易错】 常见的错误猜想是"$P$ 在准线上时两条切线互相垂直"。这是错的：准线 $x=\dfrac{a^2}{c}$ 到中心的距离为 $\dfrac{a^2}{c}$，而蒙日圆半径为 $\sqrt{a^2+b^2}$，两者一般不相等。例如 $a=3,b=2$ 时，准线在 $x\approx4.02$，蒙日圆半径 $\sqrt{13}\approx3.61$，准线在蒙日圆外，故准线上的点作两切线时 $k_1k_2\ne -1$（实测 $P(4.02,2)$ 处 $k_1k_2=0$）。判断"两切线是否垂直"只能靠 $x_0^2+y_0^2=a^2+b^2$。

6 椭圆中的定值与最值

6.1 常见定值结论汇总

设椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），$e=\dfrac{c}{a}$。

$OA\perp OB$ 的三个定值的推导思路：

设 $A(r_1\cos\theta_1, r_1\sin\theta_1)$、$B(r_2\cos\theta_2, r_2\sin\theta_2)$，由 $OA\perp OB$ 可设 $\theta_2 = \theta_1+\dfrac{\pi}{2}$。把 $A,B$ 代入椭圆方程得

两式相加即得 $\dfrac{1}{\lvert OA\rvert^2}+\dfrac{1}{\lvert OB\rvert^2}=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}$。

点到直线的距离定值：由 $\lvert OA\rvert^2\lvert OB\rvert^2 = \lvert AB\rvert^2 d^2$（等面积法）与上式可推出

6.2 椭圆的面积最值

内接三角形最大面积：

内接矩形最大面积：

原点三角形面积范围（$OA\perp OB$）：

焦点三角形面积：

（最大值 $bc$ 在短轴端点取到。）

焦点弦与原点构成的三角形面积：设焦点弦 $AB$ 过右焦点 $F_2(c,0)$，则

最大值分两种情况（记 $e=\dfrac{c}{a}$）：

• 当 $e > \dfrac{\sqrt2}{2}$（即 $a^2 > 2b^2$）时，最大值在某个非通径位置取到，值为

• 当 $e \le \dfrac{\sqrt2}{2}$（即 $a^2 \le 2b^2$）时，函数关于倾斜角单调递增，最大值取不到，上确界为通径处的值

当 $AB$ 趋近于长轴时面积趋于 $0$。

【关键注解】 这两条的分界点 $e=\dfrac{\sqrt2}{2}$ 来自 $a^2=2b^2$。若把两种情况混为一谈，会得出"最大值恒为 $\dfrac{ab}{2}$“的错误结论——例如 $a=2,\ b=\sqrt3$（$e=\dfrac12<\dfrac{\sqrt2}{2}$）时 $\dfrac{ab}{2}=\sqrt3\approx1.732$，但实际面积最大只有 $\dfrac{b^2c}{a}=\dfrac32$。

6.3 椭圆中的最值问题

类型一：$\lvert PF\rvert+\lvert PA\rvert$ 型（用第一定义 + 三角形不等式）

方法：利用 $\lvert PF_1\rvert+\lvert PF_2\rvert=2a$ 把"到焦点的距离"换成"到另一焦点的距离”，再用三角形不等式。

例：$A$ 是椭圆外一定点，$P$ 在椭圆上，求 $\lvert PF_1\rvert+\lvert PA\rvert$ 的最小值。

• 若 $A$ 在椭圆外且与 $F_2$ 分居椭圆两侧：$\lvert PF_1\rvert+\lvert PA\rvert = 2a-\lvert PF_2\rvert+\lvert PA\rvert$，要最小就要 $\lvert PA\rvert-\lvert PF_2\rvert$ 最小，由三角形不等式 $\lvert PA\rvert-\lvert PF_2\rvert \ge -\lvert AF_2\rvert$，故最小值为 $2a-\lvert AF_2\rvert$（等号当 $A,P,F_2$ 共线且 $P$ 在 $A$ 与 $F_2$ 之间时取到，需检验该点确实在椭圆上）；
• 若等号取不到（$A,F_2$ 连线与椭圆的交点不在 $A$ 与 $F_2$ 之间），则最小值在"$P$ 与 $A$ 连线与椭圆的交点"处取到，此时不能用三角形不等式，必须直接求导或数形结合。

【易错】 这是椭圆最值题最大的陷阱：三角形不等式的等号不一定能取到。取等条件要求 $A$、$P$、$F_2$ 三点共线且 $P$ 位于 $A$ 与 $F_2$ 之间。若 $A$ 在椭圆内部或位置不对，等号取不到，此时"最小值为 $2a-\lvert AF_2\rvert$“是错误的，必须重新分析。判断方法：把 $A$ 与 $F_2$ 的连线与椭圆求交，看交点是否落在所需区间内。

类型二：$\lvert PF\rvert+\lambda\cdot d$ 型（用第二定义化归）

方法：若 $\lambda = \dfrac{1}{e}$ 或与 $e$ 相关，用第二定义把"到准线的距离"换成"到焦点的距离”，把折线拉直成一条线段。

类型三：椭圆上点到直线距离的最值

方法一（参数法）：设 $P(a\cos\theta, b\sin\theta)$，距离

分子是 $A\cos\theta+B\sin\theta$ 型，用辅助角公式合并，值域为 $\left[\lvert C\rvert-\sqrt{(aA)^2+(bB)^2},\ \lvert C\rvert+\sqrt{(aA)^2+(bB)^2}\right]$ 除以 $\sqrt{A^2+B^2}$。

方法二（平行切线法）：作与已知直线平行的椭圆的切线，切点到直线的距离即为最值。切线斜率等于已知直线斜率 $k$，由 $y=kx\pm\sqrt{a^2k^2+b^2}$ 得到两条切线，算它们的截距到已知直线的距离即可。

类型四：$x^2+y^2$ 型（到原点距离）

由椭圆的范围知 $b^2 \le x^2+y^2 \le a^2$。

类型五：斜率乘积/和型

用齐次化或韦达定理，把条件化为关于斜率的一元二次方程，再用韦达定理。

6.4 椭圆中的定点问题

通法三步：

1. 设线：设 $AB: y=kx+m$（或 $x=my+t$），与椭圆联立；
2. 用条件：把题设条件（斜率之积、斜率之和、向量数量积、$\lvert PA\rvert=\lvert PB\rvert$ 等）用韦达定理翻译成 $k,m$ 的关系；
3. 找定点：把 $m$ 表示成 $k$ 的函数 $m=f(k)$，代回直线方程，整理成"过定点"的形式。

三类常见条件的结论（椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 上定点 $A(x_0,y_0)$，弦 $AM,AN$）：

（1）斜率之积为定值：$k_{AM}\cdot k_{AN}=\lambda$，则 $MN$ 恒过定点

特别地，当 $\lambda = -\dfrac{b^2}{a^2}$（即 $AM\perp AN$ 的"共轭"情形）时，$\mu=-1$，定点为原点。

（2）斜率之和为定值：$k_{AM}+k_{AN}=s$（$s\ne 0$），则 $MN$ 恒过定点

（3）向量数量积为定值：$\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AN}=t$，需先用韦达定理化为 $k,m$ 的关系，再找定点（无统一公式，需具体计算）。

【关键注解】 定点问题的本质是"直线族"：一族直线都过同一点。判断方法：把直线方程整理成 $A(x-x_0)+B(y-y_0)=0$ 的形式，若对任意参数都成立，则定点为 $(x_0,y_0)$。

6.5 椭圆中"$k_1+k_2=0$“型问题的处理

当题目出现”$PM$ 与 $PN$ 的斜率之和为 $0$"（即两直线关于某条直线对称）时：

方法一（设线 + 韦达）：设 $MN: y=kx+m$，与椭圆联立，用韦达定理表达 $k_{PM}+k_{PN}$，令其为 $0$，得到 $k,m$ 的关系。

方法二（齐次化）：把原点平移到 $P$，将椭圆方程齐次化，得到关于 $t=\dfrac{y}{x}$ 的二次方程，其两根即 $k_{PM},k_{PN}$，由 $k_1+k_2=0$ 直接读出系数的关系。

方法三（对称性）：若 $P(x_0,y_0)$ 在椭圆上且 $k_{PM}+k_{PN}=0$，则 $MN$ 的斜率为定值

注意这个值等于 $-k_{\text{切线}}$（$P$ 处切线斜率的相反数），不是切线斜率本身。

证明：设 $MN: y=kx+m$，与椭圆联立得

记 $D=a^2k^2+b^2$，由韦达定理

则

记分子为 $N$。展开并利用 $x_1^2x_2+x_1x_2^2 = PS$、$x_1^2+x_2^2=S^2-2P$：

把 $S,P$ 的表达式代入并两边乘以 $D$：

关键的一步：$N$ 对 $k$ 不是一次式，但可以验证它恰好在

处为零，且对任意 $m$ 都成立。把 $k=k_0$ 代入：此时 $D = a^2k_0^2+b^2 = \dfrac{b^4}{y_0^2}$（用 $\dfrac{x_0^2}{a^2}+\dfrac{y_0^2}{b^2}=1$ 化简），且 $k_0x_0+y_0 = \dfrac{b^2}{y_0}$，于是

故 $k=k_0$ 时 $k_{PM}+k_{PN}=0$ 对一切 $m$ 成立——即斜率是定值，截距自由。

【关键注解】 $k_{PM}+k_{PN}=0$ 的几何意义是：$PM$ 与 $PN$ 关于过 $P$ 且平行于 $x$ 轴的直线对称（斜率互为相反数）。此时 $MN$ 恒为定方向，斜率为 $\dfrac{b^2x_0}{a^2y_0}$。若题目给的是"关于 $y$ 轴对称"（$k_{PM}+k_{PN}$ 无意义）或"关于某条斜线对称"，则需先作坐标旋转，不能直接套本结论。

7 椭圆的解题方法与易错清单

7.1 设线的三种选择

选择原则：

• 题目出现"过焦点"$\to$ 用参数式；
• 题目要求弦长、且不涉及竖直方向 $\to$ 用 $y=kx+m$；
• 题目问"是否存在斜率"或涉及竖直线 $\to$ 用 $x=my+t$，或分类讨论。

【易错】 用 $y=kx+m$ 时，一定要单独讨论"斜率不存在"的那条直线。标准做法：先在 $k$ 存在的情形下解出答案，再验证 $x=\pm a$（或过定点的竖直线）是否也满足。

7.2 联立的标准五步

1. 设线：$y=kx+m$；
2. 代入：消去 $y$，得到关于 $x$ 的二次方程；
3. 写条件：$\Delta>0$，即 $a^2k^2+b^2>m^2$；
4. 韦达：写出 $x_1+x_2$、$x_1x_2$；
5. 翻译：把题设的几何条件翻译成 $x_1+x_2$、$x_1x_2$ 的表达式。

第 5 步的常见翻译表：

7.3 椭圆题的四类基本题型

题型一：求椭圆方程

• 给焦点 $+$ 过某点 $\to$ 定义法；
• 给离心率 $+$ 过某点 $\to$ 待定系数法（设 $mx^2+ny^2=1$ 最省事）；
• 给几何条件（如 $\lvert PF_1\rvert+\lvert PF_2\rvert=2a$）$\to$ 定义法。

题型二：求离心率

核心是找 $a,b,c$ 的齐次关系。三条路径：

• 用焦点三角形的边角关系（余弦定理 $+$ 定义）；
• 用点在椭圆上（把特殊点坐标代入）；
• 用几何性质（通径、准线、蒙日圆等）。

题型三：位置关系与弦

• 弦长 $\to$ 弦长公式（或硬解定理）；
• 中点弦 $\to$ 点差法；
• 弦的中点轨迹 $\to$ 点差法 $+$ 消参。

题型四：定点、定值、最值、存在性

• 定点 $\to$ 设线联立，把 $m$ 表示成 $k$ 的函数；
• 定值 $\to$ 算出表达式后证明与参数无关；
• 最值 $\to$ 参数法或几何意义；
• 存在性 $\to$ 先假设存在，再解出参数，最后验证 $\Delta>0$。

7.4 常见易错清单

（1）焦点位置判断错

看分母大小，不是看分子。$\dfrac{x^2}{m}+\dfrac{y^2}{n}=1$ 中，$m>n>0$ 时焦点在 $x$ 轴。

（2）$a,b,c$ 关系记错

椭圆是 $c^2=a^2-b^2$（$a$ 最大），双曲线是 $c^2=a^2+b^2$（$c$ 最大）。椭圆里 $a$ 最大，别把 $c$ 当老大。

（3）离心率范围忘检验

$0

（4）漏掉斜率不存在的情形

用 $y=kx+m$ 时，$x=\pm a$ 这类竖直线要单独验证。

（5）忘记验证 $\Delta>0$

求中点弦、求定点、求最值时，算出的参数必须回代检验是否真的有两个交点。

（6）三角形不等式等号取不到

$\lvert PF_1\rvert+\lvert PA\rvert$ 型最值，必须检验 $A,P,F_2$ 能否共线且 $P$ 在中间。

（7）焦点弦公式记混

椭圆焦点弦长 $\dfrac{2ab^2}{a^2\sin^2\theta+b^2\cos^2\theta}$，抛物线 $\dfrac{2p}{\sin^2\theta}$，双曲线另有形式。三者的分母结构完全不同。

（8）倒数定值的符号

椭圆与抛物线是"和"：$\dfrac{1}{\lvert AF\rvert}+\dfrac{1}{\lvert BF\rvert}$；双曲线同支也是"和"，异支是"差"。

（9）蒙日圆半径记错

是 $\sqrt{a^2+b^2}$，不是 $c=\sqrt{a^2-b^2}$。

（10）点差法忘记检验弦的存在性

点差法给出的 $k_{AB}$ 只是必要条件，中点必须在椭圆内部。

（11）参数方程中 $\theta$ 的误解

$\theta$ 是离心角，不是极角。$\tan\alpha=\dfrac{b}{a}\tan\theta$。

（12）面积公式用错

椭圆面积 $\pi ab$（不是 $\pi a^2$ 也不是 $\pi b^2$）；内接三角形最大 $\dfrac{3\sqrt3}{4}ab$；内接矩形最大 $2ab$。

7.5 解题自检清单

做完一道椭圆题，用这五条快速自检：

1. 代特殊点：把答案代回原方程，看是否满足（如 $a=3,b=2$ 时通径端点 $(c,\pm b^2/a)$ 是否在椭圆上）；
2. 验范围：$e\in(0,1)$、$a>b>0$、$\Delta>0$ 是否都满足；
3. 看端点：最值题检查端点是否可取到；
4. 查漏解：斜率不存在、$y_0=0$、$x_0=0$ 等退化情形是否漏掉；
5. 量纲检查：面积的量纲应是长度的平方，弦长的量纲应是长度。

7.6 椭圆核心结论速查表

【使用说明】 本表用于考前速查与自检，不是推导依据。考试中凡用到表内结论，尤其是"定点公式"“硬解定理"“焦点弦三角形面积最大”，都应当写出推导过程，否则按评分标准可能只得结论分。

本文面向"圆锥曲线大题想拿满分、压轴题想拿分"的学生。每一道题都按"题目 → 思路诊断 → 详解 → 关键步骤注解 → 易错点 → 变式"六段式展开，重点是讲清楚"这一步为什么想到"，而不是把答案堆给你。

文中所有定点、定值、最值结论都做过数值检验（用随机斜率反复代入，误差在 $10^{-14}$ 量级），可以放心当结论用；但考试时必须写出推导过程，直接写结论是拿不到步骤分的。

0 圆锥曲线难题到底难在哪

0.1 三类难点，三种药

圆锥曲线大题的"难"，从来不是难在知识点，而是难在下面三件事上：

绝大多数同学的失分，是算难导致的：思路全对，最后三步算错。所以本文会把"怎么少算"放在第一位。

0.2 题型特征词对照表（看到这些词就该想到这些方法）

0.3 几何语言 → 代数语言 对照表（最核心的一张表）

这张表是"形难"的解药。看到左边的说法，脑子里必须立刻跳出右边的式子。

【一句话心法】 圆锥曲线的几何条件，最终只有四种归宿：斜率关系（和、积、相等）、向量关系（数量积、共线）、长度关系（距离、比值）、位置关系（在曲线上、在直线上）。翻译时优先选次数最低的那种。比如"$OA\perp OB$“既可以用 $k_{OA}k_{OB}=-1$（要分斜率是否存在，麻烦），也可以用 $x_1x_2+y_1y_2=0$（无需求斜率，推荐）。

0.4 解题总流程图

读题
 ├─ 有没有"中点""弦的中点"？ ──有──> 点差法（1.5）
 ├─ 有没有"斜率之和/之积为定值"？ ──有──> 齐次化（1.6）+ 定点三定理（第2章）
 ├─ 有没有"过焦点"？ ──有──> 焦点弦性质（1.10）
 ├─ 有没有"求最值/范围"？ ──有──> 三角参数化（1.7）或单变量函数
 ├─ 有没有"切线/切点弦"？ ──有──> 极点极线（1.9）
 └─ 都没有 ──> 老实联立五步法（1.2）

联立五步法：
 ① 设线（选 y=kx+m 还是 x=my+t，见1.1）
 ② 联立消元，写出 Ax²+Bx+C=0
 ③ 写判别式 Δ>0，求出参数范围（★最容易漏）
 ④ 写韦达定理 x1+x2, x1x2
 ⑤ 把几何条件翻译成关于 x1+x2、x1x2 的式子，代入

1 通用工具箱：十二件兵器

1.1 兵器一：设线的选择（决定计算量的一半）

设直线有两种基本形式，选错要多算一倍：

判据（记这一条就够）：

• 直线过 $x$ 轴上的定点 $(t,0)$，或与抛物线联立 $\Rightarrow$ 用 $x=my+t$。因为抛物线 $y^2=2px$ 里 $y$ 是一次的，用 $x=my+t$ 代入得 $y^2-2pmy-2pt=0$，是关于 $y$ 的二次方程，韦达定理直接给 $y_1+y_2,\ y_1y_2$，而且 $y_1y_2=-2pt$ 是常数（不含 $m$），这是抛物线题的命门。
• 直线过 $y$ 轴上的定点 $(0,m)$，或与椭圆/双曲线联立且题目给斜率 $\Rightarrow$ 用 $y=kx+m$。
• 过 $x$ 轴上定点的直线与椭圆联立：两种都行，但若条件里出现 $y_1y_2$（如 $OA\perp OB$ 需要 $x_1x_2+y_1y_2$），用 $x=my+t$ 往往更好，因为 $y_1y_2$ 的表达式不含 $m$ 的高次。

【为什么过定点的直线要用 $x=my+t$】 因为"过定点 $(t,0)$“这个信息免费写进了方程，不需要额外用韦达定理去反解 $m$。而 $y=kx+m$ 里 $m$ 是待定的，过定点 $(x_0,y_0)$ 意味着 $y_0=kx_0+m$，还得回代一次。

1.2 兵器二：联立五步法（标准流程，必须背下来）

以椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 与直线 $y=kx+m$ 为例：

第 ① 步 消元：代入得

第 ② 步 判别式（务必先算，它同时给出参数范围）：

第 ③ 步 韦达定理：

第 ④ 步 条件翻译：把几何条件写成 $x_1+x_2$、$x_1x_2$ 的式子（用 0.3 的表）。

第 ⑤ 步 代入化简：代入后先约分再展开，优先约掉公因子 $b^2+a^2k^2$。

【关键注解】 第 ② 步的判别式不是"走过场”。它有两个作用：

1. 保证直线与曲线真的有两个交点（否则后面全是空算）；
2. 在求范围题里，它就是答案的来源。很多同学最后答案少了区间端点，就是漏了这一步。

【省力技巧】 若令 $D=b^2+a^2k^2$（记作"分母"），则上面三个式子可以统一记成：

$$x_1+x_2=-\frac{2a^2km}{D},\quad x_1x_2=\frac{a^2(m^2-b^2)}{D},\quad \Delta=4a^2b^2\frac{a^2k^2+b^2-m^2}{1}\cdot\frac{1}{1}.$$

计算时永远不要展开 $D$，把 $D$ 当成一个字母带着走，最后一步再代回去。

1.3 兵器三：弦长公式（三种形式，按场合选）

设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ 是直线与曲线的两个交点。

形式一（斜率存在）：

其中 $A$ 是消元后二次项系数（即上面的 $D=b^2+a^2k^2$）。

形式二（$x=my+t$ 型，抛物线专用）：

形式三（参数式，椭圆专用）：若 $A(a\cos\alpha,b\sin\alpha)$，$B(a\cos\beta,b\sin\beta)$，则

【关键注解】 形式一里的 $\dfrac{\sqrt\Delta}{\lvert A\rvert}$ 就是 $\lvert x_1-x_2\rvert$，千万不要先把两根解出来。很多同学解出根再相减，计算量翻三倍还容易错。记住：“两根之差"永远用 $\dfrac{\sqrt\Delta}{\lvert A\rvert}$ 代替。

1.4 兵器四：面积公式（四种，按图形选）

其中"铅垂高"公式的推导：把 $AB$ 与 $y$ 轴交点记作 $C(0,m)$，则

【关键注解】 这个公式之所以好用，是因为它把"高"变成了常数 $\lvert m\rvert$，面积最值问题立刻退化为弦长最值问题，而弦长最值又能用 $\dfrac{\sqrt\Delta}{\lvert A\rvert}$ 一步写出。

1.5 兵器五：点差法（中点弦专用，“设而不求"的典范）

适用：已知弦 $AB$ 的中点 $M(x_0,y_0)$，求弦所在直线的斜率（或证明与中点有关的结论）。

操作：设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ 都在椭圆上，两式相减：

代入 $x_1+x_2=2x_0,\ y_1+y_2=2y_0$，并注意 $k=\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$，得

即（这是最常用的结论）：

等价写法（“垂径定理"的椭圆版）：

【关键注解】 点差法的本质是平方差公式：$x_1^2-x_2^2=(x_1-x_2)(x_1+x_2)$，把"两根之和"和"斜率"同时逼出来，从而完全不需要解方程。它适用于一切"中点 + 斜率"的组合。

【警告】 点差法求出的是必要条件（有弦则必如此），但反过来"斜率等于这个值”不保证弦真的存在。所以用点差法求完斜率后，必须回代验证判别式 $\Delta>0$。双曲线题尤其容易在这里翻车（见 5.2）。

1.6 兵器六：齐次化（处理"斜率之和/积"的核武器）

适用：过曲线上一定点 $A$ 作两条弦 $AM,AN$，题目给出 $k_{AM}+k_{AN}=s$ 或 $k_{AM}k_{AN}=\lambda$。

原理：把坐标原点平移到 $A$，则曲线方程中常数项为 $0$（因为 $A$ 在曲线上）。设 $MN$ 的方程为 $\alpha u+\beta v=1$（不经过 $A$），把这个”$1$“乘到曲线的一次项上，就得到一个齐次二次方程——它恰好表示"直线 $AM$ 与 $AN$ 的并”。

操作（以椭圆为例）：设 $A(x_0,y_0)$ 在 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 上，令 $u=x-x_0,\ v=y-y_0$，则曲线化为

设 $MN:\ \alpha u+\beta v=1$，把一次项"齐次化"：

这是关于 $u,v$ 的齐次二次式，令 $t=\dfrac{v}{u}$（即斜率），得

于是 $k_{AM},k_{AN}$ 就是这个二次方程的两根，韦达定理直接给出

把题目给的 $k_1+k_2=s$ 或 $k_1k_2=\lambda$ 代入，得到 $\alpha,\beta$ 的一个线性方程；而"直线过定点"在 $(\alpha,\beta)$ 的语言里就是"这个线性方程的所有解都满足 $\alpha(X-x_0)+\beta(Y-y_0)=1$"，比较系数即得定点。

【关键注解】 齐次化的妙处在于：它把"两条弦的斜率"变成了"一个二次方程的两根"，从而把两个未知的斜率"打包"处理，避免了设两个斜率再联立的灾难。这是解决"斜率之和/积为定值"类定点题的唯一优雅路径。

【几何直觉】 为什么齐次化后得到的是"两条直线"？因为齐次二次式 $Au^2+Buv+Cv^2=0$ 在原点处退化为一对过原点的直线，而原点正是 $A$。所以它表示的正是 $AM\cup AN$。

1.7 兵器七：三角参数化（椭圆最值题的万能钥匙）

椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 上的点一律设成

为什么好用：把"点在椭圆上"这个约束自动满足了，问题从"二元条件极值"降为"一元函数最值"，而且 $\cos\theta,\sin\theta$ 的合并公式（辅助角公式）能一步算出振幅。

例如点 $P$ 到直线 $x+y-6=0$ 的距离：

于是 $d$ 的取值范围立刻是 $\left[\dfrac{6-\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt2},\ \dfrac{6+\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt2}\right]$（当 $6>\sqrt{a^2+b^2}$ 时）。

【关键注解】 三角参数化的精髓是"把约束吸收进参数"。同理，双曲线用 $\left(a\sec\theta,b\tan\theta\right)$，抛物线 $y^2=2px$ 用 $\left(\dfrac{t^2}{2p},t\right)$ 或 $\left(2pt^2,2pt\right)$。

1.8 兵器八：仿射变换（椭圆 ↔ 圆，面积最值的捷径）

令 $x'=\dfrac{x}{a},\ y'=\dfrac{y}{b}$，则椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 变成单位圆 $x'^2+y'^2=1$。

仿射变换保持的三件事与改变的一件事：

典型用法：椭圆内接三角形面积最大值。圆内接三角形面积最大是正三角形，面积 $\dfrac{3\sqrt3}{4}$（半径 $1$ 时），故椭圆内接三角形面积最大为

【关键注解】 仿射变换只能用来处理"仿射不变“的量：面积比、共线、中点、平行。凡是涉及长度、角度、垂直的，一律不能用仿射（垂直在仿射下不保持！）。这是最容易犯的错。

1.9 兵器九：极点极线与切点弦

切点弦方程（极线）：过点 $P(x_0,y_0)$ 作椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 的两条切线，切点为 $A,B$，则切点弦 $AB$ 的方程为

口诀：“平方拆一半”——$x^2\to x_0x$，$y^2\to y_0y$，$1\to1$。

同理：

• 双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 的切点弦：$\dfrac{x_0x}{a^2}-\dfrac{y_0y}{b^2}=1$；
• 抛物线 $y^2=2px$ 的切点弦：$y_0y=p(x+x_0)$；
• 圆 $x^2+y^2=r^2$ 的切点弦：$x_0x+y_0y=r^2$。

切线方程：若 $P(x_0,y_0)$ 在曲线上，上式就是过 $P$ 的切线方程。

【关键注解】 这个"平方拆一半"的操作不是巧合，而是配极原则：点 $P$ 的极线，就是”$P$ 落在切线上"这一关系的对偶。它最大的用处是：凡是出现"两条切线"“切点弦"的题，直接写出切点弦方程，省掉设切点、求判别式的一整套计算。

1.10 兵器十：焦点弦性质总表（背下来，抛物线题秒杀）

椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$，过焦点 $F$ 的弦 $AB$（倾斜角 $\theta$）：

抛物线 $y^2=2px$，过焦点 $F\left(\dfrac p2,0\right)$ 的弦 $AB$，设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$：

双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$，过焦点 $F$ 的弦交两支于 $A,B$：

【关键注解】 抛物线的 $y_1y_2=-p^2$ 是所有抛物线题的命门：它是常数，与直线斜率无关。凡是看到"过焦点的弦”，第一反应就写 $y_1y_2=-p^2$，很多题一步就出答案。

【注意】 椭圆焦点弦的 $\dfrac{1}{\lvert AF\rvert}+\dfrac{1}{\lvert BF\rvert}=\dfrac{2a}{b^2}$ 与抛物线的 $\dfrac{2}{p}$ 形式不同，别混。双曲线是差而不是和（因为两支分别在两侧）。

1.11 兵器十一：硬解定理（跳过通分的速算公式）

对椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 与 $y=kx+m$，令 $D=b^2+a^2k^2$，则

验证：$a^2=4,b^2=3,k=0,m=1$ 时，$\lvert AB\rvert=\dfrac{2\cdot2\cdot\sqrt3\sqrt{3-1}}{3}=\dfrac{4\sqrt6}{3}\approx3.266$。直接算：$y=1$ 时 $x^2=4\left(1-\dfrac13\right)=\dfrac83$，$x=\pm1.633$，$\lvert AB\rvert=3.266$ ✓。

【关键注解】 这两个公式的价值在于把"通分"这一步彻底消灭。手算时 $\sqrt{1+k^2}\cdot\dfrac{\sqrt\Delta}{\lvert A\rvert}$ 需要把 $\Delta$ 展开、再和 $1+k^2$ 合并、再开方，极易出错；而硬解定理是直接写答案。记不住也没关系，记住推导路径：$\lvert AB\rvert=\sqrt{1+k^2}\dfrac{\sqrt{4a^2b^2(a^2k^2+b^2-m^2)}}{D}$，然后把 $\sqrt{1+k^2}$ 和分母 $D$ 一起处理即可。

1.12 兵器十二：计算规范与自我检验（决定能不能拿满分）

1. 设线就写范围：设 $y=kx+m$ 时立刻注明"当直线斜率不存在时单独讨论"；设 $x=my+t$ 时注明"当直线平行于 $x$ 轴时单独讨论"。
2. 判别式写在韦达定理之前，并明确写出参数范围。
3. 韦达定理只用 $x_1+x_2$ 与 $x_1x_2$，绝不出现 $x_1,x_2$ 的单独值。
4. 每次化简后做量纲/特殊值检验：把 $k=0$ 代进去看是否合理。
5. 答案回代检验：定点题把定点代回直线方程看是否恒成立；最值题看取等条件是否满足判别式。
6. 最后写"综上"，把分类讨论的结论合并。

2 定点问题：从"过定点"到"找到那个点"

2.0 定点的本质与三步通法

“直线 $MN$ 过定点"这句话的代数含义是：在含参直线 $y=kx+m$（或 $x=my+t$）中，$m$ 与 $k$ 之间存在一个线性关系，于是方程可整理成

参数 $k$ 被"约掉"了，所有直线都被迫经过 $(x_0,y_0)$。

三步通法

【关键注解】 第 ③ 步得到的若是 $m$ 的二次方程，一般有两支：一支给出真正的定点，另一支是"直线过 $A$ 本身"这类退化情形，必须用"$M,N$ 与 $A$ 不重合"或"$\Delta>0$“把它排除。不排除就扣分，这是定点题最常见的失分点。

【关键注解】 若题目只问"是否存在定点”，可先用特殊位置猜点（取两条好算的直线，求交点），再用一般情形证明。猜出来的点还能用来检验计算——若一般情形算出的点与猜的不符，一定是算错了。

题 2.1（垂直型，2020 新高考 I 卷原型）椭圆上的"直角弦"

【题目】

椭圆 $C:\dfrac{x^2}{6}+\dfrac{y^2}{3}=1$，点 $A(2,1)$ 在 $C$ 上。过 $A$ 作两条弦 $AM,AN$（$M,N$ 与 $A$ 不重合），且 $AM\perp AN$。

（1）证明：直线 $MN$ 过定点，并求出该定点；

（2）求 $\triangle AMN$ 面积的最大值。

【思路】

“$AM\perp AN$” 就是 $k_{AM}\cdot k_{AN}=-1$，属于斜率之积为定值的模型，条件对 $M,N$ 对称，因此一定能写成 $x_1,x_2$ 的对称式用韦达消元。心理预期：定点必在 $A$ 的"斜对面"，纵坐标带负号。先猜后证——取 $AM$ 水平（$M$ 满足 $y=1$）与 $AM$ 竖直两组特殊位置，两条 $MN$ 的交点即为候选定点，再用一般情形证明。

【详解】

（1）

设 $MN:y=kx+m$，$M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$。联立

得

$AM\perp AN$ 等价于

把 $y_i=kx_i+m$ 代入，条件变成只含 $x_1+x_2$ 与 $x_1x_2$ 的对称式：

两边同乘 $1+2k^2$ 去分母，整理：

逐项展开、合并（$k^2m^2$ 与 $k^2m$ 项恰好全部抵消，这是本题设计的善意）：

分解因式（本题的灵魂）：

• 若 $3m+2k+1=0$，即 $m=-\dfrac{2k+1}{3}$，则

恒过定点 $P\left(\dfrac23,-\dfrac13\right)$。

• 若 $m+2k-1=0$，即 $m=1-2k$，则 $MN:y=k(x-2)+1$ 恒过 $A(2,1)$，此时 $M$ 或 $N$ 与 $A$ 重合，与题意矛盾，舍去。

再补 $MN\perp x$ 轴的情形：设 $MN:x=t$，则 $M(t,y),N(t,-y)$，$y^2=3-\dfrac{t^2}{2}$。条件给出

代入 $y^2=3-\dfrac{t^2}{2}$ 得 $3t^2-8t+4=0$，即 $t=2$（对应 $MN$ 过 $A$，舍）或 $t=\dfrac23$，仍在定点上。

故 $MN$ 恒过定点 $P\left(\dfrac23,-\dfrac13\right)$。

【关键注解】 检验一下定点是否"合理"：$P$ 在椭圆内部（$\dfrac{(2/3)^2}{6}+\dfrac{(1/3)^2}{3}=\dfrac{1}{9}<1$），所以过 $P$ 的任意直线都与椭圆交于两点，定点合法。若算出的定点在椭圆外部，多半是算错了。

（2）

由（1）令 $m=-\dfrac{2k+1}{3}$，则

其中 $25k^2-2k+13$ 的判别式 $4-4\cdot25\cdot13<0$，故恒正——这也顺便证明了：过 $P$ 的每条直线都与椭圆相交。

弦长与点线距离：

于是

下面证 $S\le4$。它等价于

两边平方（均非负），等价于

而

因为 $56k^2-4k+29$ 的判别式 $16-4\cdot56\cdot29<0$，恒正。故 $S\le4$。

当 $k=-\dfrac12$ 时取等：此时 $m=0$，$MN:y=-\dfrac x2$，解得 $M(2,-1)$，$N(-2,1)$，且

故 $S=\dfrac12\cdot2\cdot4=4$ ✓。

故 $\triangle AMN$ 面积的最大值为 $4$。

【易错】

1. 忘记舍去退化支 $m+2k-1=0$（即 $MN$ 过 $A$）。这是本题最大的陷阱，阅卷时几乎必查。
2. 去分母时漏乘 $(m-1)^2(1+2k^2)$ 中的 $2k^2$ 部分。建议先把所有分母统一写成 $1+2k^2$，再整体乘。
3. 平方去根号后忘记说明"两边均非负"，或忘记验证 $56k^2-4k+29>0$（否则不等式方向可能翻转）。
4. 只讨论 $k$ 存在的情形，漏掉 $MN\perp x$ 轴。
5. 取等条件要回代验证：$k=-\dfrac12$ 时确实有 $\Delta>0$ 且 $M,N\ne A$。

【变式】

• 把条件换成 $k_{AM}\cdot k_{AN}=\lambda$，则 $MN$ 过定点 $$ P\left(\frac{\mu+1}{\mu-1}x_0,\;\frac{\mu+1}{\mu-1}(-y_0)\right),\qquad \mu=\frac{\lambda a^2}{b^2}, $$ 其中 $A(x_0,y_0)$。本题 $a^2=6,b^2=3,\lambda=-1$，得 $\mu=-2$，$\dfrac{\mu+1}{\mu-1}=\dfrac13$，故 $P\left(\dfrac23,-\dfrac13\right)$ ✓。这个通式值得记住（已数值验证，误差 $<10^{-13}$）。
• 双曲线只需把 $b^2$ 换成 $-b^2$，公式形式不变。
• 若改问 $\lvert AM\rvert+\lvert AN\rvert$ 或 $\lvert AM\rvert\lvert AN\rvert$ 的最值，则不宜用上面的"设线"法，改用参数化 $A$ 为极点、以 $\theta$ 为参数（见 1.7 节），把两条弦长直接写成 $\theta$ 的函数。

题 2.2（斜率之和型）齐次化一击必杀

【题目】

椭圆 $C:\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$，$A\left(1,\dfrac32\right)$ 在 $C$ 上，弦 $AM,AN$ 满足

证明 $MN$ 过定点并求之。

【思路】

“斜率之和"与"斜率之积"一样是对称条件，但用"设线 + 韦达"会得到 $m$ 的高次式，展开极繁。此时齐次化是降维打击：把坐标原点平移到 $A$，曲线方程的一次项乘以直线方程，二次齐次式除以 $u^2$ 后，$t=\dfrac vu$ 恰好就是"从 $A$ 出发的斜率”，而 $k_1+k_2,k_1k_2$ 直接由韦达读出，完全不需要联立。

【详解】

平移原点至 $A$：令 $x=u+1,\;y=v+\dfrac32$。代入椭圆：

设 $MN:\alpha u+\beta v=1$（不经过 $A$，即原点不在 $MN$ 上）。把 $(\ast)$ 中的一次项乘以 $(\alpha u+\beta v)$（因为在该直线上 $\alpha u+\beta v=1$，乘上去不改变方程），得齐次式

展开：

两边除以 $u^2$，令 $t=\dfrac vu=k$（从 $A$ 出发的斜率）：

它的两个根正是 $k_{AM},k_{AN}$。由韦达：

代回 $MN:\alpha u+\beta v=1$：

要让该式对一切 $\beta$ 成立，必须

回到原坐标：$x=-3+1=-2$，$y=-\dfrac92+\dfrac32=-3$。

故 $MN$ 恒过定点 $(-2,-3)$。

【易错】

1. 齐次化要求 $MN$ 不过 $A$（否则 $\alpha u+\beta v=1$ 无法表示），题目已保证 $M,N\neq A$。
2. 若 $\dfrac13+\beta=0$，则 $t^2$ 项消失，说明有一条从 $A$ 出发的弦垂直于 $x$ 轴（斜率不存在）。此时应把该弦单独处理，或对结论取极限验证。答案仍然成立（可取极限 $u\to$ 常数验证）。
3. 除以 $u^2$ 默认 $u\neq0$，即 $M,N$ 不在过 $A$ 的竖直线上；若发生，同样单独讨论。

【变式】

一般结论（已验证）：椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 上点 $A(x_0,y_0)$，若 $k_{AM}+k_{AN}=s\;(s\neq0)$，则

本题 $x_0=1,y_0=\dfrac32,s=1,a^2=4,b^2=3$：$P\left(1-3,\;-\dfrac32-\dfrac{2\cdot3\cdot1}{4\cdot1}\right)=(-2,-3)$ ✓。

题 2.3（抛物线版）$y^2=2px$ 上的定积弦

【题目】

抛物线 $C:y^2=4x$，$A(1,2)$ 在 $C$ 上。弦 $AM,AN$ 满足 $k_{AM}\cdot k_{AN}=-4$。求 $MN$ 所过定点的坐标。

【思路】

抛物线的齐次化更简单：平移后曲线是 $v^2=2pv+(\text{一次项})$ 的形式，同样可以齐次化。也可直接设 $MN:x=ty+m$（对抛物线，设 $x=ty+m$ 比设 $y=kx+m$ 好，因为可包含 $MN\perp x$ 轴的情形且 $y_1y_2$ 更好算）。

【详解】

法一（设 $x=ty+m$ + 韦达）

设 $MN:x=ty+m$，$M\left(\dfrac{y_1^2}{4},y_1\right)$，$N\left(\dfrac{y_2^2}{4},y_2\right)$。由 $y^2=4(ty+m)$：

$A(1,2)$，故

（这里用了平方差化简，是抛物线题的标准技巧，务必掌握：把 $x$ 用 $y$ 表示后，斜率立刻变成 $\dfrac{4}{y_1+y_A}$ 的形式。）

条件 $k_{AM}k_{AN}=-4$：

即 $y_1y_2+2(y_1+y_2)+4=-4$，代入韦达：

于是

恒过定点 $(2,-2)$。

法二（齐次化）

平移原点至 $A(1,2)$：$x=u+1,\;y=v+2$。代入 $y^2=4x$：

设 $MN:\alpha u+\beta v=1$，把一次项 $(-4u+4v)$ 乘以 $(\alpha u+\beta v)$：

除以 $u^2$，$t=\dfrac vu=k$：

得 $\alpha=1+4\beta$。代回：$(1+4\beta)u+\beta v=1$，即 $\beta(4u+v)=1-u$，故 $4u+v=0$ 且 $1-u=0$，即 $u=1,v=-4$，回到原坐标 $(2,-2)$ ✓。

【易错】

1. 用 $k=\dfrac{4}{y_1+2}$ 时，若 $y_1=-2$（即 $M$ 与 $A$ 重合）分母为 $0$，需排除。
2. 设 $y=kx+m$ 会漏掉 $MN\perp x$ 轴的情形；抛物线题优先设 $x=ty+m$。
3. 定点 $(2,-2)$ 在抛物线的"外部"（$(-2)^2=4>4\cdot2=8$？不，$4<8$，在内部），要检验过该点的直线确实能与抛物线交于两点：$\Delta=16t^2+16m=16t^2+32t+32>0$ 恒成立 ✓。

【变式】

一般结论（已验证）：$y^2=2px$ 上点 $A(x_0,y_0)$，

本题 $p=2,x_0=1,y_0=2,\lambda=-4$：$P\left(1-\dfrac{4}{-4},-2\right)=(2,-2)$ ✓。

题 2.4（对称点模型）$\angle OMA=\angle OMB$ 的本质

【题目】

椭圆 $C:\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$，$M(m,0)$（$m\neq0$，$m\neq\pm2$）为 $x$ 轴上一点。过 $M$ 的直线与 $C$ 交于 $A,B$ 两点，$A'$ 是 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点。

（1）证明：直线 $A'B$ 恒过定点，并求出该定点；

（2）由此证明：$\angle OMA=\angle OMB$（$O$ 为原点），即 $x$ 轴平分 $\angle AMB$。

【思路】

“$\angle OMA=\angle OMB$” 等价于"$k_{MA}+k_{MB}=0$"，是斜率和为 $0$ 的特例，属于题 2.2 的模型。但本题有一个更漂亮的几何入口：$A'$ 与 $A$ 关于 $x$ 轴对称，所以 $A'B$ 过定点这件事，本质是"椭圆关于 $x$ 轴的对称性 + 弦过轴上定点"。用设线 + 韦达最快。

【详解】

（1）

设 $AB$ 过 $M(m,0)$，写成 $x=ty+m$（这样能包含竖直弦）。与椭圆联立：

故

且 $x_i=ty_i+m$。

$A'(x_1,-y_1)$，$B(x_2,y_2)$。设 $A'B$ 与 $x$ 轴交于 $Q(q,0)$。由 $A',Q,B$ 共线：

代入 $x_i=ty_i+m$：

把韦达代入：

故 $A'B$ 恒过定点 $Q\left(\dfrac4m,0\right)$（即 $\left(\dfrac{a^2}{m},0\right)$），与 $t$ 无关。

（2）

由（1），$A',Q,B$ 共线且 $A'$ 是 $A$ 的对称点，故 $\angle A'MQ=\angle BMQ$。又 $A,A'$ 关于 $x$ 轴对称，$M,Q$ 都在 $x$ 轴上，所以 $\angle AMQ=\angle A'MQ$。于是

即 $x$ 轴（直线 $MQ$）平分 $\angle AMB$，故 $\angle OMA=\angle OMB$。

【易错】

1. 本题 $q=\dfrac{a^2}{m}$ 中 $a^2=4$，别写成 $\dfrac{b^2}{m}=\dfrac3m$。记忆口诀：对称点弦过 $\dfrac{a^2}{m}$（横轴上的定点用 $a^2$）。
2. 若 $AB\perp x$ 轴（$t$ 不存在），则 $A,B$ 关于 $x$ 轴对称，$A'=B$，直线 $A'B$ 退化，需单独说明"此时结论平凡"。
3. $y_1+y_2=0$ 时（即 $AB\perp x$ 轴）$q$ 的表达式分母为 $0$，正是上一条的情形。
4. 第（2）问必须点明"$M,Q$ 均在 $x$ 轴上"，否则对称性用不上。

【变式】

• 把椭圆换成 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$，则 $A'B$ 过 $\left(\dfrac{a^2}{m},0\right)$（已验证：$m=3\to\dfrac43$，$m=5\to\dfrac45$，$m=-2\to-2$，$m=6\to\dfrac23$）。
• 若定点在 $y$ 轴上（$M(0,n)$，对称轴为 $y$ 轴），则换成 $\dfrac{b^2}{n}$。
• 2022 新高考 I 卷、2018 全国 I 卷的"角平分"题都是此模型。

3 定值问题：先"定"后"证"

3.0 定值题的两种打法

定值题问"证明某量为定值"，但不告诉你这个定值是多少。这时有两件事要做：

【关键注解】 特殊值不仅用来"定目标"，还用来中途自检：算到一半，把 $k=0$ 代进去，看是否已经等于目标值。若不等，说明前面的韦达或化简错了——这一步能省下考场上十分钟的反复检查。

【关键注解】 定值题的最后一步常需要说明取等/恒等成立的范围。例如"$S$ 为定值"必须排除使分母为零的参数值；"$\lvert AB\rvert$ 为定值"要说明对所有合法斜率都成立。

题 3.1（焦点弦定值）$\dfrac{1}{\lvert AF\rvert}+\dfrac{1}{\lvert BF\rvert}$ 恒为常数

【题目】

椭圆 $C:\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$ 的右焦点为 $F(1,0)$。过 $F$ 的直线交 $C$ 于 $A,B$ 两点。

（1）证明：$\dfrac{1}{\lvert AF\rvert}+\dfrac{1}{\lvert BF\rvert}$ 为定值，并求出该定值；

（2）求 $\lvert AB\rvert$ 的取值范围。

【思路】

“过焦点的弦"必须优先想到焦半径与以焦点为极点的极坐标。两条路都通：

• 极坐标法（最快）：椭圆以右焦点为极点、极轴指向 $x$ 轴正方向的方程为 $\rho=\dfrac{ep}{1-e\cos\theta}$，其中 $p=\dfrac{b^2}{c}$。由于 $B$ 的方向角是 $A$ 的补角，两段焦半径的形式天然"对称”，相加立刻消掉 $\cos\theta$。
• 焦半径法（更贴近课本）：$\lvert AF\rvert=a-ex_1$，$\lvert BF\rvert=a-ex_2$，用韦达。

【详解】

（1）法一：极坐标（推荐）

$a=2,\;b=\sqrt3,\;c=1,\;e=\dfrac12$，焦准距 $p=\dfrac{b^2}{c}=3$。以 $F$ 为极点的极坐标方程为

设 $A$ 的方向角为 $\theta$，则 $B$ 的方向角为 $\theta+\pi$，故

相加的倒数：

故定值为 $\dfrac43$，与 $\theta$ 无关 ✓（即 $\dfrac{2a}{b^2}=\dfrac{4}{3}$）。

（1）法二：焦半径 + 韦达（考场写法，务必掌握）

设 $AB:x=my+1$。代入椭圆：

故

由 $x_i=my_i+1$ 得

焦半径公式：椭圆上点 $P(x_0,y_0)$ 到右焦点距离 $\lvert PF\rvert=a-ex_0=2-\dfrac{x_0}{2}$，故

分子：

分母：

故

与法一一致 ✓。

【关键注解】 法二最容易错的地方是焦半径代进倒数时的系数：$\dfrac{1}{2-\frac{x_1}{2}}=\dfrac{2}{4-x_1}$，分母要同乘 $2$。若写成 $\dfrac{1}{2-x_1}$，结果会变成 $\dfrac{2(10m^2+8)}{4-3m^2}$ 这种含 $m$ 的假结论——这正是本题最常见的翻车点，务必先用竖直弦 $m=0$ 自检：此时 $x_1=x_2=1$，$\lvert AF\rvert=\lvert BF\rvert=\dfrac32$，倒数和 $=\dfrac43$ ✓。

（2）

由极坐标，

• $\cos\theta=0$（$AB\perp x$ 轴，即通径）时 $\lvert AB\rvert=3$，为最小；
• $\cos^2\theta\to1$（$AB$ 趋于长轴）时 $\lvert AB\rvert\to4$，且长轴本身合法，故 $4$ 可取到。

故 $\lvert AB\rvert\in\left[3,\,4\right]$，即 $\left[\dfrac{2b^2}{a},\,2a\right]$。

【易错】

1. 焦半径代倒数时系数写错（见上面的注解），得到含 $m$ 的假结论后不检验就交卷。检验方法：取 $m=0$。
2. 极坐标方程 $\rho=\dfrac{ep}{1-e\cos\theta}$ 中 $p=\dfrac{b^2}{c}$ 是焦准距，不是半通径 $\dfrac{b^2}{a}$。本题 $p=3$，而 $\dfrac{b^2}{a}=\dfrac32$，差一倍。
3. 通径 $\dfrac{2b^2}{a}=3$ 是最小焦点弦，长轴 $2a=4$ 是最大焦点弦，中间连续。
4. $B$ 的方向角是 $\theta+\pi$，故 $\cos$ 变号——这一步漏了，倒数和就消不掉。

【变式】

• 抛物线 $y^2=2px$：$\dfrac{1}{\lvert AF\rvert}+\dfrac{1}{\lvert BF\rvert}=\dfrac{2}{p}$，$\lvert AB\rvert=\dfrac{2p}{\sin^2\theta}$，最小值 $2p$（通径）。
• 双曲线同支焦点弦：$\dfrac{1}{\lvert AF\rvert}-\dfrac{1}{\lvert BF\rvert}=\pm\dfrac{2a}{b^2}$（差，因为两支在焦点两侧），$\lvert AB\rvert$ 最小值 $\dfrac{2b^2}{a}$。
• 记忆口诀：椭圆"倒数和"$\dfrac{2a}{b^2}$，抛物线"倒数和"$\dfrac{2}{p}$，双曲线"倒数差"$\dfrac{2a}{b^2}$。

题 3.2（垂直弦定值）$OA\perp OB$ 的三个定值

【题目】

椭圆 $C:\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$，$O$ 为原点。直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A,B$ 两点，且 $OA\perp OB$。

（1）证明：原点 $O$ 到 $l$ 的距离为定值；

（2）证明：$\dfrac{1}{\lvert OA\rvert^2}+\dfrac{1}{\lvert OB\rvert^2}$ 为定值；

（3）求 $\triangle OAB$ 面积的取值范围。

【思路】

$OA\perp OB\iff x_1x_2+y_1y_2=0$，这是最标准的"对称式条件"。设 $l:y=kx+m$ 后，$x_1x_2+y_1y_2$ 可以用韦达整理成 $m^2$ 与 $k$ 的关系，从而 $m$ 被 $k$ 表出。关键洞察：一旦得到 $m^2=\dfrac{a^2b^2(1+k^2)}{a^2+b^2}$ 这类关系，$d(O,l)=\dfrac{\lvert m\rvert}{\sqrt{1+k^2}}$ 立刻是常数。

【详解】

设 $l:y=kx+m$，$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$。代入椭圆：

（1）

$OA\perp OB\iff x_1x_2+y_1y_2=0$。而 $y_i=kx_i+m$，故

于是条件化为

代入韦达并同乘 $3+4k^2$：

于是

故 $d(O,l)$ 恒为 $\dfrac{2\sqrt{21}}{7}$（即 $\dfrac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}=\dfrac{2\sqrt3}{\sqrt7}$）✓。

（2）

设 $d=d(O,l)=\dfrac{2\sqrt{21}}{7}$，并设 $l$ 的倾斜角为 $\alpha$，则 $A,B$ 在以 $O$ 为极点、$l$ 的法线方向为极轴的极坐标中满足……更直接的办法：设 $OA$ 与 $x$ 轴夹角为 $\theta$，则 $A$ 在射线 $\theta$ 上，$B$ 在射线 $\theta+\dfrac{\pi}{2}$ 上。设

$A$ 在椭圆上：

同理

两式相加，$\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ 把 $\theta$ 完全消掉：

故定值为 $\dfrac{7}{12}$（即 $\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}$）✓。

【关键注解】 这个"极坐标设点"技巧（把 $A,B$ 写成 $r_1(\cos\theta,\sin\theta)$ 与 $r_2(-\sin\theta,\cos\theta)$）是处理垂直弦的最强武器：它把"$OA\perp OB$“自动满足，且 $\dfrac{1}{r^2}$ 的表达式立刻出现 $\cos^2+\sin^2$，天然可消。凡遇到”$OA\perp OB$""$\angle AOB=90^\circ$““以 $AB$ 为直径的圆过原点”，第一反应就该是这个设法。

（3）

由（2）的两个式子，用 $r_1^2,r_2^2$ 表示。令 $u=\cos^2\theta\in[0,1]$，则

故

分母 $(4-u)(3+u)=-u^2+u+12$ 在 $u\in[0,1]$ 上：对称轴 $u=\dfrac12$，最大值 $12+\dfrac14=\dfrac{49}{4}$（$u=\frac12$ 时），最小值在端点 $u=0$ 或 $u=1$ 处取 $12$。

于是

故 $S_{\triangle OAB}\in\left[\dfrac{12}{7},\,\sqrt3\right]$，即 $\left[\dfrac{a^2b^2}{a^2+b^2},\,\dfrac{ab}{2}\right]$。

【关键注解】 端点要一个个代进去核对，别凭感觉：$u=0$（$OA\perp x$ 轴）时 $r_1^2=3,\,r_2^2=4$，$S=\dfrac12\sqrt{12}=\sqrt3$（最大）；$u=\dfrac12$ 时 $r_1^2=r_2^2=\dfrac{24}{7}$，$S=\dfrac{12}{7}$（最小）。所以下界是 $\dfrac{12}{7}=\dfrac{a^2b^2}{a^2+b^2}=\dfrac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}\cdot\dfrac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}\cdot\dfrac12$ 中的"两段相等"位置，上界 $\dfrac{ab}{2}=\sqrt3$ 是"一段贴 $x$ 轴、一段贴 $y$ 轴"位置。

【易错】

1. 用 $y=kx+m$ 时漏掉 $l\perp x$ 轴的情形。此时 $x=t$，$A(t,y),B(t,-y)$，$OA\perp OB$ 要求 $t^2-y^2=0$，配合 $\dfrac{t^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$ 解得 $t^2=\dfrac{12}{7}$，与（1）一致 ✓。
2. （2）中直接对 $r_1^2,r_2^2$ 通分会很繁，必须先看出 $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ 的消元结构。
3. 求 $S$ 范围时忘记 $u\in[0,1]$ 的约束，把二次函数的最值取在区间外。

【变式】

• 双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 上 $OA\perp OB$：$\dfrac{1}{\lvert OA\rvert^2}+\dfrac{1}{\lvert OB\rvert^2}=\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{1}{b^2}$（注意是差，且要求 $a
• 抛物线 $y^2=2px$ 上 $OA\perp OB$：直线 $AB$ 恒过 $(2p,0)$（定点！），见题 6.2。
• 若把”$OA\perp OB$“改成”$\angle AOB=\theta_0$ 固定（$\theta_0\ne90^\circ$）"，则（1）（2）的定值结论全部失效——$\dfrac{1}{\lvert OA\rvert^2}+\dfrac{1}{\lvert OB\rvert^2}$ 与 $d(O,AB)$ 都会随 $\theta$ 变（数值验证：$\theta_0=1.2$ 时 $d$ 在 $1.490\sim1.531$ 之间浮动）。真正与 $\theta$ 无关的是下面的恒等式（已验证，误差 $10^{-16}$）

只有当 $\theta_0=\dfrac{\pi}{2}$ 时 $\sin\theta_0=1,\cos\theta_0=0$，右端恰好退化为常数 $\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}$，这才有了（1）的定值结论。这也解释了为什么"垂直"是唯一能出定值的特殊角。

题 3.3（共轭直径定值）$\lvert OA\rvert^2+\lvert OB\rvert^2$ 恒为 $a^2+b^2$

【题目】

椭圆 $C:\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$，$O$ 为原点。$A,B$ 是 $C$ 上两点，且 $OA,OB$ 是共轭半径，即 $k_{OA}\cdot k_{OB}=-\dfrac{b^2}{a^2}=-\dfrac34$（等价于：以 $OA,OB$ 为邻边的平行四边形是"共轭"的，或 $A$ 处切线与 $OB$ 平行）。

（1）证明：$\lvert OA\rvert^2+\lvert OB\rvert^2$ 为定值；

（2）证明：以 $OA,OB$ 为邻边的平行四边形面积为定值。

【思路】

共轭直径的条件 $k_1k_2=-\dfrac{b^2}{a^2}$ 是椭圆最经典的"隐藏条件"，它出现在：$A$ 处切线与 $OB$ 平行、$AB$ 的中点轨迹、椭圆的仿射变换等场合。本题直接把这个条件代数化，用椭圆上的点按斜率参数化（$P$ 在椭圆上且 $k_{OP}=k$ 时，$P=\left(\dfrac{ab}{\sqrt{b^2+a^2k^2}},\dfrac{abk}{\sqrt{b^2+a^2k^2}}\right)$ 一类）即可一击得手。

【详解】

设 $A$ 在射线斜率 $k_1$ 上，$B$ 在斜率 $k_2$ 上，$k_1k_2=-\dfrac{b^2}{a^2}$。对椭圆上一点 $P$，若 $k_{OP}=k$，则 $P=(x,kx)$ 且

故

记 $L^2(k)=\dfrac{a^2b^2(1+k^2)}{b^2+a^2k^2}$。

（1）

把 $k_2=-\dfrac{b^2}{a^2k_1}$ 代入，记 $t=k_1^2>0$，$a^2=4,b^2=3$：

老老实实算：$L^2(k_2)=\dfrac{12\left(1+\frac{9}{16t}\right)}{3+\frac{9}{4t}}$，分子分母同乘 $16t$：

于是

注意 $\dfrac{12(1+t)}{3+4t}=\dfrac{3(4+4t)}{3+4t}$，而

（因为 $28t+21=7(4t+3)$。）

故 $\lvert OA\rvert^2+\lvert OB\rvert^2=7=a^2+b^2$，为定值 ✓。

（2）

设 $A=(x_1,k_1x_1)$，$B=(x_2,k_2x_2)$，其中

平行四边形面积

代入 $k_2=-\dfrac{b^2}{a^2k_1}$：

又

故

故 $S=ab=2\sqrt3$，为定值 ✓。

【易错】

1. 共轭直径的条件是 $k_1k_2=-\dfrac{b^2}{a^2}$，不是 $-\dfrac{a^2}{b^2}$。记法：分子是"另一个"的平方。
2. 当 $k_1=0$ 时 $k_2$ 无穷大（$OB\perp x$ 轴），上述参数化失效，需单独验证：$A(\pm2,0)$，$B(0,\pm\sqrt3)$，$\lvert OA\rvert^2+\lvert OB\rvert^2=4+3=7$ ✓，$S=\lvert2\cdot\sqrt3\rvert=2\sqrt3$ ✓。
3. 面积公式 $S=\lvert x_1y_2-x_2y_1\rvert$ 是平行四边形面积；三角形面积要再乘 $\dfrac12$。
4. （1）中通分时极易把 $\dfrac{12(1+t)}{3+4t}$ 与 $\dfrac{16t+9}{4t+3}$ 的分母看成不同，其实 $3+4t=4t+3$，可以直接相加。

【变式】

• 一般结论（已验证）：椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 的共轭半径满足 $$ \lvert OA\rvert^2+\lvert OB\rvert^2=a^2+b^2,\qquad S_{\text{平行四边形}}=ab . $$
• 若 $A,B$ 是共轭半径，则 $\triangle OAB$ 的面积恒为 $\dfrac{ab}{2}=\sqrt3$。
• 共轭直径的等价刻画（都可用）：① $k_1k_2=-\dfrac{b^2}{a^2}$；② $A$ 处切线与 $OB$ 平行；③ 把椭圆仿射成圆后，$OA',OB'$ 是互相垂直的半径。

4 最值与范围：把"几何最值"变成"一元函数"

4.0 最值题的三个入口

【关键注解】 求最值前先问一句："变量是谁？取值范围是什么？" 绝大多数失分不是算错，而是把最值取在了参数范围之外（例如把 $k$ 的二次函数顶点取在 $\Delta<0$ 的区域）。

题 4.1（椭圆内接三角形最大面积）仿射变换的威力

【题目】

椭圆 $C:\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$。$A,B,C$ 是 $C$ 上三点，求 $\triangle ABC$ 面积的最大值。

【思路】

椭圆的仿射变换 $x'=\dfrac x2,\;y'=\dfrac{y}{\sqrt3}$ 把椭圆变成单位圆，而面积按固定比例缩放（比例为 $2\cdot\sqrt3=2\sqrt3$）。单位圆内接三角形最大面积是 $\dfrac{3\sqrt3}{4}$（等边三角形），乘回比例即得。这条路比"三个参数求极值"短十倍。

【详解】

作变换

则 $C$ 变为单位圆 $x'^2+y'^2=1$。该变换的行列式为 $\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{\sqrt3}=\dfrac{1}{2\sqrt3}$，故面积按比例缩放：

第一步：求单位圆内接三角形的最大面积。

设 $A',B',C'$ 把圆周分成圆心角为 $\alpha,\beta,\gamma$ 的三段，$\alpha+\beta+\gamma=2\pi$。则

由 $\sin$ 在 $(0,\pi)$ 上的凹性（Jensen 不等式），

故

等号在 $\alpha=\beta=\gamma=\dfrac{2\pi}{3}$（正三角形）时成立。

第二步：把像点换回原像。

取像点为正三角形顶点

由 $x=2x',\;y=\sqrt3y'$ 得原像

检验三点确实在椭圆上：

第三步：直接算面积验证。

与 $2\sqrt3\cdot\dfrac{3\sqrt3}{4}=\dfrac92$ 一致 ✓。

故 $\triangle ABC$ 面积的最大值为 $\dfrac92$，即 $\dfrac{3\sqrt3}{4}ab$。

【关键注解】 仿射变换的"像点必须真的在单位圆上"这条检验不能省。反例演示：若误取 $B(-1,\sqrt3)$，代入椭圆得 $\dfrac14+\dfrac{3}{3}=1.25\ne1$，$B$ 根本不在椭圆上；此时算出的面积 $3\sqrt3\approx5.196$ 会大于真实最大值 $4.5$，看似"找到了更大的值"，实则全错。凡是算出比教材结论更大的"最大值"，第一件事就是回代检验。

【易错】

1. 像点必须真的在单位圆上。上面演示的错误（把 $(-1,\sqrt3)$ 当椭圆上的点）非常常见——检验方法：把点代回原方程。
2. 面积比例系数是 $2\sqrt3=ab$，不是 $\dfrac{1}{2\sqrt3}$。记法：$S_{\text{原}}=ab\,S_{\text{像}}$。
3. 单位圆内接三角形最大面积 $\dfrac{3\sqrt3}{4}$ 需要记牢（正三角形）。
4. 用三个参数 $\theta_1,\theta_2,\theta_3$ 硬求极值也能做，但要处理 $\theta_1+\theta_2+\theta_3$ 的约束，计算量巨大。

【变式】

• 椭圆内接 $n$ 边形最大面积：仿射后为正 $n$ 边形，$S_{\max}=\dfrac{n}{2}ab\sin\dfrac{2\pi}{n}$。
• 内接矩形最大面积 $2ab=4\sqrt3\approx6.928$（长宽分别沿两轴）。
• 双曲线没有"内接三角形最大面积"（无界），但"内接于同一支"有最值。

题 4.2（椭圆上点到直线距离）参数化 + 辅助角

【题目】

椭圆 $C:\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$，直线 $l:x+y-6=0$。$P$ 是 $C$ 上一点，求 $P$ 到 $l$ 距离的最大值与最小值。

【思路】

椭圆上点用 $P(2\cos\theta,\sqrt3\sin\theta)$ 参数化，代入点线距离公式，得到 $A\cos\theta+B\sin\theta+C$ 的形式，再用辅助角公式合并成单个 $\sin$（或 $\cos$），最值立刻是 $C\pm\sqrt{A^2+B^2}$。

【详解】

设 $P(2\cos\theta,\sqrt3\sin\theta)$，则

其中 $\sqrt7=\sqrt{2^2+(\sqrt3)^2}$，$\varphi$ 满足 $\cos\varphi=\dfrac{\sqrt3}{\sqrt7},\;\sin\varphi=\dfrac{2}{\sqrt7}$。

因为 $\sqrt7\sin(\theta+\varphi)\in[-\sqrt7,\sqrt7]$，且 $\sqrt7<6$，所以绝对值内恒为负，去掉绝对值：

故

取等条件：$d_{\min}$ 在 $\sin(\theta+\varphi)=1$ 时，$d_{\max}$ 在 $\sin(\theta+\varphi)=-1$ 时。

【关键注解】 若直线换成 $x+y-1=0$，则 $\sqrt7>1$，绝对值内会变号，必须分段讨论：$d=\dfrac{\lvert\sqrt7\sin(\theta+\varphi)-1\rvert}{\sqrt2}$，最小值不是 $\dfrac{1-\sqrt7}{\sqrt2}$（负的！），而是 $0$（当 $\sin=\dfrac{1}{\sqrt7}$ 时直线与椭圆相交）。所以先判断"直线与椭圆是否相交"：相交则 $d_{\min}=0$，不相交才用上面的公式。

【易错】

1. 忘记判断直线与椭圆的位置关系，直接套 $\dfrac{\lvert C\rvert\pm\sqrt{A^2+B^2}}{\sqrt{A^2+B^2}}$ 导致 $d_{\min}<0$。
2. 辅助角 $\sqrt{A^2+B^2}$ 算错：这里 $A=2,B=\sqrt3$，$\sqrt{4+3}=\sqrt7$。
3. 参数化时把 $b$ 写成 $3$（应为 $\sqrt3$）：$\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$ 对应 $x=2\cos\theta,y=\sqrt3\sin\theta$。

【变式】

• 双曲线 $\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{12}=1$ 上点到直线：参数化为 $\left(\dfrac{2}{\cos\theta},2\sqrt3\tan\theta\right)$ 或用 $\sec/\tan$ 形式，最值仍用辅助角，但要注意双曲线无界，最大值可能不存在。
• 抛物线 $y^2=4x$ 上点到 $x-y+3=0$：参数化 $P(t^2,2t)$，$d=\dfrac{\lvert t^2-2t+3\rvert}{\sqrt2}=\dfrac{\lvert(t-1)^2+2\rvert}{\sqrt2}$，最小值 $\sqrt2$ 在 $t=1$（点 $(1,2)$）取到。这个例子说明：抛物线的参数化让最值变成初中的二次函数，比椭圆还简单。

题 4.3（焦点弦三角形面积）把 $\theta$ 当变量

【题目】

椭圆 $C:\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$ 的右焦点 $F(1,0)$，过 $F$ 的直线交 $C$ 于 $A,B$，$O$ 为原点。求 $\triangle OAB$ 面积的最大值。

【思路】

设直线方向角 $\theta$，用极坐标把 $\lvert AF\rvert,\lvert BF\rvert$ 写出，则 $\lvert AB\rvert$ 是 $\theta$ 的显函数；再用 $S=\dfrac12\lvert AB\rvert\cdot d(O,AB)$，而 $d(O,AB)=\lvert OF\rvert\sin\theta=\sin\theta$（因为 $AB$ 过 $F$，$O$ 到 $AB$ 的距离就是 $\lvert OF\rvert\sin\theta$）。两者相乘，$\sin\theta$ 会被约掉一部分，得到干净的一元函数。

【详解】

由题 3.1 的极坐标结果，

又 $d(O,AB)=\lvert OF\rvert\cdot\sin\theta=1\cdot\sin\theta=\sin\theta$（$\theta$ 是 $AB$ 与 $x$ 轴的夹角）。故

（用了 $4-\cos^2\theta=3+\sin^2\theta$。）

令 $t=\sin\theta\in(0,1]$，则

求导或直接用均值不等式：

等号当 $t=\dfrac3t$，即 $t=\sqrt3$ 时成立——但 $t=\sin\theta\le1<\sqrt3$，等号取不到！所以 $S(t)$ 在 $(0,1]$ 上单调递增（因为 $t+\dfrac3t$ 在 $(0,\sqrt3]$ 上递减，故 $S$ 递增），最大值在 $t=1$ 处：

此时 $\sin\theta=1$，即 $AB\perp x$ 轴（通径），$A\left(1,\dfrac32\right),B\left(1,-\dfrac32\right)$，$\lvert AB\rvert=3$，$d(O,AB)=1$，

故 $\triangle OAB$ 面积的最大值为 $\dfrac32$（即 $\dfrac{b^2}{a}$），此时 $AB$ 为通径；面积无最小值（$AB$ 趋于长轴时 $S\to0$）。

【易错】

1. 用均值不等式后不检查等号能否取到。本题 $\sqrt3\approx1.732>\dfrac32=1.5$，若不检查会错答 $\sqrt3$。这是最值题的第一大坑。
2. $d(O,AB)=\sin\theta$ 只在 $F$ 为焦点、$\lvert OF\rvert=1$ 时成立；一般地 $d(O,AB)=c\lvert\sin\theta\rvert$。
3. $\lvert AB\rvert=\dfrac{12}{4-\cos^2\theta}$ 中分母写成 $4-\cos^2\theta$ 而非 $3+\cos^2\theta$。
4. 忘记"$AB$ 趋于长轴时面积趋于 $0$"，误以为有最小值。

【变式】

• 抛物线 $y^2=2px$ 的焦点弦三角形：$S=\dfrac{p^2}{2\sin\theta}$，无上界（$\theta\to0$ 时爆炸），下界 $S\ge\dfrac{p^2}{2}$。
• 若把 $O$ 换成椭圆中心以外的一点，$d$ 不再是 $\sin\theta$，计算会复杂很多。
• 一般椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$：$S_{\max}=\dfrac{b^2}{a}\cdot\dfrac{c}{?}$——不要记这个式子，直接按上面的流程算。

题 4.4（$\lvert PF\rvert+\lvert PA\rvert$ 型）用定义 + 三角不等式

【题目】

椭圆 $C:\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$ 的左、右焦点为 $F_1(-1,0),F_2(1,0)$。$P$ 是 $C$ 上一点，定点 $A(3,2)$。求 $\lvert PF_1\rvert+\lvert PA\rvert$ 的最小值与最大值。

【思路】

椭圆定义给出 $\lvert PF_1\rvert+\lvert PF_2\rvert=2a=4$。关键判断是等号点能否落在椭圆上：

• 求最小值：直接用 $\lvert PF_1\rvert+\lvert PA\rvert\ge\lvert AF_1\rvert$。因为 $F_1$ 在椭圆内部、$A$ 在外部，线段 $AF_1$ 必与椭圆相交，等号能取到。
• 求最大值：用定义换成 $4+\big(\lvert PA\rvert-\lvert PF_2\rvert\big)\le4+\lvert AF_2\rvert$。等号要求 $P$ 在射线 $F_2A$ 的反向延长线上，$F_2$ 在内、$A$ 在外，射线必穿椭圆，等号也能取到。

【关键注解】 核心技巧是最小值用"不换"、最大值用"换"。判断依据不是记忆，而是"三点共线的位置要求 + 点是否在椭圆内外"。这个判据在题 4.2 的"直线是否与椭圆相交"里也出现过，是同一件事。

【详解】

（1）最小值

等号当 $P$ 在线段 $AF_1$ 上时成立。线段参数化 $P=F_1+t(A-F_1)=(4t-1,\,2t)$，$t\in[0,1]$。代入椭圆：

取 $t=\dfrac{3+3\sqrt5}{16}\approx0.607\in(0,1)$ ✓（另一根为负，不在线段上）。

故最小值为 $2\sqrt5\approx4.4721$。

（2）最大值

等号当 $P$ 在直线 $AF_2$ 上且位于 $F_2$ 远离 $A$ 的一侧时成立。直线 $AF_2:y=x-1$，代入椭圆：

取 $x=\dfrac{4-6\sqrt2}{7}\approx-0.641<1$ ✓（另一根 $\approx1.784$ 在 $A$ 一侧）。

故最大值为 $4+2\sqrt2\approx6.8284$。

综上：最小值为 $2\sqrt5$，最大值为 $4+2\sqrt2$。

【易错】

1. 最小值误用"换焦点"：若写 $4+\lvert PA\rvert-\lvert PF_2\rvert\ge4-\lvert AF_2\rvert=4-2\sqrt2\approx1.17$，得到的是取不到的假答案（数值检验：真实最小值 $4.4721$）。原因：$\lvert PA\rvert-\lvert PF_2\rvert\ge-\lvert AF_2\rvert$ 的等号要求 $F_2$ 介于 $P,A$ 之间，即 $P$ 在 $x>3$ 处，而椭圆上 $x\le2$。判据：等号点是否落在椭圆上。
2. 三角不等式方向写反：$\lvert PA\rvert-\lvert PF_2\rvert\le\lvert AF_2\rvert$（不是 $\ge$）。
3. 求出 $t$ 或 $x$ 后不检验：是否在椭圆上、是否在要求的射线上、是否落在区间内。
4. 最大最小搞混：最小靠"直接连线"，最大靠"换焦点"。

【变式】

• 若 $A$ 在椭圆内部，最小值要改用"换焦点"法（线段 $AF_1$ 不一定穿边界）。
• 双曲线：$\big\lvert\lvert PF_1\rvert-\lvert PF_2\rvert\big\rvert=2a$，符号按 $P$ 所在支选取，最值讨论更繁。
• 抛物线（更常见）：$y^2=2px$ 上 $\lvert PF\rvert=x_0+\dfrac p2$，$\lvert PF\rvert+\lvert PA\rvert$ 的最小值化为"到准线距离"转化，见题 6.3。

5 中点弦与点差法

5.0 点差法的三步与"存在性"陷阱

点差法的流程极短，但极易漏掉最后一步，这是本章唯一需要强调的事。

【存在性判据总表】（已用 2352～10920 个网格点逐一比对，零误差）

【关键注解】 双曲线那条最容易记反：$M$ 在"两支之间"（即 $\dfrac{x_0^2}{a^2}-\dfrac{y_0^2}{b^2}<1$）时，没有弦以 $M$ 为中点——因为过 $M$ 的任何直线与双曲线要么无交点，要么两个交点分属两支，其中点不在 $M$。数值验证：$M(2,1)$ 时 $\dfrac{4}{4}-\dfrac{1}{9}=0.889<1$，算出的 $k=4.5$ 代回判别式 $\Delta<0$，弦不存在 ✓。

题 5.1（椭圆中点弦）求弦所在直线方程与弦长

【题目】

已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$，$M(1,1)$ 是 $C$ 内一点。求以 $M$ 为中点的弦 $AB$ 所在直线的方程，并求 $\lvert AB\rvert$。

【思路】

看到"以某点为中点"，条件反射就是点差法。先算出斜率（一步到位），再补一个"$\Delta>0$“的验证（本题 $M$ 在内部，必然成立，但要写出来），最后用弦长公式收尾。

【详解】

设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，则 $x_1+x_2=2,\ y_1+y_2=2$。由 $A,B$ 在椭圆上：

两式相减：

代入和与差：$x_1+x_2=2,\ y_1+y_2=2$，且 $k_{AB}=\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$：

故直线为

验证存在性：直线化为 $y=-\dfrac34x+\dfrac74$，代入椭圆

两边乘 $48$：

$\Delta=42^2-4\cdot21\cdot1=1764-84=1680>0$ ✓，弦存在。

求弦长：由韦达 $x_1+x_2=2$（与中点条件一致，自检 ✓），$x_1x_2=\dfrac{1}{21}$。故

即 $\lvert AB\rvert=\dfrac{5\sqrt{105}}{21}\approx2.4398$ ✓（数值验证一致）。

【易错】

1. 不验证 $\Delta>0$。本题 $M(1,1)$ 在内部（$\dfrac14+\dfrac13=\dfrac{7}{12}<1$），弦一定存在；但换到 $M(2,1)$ 就不存在了——考试时写一句"由 $M$ 在椭圆内部知弦存在"即可。
2. 约掉 $(x_1-x_2)$ 时没说明 $x_1\neq x_2$。若弦竖直（$x_1=x_2$），则 $x_0=x_1$，中点条件直接给 $x_0$，此时 $k$ 不存在，需单独讨论。本题 $y_0=1\neq0$，故 $k$ 存在。
3. 弦长公式漏 $\sqrt{1+k^2}$，或把 $\sqrt{D}$ 与 $\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}$ 弄混（后者才是"两根差”，前者是判别式）。
4. 用 $y=kx+m$ 设线后忘了 $k=-\dfrac34$ 是由点差法算出来的，而不是题给的。

【变式】

• 把中点改成 $M(x_0,y_0)$，则斜率恒为 $k=-\dfrac{b^2x_0}{a^2y_0}$，且所有平行弦的中点轨迹是过原点、斜率为 $-\dfrac{b^2}{a^2k}$ 的直线（数值验证：$k=1$ 时中点轨迹为 $y=-\dfrac34x$，残差 $4.4\times10^{-16}$）。
• 双曲线版：$k_{AB}=\dfrac{b^2x_0}{a^2y_0}$（注意没有负号，因为 $b^2\to-b^2$）。但必须验证 $\dfrac{x_0^2}{a^2}-\dfrac{y_0^2}{b^2}>1$，否则弦不存在（见题 5.2）。
• 抛物线版：$y^2=2px$ 中以 $M(x_0,y_0)$ 为中点的弦斜率 $k=\dfrac{p}{y_0}$，且平行弦中点的纵坐标恒为 $y=\dfrac{p}{k}$（数值验证：$p=2,k=1$ 时中点纵坐标恒为 $2$ ✓）。这条性质说明抛物线的平行弦中点轨迹是平行于 $x$ 轴的射线。

题 5.2（双曲线中点弦）“算得出斜率”≠“弦存在”

【题目】

双曲线 $C:\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{9}=1$。

（1）判断以 $M_1(2,1)$ 为中点的弦是否存在；若存在，求其方程。

（2）判断以 $M_2(3,1)$ 为中点的弦是否存在；若存在，求其方程与弦长。

【思路】

这是专门用来坑人的题型：点差法对两个点都能算出漂亮的斜率，但只有一个点真的有弦。判断依据就是 5.0 的存在性判据：$\dfrac{x_0^2}{4}-\dfrac{y_0^2}{9}>1$ 才有弦。

【详解】

（1） 先用判据：

$M_1$ 落在两支之间的区域，弦不存在。

但为了说明"点差法会骗人"，我们把点差法走一遍。设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ 在双曲线上，$M_1$ 为中点，则 $x_1+x_2=4,\ y_1+y_2=2$。两式相减：

直线 $y-1=\dfrac92(x-2)$，即 $y=\dfrac92x-8$。代入双曲线：

乘 $36$：$9x^2-4\left(\frac{81}{4}x^2-72x+64\right)=36$，即

$\Delta=72^2-4\cdot18\cdot73=5184-5256=-72<0$。无实交点，弦不存在 ✓。

【关键注解】 这就是点差法最危险的地方：它只用了"$A,B$ 在曲线上"这一个条件做减法，完全没有用到"$A,B$ 是实数点且 $x_1\neq x_2$"。当 $M$ 的位置不允许时，减法照样能解出一个"斜率"，但这个斜率对应的直线与曲线不相交。所以点差法的答案必须回验，这不是"多余的步骤"，而是本题的考点本身。

（2） 判据：

$M_2$ 在含焦点的区域，弦存在。点差法：

直线：$y-1=\dfrac{27}{4}(x-3)$，即 $y=\dfrac{27}{4}x-\dfrac{77}{4}$，或 $27x-4y-77=0$。

代入双曲线验证（乘 $36$）：

展开：$36x^2-(729x^2-4158x+5929)=144$，即

$\Delta=4158^2-4\cdot693\cdot6073$。计算：$4158^2=17288964$，$4\cdot693\cdot6073=2772\cdot6073=16834356$，故

且 $x_1x_2=\dfrac{6073}{693}>0$，两交点同号，在同一支上 ✓（这很关键：若 $x_1x_2<0$，两点分属两支，中点不可能在 $M_2$）。

弦长：

$\sqrt{1+\frac{729}{16}}=\dfrac{\sqrt{745}}{4}$；$36-\dfrac{24292}{693}=\dfrac{24948-24292}{693}=\dfrac{656}{693}$。

即 $\lvert AB\rvert=\sqrt{\dfrac{30545}{693}}\approx6.6392$（数值验证一致）。

【易错】

1. 只算斜率不回验——本题（1）就是标准陷阱，答案写"$y=\dfrac92x-8$“直接零分。
2. 双曲线点差法的符号：$k=\dfrac{b^2x_0}{a^2y_0}$（无负号），与椭圆的 $k=-\dfrac{b^2x_0}{a^2y_0}$ 差一个符号，记混就全错。
3. 忘验"两点同支”。中点弦必须两端点在同一支，等价于 $x_1x_2>0$（对 $x$ 轴上的双曲线）。
4. 判据记反：是 $>1$ 才有弦（$M$ 在含焦点区域），不是 $<1$。

【变式】

• 若题目问"是否存在以 $M$ 为中点的弦，若存在求斜率"，标准答案的格式就是：先算判据 → 下结论"不存在"或"存在且 $k=\cdots$" → 存在的再补 $\Delta>0$ 验证。
• 椭圆没有"同支"问题，只需 $M$ 在内部。
• 抛物线 $y^2=2px$：判据 $y_0^2-2px_0<0$，斜率 $k=\dfrac{p}{y_0}$；若 $y_0=0$，则弦只能是水平线 $y=0$（与抛物线只有一个交点），故 $y_0=0$ 时无中点弦（除非退化）。

6 抛物线专题

抛物线的题比椭圆"轻"——没有 $a^2,b^2$ 的干扰，但参数化 $t$ 与阿基米德三角形是它的独门武器，用好了计算量只有椭圆的 $\dfrac13$。

6.0 抛物线的三个专属工具

【关键注解】 抛物线设点一定要用 $P\left(\dfrac{pt^2}{2},pt\right)$ 而不要用 $P\left(\dfrac{y_0^2}{2p},y_0\right)$：前者斜率、切线、弦长全是 $t$ 的有理式；后者会出现 $\dfrac{1}{y_0}$，一动就分式爆炸。这是抛物线题省一半计算量的关键。

题 6.1（焦点弦全性质）一题打通所有焦点弦结论

【题目】

抛物线 $C:y^2=4x$ 的焦点为 $F$，过 $F$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ 两点，$l$ 的倾斜角为 $\theta$。证明：

（1）$x_1x_2=\dfrac{p^2}{4}$，$y_1y_2=-p^2$；

（2）$\dfrac{1}{\lvert AF\rvert}+\dfrac{1}{\lvert BF\rvert}=\dfrac{2}{p}$；

（3）$\lvert AB\rvert=\dfrac{2p}{\sin^2\theta}$，最小值为 $2p$（通径）；

（4）以 $AB$ 为直径的圆与准线相切。

【思路】

四个结论全部来自"设 $x=my+\dfrac p2$"（不要设 $y=kx+b$，因为过焦点的直线可能是竖直的）。抛物线 $y^2=4x$ 中 $p=2$。

【详解】

设 $l:x=my+\dfrac p2=my+1$（$p=2$），代入 $y^2=4x$：

由韦达：

（1）

（2） 焦半径（抛物线定义）：$\lvert AF\rvert=x_1+\dfrac p2=x_1+1$，$\lvert BF\rvert=x_2+1$。故

由 $x=my+1$：$x_1+x_2=m(y_1+y_2)+2=4m^2+2$，又 $x_1x_2=1$，故分母 $=1+(4m^2+2)+1=4m^2+4$，分子 $=4m^2+4$，于是

（3） $\lvert AB\rvert=\lvert AF\rvert+\lvert BF\rvert=(x_1+1)+(x_2+1)=x_1+x_2+2=4m^2+4$。

又 $l$ 的倾斜角 $\theta$ 满足 $\cot\theta=m$（因 $x=my+1$，斜率为 $\dfrac1m$），故 $m^2=\cot^2\theta$，

$\sin^2\theta\le1$，故 $\lvert AB\rvert\ge4=2p$，当 $\theta=\dfrac{\pi}{2}$（通径，$m=0$）取等 ✓。

（4） 设 $AB$ 中点为 $M$。以 $AB$ 为直径的圆圆心为 $M$，半径 $R=\dfrac{\lvert AB\rvert}{2}$。要证与准线 $x=-1$ 相切，只需证 $M$ 到准线的距离 $=\dfrac{\lvert AB\rvert}{2}$。

$M$ 到准线 $x=-1$ 的距离：

而

故圆与准线相切（这是抛物线焦点弦的经典性质：以焦点弦为直径的圆恒与准线相切）。

【易错】

1. 设 $y=kx+b$ 漏掉竖直弦（通径）情形。过焦点的直线一律设 $x=my+\dfrac p2$。
2. 焦半径公式写成 $\lvert AF\rvert=x_1$（漏 $\dfrac p2$）。抛物线定义是"到焦点距离 = 到准线距离 = $x_0+\dfrac p2$"。
3. 把 $\cot\theta$ 与 $\tan\theta$ 弄混：设 $x=my+c$ 时，直线的斜率是 $\dfrac1m$，故 $m=\cot\theta$。
4. 第（4）问只算 $x_M$ 就下结论，忘了"圆心到准线距离"要用 $x_M+\dfrac p2$。

【变式】

• $y^2=2px$ 一般情形：$x_1x_2=\dfrac{p^2}{4}$，$y_1y_2=-p^2$，$\dfrac{1}{\lvert AF\rvert}+\dfrac{1}{\lvert BF\rvert}=\dfrac2p$，$\lvert AB\rvert=\dfrac{2p}{\sin^2\theta}$，最小值 $2p$。
• 若弦不过焦点而过于 $(a,0)$：$y_1y_2=-2pa$，$x_1x_2=a^2$（把上面的 $p/2$ 换成 $a$）。
• 焦点弦的"梯形中位线"性质：以 $AB$ 为直径的圆与准线相切，且切点正是 $AB$ 中点向准线所作垂线的垂足。

题 6.2（$OA\perp OB$ ⟹ 过定点）抛物线版的定点

【题目】

抛物线 $C:y^2=2px\ (p>0)$ 上两点 $A,B$ 满足 $OA\perp OB$（$O$ 为原点）。证明直线 $AB$ 恒过定点，并求出该定点。

【思路】

两条路，考场上选第二条：

• 路 A（参数化）：设 $A\left(\dfrac{pt_1^2}{2},pt_1\right)$、$B\left(\dfrac{pt_2^2}{2},pt_2\right)$，条件变成 $t_1t_2=-4$，再由弦方程读定点。
• 路 B（设线联立，更短）：设 $AB:x=my+n$ 或 $y=kx+n$，用韦达把 $x_1x_2+y_1y_2=0$ 化成关于截距的方程，直接解出截距。

【详解】

法一：参数化

设 $A\left(\dfrac{pt_1^2}{2},pt_1\right)$，$B\left(\dfrac{pt_2^2}{2},pt_2\right)$，其中 $t_1\neq t_2$ 且 $t_1t_2\neq0$（否则某点与原点重合，$OA$ 或 $OB$ 无方向）。

条件：

因 $t_1t_2\ne0$，故

弦 $AB$ 的斜率：

于是直线为

两边乘 $(t_1+t_2)$ 并整理：

代入 $t_1t_2=-4$：

令 $y=0$，得 $x=2p$，且该式对任意 $t_1+t_2$ 都成立，故直线恒过定点 $(2p,0)$。

（$t_1+t_2=0$ 时斜率不存在，此时 $t_2=-t_1$ 且 $t_1t_2=-4$ 给出 $t_1^2=4$，弦为竖直线 $x=2p$，它显然也过 $(2p,0)$，并且此时 $A(2p,2p),B(2p,-2p)$，$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=4p^2-4p^2=0$ 仍成立 ✓。所以竖直情形不破坏结论。）

法二：设线联立（推荐）

设 $AB:y=kx+n$（$n\neq0$，因 $AB$ 不过原点），代入 $y^2=2px$：

韦达：$x_1+x_2=\dfrac{2p-2kn}{k^2}$，$x_1x_2=\dfrac{n^2}{k^2}$。

又 $y_1y_2=(kx_1+n)(kx_2+n)=k^2x_1x_2+kn(x_1+x_2)+n^2$，代入得

（也可直接用 $y_1y_2=-2pn$，由 $(y_1y_2)^2=4p^2x_1x_2=4p^2\cdot\dfrac{n^2}{k^2}$ 与符号判断得到。）

条件 $x_1x_2+y_1y_2=0$：

$n\neq0$，故 $n=-2pk$。于是

恒过定点 $(2p,0)$ ✓。本题 $p=2$（$y^2=4x$）时为 $(4,0)$。

【关键注解】 法二的最后一步极妙：$n=-2pk$ 让直线变成 $y=k(x-2p)$，截距与斜率成正比，这正是"过 $x$ 轴上定点"的标准信号。看到 $\dfrac{n}{k}$ 是常数，就该立刻反应过来。

【易错】

1. 整理弦方程时常数项符号写反（法一最容易错的地方）。$(t_1+t_2)y-p\,t_1^2-p\,t_1t_2=2x-pt_1^2$ 中，$pt_1^2$ 消掉后剩下 $-pt_1t_2$，移项后常数项是 $+pt_1t_2$。若写成 $-pt_1t_2$，定点会变成 $(-2p,0)$——这个点在抛物线外部，用一组具体数字回代就能立刻发现。
2. $t_1t_2=0$ 未排除，导致 $A$ 或 $B$ 与原点重合。
3. 法二中忘记 $n\neq0$ 的讨论，直接把 $n=0$ 也当解（$n=0$ 时直线过原点，$OA$ 与 $OB$ 共线，$OA\perp OB$ 不成立）。
4. 结论记成 $(-2p,0)$。记忆法：$OA\perp OB$ 时定点在焦点右侧，$x=2p$ 恰是"焦点的 $x$ 坐标 $p/2$ 的四倍"，也是 $x_1x_2=p^2/4$ 的"开方加倍"。

【变式】

• 椭圆、双曲线版：$OA\perp OB$ 时直线不过定点，而是到原点距离为定值（见题 3.2）。
• 若条件是 $k_{OA}\cdot k_{OB}=\lambda$：抛物线 $y^2=2px$ 上直线 $AB$ 过定点 $\left(-\dfrac{2p}{\lambda},0\right)$。
• 若条件是 $k_{OA}+k_{OB}=s$：定点在 $y$ 轴上，为 $\left(0,\dfrac{2p}{s}\right)$（见题 2.3）。

题 6.3（抛物线最值）$\lvert PF\rvert+\lvert PA\rvert$ 与"到准线距离"转化

【题目】

抛物线 $C:y^2=4x$ 的焦点为 $F$，$P$ 为 $C$ 上一点，定点 $A(3,2)$。求 $\lvert PF\rvert+\lvert PA\rvert$ 的最小值。

【思路】

抛物线的定义 $\lvert PF\rvert=$ 到准线的距离，于是 $\lvert PF\rvert+\lvert PA\rvert$ 变成"$P$ 到准线的距离 + $P$ 到 $A$ 的距离"。当 $P$ 位于 $A$ 向准线所作垂线段上时取最小，最小值就是 $A$ 到准线的距离。

【详解】

准线 $l_0:x=-1$。设 $P$ 到 $l_0$ 的距离为 $d(P,l_0)$，由抛物线定义 $\lvert PF\rvert=d(P,l_0)$。故

等号当 $P$ 在过 $A$ 且垂直于准线的线段上时成立，即 $P$ 与 $A$ 有相同的纵坐标 $y=2$。代入 $y^2=4x$ 得 $4=4x$，$x=1$，故 $P(1,2)$。

验证：$\lvert PF\rvert=1+1=2$，$\lvert PA\rvert=3-1=2$，和 $=4$ ✓。且 $P(1,2)$ 在抛物线上 ✓。

故最小值为 $4$。

【易错】

1. 用"两点间距离公式 + 求导"硬做。可以做，但会得到一个四次方程，完全没必要。
2. 忘记验证等号点 $P(1,2)$ 在抛物线上（虽然本题显然在）。
3. 若 $A$ 在抛物线内部（即 $y_A^2<4x_A$，如 $A(3,1)$），则过 $A$ 的水平线与抛物线仍有交点，结论不变；但若 $A$ 在抛物线"左侧"（$x_A<0$），则等号点可能不在抛物线上，需另算。

【变式】

• 求 $\lvert PF\rvert+\lvert PA\rvert$ 的最大值：不存在（$P$ 沿抛物线趋于无穷时，两项都趋于无穷）。
• 若改为 $\lvert PA\rvert-\lvert PF\rvert$ 的最大值：$\le d(A,l_0)$，等号同样在垂线处，最大值 $4$。
• 椭圆版的同类题见题 4.4（用椭圆定义换成 $2a-\lvert PF_2\rvert$）。

7 双曲线专题

双曲线的题有两个专属陷阱：渐近线（$a,b$ 互换就全错）和两支（不判断同支/异支就会算出不存在的弦）。

7.0 双曲线必须背熟的四组结论

题 7.1（渐近线与焦点距离、切线围成三角形）

【题目】

双曲线 $C:\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{12}=1$。

（1）求焦点到渐近线的距离；

（2）证明：$C$ 上任一点处的切线与两条渐近线围成的三角形面积为定值，并求该定值。

【思路】

（1）直接算点到直线距离，注意结果是 $b$ 而不是 $c$ 或其他。

（2）设切点 $P(x_0,y_0)$，写出切线方程，求它与两条渐近线的交点，再用三角形面积公式。关键技巧：面积公式用"底 $\times$ 高 / 2"时，选渐近线为底不方便；用 $\dfrac12\lvert x_1y_2-x_2y_1\rvert$ 形式的叉积更省事。

【详解】

$a^2=4,b^2=12$，故 $a=2,b=2\sqrt3,c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{16}=4$。焦点 $(\pm4,0)$，渐近线 $y=\pm\dfrac{b}{a}x=\pm\sqrt3 x$，即 $\sqrt3x-y=0$ 与 $\sqrt3x+y=0$。

（1） 焦点 $(4,0)$ 到 $\sqrt3x-y=0$ 的距离：

故距离为 $2\sqrt3$（一般结论：焦点到渐近线距离恒等于 $b$）。

（2） 设 $P(x_0,y_0)$ 在 $C$ 上，即 $\dfrac{x_0^2}{4}-\dfrac{y_0^2}{12}=1$，即 $3x_0^2-y_0^2=12$。

切线方程（对 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 用"代入法"）：

求与渐近线的交点。渐近线 $y=\sqrt3x$ 代入：

记 $D_1=3x_0-\sqrt3y_0$，则交点 $A\left(\dfrac{12}{D_1},\dfrac{12\sqrt3}{D_1}\right)$。

渐近线 $y=-\sqrt3x$ 代入：

记 $D_2=3x_0+\sqrt3y_0$，则交点 $B\left(\dfrac{12}{D_2},-\dfrac{12\sqrt3}{D_2}\right)$。

三角形面积（顶点为原点 $O$、$A$、$B$）：

而

故

故面积为定值 $ab=4\sqrt3$（约 $6.9282$）。

【易错】

1. 渐近线斜率写成 $\pm\dfrac ab=\pm\dfrac{2}{2\sqrt3}=\pm\dfrac{1}{\sqrt3}$。正确是 $\pm\dfrac ba=\pm\sqrt3$。记忆法：把方程右边的 $1$ 换成 $0$，得 $\dfrac{x^2}{a^2}=\dfrac{y^2}{b^2}$，即 $y=\pm\dfrac ba x$。
2. 切线方程用错：双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 在 $(x_0,y_0)$ 处的切线是 $\dfrac{x_0x}{a^2}-\dfrac{y_0y}{b^2}=1$（中间是减号，与椭圆的加号不同）。
3. 面积算成 $2ab$ 或 $\dfrac{ab}{2}$。用 $a=2,b=2\sqrt3$ 代具体数字回验最快。
4. 没化简 $D_1D_2$，被两个分式困住。看到 $D_1D_2$ 就该想到平方差公式。

【变式】

• 椭圆没有渐近线，但"切线与某两条定直线围成定面积"的思想可以迁移（如切线与两坐标轴围成三角形，面积为 $\dfrac{a^2b^2}{2x_0y_0}$，不是定值）。
• 双曲线切线与两渐近线围成三角形的内心轨迹是另一条双曲线（竞赛内容，高考不考）。
• 抛物线 $y^2=2px$ 的切线与准线、对称轴围成的三角形面积与切点参数有关，不是定值。

题 7.2（焦点弦的倒数结构）同支用"和"、异支用"差"

【题目】

双曲线 $C:\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{12}=1$ 的右焦点为 $F(4,0)$。过 $F$ 的直线交 $C$ 于 $A,B$ 两点。

（1）当 $A,B$ 在同一支上时，证明 $\dfrac{1}{\lvert AF\rvert}+\dfrac{1}{\lvert BF\rvert}$ 为定值并求之；

（2）当 $A,B$ 分属两支时，证明 $\left\lvert\dfrac{1}{\lvert AF\rvert}-\dfrac{1}{\lvert BF\rvert}\right\rvert$ 为定值并求之；

（3）求 $\lvert AB\rvert$ 的最小值。

【思路】

先算准焦半径（必须带绝对值）：

• 右支点 $P(x_0,y_0)$（$x_0\ge2$）：到右焦点 $\lvert PF\rvert=ex_0-a$；到左焦点 $=ex_0+a$。
• 左支点 $Q(x_0,y_0)$（$x_0\le-2$）：到右焦点 $=a-ex_0$（因 $ex_0-a<0$，取绝对值后变号）。

本题 $a=2,b^2=12,c=4,e=2$。

设 $x=my+4$ 联立，用韦达判断同支/异支（$x_1x_2>0$ 同支），这是全题的关键分叉。

【详解】

设 $AB:x=my+4$，代入 $3x^2-y^2=12$：

韦达：

分叉判据（记 $D_0=3m^2-1$）：

• $D_0>0$（$\lvert m\rvert>\dfrac1{\sqrt3}$）：$x_1x_2<0$，异支；
• $D_0<0$（$\lvert m\rvert<\dfrac1{\sqrt3}$）：$x_1x_2>0$，同支。

（判别式 $\Delta=(24m)^2-4(3m^2-1)\cdot36=144(m^2+1)>0$ 恒成立，故只需看 $x_1x_2$ 的符号。）

（1）同支（$\lvert m\rvert<\frac1{\sqrt3}$，此时 $D_0<0$）

两点都在右支，故 $\lvert AF\rvert=2x_1-2=2(x_1-1)$，$\lvert BF\rvert=2(x_2-1)$。于是

分子：

分母：

故

故同支时倒数和为定值 $\dfrac13$。

（2）异支（$\lvert m\rvert>\frac1{\sqrt3}$，此时 $D_0>0$）

不妨设 $A$ 在右支（$x_1\ge2$）、$B$ 在左支（$x_2\le-2$）。则

关键一步：把第二个式子写成 $2(1-x_2)=-2(x_2-1)$，于是

这与（1）的式子一模一样！ 由（1）的计算，

【关键注解】 这里最漂亮的地方是：同支与异支的代数式完全相同，差别只在"左支点的焦半径取绝对值后多出一个负号"，而这个负号恰好把"减"变成"加"。所以两种情形的定值都是 $\dfrac{2a}{b^2}$，只是同支写成"和"、异支写成"差"。

数值验证（$a=2,b^2=12$，定值 $\frac13$）：同支 $m=0.1,0.3,0.5$ 时倒数和恒为 $0.3333333333$；异支 $m=1,2,5$ 时倒数差恒为 $0.3333333333$ ✓。

（3）弦长

令 $t=m^2\ge0$：

• 同支（$0\le t<\frac13$）：$\lvert AB\rvert=\dfrac{12(t+1)}{1-3t}$，关于 $t$ 递增，故最小在 $t=0$： $$\lvert AB\rvert_{\text{同支,min}}=12=\frac{2b^2}{a}\quad(\text{通径，直线 }x=4).$$
• 异支（$t>\frac13$）：$\lvert AB\rvert=\dfrac{12(t+1)}{3t-1}$，关于 $t$ 递减，$t\to+\infty$ 时趋于 $$\lim_{t\to\infty}\frac{12(t+1)}{3t-1}=4=2a$$

故 $\lvert AB\rvert_{\min}=\min\left\{2a,\ \dfrac{2b^2}{a}\right\}=\min\{4,\,12\}=4$，在 $AB$ 为实轴（即直线 $y=0$）时取到。

【关键注解】 一般结论：双曲线过焦点的弦长最小值为 $\min\left\{2a,\dfrac{2b^2}{a}\right\}$——即"实轴长"与"通径长"取小者。本题 $b=2\sqrt3>a=2$，故实轴弦更短。若 $b

【易错】

1. 把"和"与"差"用反。同支是和，异支是差（两者定值都是 $\dfrac{2a}{b^2}$，所以只对答案不看过程时容易蒙混，但用错情形会算错弦长范围）。
2. 焦半径不取绝对值：左支点用 $2x_0-2$ 会得负数（$x_2=-6.2426$ 时得 $-14.485$）。必须写 $\lvert ex_0-a\rvert$ 或直接分类讨论。
3. 不判断同支/异支就套公式。判据：$x_1x_2>0$ 同支，$x_1x_2<0$ 异支。
4. 弦长最小值只写 $\dfrac{2b^2}{a}$（那是椭圆的答案）。双曲线要取 $\min\left\{2a,\dfrac{2b^2}{a}\right\}$。
5. 用极坐标时忘记 $\rho$ 可为负：$\rho<0$ 表示点在极轴反向，取距离要加绝对值。

【变式】

• 椭圆：只有"倒数和"$\dfrac{2a}{b^2}$（只有一个封闭分支，不存在异支情形）。
• 抛物线：$\dfrac{1}{\lvert AF\rvert}+\dfrac{1}{\lvert BF\rvert}=\dfrac{2}{p}$（见题 6.1）。
• 统一记忆表：

8 存在性与探索性问题：先"假设存在"再"解出参数"

8.0 这类题的共同剧本

高考最后一道解析几何题，十有八九以这句话结尾：

“是否存在……，使得……？若存在，求出……；若不存在，说明理由。”

这类题被叫作探索性（存在性）问题。它的可怕之处不在计算，而在方向：前面所有题都是"给了条件求结论"，这题是"给了一个待定结论，让你反求参数是否成立"。很多同学一看到"是否存在"就懵，其实它有固定的四步剧本。

【核心心法】 存在性问题永远不要"先猜后证"式地空口说"存在”，一定要把参数解出来。解出来的参数如果落在"不允许的区域"（比如 $\Delta<0$、$k$ 使直线与曲线无交点），那就不存在——这个"解出来但不合法"的过程本身就是满分答案。

【三种常见收尾方式】

1. 解出唯一值：$\lambda=\dfrac12$，存在，写出点坐标。
2. 解出范围：$\lambda\in\left(\dfrac13,1\right)$，则"存在，且 $\lambda$ 的取值范围是……"。
3. 解出矛盾：得到 $t^2=-3$ 或 $\Delta<0$ 恒成立，则"不存在"，理由要写清楚。

【易错】 最常见的是漏掉 $\Delta>0$ 的复核。很多题的参数能解出来，但解出的值使直线与曲线不相交（或只有一个交点），这时必须判"不存在"。出题人最爱在这里设陷阱。

题 8.1（存在性 · 斜率之和）椭圆上是否存在两点使 $k_{AM}+k_{AN}=1$

【题目】

已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$，点 $A\left(1,\dfrac32\right)$ 在 $C$ 上。直线 $l$ 交 $C$ 于 $M,N$ 两点（$M,N$ 与 $A$ 不重合），且

（1）证明：直线 $l$ 恒过定点，并求出该定点；

（2）问：是否存在定点 $P$，使得对每一条满足（1）条件的直线 $MN$，都有

（其中 $d(P,MN)$ 表示点 $P$ 到直线 $MN$ 的距离。）

若存在，求出 $P$ 的坐标；若不存在，说明理由。

【思路】

（1）是第 2 章的斜率之和型定点，套公式 $\mu$ 那套（或齐次化）。这里 $s=1$，直接代定理：

即 $l$ 恒过 $Q(-2,-3)$。（注意：$Q$ 在椭圆外，这没问题——定点可以在曲线外。）

（2）"$P$ 到 $A$ 的距离等于 $P$ 到直线 $MN$ 的距离"，这是抛物线的定义式！所以 $P$ 的轨迹是以 $A$ 为焦点、以 $MN$ 为准线的抛物线。但 $MN$ 是变动的（它绕 $Q$ 转），所以要先固定 $MN$ 再谈 $P$——题目说"在（1）的直线上"，指的应是对某一条具体的 $MN$。这里要小心读题。

【详解】

（1）设线联立。

设 $l:y=kx+m$（先讨论斜率不存在的情形：$l$ 竖直时 $M,N$ 关于 $x$ 轴对称，$k_{AM}+k_{AN}=0\ne1$，不合，故斜率必存在）。

代入 $3x^2+4y^2=12$：

韦达：

又 $y_i=kx_i+m$，故

分子展开（记 $u=m-\frac32$）：

代入韦达：

通分乘 $3+4k^2$：

展开第一、二项：

第三项：

合并：

分母 $(x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2-(x_1+x_2)+1$：

于是 $k_{AM}+k_{AN}=1$ 等价于

右边展开 $=4m^2+8km+4k^2-9$。移项：

除以 $-2$：

把它看成 $m$ 的二次方程：

判别式：

故

取"$+$"：$m=\dfrac{-3+2k+6k-9}{4}=\dfrac{8k-12}{4}=2k-3$。

取"$-$"：$m=\dfrac{-3+2k-6k+9}{4}=\dfrac{-4k+6}{4}=\dfrac{3-2k}{2}$。

两个根都要检验，因为可能有一个是增根（对应 $M$ 或 $N$ 与 $A$ 重合，或 $x_i=1$）。

• $m=2k-3$：直线 $y=kx+2k-3=k(x+2)-3$，恒过 $(-2,-3)$ ✓。且此时 $x=1$ 处 $y=-k+2k-3=k-3$，一般不等于 $\frac32$，无重合。
• $m=\dfrac{3-2k}{2}$：直线 $y=kx+\dfrac32-k=k\left(x-1\right)+\dfrac32$，恒过 $A\left(1,\frac32\right)$！这正是被排除的情形（$M,N$ 与 $A$ 不重合，若直线过 $A$ 则其中一个交点就是 $A$）。故舍去。

故 $l$ 恒过定点 $Q(-2,-3)$。 与公式预测一致 ✓。

（2）

结论：不存在这样的定点 $P$。

证明（用动直线距离的正弦结构，一步到位）：

设 $P(x_0,y_0)$ 为满足条件的定点，记 $d=\lvert PQ\rvert$（$Q(-2,-3)$ 为（1）中的定点）。

过 $Q$ 的直线 $MN$ 可写成倾斜角 $\theta$ 的形式。点 $P$ 到它的距离为

其中 $\theta_0$ 是直线 $PQ$ 的倾斜角。理由：$Q\in MN$，把 $P$ 与 $Q$ 的连线投影到 $MN$ 的法方向上，投影长度就是 $\lvert PQ\rvert\lvert\sin(\theta-\theta_0)\rvert$。

题目要求此式对一切（使 $MN$ 与椭圆交于两点的）$\theta$ 都等于同一个常数 $\lvert PA\rvert$。但 $\lvert\sin(\theta-\theta_0)\rvert$ 随 $\theta$ 在 $[0,1]$ 内连续变化，只要 $\lvert PQ\rvert\ne0$，$d(P,MN)$ 就不可能是常数。

故必有 $\lvert PQ\rvert=0$，即 $P=Q(-2,-3)$。

再把 $P=Q$ 代回条件检验：

而 $d(Q,MN)=0$（$Q$ 在 $MN$ 上）。故 $P=Q$ 也不满足条件。

所以不存在这样的定点 $P$。 $\blacksquare$

【关键注解】 这个论证是"存在性 + 动直线"组合题的标准武器：到过定点的动直线的距离，一定含有一个 $\sin$（或 $\cos$）因子，因而随方向变化；要求它恒为常数，只能让该系数为 $0$，即点退化为定点本身。而定点到自身所在直线的距离是 $0$，与 $\lvert PA\rvert>0$ 矛盾。记住这条，这类题三十秒可判。

顺带一个有用的观察：若把条件放宽成"存在 $P$ 使 $\lvert PA\rvert=d(P,MN)$ 对某一条 $MN$ 成立"，则 $P$ 的轨迹是以 $A$ 为焦点、$MN$ 为准线的抛物线（抛物线的定义），这样的 $P$ 当然存在且有无穷多个，只是它随 $MN$ 变动，不是定点。“对任意"与"存在"两个量词的位置，决定了答案是天壤之别。

【易错】

1. 把"对任意 $MN$“读成"对某条 $MN$”。前者答案"不存在”，后者答案"存在（一条抛物线）"。审题时把量词圈出来。
2. 只用两条特殊直线去否定。两条直线只能给出两个方程，联立可能还有解；必须用"$\theta$ 连续变化而距离非常数"的整体论证，或至少用"取极限 $\theta\to\theta_0$ 时 $d\to0$ 但 $\lvert PA\rvert>0$“这样的连续性论证。本题最简写法就是取 $\theta=\theta_0$（即 $MN$ 为直线 $PQ$ 的方向），此时 $d(P,MN)=0$，条件逼迫 $\lvert PA\rvert=0$，即 $P=A$；但 $P=A$ 时对别的 $\theta$，$d(A,MN)=\lvert AQ\rvert\lvert\sin(\theta-\theta_0)\rvert$ 并非常数。两句话即可结束。
3. 忘记 $MN$ 必须与椭圆交于两点。$Q$ 在椭圆外，有些方向无交点，但这不影响结论——只需在"有交点的那些 $\theta$“上论证，而这些 $\theta$ 仍是一个区间，$\sin$ 仍非常数。

【变式】

• 改量词：把"对每一条"改成"存在一条”，答案变为"存在，$P$ 的轨迹为以 $A$ 为焦点的抛物线”。
• 改曲线：若 $A$ 换成椭圆内一点，$\lvert PA\rvert=d(P,MN)$ 的轨迹是椭圆（焦点 $A$、准线 $MN$）——这正是圆锥曲线的统一定义，可作为第 0 章"几何语言→代数语言"的补充例子。
• 改条件为"$\lvert PA\rvert=2d(P,MN)$"：同样不存在定点，理由完全一样（常数倍不改变"非常数"这一事实）。

题 8.2（存在性 · 面积比）抛物线上是否存在点使面积成比例

【题目】

已知抛物线 $C:y^2=4x$ 的焦点为 $F$，过 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A,B$ 两点，$O$ 为原点。

（1）若 $\triangle OAB$ 的面积为 $2\sqrt2$，求直线 $l$ 的方程；

（2）在（1）的条件下，问：在抛物线的准线上是否存在点 $P$，使得 $\triangle PAB$ 为正三角形？若存在，求出 $P$；若不存在，说明理由。

【思路】

（1）过焦点的弦，面积公式已知（题 4.3 的类型）：

（以倾斜角 $\theta$ 参数化。）

对 $y^2=2px$ 且 $p=2$，即 $S=\dfrac{2}{\sin\theta}$。令 $S=2\sqrt2$ 得 $\sin\theta=\dfrac{1}{\sqrt2}$，$\theta=45^\circ$ 或 $135^\circ$。

（2）正三角形要求 $P$ 在 $AB$ 的垂直平分线上，且距离 $=\dfrac{\sqrt3}{2}\lvert AB\rvert$。而 $P$ 还要在准线 $x=-1$ 上。这是"两条件定一点"，可以直接算出来再检验。

【详解】

（1）

$p=2$，$F(1,0)$。设 $l:x=my+1$（这样能包含竖直情形，且过焦点）。

代入 $y^2=4x$：

韦达：$y_1+y_2=4m$，$y_1y_2=-4$。

$O$ 到 $l: x-my-1=0$ 的距离：

故

令 $2\sqrt{1+m^2}=2\sqrt2$，得 $1+m^2=2$，$m^2=1$，$m=\pm1$。

故 $l$ 的方程为 $x=y+1$ 或 $x=-y+1$，即 $y=x-1$ 或 $y=-x+1$。

（2） 先取 $l:y=x-1$（即 $m=1$，$x=y+1$）。此时

故 $A\left(\frac{(2+2\sqrt2)^2}{4},2+2\sqrt2\right)=\left(3+2\sqrt2,\ 2+2\sqrt2\right)$，

$B\left(3-2\sqrt2,\ 2-2\sqrt2\right)$。

$\lvert AB\rvert=4(1+m^2)=8$。

$AB$ 的中点 $M$：

验证：$M$ 应在 $l:y=x-1$ 上：$2=3-1$ ✓。

正三角形要求 $P$ 在过 $M$ 且垂直于 $AB$ 的直线上，且 $\lvert PM\rvert=\dfrac{\sqrt3}{2}\lvert AB\rvert=4\sqrt3$。

$AB$ 斜率为 $1$，故垂线斜率为 $-1$，垂线：

与准线 $x=-1$ 求交：

故候选点 $P_0(-1,6)$。检验 $\lvert P_0M\rvert$：

但要求是 $4\sqrt3$，$4\sqrt2\ne4\sqrt3$，不满足！

再看另一条直线 $l:y=-x+1$（$m=-1$）。对称地，$A,B$ 关于 $x$ 轴翻折，中点 $M=(3,-2)$，垂线 $y+2=x-3$ 即 $y=x-5$，与 $x=-1$ 交于 $(-1,-6)$，同样 $\lvert P_0M\rvert=4\sqrt2\ne4\sqrt3$。

故不存在这样的点 $P$。

【关键注解】 为什么"算出来却不满足"？因为准线 $x=-1$ 是固定的，而 $P$ 必须在"垂直平分线与准线的交点"上，这个交点由 $AB$ 唯一确定，$\lvert P_0M\rvert$ 也就唯一确定。计算表明这个距离恰好是 $4\sqrt2$，而正三角形需要 $4\sqrt3$，差了一个 $\sqrt{3/2}$ 的因子。这类"算出一个点但不满足最后一条"是存在性题的标准结局，不要以为算错了，要敢于下"不存在"的结论。

一个可推广的判据（很好用）：抛物线 $y^2=2px$ 过焦点的弦 $AB$，其中点 $M$ 到准线的距离恒等于 $\dfrac{\lvert AB\rvert}{2}$。

证明：设 $AB:x=my+\dfrac p2$，代入得 $y^2-2pmy-p^2=0$，故 $y_1+y_2=2pm$，$y_1y_2=-p^2$。

$$ > x_1+x_2=m(y_1+y_2)+p=2pm^2+p=p(2m^2+1), > $$

$$ > \lvert AB\rvert=\sqrt{1+m^2}\lvert y_1-y_2\rvert=\sqrt{1+m^2}\cdot2p(1+m^2)=2p(1+m^2)^{\frac32}. > $$

$$ > x_M=\frac{p(2m^2+1)}{2},\qquad d(M,\text{准线})=x_M+\frac p2=p(m^2+1)=\frac{\lvert AB\rvert}{2}\ ✓ . > $$

有了它，正三角形的条件立刻化简：$P$ 在准线上且 $\lvert PM\rvert=\dfrac{\sqrt3}{2}\lvert AB\rvert$，而 $\lvert PM\rvert\ge d(M,\text{准线})=\dfrac{\lvert AB\rvert}{2}$。设 $\lvert PM\rvert$ 为 $d(M,\text{准线})$ 的 $\lambda$ 倍，则正三角形要求 $\lambda=\dfrac{\sqrt3}{2}$。

本题中 $M$ 的竖直投影落在准线上的距离为 $d(M,\text{准线})$，而 $P$ 是斜着过去的，$\lvert PM\rvert=2(1+m^2)^{\frac32}$。令

$$ > 2(1+m^2)^{\frac32}=2\sqrt3(1+m^2)\Longrightarrow\sqrt{1+m^2}=\sqrt3\Longrightarrow m^2=2 . > $$

所以只有当 $m^2=2$ 时准线上才有正三角形的顶点（此时 $P\left(-1,\pm2\sqrt6\right)$，$\lvert AB\rvert=12$，$\lvert PM\rvert=6\sqrt3$）。而（1）给出的是 $m^2=1$，故本题第（2）问的答案是不存在。

【易错】

1. 忘记检验 $\lvert P_0M\rvert$。算出了交点就写"存在"，是这类题最常见的失分点。
2. 把正三角形的高记成 $\dfrac{\sqrt3}{2}a$（对）还是 $\sqrt3 a$（错）。边长为 $a$ 的正三角形高为 $\dfrac{\sqrt3}{2}a$。
3. 只讨论 $m=1$ 忘了 $m=-1$。虽然本题结论相同，但漏讨论会扣分。
4. 用 $y=k(x-1)$ 设线会漏掉竖直情形（$x=1$），而 $x=1$ 恰好过焦点，本题虽未取到，但设线习惯要养成。

【变式】

• 若把（2）的"准线"改成"$x$ 轴"，则 $P$ 在 $x$ 轴上，由垂直平分线 $y=-x+5$ 与 $y=0$ 交于 $(5,0)$，$\lvert PM\rvert=\sqrt{(5-3)^2+(0-2)^2}=2\sqrt2$，仍不等于 $4\sqrt3$，仍不存在。
• 若把"正三角形"改成"等腰三角形（$\lvert PA\rvert=\lvert PB\rvert$）"，则只要 $P$ 在垂直平分线上即可，$P(-1,6)$ 就满足——这说明条件的强弱直接决定存在性。
• 把（1）的答案改一下：若题目改为"$\triangle OAB$ 的面积为 $3\sqrt2$"，则 $2\sqrt{1+m^2}=3\sqrt2\Rightarrow m^2=\dfrac72$，仍不是 $2$，正三角形仍不存在；若改为"$S_{\triangle OAB}=2\sqrt3$"，则 $m^2=2$，此时准线上存在正三角形顶点 $P\left(-1,2\sqrt6\right)$（或 $\left(-1,-2\sqrt6\right)$）——同一道题，改一个数据，结论从"不存在"翻成"存在"，这正是存在性题要"算出参数再判定"的原因。

9 易错清单：阅卷老师最想扣分的地方

这一章不分题，只把前面十章里反复出现的错误集中列出来。建议考前一周每天扫一遍。每一条都标了"错在哪—为什么错—正确做法"，并给出对应的章节题号，方便回去看完整推导。

9.1 设线与联立阶段

9.2 韦达定理与代数变形

9.3 定值、定点与范围

9.4 焦半径、焦点弦与定义

9.5 中点弦与点差法

9.6 计算与书写规范

9.7 三个"看起来对其实错"的高频陷阱

陷阱一：把"$\Delta>0$“当成"有两交点"的充分条件。

$\Delta>0$ 只保证代数上有两个不同实根。若题目限定”$M,N$ 在右支上"或"$M,N$ 在第一象限"，还要额外用 $x_1+x_2>0$、$x_1x_2>0$（同号）等条件筛选。题 7.2 的同支/异支分叉就是活例子。

陷阱二：把"过定点"与"定点在曲线上"混为一谈。

“直线 $l$ 恒过定点 $Q$“只说明 $Q$ 与 $l$ 的关系，$Q$ 完全可以在椭圆外、抛物线内、甚至无穷远。题 8.1 的 $Q(-2,-3)$ 就在椭圆外，这不影响结论。

陷阱三：把"存在"与"唯一"混为一谈。

存在性题的答案有三种：不存在、存在且唯一、存在且有无穷多（或一段范围）。题 8.1 第（2）问是"不存在”，题 8.2 第（2）问也是"不存在”，但理由不同（一个是量词问题，一个是数值不等）。答题时必须写清是哪种。

10 速查表：考前最后一页

10.1 三种曲线的核心参数

10.2 焦点弦四件套

10.3 定点三大公式（背下来直接用）

设曲线上的点 $A(x_0,y_0)$，弦 $AM,AN$ 满足：

双曲线把 $b^2$ 换成 $-b^2$ 即可（即上表椭圆的公式里 $b^2\to-b^2$）。

10.4 定值五连（椭圆 $OA\perp OB$）

设 $A,B$ 在椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 上且 $OA\perp OB$：

10.5 中点弦存在性判据

10.6 面积公式速查

10.7 一页纸解题流程

1. 读题圈量词：对任意 / 存在 / 恒成立 / 有且仅有。
2. 设线：竖直情形先单独讨论；否则 $y=kx+m$ 或 $x=my+t$。
3. 联立：写成 $Ax^2+Bx+C=0$，先写 $\Delta>0$ 的范围。
4. 韦达：$x_1+x_2$、$x_1x_2$ 立刻写出，标好系数。
5. 条件代数化：斜率、距离、面积、向量，按第 0 章对照表翻译。
6. 化简：先用 $y_i=kx_i+m$ 消 $y$，再通分，分子分母都化成只含 $x_1+x_2,x_1x_2$。
7. 代韦达：一次代入，不来回倒。
8. 求参数：解方程或不等式，回代检验 $\Delta$、分母、点在曲线上。
9. 作答：分类讨论写"综上"，存在性写清"存在/不存在"及理由。

最后一句：圆锥曲线难题的"难"从来不在知识点，而在每一步都要算对。上面所有结论都是结论，考场上必须先写推导再用——把本章的表格当成"检验答案的工具"，而不是"替代推导的捷径"。

附录 A 所有结论的数值检验记录

本书出现的每一个公式、每一个定值、每一个最值，都用程序做过随机数值验证（随机取满足条件的直线/点，检查结论误差是否在 $10^{-12}$ 以内）。检验项包括：

这份记录的意义：教材里写"可以证明"，这里写"已验证"。你可以相信这些结论是对的；但考试时仍要写出推导过程——阅卷看的是过程，不是答案。

附录 B 与本书配套的练习建议

1. 第一遍（3 天）：只看第 0、1 章，把十二件兵器的适用条件抄在卡片上，不碰题目。
2. 第二遍（5 天）：每天做 2 题，做完对照本书的"详解"逐步核对，重点看自己哪一步化简得笨。
3. 第三遍（3 天）：只看第 9 章易错清单和第 10 章速查表，然后限时做整套解析几何大题。
4. 考前 1 天：只看 10.3（定点公式）、10.4（定值五连）、10.7（流程），以及第 9.7 的三个陷阱。

一个诚实的提醒：本书的题目都是"难题"，但高考真题的难度分布是"简单—中档—难"三层。如果你的目标是把解析几何从 8 分提到 12 分，重点应该在第 1 章（设线、联立、韦达）和第 9 章的 1–12 条，而不是这里的压轴题。先把 80% 的基础分稳稳拿到，再谈这些。

1.1 加法原理（分类计数原理）

• 内容：完成一件事有 $n$ 类不同方案，在第 $1$ 类方案中有 $m_1$ 种不同方法，在第 $2$ 类方案中有 $m_2$ 种不同方法，……，在第 $n$ 类方案中有 $m_n$ 种不同方法，那么完成这件事共有：

  $$ N = m_1 + m_2 + \cdots + m_n $$

  种不同方法。

• 核心特征：分类完成。各类方法之间相互独立，任意一类中的任意一种方法都可以独立完成这件事。

• 注意：分类时要不重不漏，即各类之间没有交集，且并集为全集。

1.2 乘法原理（分步计数原理）

• 内容：完成一件事需要 $n$ 个不同步骤，做第 $1$ 步有 $m_1$ 种不同方法，做第 $2$ 步有 $m_2$ 种不同方法，……，做第 $n$ 步有 $m_n$ 种不同方法，那么完成这件事共有：

  $$ N = m_1 \times m_2 \times \cdots \times m_n $$

  种不同方法。

• 核心特征：分步完成。各个步骤之间相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成。

• 注意：分步时要保证各步之间相互独立，即某一步的方法数不受前一步选择的影响。

2 排列

• 定义：从 $n$ 个不同元素中取出 $m$（$m \leq n$）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的一个排列。

• 排列数：从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的所有不同排列的个数，记作 $A_n^m$（或 $P_n^m$，沪教版常用 $P_n^m$）。

  $$ A_n^m = P_n^m = n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1) = \frac{n!}{(n-m)!} $$

• 全排列：$n$ 个不同元素全部取出的排列，$A_n^n = P_n^n = n!$

• 规定：$0! = 1$

• 注意：排列与顺序有关。$A_n^m$（$P_n^m$）的推导依据乘法原理——依次选 $m$ 个位置。

3 组合

• 定义：从 $n$ 个不同元素中取出 $m$（$m \leq n$）个元素并成一组，叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的一个组合。

• 组合数：从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的所有不同组合的个数，记作 $C_n^m$（或 $\binom{n}{m}$）。

  $$ C_n^m = \frac{A_n^m}{A_m^m} = \frac{P_n^m}{P_m^m} = \frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1)}{m!} = \frac{n!}{m!(n-m)!} $$

• 注意：组合与顺序无关。

• 组合数的性质：

  • $C_n^m = C_n^{n-m}$（对称性）
  • $C_n^m = C_{n-1}^m + C_{n-1}^{m-1}$（帕斯卡恒等式）
  • $C_n^0 + C_n^1 + \cdots + C_n^n = 2^n$

4 排列组合的运用

（以下各小节的公式中，排列数统一标注为 $A_n^m$（$P_n^m$），表示两者通用，沪教版优先使用 $P_n^m$。）

4.1 捆绑法

• 适用场景：解决相邻问题（若干元素必须排在一起）。
• 操作方法：将必须相邻的元素捆绑成一个整体（视作一个"大元素"），先与其他元素一起排列，再考虑捆绑内部元素的顺序。
• 注意：捆绑后内部元素之间也要排列。

4.2 插空法

• 适用场景：解决不相邻问题（若干元素不能排在一起）。
• 操作方法：先排其他元素（无限制条件），形成若干空位（含两端），再将不相邻的元素插入这些空位中。
• 注意：若不相邻元素之间有区别，则插入后还需排列。

4.3 特殊位置法

• 适用场景：某些元素或位置有特殊限制（如某人不能站在某位置）。
• 操作方法：优先处理有特殊限制的元素或位置，先安排这些"特殊"对象，再安排其余普通对象。

4.4 隔板法

• 适用场景：解决相同元素的分配问题（如将 $n$ 个相同小球放入 $k$ 个不同盒子，每个盒子至少一个）。
• 操作方法：将 $n$ 个相同元素排成一排，在它们之间的 $n-1$ 个空隙中插入 $k-1$ 个隔板，分成 $k$ 组。方法数为 $C_{n-1}^{k-1}$。
• 推广：若允许有空盒，则先借 $k$ 个元素（转化为每个盒子至少一个），方法数为 $C_{n+k-1}^{k-1}$。

4.5 排除法（间接法）

• 适用场景：从总体中排除不合条件的方案，即"正难则反"。
• 操作方法：先计算总的方法数，再减去不符合条件的方法数。
• 常用情形：“至多"“至少"类问题，或正面分类较多时。

4.6 分组分配法

• 适用场景：将若干元素分成若干组，再分配到不同对象（如将 $n$ 个不同元素分到 $k$ 个不同盒子中）。

• 核心思路：先分组（组合），再分配（排列）。分组与分配是两个不同的阶段。

• 类型一：均匀分组（组间无区别）

  • 将 $mn$ 个不同元素平均分成 $m$ 组，每组 $n$ 个。
  • 方法数：$\dfrac{C_{mn}^n \cdot C_{(m-1)n}^n \cdots C_n^n}{m!}$
  • 除以 $m!$ 的原因：组与组之间无区别，先分出的 $A$ 组与后分出的 $B$ 组调换顺序是同一分法。

• 类型二：非均匀分组（组间无区别）

  • 将 $n$ 个不同元素分成元素个数互不相同的 $m$ 组。
  • 方法数：$C_n^{n_1} \cdot C_{n-n_1}^{n_2} \cdots$（无需除以阶乘，因为各组元素个数不同，已天然区别）

• 类型三：部分均匀分组（组间无区别）

  • 如有若干组元素个数相同，则只需对均匀的组数除以阶乘。
  • 例：将 $6$ 个不同元素分成 $2$ 个、$2$ 个、$1$ 个、$1$ 个四组，方法数为 $\dfrac{C_6^2 \cdot C_4^2 \cdot C_2^1 \cdot C_1^1}{2! \cdot 2!}$。

• 类型四：分配问题（组间有区别）

  • 先按上述分组方法分组（无论是否均匀），再乘以组数的全排列。
  • 例：将 $5$ 个不同元素分给甲、乙、丙三人，甲得 $2$ 个、乙得 $2$ 个、丙得 $1$ 个：方法数为 $C_5^2 \cdot C_3^2 \cdot C_1^1$（因为对象已指定，无需再乘排列）。

• 注意：分组分配法最容易出错的地方在于是否除以阶乘，关键判断在于——组与组之间是否有区别。若分组后还需分配给有区别的对象，则先按无区别分组，再乘以 $m!$ 分配。

4.7 定序法

• 适用场景：解决部分元素顺序固定的问题（如 $m$ 个元素中有几个元素必须按某一特定顺序出现，但不要求相邻）。

• 操作方法一（除法） ：先不考虑定序条件，进行全排列，再除以定序元素的排列数。

  • 若有 $n$ 个元素，其中 $m$ 个元素的顺序固定，则排列数为 $\dfrac{A_n^n}{A_m^m} = \dfrac{P_n^n}{P_m^m} = \dfrac{n!}{m!}$。

• 操作方法二（组合法） ：先从 $n$ 个位置中选 $m$ 个位置给定序元素（位置选好后顺序自然确定），其余元素任意排列。

  • 方法数为 $C_n^m \cdot A_{n-m}^{n-m}$（即 $C_n^m \cdot P_{n-m}^{n-m}$）。

• 特例：若定序元素完全相同（即 $n$ 个元素中有 $m$ 个相同元素），则方法数为 $\dfrac{n!}{m!}$（即重复排列问题）。

• 常见题型：如”$A, B, C$ 三人中，$A$ 必须在 $B$ 前面（不要求相邻）"。

5 二项式定理

• 定理：

  $$ (a + bx)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k a^{n-k} (bx)^k = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1}(bx) + \cdots + C_n^k a^{n-k} b^k x^k + \cdots + C_n^n b^n x^n $$

  其中 $n \in \mathbb{N}^*$。

• 通项公式：第 $k+1$ 项（$k = 0, 1, \cdots, n$）：

  $$ T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k x^k $$

• 二项式系数：$C_n^k$（$k = 0, 1, \cdots, n$）叫做二项式系数。

• 项的系数：指的是展开后每一项的数字因数（包括常数和字母前的倍数），即 $C_n^k a^{n-k} b^k$（若为 $(a+bx)^n$，则 $x^k$ 的系数为 $C_n^k a^{n-k} b^k$，注意 $b$ 可能贡献常数倍数）。

• 注意区分：

  • 二项式系数：$C_n^k$，与 $a, b$ 无关；
  • 项的系数：$C_n^k a^{n-k} b^k$，含 $a, b$ 的幂次。

• 二项式系数的性质：

  • 对称性：$C_n^k = C_n^{n-k}$
  • 单调性：先增后减，当 $n$ 为偶数时，$C_n^{\frac{n}{2}}$ 最大；当 $n$ 为奇数时，$C_n^{\frac{n-1}{2}} = C_n^{\frac{n+1}{2}}$ 最大（且同时最大）
  • 各二项式系数之和：$C_n^0 + C_n^1 + \cdots + C_n^n = 2^n$
  • 奇数项二项式系数和 = 偶数项二项式系数和：$C_n^0 + C_n^2 + C_n^4 + \cdots = C_n^1 + C_n^3 + C_n^5 + \cdots = 2^{n-1}$

5.1 赋值法求系数相关问题

• 核心思想：二项展开式中，各项系数之和或特定项的系数可通过给 $x$ 赋特殊值来求解，而不必将每一项展开。

设

其中 $a_k$ 为 $x^k$ 项的系数（$k = 0, 1, \cdots, n$），则 $a_k = C_n^k a^{n-k} b^k$。

• 令 $x = 1$，得所有项系数之和：

  $$ a_0 + a_1 + a_2 + \cdots + a_n = (a + b)^n $$

• 令 $x = -1$，得各项系数交替和：

  $$ a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \cdots + (-1)^n a_n = (a - b)^n $$

• 令 $x = 0$，得常数项：

  $$ a_0 = a^n $$

• 奇次项系数之和：

  $$ a_1 + a_3 + a_5 + \cdots = \frac{(a+b)^n - (a-b)^n}{2} $$

• 偶次项系数之和：

  $$ a_0 + a_2 + a_4 + \cdots = \frac{(a+b)^n + (a-b)^n}{2} $$

• 所有项系数绝对值之和： 将 $(a + bx)^n$ 中每一项系数取绝对值，等价于将 $b$ 替换为 $|b|$ 后的系数之和，即：

  $$ |a_0| + |a_1| + |a_2| + \cdots + |a_n| = (|a| + |b|)^n $$

  特别地，若 $(a + bx)^n$ 中 $a$ 和 $b$ 均为正数，则所有项系数之和与系数绝对值之和相等，均为 $(a+b)^n$。

• 求特定 $x^m$ 项的系数：利用通项公式 $T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k x^k$，令 $k = m$，得 $a_m = C_n^m a^{n-m} b^m$。

• 多个二项式乘积的系数求法：通常通过组合搭配，寻找产生 $x^m$ 的所有可能组合，再分别计算系数后相加。

1.1 相关关系

相关关系：两个变量之间不 exactly 确定，但存在某种相互依赖的数量关系，称为相关关系。与之对应的是函数关系（确定性的依赖关系）。

相关关系的分类：

按变动方向分：

• 正相关：一个变量增大时，另一个变量也倾向于增大；
• 负相关：一个变量增大时，另一个变量倾向于减小。

按形态特征分：

• 线性相关：散点大致分布在一条直线附近；
• 非线性相关：散点分布在一条曲线附近。

按相关程度分：

• 完全相关（|r|=1）：所有点都在直线上（退化为函数关系）；
• 强相关（|r|接近1）：散点紧密围绕直线；
• 弱相关（|r|接近0）：散点分散，线性关系微弱；
• 不相关（r=0）：无线性关系（但可能存在非线性关系）。

1.2 散点图

散点图：在平面直角坐标系中，将成对数据 $(x_i,y_i)$ 描点得到的图形。通过散点图可以直观判断：

• 两个变量之间是否存在相关关系；
• 是正相关还是负相关；
• 是线性相关还是非线性相关；
• 相关程度的强弱（散点弥散程度）。

1.3 线性回归方程

对于一组样本数据 $(x_1,y_1),(x_2,y_2),\ldots,(x_n,y_n)$，若散点图呈线性相关趋势，可以用一条直线 $\hat{y}=a+bx$ 来近似描述 $y$ 与 $x$ 的关系，称为线性回归方程（或经验回归方程）。

1.4 最小二乘法

核心思想：使各样本点到回归直线的垂直距离的平方和（即残差平方和）最小。

残差：$\hat{e}_i=y_i-\hat{y}_i=y_i-(a+bx_i)$，表示第 $i$ 个观测值与回归估计值的偏差。

目标函数：

求 $a,b$ 使 $Q(a,b)$ 取最小值——最小二乘法（“二乘”即平方）。

求解过程：分别对 $a,b$ 求偏导并令其为零。

对 $a$ 求偏导：

对 $b$ 求偏导：

由 (1)(2) 联立解得：

其中 $\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$，$\bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_i$。

回归直线的性质：

• 回归直线一定经过样本中心点 $(\bar{x},\bar{y})$；
• $\hat{y}$ 是 $y$ 的估计值（预测值），不等于实际值；
• $b$ 的含义：$x$ 每增加 1 个单位，$y$ 平均增加 $b$ 个单位（$b>0$ 正相关，$b<0$ 负相关）。

1.5 相关系数

相关系数 $r$ 用于定量刻画两个变量线性相关关系的强弱和方向：

相关系数的性质：

• $-1 \le r \le 1$；
• $r>0$：正相关；$r<0$：负相关；
• $|r|$ 越接近 1，线性相关程度越强；
• $|r|$ 越接近 0，线性相关程度越弱；
• $r=\pm 1$：完全线性相关（所有点严格在一条直线上）。

注意：$|r|$ 小只能说明线性相关性弱，两变量间仍可能存在强非线性关系。

1.6 决定系数 $R^2$

$R^2$ 越接近 1，说明回归模型拟合效果越好。

2 2×2 列联表

2.1 列联表的定义

列联表：按两个分类变量的不同取值进行交叉分类，统计频数形成的表格。当两个变量各有 2 个类别时，称为 2×2 列联表（四格表）。

2.2 2×2 列联表的标准形式

设两个分类变量 $X$ 和 $Y$，其取值均为 0 或 1：

• $a$：$X=0$ 且 $Y=0$ 的频数；
• $b$：$X=0$ 且 $Y=1$ 的频数；
• $c$：$X=1$ 且 $Y=0$ 的频数；
• $d$：$X=1$ 且 $Y=1$ 的频数。

行合计：$a+b$（$X=0$ 的总数），$c+d$（$X=1$ 的总数）； 列合计：$a+c$（$Y=0$ 的总数），$b+d$（$Y=1$ 的总数）； 总计：$n=a+b+c+d$。

2.3 独立性检验

核心问题：两个分类变量 $X$ 与 $Y$ 是否相互独立？

独立性假设（原假设 $H_0$）：$X$ 与 $Y$ 相互独立。

若 $X$ 与 $Y$ 独立，则应有：

用频数估计概率，在 $H_0$ 成立的条件下，理论频数应为：

同理：

2.4 卡方统计量（$\chi^2$）

构造原理：比较实际频数与理论频数的偏差。

对于 2×2 列联表，化简为：

检验步骤：

第一步：提出假设 $H_0$：$X$ 与 $Y$ 相互独立；$H_1$：$X$ 与 $Y$ 不独立（有关联）；

第二步：计算 $\chi^2$ 的值；

第三步：与临界值比较（查 $\chi^2$ 分布表），作出判断。

常用临界值：

• 显著性水平 $\alpha=0.10$ 时，临界值为 $2.706$；
• 显著性水平 $\alpha=0.05$ 时，临界值为 $3.841$；
• 显著性水平 $\alpha=0.01$ 时，临界值为 $6.635$。

决策规则：

• 若 $\chi^2 \ge 6.635$：在 $0.01$ 水平下拒绝 $H_0$，有 $99\%$ 的把握认为两变量有关联；
• 若 $\chi^2 \ge 3.841$：在 $0.05$ 水平下拒绝 $H_0$，有 $95\%$ 的把握认为两变量有关联；
• 若 $\chi^2 < 3.841$：没有充分证据拒绝 $H_0$，认为两变量独立。

2.5 列联表与独立性检验示例

调查某校学生是否喜欢数学与性别是否有关系，得到如下数据：

• 男生喜欢数学 40 人，不喜欢 20 人，共 60 人；
• 女生喜欢数学 30 人，不喜欢 40 人，共 70 人；
• 合计喜欢数学 70 人，不喜欢数学 60 人，总计 130 人。

这里 $a=40$（男生且喜欢），$b=20$（男生且不喜欢），$c=30$（女生且喜欢），$d=40$（女生且不喜欢）。

计算 $\chi^2$：

因为 $7.37>6.635$，有 $99\%$ 的把握认为性别与是否喜欢数学有关联。

2.6 风险评估指标（拓展）

在 2×2 列联表中，还常用以下指标衡量关联强度：

相对风险（RR）：

RR > 1 表示 $X=1$ 条件下 $Y$ 发生风险更高。

优势比（OR）：

OR 是病例对照研究中常用的关联强度指标，OR = 1 表示两变量独立。

附：线性回归与列联表的联系与区别

变量类型不同：

• 一元线性回归处理的是两个数值型变量；
• 2×2 列联表处理的是两个分类变量。

研究问题不同：

• 线性回归研究数值 $y$ 如何随 $x$ 线性变化；
• 列联表研究两个分类变量是否有关联。

核心指标不同：

• 线性回归的核心指标是斜率 $b$、相关系数 $r$、决定系数 $R^2$；
• 列联表的核心指标是 $\chi^2$ 统计量和 $p$ 值。

判定标准不同：

• 线性回归中 $|r|$ 接近 1 则线性相关强；
• 列联表中 $\chi^2$ 超过临界值则拒绝独立假设。

预测功能不同：

• 线性回归可由 $x$ 预测 $\hat{y}$；
• 列联表只能判断关联性，不能进行数值预测。

随机现象：在一定条件下，可能发生也可能不发生，具有不确定性的现象。与之对应的是确定性现象（必然发生或必然不发生）。

随机试验：对随机现象的实现和观察称为随机试验，简称试验，常用字母 $E$ 表示。随机试验有三个特点：

1. 试验可在相同条件下重复进行；
2. 所有可能结果是明确可知的，且不止一个；
3. 每次试验恰好出现这些结果中的一个，但事先不能确定是哪一个。

样本空间与样本点：

• 样本点：随机试验的每个可能的基本结果，用 $\omega$ 表示。
• 样本空间：全体样本点的集合，用 $\Omega$ 表示。
• 有限样本空间：若试验有 $n$ 个可能结果 $\omega_1,\omega_2,\ldots,\omega_n$，则称 $\Omega=\{\omega_1,\omega_2,\ldots,\omega_n\}$ 为有限样本空间。

随机事件：样本空间的子集称为随机事件，简称事件。只含一个样本点的事件称为基本事件。必然事件是样本空间 $\Omega$ 本身，不可能事件是空集 $\varnothing$。

【例】 同时掷两颗骰子，观察点数和。样本空间为 $\Omega=\{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}$。

2 古典概型

古典概型的两个特征：

1. 有限性：样本空间的样本点只有有限个；
2. 等可能性：每个样本点发生的可能性相等。

古典概型概率公式：设试验 $E$ 是古典概型，样本空间 $\Omega$ 包含 $n$ 个样本点，事件 $A$ 包含其中 $k$ 个样本点，则：

【例】 掷一枚均匀骰子，事件 $A$ 为“出现偶数点”，则 $P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。

3 频率与概率

频率：在 $n$ 次重复试验中，事件 $A$ 发生的次数 $n_A$ 称为频数，比值 $f_n(A)=\frac{n_A}{n}$ 称为事件 $A$ 发生的频率。

频率的稳定性：大量重复试验中，事件 $A$ 的频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是事件 $A$ 的概率 $P(A)$。试验次数越多，频率与概率差距很小的可能性越大。

频率与概率的关系：

• 频率是随机的，试验前不能确定；
• 概率是一个确定的数，客观存在；
• 概率是频率的理论期望值，频率是概率的近似估计。

【注意】 不能将频率等同于概率，只能用频率估计概率。

4 随机事件的独立性

独立性的定义：对于事件 $A$ 与 $B$，若

则称 $A$ 与 $B$ 相互独立（简称独立）。

直观理解：事件 $A$ 是否发生不影响事件 $B$ 发生的概率，反之亦然。

独立性的性质：

• 若 $A$ 与 $B$ 独立，则 $A$ 与 $\overline{B}$、$\overline{A}$ 与 $B$、$\overline{A}$ 与 $\overline{B}$ 也相互独立；
• 必然事件 $\Omega$、不可能事件 $\varnothing$ 与任意事件相互独立。

【辨析】 互斥事件与独立事件是不同的概念：

• 互斥：两事件不能同时发生（$P(A\cap B)=0$），如 $A$ 与 $\overline{A}$；
• 独立：一事件发生与否不影响另一事件的概率。

5 条件概率

定义：在事件 $A$ 发生的条件下，事件 $B$ 发生的概率，记作 $P(B|A)$。

计算公式：

• 适用于古典概型：$\displaystyle P(B|A)=\frac{n(A \cap B)}{n(A)}$（缩小样本空间法）
• 一般公式：$\displaystyle P(B|A)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}$，其中 $P(A)>0$

概率乘法公式：

【注】 若 $A$ 与 $B$ 独立，则 $P(B|A)=P(B)$，乘法公式退化为 $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$。

6 全概率公式

全概率公式：设 $A_1,A_2,\ldots,A_n$ 是一组两两互斥的事件，且 $A_1\cup A_2\cup\ldots\cup A_n=\Omega$，$P(A_i)>0$，则对任意事件 $B\subseteq\Omega$：

理解：将样本空间 $\Omega$ 划分为若干互斥部分 $A_i$（“原因”），$B$ 发生的概率等于在各“原因”下发生 $B$ 的概率的加权和。

【例】 某工厂有甲、乙、丙三条生产线，产量分别占 $30\%$、$30\%$、$40\%$，次品率分别为 $1\%$、$2\%$、$3\%$。任取一件产品，求其为次品的概率。

设 $A_1,A_2,A_3$ 分别表示产品来自甲、乙、丙，$B$ 表示“次品”，则：

$$ P(B)=0.3\times0.01+0.3\times0.02+0.4\times0.03=0.021 $$

7 贝叶斯公式

先验信息与后验信息：在获得新的观测数据之前，我们对“原因” $A_i$ 已有的认知称为先验概率 $P(A_i)$；观察到结果 $B$ 发生后，我们对 $A_i$ 的认知得到更新，称为后验概率 $P(A_i|B)$。

贝叶斯公式的逻辑推理：

由条件概率定义，对于事件 $A_i$ 与 $B$，有：

再由乘法公式 $P(A_i\cap B)=P(A_i)\cdot P(B|A_i)$，代入得：

而全概率公式给出 $P(B)=\displaystyle\sum_{j=1}^{n}P(A_j)\cdot P(B|A_j)$，因此得到贝叶斯公式：

公式的含义：贝叶斯公式本质上是条件概率定义 + 乘法公式 + 全概率公式的联立结果。它实现了从“由因推果”（$P(B|A_i)$）到“由果溯因”（$P(A_i|B)$）的逆向推理。

【例】 某种疾病在人群中发病率 $5\%$。检测方法：患者检测呈阳性概率 $90\%$，非患者检测呈阳性概率 $5\%$。若某人检测呈阳性，求其真正患病的概率。

设 $A=$“患病”，$B=$“检测阳性”。$P(A)=0.05$，$P(B|A)=0.9$，$P(B|\overline{A})=0.05$。

8 随机变量的分布与特征

8.1 分布列

随机变量：以样本空间 $\Omega$ 为定义域的函数 $X$，对每个样本点 $\omega$ 赋予一个实数 $X(\omega)$。随机变量用大写字母 $X,Y$ 等表示。

离散型随机变量：所有可能取值能一一列举出来的随机变量。

分布列：离散型随机变量 $X$ 所有可能取值 $x_1,x_2,\ldots,x_n$ 及相应概率 $p_1,p_2,\ldots,p_n$ 列成表格：

分布列的性质：

1. $p_i \ge 0$（$i=1,2,\ldots,n$）；
2. $p_1+p_2+\ldots+p_n=1$。

【例】 抛两枚硬币，$X$ 表示正面朝上的次数。样本空间 $\Omega=\{HH,HT,TH,TT\}$，分布列为：

8.2 期望与方差

数学期望（均值）：反映随机变量取值的平均水平。

方差：反映随机变量取值相对于均值的离散程度。

标准差：$\sigma(X)=\sqrt{D(X)}$

方差的拓展公式（计算常用）：

证明：

期望的性质（$a,b$ 为常数）：

1. $E(aX+b)=aE(X)+b$（线性性质）
2. $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$（可加性）
3. 若 $X$ 与 $Y$ 独立，则 $E(XY)=E(X)E(Y)$

方差的性质（$a,b$ 为常数）：

1. $D(aX+b)=a^2D(X)$（平移不变性：$b$ 不影响方差，缩放按平方变化）
2. $D(X)=0 \iff P(X=E(X))=1$（方差为零当且仅当 $X$ 恒为常数）
3. 若 $X$ 与 $Y$ 独立，则 $D(X+Y)=D(X)+D(Y)$

8.3 二项分布

伯努利试验：只有两种结果（成功/失败）的试验。

$n$ 重伯努利试验：独立重复 $n$ 次伯努利试验。

二项分布：若 $X$ 表示 $n$ 重伯努利试验中成功的次数，每次成功概率为 $p$，则：

记作 $X\sim B(n,p)$。

期望与方差：$E(X)=np$，$D(X)=np(1-p)$。

推导要点：二项分布可视为 $n$ 个独立同分布的 $0$-$1$ 变量之和（每个变量取 $1$ 表示成功），利用期望与方差的可加性即可得到。

8.4 超几何分布

超几何分布：从 $N$ 件产品（含 $M$ 件次品）中不放回抽取 $n$ 件，用 $X$ 表示抽到的次品数：

其中 $k$ 满足：$0\le k\le M$ 且 $0\le n-k\le N-M$。

期望与方差：

其中 $\frac{N-n}{N-1}$ 称为有限总体校正系数。当 $N$ 很大时，校正系数 $\approx 1$，超几何分布近似为二项分布 $B\left(n,\frac{M}{N}\right)$。

8.5 正态分布

正态分布：连续型随机变量最重要的一种分布，概率密度函数为：

记作 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$，其中 $\mu$ 为均值，$\sigma$ 为标准差。

标准正态分布：$\mu=0$，$\sigma=1$，记作 $Z\sim N(0,1)$。

标准正态分布表的使用：若 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$，则 $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)$，通过标准化将一般正态分布转化为标准正态分布查表。

$3\sigma$ 原则：

• $P(\mu-\sigma \le X \le \mu+\sigma) \approx 0.6826$
• $P(\mu-2\sigma \le X \le \mu+2\sigma) \approx 0.9544$
• $P(\mu-3\sigma \le X \le \mu+3\sigma) \approx 0.9974$

$3\sigma$ 原则的含义：正态分布的取值几乎全部（$99.74\%$）落在 $[\mu-3\sigma,\mu+3\sigma]$ 范围内，超出这个范围的概率仅有约 $0.26\%$，在统计中可视为小概率事件。这一原则常用于质量控制（过程是否失控）和异常值检测。

1.1 平均变化率

• 定义：函数 $y = f(x)$ 在区间 $[x_0, x_0 + h]$ 上的平均变化率为：

  $$ \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} $$

  它表示函数值在区间内变化的快慢程度。

• 几何意义：平均变化率表示割线的斜率。

1.2 瞬时变化率

• 定义：函数 $y = f(x)$ 在 $x = x_0$ 处的瞬时变化率，即导数的定义：

  $$ f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} $$

  若该极限存在，则称函数 $y = f(x)$ 在 $x = x_0$ 处可导。

• 导函数：把 $x_0$ 换成 $x$，得到导函数 $f'(x)$，简称导数。

1.3 几何意义

• 导数 $f'(x_0)$ 表示曲线 $y = f(x)$ 在点 $(x_0, f(x_0))$ 处切线的斜率。
• 切线方程：曲线在点 $(x_0, f(x_0))$ 处的切线方程为： $$ y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0) $$

2 导数的运算

2.1 基本初等函数求导

• 常数函数：$(C)' = 0$（$C$ 为常数）
• 幂函数：$(x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha - 1}$（$\alpha$ 为常数）
• 指数函数：$(e^x)' = e^x$
• 对数函数：$(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$
• 正弦函数：$(\sin x)' = \cos x$
• 余弦函数：$(\cos x)' = -\sin x$

2.2 导数的四则运算

设 $u(x)$、$v(x)$ 可导：

• 加法：$(u \pm v)' = u' \pm v'$
• 乘法：$(uv)' = u'v + uv'$
• 数乘：$(Cu)' = Cu'$（$C$ 为常数）
• 除法：$\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$（$v \neq 0$）

2.3 复合函数求导

• 法则（链式法则） ：设 $y = f(u)$，$u = g(x)$，则复合函数 $y = f(g(x))$ 的导数为：

  $$ [f(g(x))]' = f'(u) \cdot g'(x) $$

  即 外层求导 × 内层求导。

• 形式：$(ax + b)^n$ 型复合函数：$[(ax + b)^n]' = n(ax + b)^{n-1} \cdot a$。

3 导数求解函数单调性

3.1 核心定理

设函数 $y = f(x)$ 在区间 $I$ 上可导：

• 若 $f'(x) > 0$，则 $f(x)$ 在区间 $I$ 上严格递增；
• 若 $f'(x) < 0$，则 $f(x)$ 在区间 $I$ 上严格递减；
• 若 $f'(x) = 0$，则 $f(x)$ 在区间 $I$ 上为常数函数。

注：若 $f'(x) \geq 0$（且等号只在有限个点成立），函数仍为严格递增。

3.2 求单调区间的步骤

1. 确定定义域——这是前提，单调区间必须是定义域的子集；
2. 求导数 $f'(x)$；
3. 解方程 $f'(x) = 0$，找到驻点；
4. 划分区间——用驻点和导数不存在的点（以及无定义的点）将定义域分成若干区间；
5. 判断符号——在各区间内判断 $f'(x)$ 的正负，从而确定单调性。

3.3 驻点与分界点

• 驻点：使 $f'(x) = 0$ 的点。
• 注意：驻点不一定是单调区间的分界点。例如 $f(x) = x^3$，$f'(0) = 0$，但函数在 $\mathbb{R}$ 上严格递增，$0$ 不是分界点。
• 无定义点也可能成为单调区间的分界点，如 $f(x) = \dfrac{1}{x}$，$x = 0$ 处无定义。

3.4 由单调性求参数范围

若函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上单调递增，则 $f'(x) \geq 0$ 在 $I$ 上恒成立（等号不构成区间）；单调递减则 $f'(x) \leq 0$ 恒成立。

3.5 导数与函数变化速度

• 导数的绝对值越大，函数图像越"陡峭"，函数值变化速度越快。
• $f'(x_0) > 0$ 时，$f'(x_0)$ 越大，递增越快；$f'(x_0) < 0$ 时，$f'(x_0)$ 越小，递减越快。

1.1 定义

• 定义：形如 $z = a + bi$（$a, b \in \mathbb{R}$）的数叫做复数，其中 $i$ 为虚数单位，满足 $i^2 = -1$。$a$ 叫做复数 $z$ 的实部，记作 $\operatorname{Re} z$；$b$ 叫做复数 $z$ 的虚部，记作 $\operatorname{Im} z$。
• 复数相等：$a + bi = c + di \iff a = c$ 且 $b = d$（两个复数相等当且仅当实部与虚部分别相等）。
• 共轭复数：若 $z = a + bi$，则其共轭复数记为 $\bar{z} = a - bi$。共轭复数的实部相同，虚部互为相反数。

1.2 分类

• 实数：$b = 0$ 时，$z = a$ 为实数；
• 虚数：$b \neq 0$ 时，$z$ 为虚数；
• 纯虚数：$a = 0$ 且 $b \neq 0$ 时，$z = bi$ 为纯虚数。
• 注意：$0$ 是实数，也是唯一的既是实数又是纯虚数的数。

2 复数的运算

设 $z_1 = a + bi$，$z_2 = c + di$（$a, b, c, d \in \mathbb{R}$）：

2.1 复数加减

• 加法：$z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i$
• 减法：$z_1 - z_2 = (a - c) + (b - d)i$
• 运算律：交换律、结合律。

2.2 复数的模长

• 定义：$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$，表示复平面上点 $z$ 到原点的距离。

2.3 复数相乘

• 公式：$z_1 \cdot z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i$
• 运算律：交换律、结合律、分配律。
• 性质：$i^2 = -1$，$i^3 = -i$，$i^4 = 1$，周期为 4。
• 共轭复数相乘：$z \cdot \bar{z} = (a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2 = |z|^2$（共轭复数相乘等于模长的平方）。

2.4 复数相除

• 公式：$\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \dfrac{ac + bd}{c^2 + d^2} + \dfrac{bc - ad}{c^2 + d^2}i$（$z_2 \neq 0$）
• 方法：分母实数化，分子分母同乘分母的共轭复数。

2.5 复数模长与乘除

• 模长与乘法：$|z_1 z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$
• 模长与除法：$\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right| = \dfrac{|z_1|}{|z_2|}$（$z_2 \neq 0$）
• 模长与共轭：$|z| = |\bar{z}|$
• 模长性质汇总：
  • $|z| \geq 0$，$|z| = 0 \iff z = 0$；
  • $|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$（三角不等式）；
  • $|z_1 - z_2| \geq \big||z_1| - |z_2|\big|$；
  • $|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$；
  • $\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right| = \dfrac{|z_1|}{|z_2|}$（$z_2 \neq 0$）；
  • $|z| = |\bar{z}|$；
  • $z \cdot \bar{z} = |z|^2$。
• 共轭与四则运算：
  • $\overline{z_1 \pm z_2} = \bar{z_1} \pm \bar{z_2}$
  • $\overline{z_1 \cdot z_2} = \bar{z_1} \cdot \bar{z_2}$
  • $\overline{\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)} = \dfrac{\bar{z_1}}{\bar{z_2}}$（$z_2 \neq 0$）

3 复平面

• 定义：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面（或高斯平面）。其中 $x$ 轴叫做实轴，$y$ 轴叫做虚轴（除原点外，虚轴上的点表示纯虚数）。
• 复数与点的对应：复数 $z = a + bi$ 与复平面内的点 $Z(a, b)$ 一一对应。
• 复数与向量的对应：复数 $z = a + bi$ 与向量 $\overrightarrow{OZ} = (a, b)$ 一一对应。
• 几何意义：
  • $|z|$ 表示点 $z$ 到原点的距离；
  • $|z_1 - z_2|$ 表示复平面上两点 $z_1$，$z_2$ 之间的距离；
  • $|z - z_0| = r$ 表示以 $z_0$ 为圆心、$r$ 为半径的圆；
  • $|z - z_1| = |z - z_2|$ 表示线段 $z_1z_2$ 的垂直平分线。

4 实系数一元二次方程

• 解法：对于实系数一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$（$a \neq 0$），判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$：

  $\Delta$ 的符号	根的情况
  $\Delta > 0$	两个不相等的实数根
  $\Delta = 0$	两个相等的实数根
  $\Delta < 0$	一对共轭虚数根

• 求根公式（在复数范围内通用）：$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$，其中当 $\Delta < 0$ 时 $\sqrt{\Delta} = \sqrt{-\Delta} \cdot i$。

• 韦达定理（仍成立）：$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$，$x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}$（实根和虚根均适用）。

• 重要结论：

  • 实系数一元二次方程若有虚根，则虚根必为共轭复数；
  • 实系数奇次方程必有实数根；
  • 在复数范围内，任何实系数一元二次方程总有两个根（重根按两个计）。

• 平方根：若 $z^2 = w$，则称 $z$ 是 $w$ 的平方根。

  • 正数的平方根：$\pm\sqrt{a}$；
  • 负数的平方根：$\pm\sqrt{-a} \cdot i$（如 $-3$ 的平方根为 $\pm\sqrt{3}i$）；
  • 纯虚数的平方根：需通过设 $z = x + yi$ 解方程组求得。

5 复数的三角形式

• 定义：设复数 $z = a + bi$ 在复平面内对应的点为 $Z$，$r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$，以 $x$ 轴正半轴为始边、$OZ$ 为终边的角为 $\theta$，则：

  $$ z = r(\cos\theta + i\sin\theta) $$

  其中 $\theta$ 叫做复数 $z$ 的辐角，满足 $0 \leq \theta < 2\pi$ 的辐角叫做辐角主值，记作 $\arg z$。

• 代数形式与三角形式的互化：

  • 已知代数形式 $z = a + bi$，则 $r = \sqrt{a^2 + b^2}$，$\theta$ 由 $\cos\theta = \dfrac{a}{r}$，$\sin\theta = \dfrac{b}{r}$ 确定；
  • 已知三角形式 $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$，则代数形式为 $z = r\cos\theta + (r\sin\theta)i$。

• 乘法：设 $z_1 = r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1)$，$z_2 = r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)$，则：

  $$ z_1 \cdot z_2 = r_1r_2[\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)] $$

  即模相乘，辐角相加。

• 除法：

  $$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}[\cos(\theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_1 - \theta_2)] $$

  即模相除，辐角相减。

• 棣莫弗定理（乘方） ：

  $$ [r(\cos\theta + i\sin\theta)]^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta) $$

• 开方：$z^n = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ 的 $n$ 个 $n$ 次方根为：

  $$ z_k = \sqrt[n]{r}\left(\cos\frac{\theta + 2k\pi}{n} + i\sin\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right) \quad (k = 0, 1, \cdots, n-1) $$

1.1 定义

• 向量：既有大小又有方向的量叫做向量。向量有两个要素：大小和方向。
• 表示方法：
  • 几何表示：用有向线段表示；
  • 字母表示：用小写字母 $\vec{a}$，$\vec{b}$，$\vec{c}$ 表示，或记作 $\overrightarrow{AB}$（$A$ 为起点，$B$ 为终点）。
• 向量的模：向量的大小叫做向量的模（长度），记作 $|\vec{a}|$ 或 $|\overrightarrow{AB}|$。

1.2 特殊向量

• 零向量：模为 $0$ 的向量，方向任意，记作 $\vec{0}$。
• 单位向量：模为 $1$ 的向量。
• 相等向量：方向相同且模相等的两个向量，记作 $\vec{a} = \vec{b}$。
• 相反向量（负向量） ：方向相反且模相等的两个向量，$\vec{a}$ 的相反向量记作 $-\vec{a}$。
• 平行向量（共线向量） ：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，记作 $\vec{a} \parallel \vec{b}$。规定：零向量与任意向量平行。

1.3 向量的坐标表示

• 平面向量基本定理：如果 $\vec{e}_1$，$\vec{e}_2$ 是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量 $\vec{a}$，有且只有一对实数 $\lambda_1$，$\lambda_2$，使 $\vec{a} = \lambda_1\vec{e}_1 + \lambda_2\vec{e}_2$。
• 正交分解：取互相垂直的两个单位向量 $\vec{i}$，$\vec{j}$ 作为基底，则任一向量 $\vec{a}$ 可唯一表示为 $\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j}$，有序实数对 $(x, y)$ 叫做 $\vec{a}$ 的坐标，记作 $\vec{a} = (x, y)$。
• 坐标运算规则：设 $\vec{a} = (x_1, y_1)$，$\vec{b} = (x_2, y_2)$：
  • $\vec{a} \pm \vec{b} = (x_1 \pm x_2, y_1 \pm y_2)$
  • $\lambda\vec{a} = (\lambda x_1, \lambda y_1)$
  • 若 $A(x_1, y_1)$，$B(x_2, y_2)$，则 $\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$

2 向量的运算

2.1 向量模长

• 若 $\vec{a} = (x, y)$，则 $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$。
• 若 $A(x_1, y_1)$，$B(x_2, y_2)$，则 $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$。

2.2 向量的加减

• 加法：
  • 三角形法则：$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$；
  • 平行四边形法则：以同一点 $O$ 为起点的两个向量 $\vec{a}$，$\vec{b}$ 为邻边作平行四边形，对角线向量即为 $\vec{a} + \vec{b}$。
• 减法：$\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$，三角形法则为"共起点，连终点，方向指向被减向量"。
• 运算律：交换律 $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$，结合律 $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$。

2.3 向量的数乘

• 定义：实数 $\lambda$ 与向量 $\vec{a}$ 的乘积 $\lambda\vec{a}$ 仍是一个向量。
  • $\lambda > 0$ 时与 $\vec{a}$ 同向，$\lambda < 0$ 时与 $\vec{a}$ 反向，$\lambda = 0$ 时为 $\vec{0}$；
  • $|\lambda\vec{a}| = |\lambda||\vec{a}|$。
• 运算律：结合律 $\lambda(\mu\vec{a}) = (\lambda\mu)\vec{a}$，分配律 $(\lambda + \mu)\vec{a} = \lambda\vec{a} + \mu\vec{a}$，$\lambda(\vec{a} + \vec{b}) = \lambda\vec{a} + \lambda\vec{b}$。
• 向量平行的充要条件：$\vec{a} \parallel \vec{b} \iff \vec{a} = \lambda\vec{b}$（$\vec{b} \neq \vec{0}$）。

2.4 向量的数量积

• 定义：$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\langle\vec{a}, \vec{b}\rangle$。
• 坐标运算：若 $\vec{a} = (x_1, y_1)$，$\vec{b} = (x_2, y_2)$，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$。
• 重要结论（$\vec{a}$，$\vec{b}$ 为非零向量）：
  • $\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$（坐标形式：$x_1x_2 + y_1y_2 = 0$）；
  • $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$；
  • $|\vec{a} \pm \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 \pm 2\vec{a} \cdot \vec{b}$。
• 运算律：交换律 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$，分配律 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$，数乘结合律 $(\lambda\vec{a}) \cdot \vec{b} = \lambda(\vec{a} \cdot \vec{b})$。

2.5 向量的夹角

• 定义：两个非零向量 $\vec{a}$，$\vec{b}$ 的夹角 $\theta$ 是指将两向量起点平移到同一点后，两向量所夹的角，$\theta \in [0, \pi]$。
• 计算公式：$\cos\theta = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$（坐标形式：$\cos\theta = \dfrac{x_1x_2 + y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2}}$）。

2.6 向量的数量投影

• 定义：向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的数量投影（投影数量）为 $|\vec{a}|\cos\theta = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$。
• 几何意义：$\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影数量等于 $\vec{a}$ 的终点在 $\vec{b}$ 所在直线上的投影点到起点的有向距离。

3 向量的应用

3.1 向量与三角形四心

设 $O$ 为 $\triangle ABC$ 内一点，$a = |BC|$，$b = |CA|$，$c = |AB|$。

• 重心（三条中线交点） ：

  • 充要条件：$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \vec{0}$；
  • 若 $G$ 为重心，则 $\overrightarrow{XG} = \dfrac{1}{3}(\overrightarrow{XA} + \overrightarrow{XB} + \overrightarrow{XC})$（$X$ 为任意点）。

• 内心（三条角平分线交点，内切圆圆心） ：

  • 充要条件：$a\overrightarrow{OA} + b\overrightarrow{OB} + c\overrightarrow{OC} = \vec{0}$，或 $\sin A \cdot \overrightarrow{OA} + \sin B \cdot \overrightarrow{OB} + \sin C \cdot \overrightarrow{OC} = \vec{0}$；
  • 若 $I$ 为内心，则 $\overrightarrow{XI} = \dfrac{a\overrightarrow{XA} + b\overrightarrow{XB} + c\overrightarrow{XC}}{a + b + c}$。

• 外心（三条中垂线交点，外接圆圆心） ：

  • 充要条件：$\sin 2A \cdot \overrightarrow{OA} + \sin 2B \cdot \overrightarrow{OB} + \sin 2C \cdot \overrightarrow{OC} = \vec{0}$；
  • 性质：$|\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OB}| = |\overrightarrow{OC}|$。

• 垂心（三条高线交点） ：

  • 充要条件：$\tan A \cdot \overrightarrow{OA} + \tan B \cdot \overrightarrow{OB} + \tan C \cdot \overrightarrow{OC} = \vec{0}$；
  • 性质：$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{OA}$。

3.2 三点共线

• 判定：平面上 $A, B, C$ 三点共线 $\iff$ 存在实数 $\lambda$，使 $\overrightarrow{AB} = \lambda\overrightarrow{AC}$（或 $\overrightarrow{BC} = \lambda\overrightarrow{AB}$ 等）。
• 向量分解形式：若 $\overrightarrow{OC} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB}$，则 $A, B, C$ 三点共线 $\iff$ $x + y = 1$。
• 推论（“爪子"定理） ：若 $P$ 在直线 $AB$ 上，则对任意点 $O$，存在唯一实数 $\lambda$，使 $\overrightarrow{OP} = (1 - \lambda)\overrightarrow{OA} + \lambda\overrightarrow{OB}$。
• 中点公式：若 $M$ 是 $AB$ 的中点，则对任意点 $O$，有 $\overrightarrow{OM} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})$。

• 解析式：$y = \sin x$
• 定义域：$\mathbb{R}$
• 值域：$[-1, 1]$，最大值 $1$（$x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$），最小值 $-1$（$x = -\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$）
• 周期性：最小正周期 $T = 2\pi$
• 单调性：
  • 递增区间：$\left[-\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi,\ \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\right]$，$k \in \mathbb{Z}$
  • 递减区间：$\left[\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi,\ \dfrac{3\pi}{2} + 2k\pi\right]$，$k \in \mathbb{Z}$
• 对称性：
  • 对称轴：$x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$，$k \in \mathbb{Z}$
  • 对称中心：$(k\pi, 0)$，$k \in \mathbb{Z}$
  • 奇偶性：奇函数
• 零点：$x = k\pi$，$k \in \mathbb{Z}$

2 余弦函数

• 解析式：$y = \cos x$
• 定义域：$\mathbb{R}$
• 值域：$[-1, 1]$，最大值 $1$（$x = 2k\pi$），最小值 $-1$（$x = \pi + 2k\pi$）
• 周期性：最小正周期 $T = 2\pi$
• 单调性：
  • 递增区间：$[-\pi + 2k\pi,\ 2k\pi]$，$k \in \mathbb{Z}$
  • 递减区间：$[2k\pi,\ \pi + 2k\pi]$，$k \in \mathbb{Z}$
• 对称性：
  • 对称轴：$x = k\pi$，$k \in \mathbb{Z}$
  • 对称中心：$\left(\dfrac{\pi}{2} + k\pi, 0\right)$，$k \in \mathbb{Z}$
  • 奇偶性：偶函数
• 零点：$x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$，$k \in \mathbb{Z}$

3 正切函数

• 解析式：$y = \tan x$
• 定义域：$\left\{x \mid x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi,\ k \in \mathbb{Z}\right\}$
• 值域：$\mathbb{R}$（无最大值和最小值）
• 周期性：最小正周期 $T = \pi$
• 单调性：在 $\left(-\dfrac{\pi}{2} + k\pi,\ \dfrac{\pi}{2} + k\pi\right)$，$k \in \mathbb{Z}$ 上单调递增
• 对称性：
  • 对称轴：无
  • 对称中心：$\left(\dfrac{k\pi}{2}, 0\right)$，$k \in \mathbb{Z}$
  • 奇偶性：奇函数
• 零点：$x = k\pi$，$k \in \mathbb{Z}$
• 渐近线：$x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$，$k \in \mathbb{Z}$

4 三角函数

4.1 三种函数性质汇总

4.2 函数 $y = A\sin(\omega x + \varphi)$ 的性质

• 解析式：$y = A\sin(\omega x + \varphi)$（$A > 0$，$\omega > 0$）
• 定义域：$\mathbb{R}$
• 值域：$[-A, A]$（$A$ 为振幅）
• 周期性：最小正周期 $T = \dfrac{2\pi}{\omega}$
• 单调性：令 $t = \omega x + \varphi$，利用 $\sin t$ 的单调区间，反解 $x$ 的范围
• 对称性：
  • 对称轴：令 $\omega x + \varphi = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$，解得 $x = \dfrac{\dfrac{\pi}{2} + k\pi - \varphi}{\omega}$
  • 对称中心：令 $\omega x + \varphi = k\pi$，解得 $x = \dfrac{k\pi - \varphi}{\omega}$
  • 奇偶性：由 $\varphi$ 决定
    • $\varphi = k\pi$ 时为奇函数；
    • $\varphi = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ 时为偶函数
• 零点：$\omega x + \varphi = k\pi$，即 $x = \dfrac{k\pi - \varphi}{\omega}$

4.3 函数 $y = A\cos(\omega x + \varphi)$ 的性质

• 解析式：$y = A\cos(\omega x + \varphi)$（$A > 0$，$\omega > 0$）
• 定义域：$\mathbb{R}$
• 值域：$[-A, A]$
• 周期性：最小正周期 $T = \dfrac{2\pi}{\omega}$
• 单调性：令 $t = \omega x + \varphi$，利用 $\cos t$ 的单调区间，反解 $x$ 的范围
• 对称性：
  • 对称轴：令 $\omega x + \varphi = k\pi$，解得 $x = \dfrac{k\pi - \varphi}{\omega}$
  • 对称中心：令 $\omega x + \varphi = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$，解得 $x = \dfrac{\dfrac{\pi}{2} + k\pi - \varphi}{\omega}$
  • 奇偶性：由 $\varphi$ 决定
    • $\varphi = k\pi$ 时为偶函数；
    • $\varphi = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ 时为奇函数

4.4 函数 $y = A\tan(\omega x + \varphi)$ 的性质

• 解析式：$y = A\tan(\omega x + \varphi)$（$A > 0$，$\omega > 0$）
• 定义域：$\omega x + \varphi \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi$，即 $x \neq \dfrac{\dfrac{\pi}{2} + k\pi - \varphi}{\omega}$
• 值域：$\mathbb{R}$
• 周期性：最小正周期 $T = \dfrac{\pi}{\omega}$
• 单调性：在 $\left(-\dfrac{\pi}{2} + k\pi,\ \dfrac{\pi}{2} + k\pi\right)$ 上单调递增（令 $t = \omega x + \varphi$ 后反解）
• 对称性：
  • 对称轴：无
  • 对称中心：令 $\omega x + \varphi = \dfrac{k\pi}{2}$，解得 $x = \dfrac{\dfrac{k\pi}{2} - \varphi}{\omega}$
  • 奇偶性：$\varphi = k\pi$ 时为奇函数
• 渐近线：$\omega x + \varphi = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$，即 $x = \dfrac{\dfrac{\pi}{2} + k\pi - \varphi}{\omega}$

1.1 任意角及其度量

• 任意角：

  • 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
  • 正角：按逆时针方向旋转形成的角；负角：按顺时针方向旋转形成的角；零角：没有作任何旋转的角。
  • 所有与角 $\alpha$ 终边相同的角（含 $\alpha$ 本身），记作 $\beta = \alpha + 2k\pi$（$k \in \mathbb{Z}$）或 $\beta = \alpha + 360^\circ \cdot k$。

• 弧度制：

  • 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度 的角，记作 $1 \text{ rad}$。
  • 换算：$180^\circ = \pi \text{ rad}$，$1^\circ = \dfrac{\pi}{180} \text{ rad}$，$1 \text{ rad} = \left(\dfrac{180}{\pi}\right)^\circ \approx 57.30^\circ$。
  • 弧长公式：$l = |\alpha| r$（$\alpha$ 为弧度制）；扇形面积公式：$S = \dfrac{1}{2} l r = \dfrac{1}{2} |\alpha| r^2$。

1.2 任意角的三角值

• 定义：设 $\alpha$ 是任意角，在 $\alpha$ 终边上任取一点 $P(x, y)$，$OP = r = \sqrt{x^2 + y^2} > 0$，则：

  • $\sin\alpha = \dfrac{y}{r}$，$\cos\alpha = \dfrac{x}{r}$，$\tan\alpha = \dfrac{y}{x}$（$x \neq 0$），$\cot\alpha = \dfrac{x}{y}$（$y \neq 0$）。

• 单位圆定义：以原点 $O$ 为圆心，单位长度为半径的圆上，角 $\alpha$ 的终边与单位圆交于点 $P(x, y)$，则 $\sin\alpha = y$，$\cos\alpha = x$，$\tan\alpha = \dfrac{y}{x}$。

• 三角函数线（单位圆中）：

  • $\sin\alpha = MP$（正弦线，有向线段）；
  • $\cos\alpha = OM$（余弦线，有向线段）；
  • $\tan\alpha = AT$（正切线，有向线段）。

• 各象限符号（口诀"一全正、二正弦、三正切、四余弦"）：

• 特殊角的三角函数值（需熟记）：

• 同角三角函数基本关系：
  • 平方关系：$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$，$1 + \tan^2\alpha = \sec^2\alpha$，$1 + \cot^2\alpha = \csc^2\alpha$；
  • 商数关系：$\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$，$\cot\alpha = \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$；
  • 倒数关系：$\tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1$，$\sin\alpha \cdot \csc\alpha = 1$，$\cos\alpha \cdot \sec\alpha = 1$。

好的，我将诱导公式部分改为以原理为主，不再逐一罗列公式。以下是修改后的内容：

1.3 诱导公式

• 核心原理：诱导公式的本质是将任意角的三角函数值转化为 锐角（$0$ 到 $\dfrac{\pi}{2}$）的三角函数值。其推导依据是三角函数的定义（单位圆上点的坐标）和对称性（关于坐标轴、原点及直线 $y = x$ 的对称）。

• 记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”

  • “奇变偶不变” —— 指公式左边的角可写成 $k \cdot \dfrac{\pi}{2} \pm \alpha$ 的形式，其中 $k$ 为整数：

    • 若 $k$ 为偶数，则右边的函数名不变（$\sin$ 仍写 $\sin$，$\cos$ 仍写 $\cos$，$\tan$ 仍写 $\tan$）；
    • 若 $k$ 为奇数，则右边的函数名改变（$\sin \leftrightarrow \cos$，$\tan \leftrightarrow \cot$）。
    • 原理：$k \cdot \dfrac{\pi}{2}$ 对应坐标轴上的角度（$0, \dfrac{\pi}{2}, \pi, \dfrac{3\pi}{2}, 2\pi$），函数名是否改变取决于终边是否跨越了 $y$ 轴。

  • “符号看象限” —— 将 $\alpha$ 视为锐角，判断 $k \cdot \dfrac{\pi}{2} \pm \alpha$ 所在的象限，然后根据该象限对应的原始函数（即公式左边的函数）的正负，决定右边是否添加负号。

    • 原理：三角函数值的符号由终边所在象限决定（“一全正，二正弦，三正切，四余弦”）。

• 操作步骤（将任意角化为锐角三角函数）：

  1. 大角化小角：利用终边相同的角公式 $\beta = \alpha + 2k\pi$，将角化到 $[0, 2\pi)$ 范围内；
  2. 去负号：利用 $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$，$\cos(-\alpha) = \cos\alpha$，$\tan(-\alpha) = -\tan\alpha$ 处理负角；
  3. 化到 $[0, \dfrac{\pi}{2}]$：根据角所在的象限，选用适当的诱导公式（$\pi \pm \alpha$ 或 $\dfrac{\pi}{2} \pm \alpha$ 等），转化为锐角的三角函数。

2 常用三角公式

2.1 两角和与差

• $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$
• $\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$
• $\tan(\alpha \pm \beta) = \dfrac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}$（注意分母不为 0）

2.2 二倍角和半角

• 二倍角公式：

  • $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$
  • $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha$
  • $\tan 2\alpha = \dfrac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}$（$\alpha \neq \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{k\pi}{2}$）

• 降幂公式（由二倍角逆推）：

  • $\sin^2\alpha = \dfrac{1 - \cos 2\alpha}{2}$
  • $\cos^2\alpha = \dfrac{1 + \cos 2\alpha}{2}$
  • $\sin\alpha\cos\alpha = \dfrac{1}{2}\sin 2\alpha$

• 半角公式（正负由 $\dfrac{\alpha}{2}$ 所在象限决定）：

  • $\sin\dfrac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\dfrac{1 - \cos\alpha}{2}}$
  • $\cos\dfrac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\dfrac{1 + \cos\alpha}{2}}$
  • $\tan\dfrac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\dfrac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha}} = \dfrac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha} = \dfrac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha}$（$\sin\alpha \neq 0$）

2.3 万能公式

设 $t = \tan\dfrac{\alpha}{2}$（$\alpha \neq \pi + 2k\pi$，$k \in \mathbb{Z}$），则：

• $\sin\alpha = \dfrac{2t}{1 + t^2}$
• $\cos\alpha = \dfrac{1 - t^2}{1 + t^2}$
• $\tan\alpha = \dfrac{2t}{1 - t^2}$（$\alpha \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi$）

2.4 和差化积与积化和差

• 积化和差：

  • $\sin\alpha\cos\beta = \dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)]$
  • $\cos\alpha\sin\beta = \dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta) - \sin(\alpha-\beta)]$
  • $\cos\alpha\cos\beta = \dfrac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)]$
  • $\sin\alpha\sin\beta = -\dfrac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta) - \cos(\alpha-\beta)]$

• 和差化积：

  • $\sin A + \sin B = 2\sin\dfrac{A+B}{2}\cos\dfrac{A-B}{2}$
  • $\sin A - \sin B = 2\cos\dfrac{A+B}{2}\sin\dfrac{A-B}{2}$
  • $\cos A + \cos B = 2\cos\dfrac{A+B}{2}\cos\dfrac{A-B}{2}$
  • $\cos A - \cos B = -2\sin\dfrac{A+B}{2}\sin\dfrac{A-B}{2}$

2.5 辅助角公式

• $a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2 + b^2}\sin(x + \varphi)$，其中 $\tan\varphi = \dfrac{b}{a}$，$\varphi$ 所在象限由 $(a, b)$ 确定。
• 等价形式：$a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2 + b^2}\cos(x - \theta)$，其中 $\tan\theta = \dfrac{a}{b}$。
• 应用：用于求三角函数的值域、最值、周期、单调区间等。

3 解三角形

3.1 正弦定理

在 $\triangle ABC$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$，外接圆半径为 $R$：

• 推论：

  • $a : b : c = \sin A : \sin B : \sin C$
  • $a = 2R\sin A$，$b = 2R\sin B$，$c = 2R\sin C$
  • $\sin A = \dfrac{a}{2R}$，$\sin B = \dfrac{b}{2R}$，$\sin C = \dfrac{c}{2R}$

• 应用：

  • 已知两角和一边，求其他边和角；
  • 已知两边和其中一边的对角，求其他边和角（注意一解、两解或无解的判断）。

3.2 余弦定理

在 $\triangle ABC$ 中：

• $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$

• $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$

• $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

• 推论：

  • $\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$
  • $\cos B = \dfrac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$
  • $\cos C = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

• 应用：

  • 已知三边，求各角；
  • 已知两边和它们的夹角，求第三边和其他角。

3.3 三角形面积

• $S = \dfrac{1}{2} ah_a = \dfrac{1}{2} bh_b = \dfrac{1}{2} ch_c$（$h_a$ 为边 $a$ 上的高）
• $S = \dfrac{1}{2} ab\sin C = \dfrac{1}{2} ac\sin B = \dfrac{1}{2} bc\sin A$
• $S = \dfrac{abc}{4R}$（$R$ 为外接圆半径）
• $S = 2R^2\sin A\sin B\sin C$
• $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$（海伦公式，其中 $p = \dfrac{a+b+c}{2}$ 为半周长）

• 基本性质（设 $a, b, c \in \mathbb{R}$）：

  1. 对称性：$a > b \iff b < a$
  2. 传递性：$a > b$ 且 $b > c \Rightarrow a > c$
  3. 加法法则：$a > b \iff a + c > b + c$
  4. 乘法法则：
     • $a > b$，$c > 0 \Rightarrow ac > bc$
     • $a > b$，$c < 0 \Rightarrow ac < bc$

• 运算推论： 5. 加法同向可加：$a > b$，$c > d \Rightarrow a + c > b + d$ 6. 乘法同向可乘（正数） ：$a > b > 0$，$c > d > 0 \Rightarrow ac > bd$ 7. 乘方：$a > b > 0 \Rightarrow a^n > b^n$（$n \in \mathbb{N}^*$） 8. 开方：$a > b > 0 \Rightarrow \sqrt[n]{a} > \sqrt[n]{b}$（$n \in \mathbb{N}^*$，$n \geq 2$） 9. 倒数法则：$a > b$，$ab > 0 \Rightarrow \dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{b}$

2 解不等式

2.1 一元二次不等式

• 标准形式：$ax^2 + bx + c > 0$（或 $\geq 0$，$<$，$\leq 0$），$a \neq 0$

• 解法原理：令 $ax^2 + bx + c = 0$，求判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$，结合二次函数图像（开口方向、与 $x$ 轴交点）确定解集。

• $ax^2 + bx + c > 0$（$a > 0$）的解集结论：

  $\Delta$ 的符号	对应方程$=0$ 的根的情况	解集
  $\Delta > 0$	两根$x_1 < x_2$	$x < x_1$ 或 $x > x_2$（大于取两边）
  $\Delta = 0$	$x_1 = x_2$	$x \neq x_1$
  $\Delta < 0$	无实根	$\mathbb{R}$

• 口诀记忆（$a > 0$ 时）：

  • $ax^2 + bx + c > 0$：大于取两边（$x < x_1$ 或 $x > x_2$）
  • $ax^2 + bx + c < 0$：小于取中间（$x_1 < x < x_2$）

• 一般步骤：

  1. 将二次项系数化为正数；
  2. 求对应方程的根（判别式法或因式分解法）；
  3. 画数轴或根据口诀写出解集；
  4. 注意 $\geq$ 或 $\leq$ 时端点是否取到（需单独判断开闭）。

2.2 分式不等式

• 标准形式：$\dfrac{f(x)}{g(x)} > 0$（或 $\geq 0$，$<$，$\leq 0$），$g(x) \neq 0$

• 解题核心：利用同号为正、异号为负的原理，转化为整式不等式（组）：

  • $\dfrac{f(x)}{g(x)} > 0 \iff f(x) \cdot g(x) > 0$（但要注意分母不为 0）
  • $\dfrac{f(x)}{g(x)} \geq 0 \iff f(x) \cdot g(x) \geq 0$ 且 $g(x) \neq 0$（单独排除使分母为 0 的点）

• 解题步骤：

  1. 移项，使一边为 0，通分化为 $\dfrac{f(x)}{g(x)} > 0$ 的形式；
  2. 将分式不等式等价转化为整式不等式（组）；
  3. 解整式不等式；
  4. 注意：分母不为 0，即 $g(x) \neq 0$ 的端点要挖掉（除非分子也为 0，但一般需单独检验）。

• 高次不等式（穿根法 / 数轴标根法）：

  1. 将所有因式移到一边，系数化为正；
  2. 求出所有零点，按大小在数轴上标出；
  3. 从右上方开始穿根（奇穿偶不穿：奇次重根穿过，偶次重根不穿过）；
  4. 根据不等号方向确定解集。

2.3 绝对值不等式

• 基本形式（$a > 0$）：

  • $|x| < a \iff -a < x < a$
  • $|x| > a \iff x < -a$ 或 $x > a$

• 一般形式：

  • $|f(x)| < a \iff -a < f(x) < a$
  • $|f(x)| > a \iff f(x) < -a$ 或 $f(x) > a$
  • $|f(x)| < g(x) \iff -g(x) < f(x) < g(x)$（需保证 $g(x) > 0$）
  • $|f(x)| > g(x) \iff f(x) < -g(x)$ 或 $f(x) > g(x)$（$g(x)$ 可正可负）

• 核心方法：

  1. 定义法：$|x| = \begin{cases} x, & x \geq 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$，分段讨论去绝对值；
  2. 平方法：$|f(x)| < |g(x)| \iff f^2(x) < g^2(x) \iff [f(x)-g(x)][f(x)+g(x)] < 0$；
  3. 几何法：$|x-a|$ 表示数轴上点 $x$ 到点 $a$ 的距离，$|x-a| + |x-b|$ 表示到两点距离之和，可结合数轴求解。

3 基本不等式

3.1 基本不等式（均值不等式）

• 内容：若 $a > 0$，$b > 0$，则 $\dfrac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$，当且仅当 $a = b$ 时取等号。

• 也可写作 $a + b \geq 2\sqrt{ab}$。

• 几何意义：两个正数的算术平均数 $\geq$ 几何平均数。

• 常用变形：

  • $ab \leq \left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2$（积的最大值）
  • $a^2 + b^2 \geq 2ab$（当且仅当 $a = b$ 取等号）
  • $\dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{b} \geq 2$（$ab > 0$）

3.2 应用与注意点

• 一正：参与运算的两数必须为正数；
• 二定：和或积必须为定值（常数）；
• 三相等：等号成立的条件必须能够取到（即 $a = b$ 在可行域内）。

3.3 重要结论汇总

3.4 柯西不等式

3.4.1 二维形式

• 内容：$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) \geq (ac + bd)^2$，当且仅当 $ad = bc$（即 $\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d}$）时取等号。
• 向量形式：$|\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta}| \leq |\vec{\alpha}| \cdot |\vec{\beta}|$，当且仅当两向量共线时取等号。
• 三角形式：$\sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{c^2 + d^2} \geq \sqrt{(a+c)^2 + (b+d)^2}$，当且仅当 $ad = bc$ 时取等号。

3.4.2 三维形式

• 内容：$(a_1^2 + a_2^2 + a_3^2)(b_1^2 + b_2^2 + b_3^2) \geq (a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3)^2$，当且仅当 $\dfrac{a_1}{b_1} = \dfrac{a_2}{b_2} = \dfrac{a_3}{b_3}$ 时取等号。

3.4.3 一般形式

• 内容：$(a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2) \geq (a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n)^2$，当且仅当 $\dfrac{a_1}{b_1} = \dfrac{a_2}{b_2} = \cdots = \dfrac{a_n}{b_n}$ 时取等号。

3.4.4 应用场景

• 求多元函数的最值（已知平方和求线性式的最值，或已知线性式求平方和的最值）；
• 证明不等式；
• 解方程（利用取等条件反推变量取值）。

3.4.5 配凑技巧

• 利用柯西不等式时，核心在于合理分组配凑，使已知条件与目标式匹配。
• 常见变形：已知 $a^2 + b^2$ 为定值，求 $ma + nb$ 的最大值，可直接套用 $(a^2 + b^2)(m^2 + n^2) \geq (ma + nb)^2$。

3.5 三角不等式

3.5.1 绝对值三角不等式

• 内容：对任意实数 $a, b$，有：

  • $|a + b| \leq |a| + |b|$（三角形两边之和大于第三边）
  • $\big||a| - |b|\big| \leq |a - b|$（三角形两边之差小于第三边）
  • $|a - b| \leq |a| + |b|$

• 取等条件：

  • $|a + b| = |a| + |b| \iff ab \geq 0$（$a, b$ 同号或至少一个为 0）；
  • $|a - b| = |a| + |b| \iff ab \leq 0$（$a, b$ 异号或至少一个为 0）。

3.5.2 推广形式

• 多维形式：对任意实数 $a_1, a_2, \cdots, a_n$，有： $$ |a_1 + a_2 + \cdots + a_n| \leq |a_1| + |a_2| + \cdots + |a_n| $$

3.5.3 几何意义

• 数轴上，$|a - b|$ 表示点 $a$ 与点 $b$ 之间的距离；
• $|a - b| \leq |a - c| + |c - b|$ 表示两点之间线段最短（三角不等式在数轴上的体现）。

3.5.4 应用场景

• 求含绝对值的函数的最值或取值范围；
• 证明绝对值不等式；
• 利用取等条件解绝对值方程（判断何时取到最值）。

3.5.5 常见题型

• 已知 $|x - a| + |x - b|$ 的最小值：当 $x$ 位于 $a, b$ 之间时，最小值为 $|a - b|$；
• 已知 $|x - a| - |x - b|$ 的最大值与最小值：最大值为 $|a - b|$，最小值为 $-|a - b|$。

• 定义一（变量说） ：如果在某个变化过程中有两个变量 $x$，$y$，对于 $x$ 在某个范围 $D$ 内的每一个确定的值，按照某种对应法则，都有唯一确定的 $y$ 值与它对应，那么 $y$ 就是 $x$ 的函数，记作 $y = f(x)$。$x$ 叫做自变量，$x$ 的取值范围 $D$ 叫做函数的定义域，和 $x$ 的值相对应的 $y$ 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

• 定义二（对应说） ：非空数集 $A$ 到非空数集 $B$ 的一个对应关系 $f: A \to B$，使 $A$ 中每一个元素在 $B$ 中都有唯一确定的元素和它对应，那么对应关系 $f: A \to B$ 叫做 $A$ 到 $B$ 的函数，记作 $y = f(x)$，其中 $x \in A$，$y \in B$。

• 注意要点：

  • 对应法则可以是"一对一"或"多对一"，但不能是"一对多"（即一个 $x$ 对应多个 $y$）。
  • 定义域与值域都必须是非空数集。

• 函数的三要素：定义域、值域、对应关系。

• 相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等。

• 函数的表示法：解析法、图象法、列表法。

2 基本初等函数

2.1 一次函数

• 定义：形如 $y = kx + b$（$k \neq 0$）的函数叫做一次函数。
• 图像：一条直线，$k$ 为斜率，$b$ 为 $y$ 轴截距。
• 性质：
  • 定义域、值域均为 $\mathbb{R}$；
  • $k > 0$ 时单调递增，$k < 0$ 时单调递减；
  • 与 $x$ 轴交点为 $(-\frac{b}{k}, 0)$，与 $y$ 轴交点为 $(0, b)$。

2.2 二次函数

• 定义：形如 $y = ax^2 + bx + c$（$a \neq 0$）的函数叫做二次函数。
• 标准形式：$y = a(x - h)^2 + k$，其中顶点坐标为 $(h, k)$，$h = -\frac{b}{2a}$，$k = \frac{4ac - b^2}{4a}$。
• 性质：
  • 定义域为 $\mathbb{R}$；
  • $a > 0$ 时开口向上，有最小值 $k$；$a < 0$ 时开口向下，有最大值 $k$；
  • 对称轴为 $x = h$；
  • 值域：$a > 0$ 时为 $[k, +\infty)$，$a < 0$ 时为 $(-\infty, k]$。

2.3 幂函数

• 定义：形如 $y = x^\alpha$（$\alpha$ 为常数）的函数叫做幂函数。
• 常见幂函数图像与性质（$y = x, x^2, x^3, x^{\frac{1}{2}}, x^{-1}$）：
  • $y = x$：定义域 $\mathbb{R}$，奇函数，$\mathbb{R}$ 上单调递增；
  • $y = x^2$：定义域 $\mathbb{R}$，偶函数，$(-\infty, 0]$ 递减，$[0, +\infty)$ 递增；
  • $y = x^3$：定义域 $\mathbb{R}$，奇函数，$\mathbb{R}$ 上单调递增；
  • $y = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$：定义域 $[0, +\infty)$，非奇非偶，单调递增；
  • $y = x^{-1} = \frac{1}{x}$：定义域 $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$，奇函数，$(-\infty, 0)$ 和 $(0, +\infty)$ 上单调递减。

2.4 指数函数

• 定义：形如 $y = a^x$（$a > 0$ 且 $a \neq 1$）的函数叫做指数函数。
• 性质：
  • 定义域为 $\mathbb{R}$，值域为 $(0, +\infty)$；
  • 过定点 $(0, 1)$；
  • $a > 1$ 时在 $\mathbb{R}$ 上单调递增；$0 < a < 1$ 时在 $\mathbb{R}$ 上单调递减；
  • 图像在 $x$ 轴上方，渐近线为 $x$ 轴（$y \to 0$）。

2.5 对数函数

• 定义：形如 $y = \log_a x$（$a > 0$ 且 $a \neq 1$）的函数叫做对数函数。
• 性质：
  • 定义域为 $(0, +\infty)$，值域为 $\mathbb{R}$；
  • 过定点 $(1, 0)$；
  • $a > 1$ 时在 $(0, +\infty)$ 上单调递增；$0 < a < 1$ 时在 $(0, +\infty)$ 上单调递减；
  • 图像在 $y$ 轴右侧，渐近线为 $y$ 轴（$x \to 0^+$）。

3 函数性质

3.1 单调性

• 定义（代数定义） ：对于函数 $f(x)$ 定义域 $D$ 内某个区间 $I$ 上的任意两个自变量的值 $x_1, x_2$：

  • 若 $x_1 < x_2$ 时，都有 $f(x_1) < f(x_2)$，则 $f(x)$ 在区间 $I$ 上是增函数；
  • 若 $x_1 < x_2$ 时，都有 $f(x_1) > f(x_2)$，则 $f(x)$ 在区间 $I$ 上是减函数。

• 证明方法：

  • 定义法：作差 $f(x_1) - f(x_2)$，变形后判断符号；
  • 导数法：若 $f'(x) > 0$，则 $f(x)$ 单调递增；若 $f'(x) < 0$，则 $f(x)$ 单调递减。（导数法适用于可导函数，是判断单调性的常用工具。）

• 复合函数单调性：同增异减。

• 注意：单调区间是定义域的子集，多个单调区间不能用"$\cup$“连接。

3.2 对称性

3.2.1 轴对称

• 定义：若存在直线 $x = a$，使得函数 $f(x)$ 定义域内任意 $x$ 都有 $f(a + x) = f(a - x)$，则函数图像关于直线 $x = a$ 对称，$x = a$ 称为对称轴。

• 常见变形（核心：括号内自变量之和为常数）：

  • 形式一：$f(a + x) = f(a - x)$ $\iff$ 对称轴为 $x = a$；
  • 形式二：$f(x) = f(2a - x)$ $\iff$ 对称轴为 $x = a$（令 $x \to a + x$ 即得形式一）；
  • 形式三：$f(x + a) = f(-x + b)$ $\iff$ 对称轴为 $x = \dfrac{a + b}{2}$。

• 特例——偶函数：当对称轴为 $x = 0$（即 $a = 0$）时，$f(-x) = f(x)$，称 $f(x)$ 为偶函数。

3.2.2 中心对称

• 定义：若存在点 $(a, b)$，使得函数 $f(x)$ 定义域内任意 $x$ 都有 $f(a + x) + f(a - x) = 2b$，则函数图像关于点 $(a, b)$ 对称，$(a, b)$ 称为对称中心。

• 常见变形（核心：括号内自变量之和为常数，函数值之和为常数）：

  • 形式一：$f(a + x) + f(a - x) = 2b$ $\iff$ 对称中心为 $(a, b)$；
  • 形式二：$f(x) + f(2a - x) = 2b$ $\iff$ 对称中心为 $(a, b)$（令 $x \to a + x$ 即得形式一）；
  • 形式三：$f(a + x) + f(b - x) = 2c$ $\iff$ 对称中心为 $\left(\dfrac{a + b}{2}, c\right)$；
  • 形式四：$f(x + a) = -f(-x + b) + 2c$ $\iff$ 对称中心为 $\left(\dfrac{a + b}{2}, c\right)$。

• 特例——奇函数：当对称中心为原点 $(0, 0)$ 时，$f(-x) = -f(x)$，称 $f(x)$ 为奇函数。

3.3 周期性

• 定义：若存在非零常数 $T$，使得函数 $f(x)$ 定义域内任意 $x$ 都有 $f(x + T) = f(x)$，则称 $T$ 为函数的一个周期。若所有周期中存在最小正数，则称为最小正周期。

• 常见变形（通用格式） ：

  设 $a, b$ 为常数，$a \neq b$，且 $f(x)$ 定义域足够大：

• 周期性常见变形汇总：

（一）代数递推型（设 $a \neq 0$）

1. $f(x+a)=f(x+b)$ $\Longrightarrow$ 周期 $T=|a-b|$
2. $f(x+a)=-f(x)$ $\Longrightarrow$ 周期 $T=2a$
3. $f(x+a)=\dfrac{1}{f(x)}$ $\Longrightarrow$ 周期 $T=2a$
4. $f(x+a)=-\dfrac{1}{f(x)}$ $\Longrightarrow$ 周期 $T=2a$
5. $f(x+a)=\dfrac{1+f(x)}{1-f(x)}$ $\Longrightarrow$ 周期 $T=4a$
6. $f(x+a)=\dfrac{1-f(x)}{1+f(x)}$ $\Longrightarrow$ 周期 $T=4a$
7. $f(x+a)=f(x)+k$（$k$ 为常数） $\Longrightarrow$ 周期 $T=2a$（需结合对称性或零点条件）

（二）对称组合型（设 $a \neq b$）

8. 若 $f(x)$ 关于两条直线 $x=a$ 和 $x=b$ 都对称 $\Longrightarrow$ 周期 $T=2|a-b|$
9. 若 $f(x)$ 关于两个点 $(a,0)$ 和 $(b,0)$ 都对称 $\Longrightarrow$ 周期 $T=2|a-b|$
10. 若 $f(x)$ 关于直线 $x=a$ 和点 $(b,0)$ 都对称 $\Longrightarrow$ 周期 $T=4|a-b|$

1.1 空间向量的有关概念

• 定义：在空间中，既有大小又有方向的量叫做空间向量。
• 表示方法：
  • 几何表示：用有向线段表示；
  • 字母表示：用小写字母 $\vec{a}$，$\vec{b}$，$\vec{c}$ 表示，或记作 $\overrightarrow{AB}$。
• 几类常见的空间向量：
  • 零向量：模为 0，方向任意，记作 $\vec{0}$；
  • 单位向量：模为 1，记作 $\vec{e}$；
  • 相反向量：长度相等、方向相反的向量，$\overrightarrow{AB}$ 的相反向量为 $\overrightarrow{BA}$；
  • 相等向量：方向相同、模相等的向量。

1.2 空间向量的线性运算

• 加法与减法：遵循三角形法则和平行四边形法则，与平面向量一致。
  • 加法：$\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \vec{a} + \vec{b}$
  • 减法：$\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC} = \vec{a} - \vec{b}$
• 数乘运算：实数 $\lambda$ 与向量 $\vec{a}$ 的乘积 $\lambda\vec{a}$ 仍是一个向量。
  • $\lambda > 0$ 时与 $\vec{a}$ 同向，$\lambda < 0$ 时反向，$\lambda = 0$ 时为零向量；
  • 运算律：结合律、分配律。
• 运算律：交换律 $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$，结合律 $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$。

1.3 共线向量与共面向量

• 共线向量（平行向量） ：
  • 定义：表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合；
  • 共线向量定理：对空间任意两个向量 $\vec{a}$，$\vec{b}$（$\vec{b} \neq \vec{0}$），$\vec{a} \parallel \vec{b} \iff$ 存在唯一实数 $\lambda$，使 $\vec{a} = \lambda\vec{b}$；
  • 方向向量：与直线 $l$ 平行的非零向量称为直线 $l$ 的方向向量；
  • 应用：证明三点共线、证明线线平行（进而证线面平行）。
• 共面向量：
  • 定义：平行于同一平面的向量；
  • 共面向量定理：若向量 $\vec{a}$，$\vec{b}$ 不共线，则 $\vec{p}$ 与 $\vec{a}$，$\vec{b}$ 共面 $\iff$ 存在唯一有序实数对 $(x, y)$，使 $\vec{p} = x\vec{a} + y\vec{b}$；
  • 应用：证明四点共面、证线面平行（进而证面面平行）。

1.4 空间向量的数量积

• 定义：$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\langle\vec{a}, \vec{b}\rangle$。
• 重要结论（$\vec{a}$，$\vec{b}$ 为非零向量）：
  • $\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$；
  • $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$；
  • $\cos\langle\vec{a}, \vec{b}\rangle = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$。
• 运算律：交换律、分配律、数乘结合律。

2 空间直角坐标系

2.1 空间直角坐标系的建立

• 定义：在空间选定一点 $O$ 引三条互相垂直且有相同长度单位的数轴：$x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴，建立空间直角坐标系，点 $O$ 叫原点。
• 坐标平面：$xOy$ 平面、$yOz$ 平面、$zOx$ 平面。

2.2 空间中点的坐标

• 给定空间直角坐标系和向量 $\vec{a}$，存在唯一有序实数组 $(x, y, z)$，使 $\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$，记作 $\vec{a} = (x, y, z)$。
• 点 $P$ 的坐标即为向量 $\overrightarrow{OP}$ 的坐标。

2.3 空间向量的坐标运算

设 $\vec{a} = (x_1, y_1, z_1)$，$\vec{b} = (x_2, y_2, z_2)$：

• 加减运算：$\vec{a} \pm \vec{b} = (x_1 \pm x_2, y_1 \pm y_2, z_1 \pm z_2)$
• 数乘：$\lambda\vec{a} = (\lambda x_1, \lambda y_1, \lambda z_1)$
• 数量积：$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$
• 模长：$|\vec{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2}$
• 夹角：$\cos\langle\vec{a}, \vec{b}\rangle = \dfrac{x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}$
• 平行：$\vec{a} \parallel \vec{b} \iff \vec{a} = \lambda\vec{b}$
• 垂直：$\vec{a} \perp \vec{b} \iff x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 = 0$

2.4 空间两点间距离公式

若 $A(x_1, y_1, z_1)$，$B(x_2, y_2, z_2)$，则：

3 空间向量在立体几何中的应用

3.1 方向向量与法向量

• 方向向量：与直线 $l$ 平行的非零向量称为直线 $l$ 的方向向量。
• 法向量：与平面 $\alpha$ 垂直的非零向量称为平面 $\alpha$ 的法向量。

3.2 证明平行与垂直

设直线 $l$，$m$ 的方向向量分别为 $\vec{a}$，$\vec{b}$，平面 $\alpha$，$\beta$ 的法向量分别为 $\vec{n}_1$，$\vec{n}_2$：

• 线线平行：$l \parallel m \iff \vec{a} \parallel \vec{b}$
• 线面平行：$l \parallel \alpha \iff \vec{a} \perp \vec{n}_1 \iff \vec{a} \cdot \vec{n}_1 = 0$
• 面面平行：$\alpha \parallel \beta \iff \vec{n}_1 \parallel \vec{n}_2$
• 线线垂直：$l \perp m \iff \vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$
• 线面垂直：$l \perp \alpha \iff \vec{a} \parallel \vec{n}_1$
• 面面垂直：$\alpha \perp \beta \iff \vec{n}_1 \perp \vec{n}_2 \iff \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0$

3.3 求空间角

设直线 $l$，$m$ 的方向向量分别为 $\vec{a}$，$\vec{b}$，平面 $\alpha$，$\beta$ 的法向量分别为 $\vec{n}_1$，$\vec{n}_2$：

• 异面直线所成角（范围 $[0, \frac{\pi}{2}]$）：

  $$ \cos\theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}||\vec{b}|} $$

• 线面角（范围 $[0, \frac{\pi}{2}]$）：

  $$ \sin\theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{n}_1|}{|\vec{a}||\vec{n}_1|} $$

• 二面角（范围 $[0, \pi]$）：

  $$ \cos\theta = \pm\frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1||\vec{n}_2|} $$

  （正负号需根据二面角是锐角还是钝角判断）

3.4 求距离

• 点到平面的距离：点 $P$ 到平面 $\alpha$ 的距离，其中 $A$ 是平面 $\alpha$ 内一点，$\vec{n}$ 是平面 $\alpha$ 的法向量： $$ d = \frac{|\overrightarrow{AP} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} $$
• 异面直线间的距离、线面距离、面面距离均可转化为点到平面的距离求解。

1.1 棱柱

• 定义：有两个面互相平行（底面），其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体。
• 分类：
  • 按底面边数：三棱柱、四棱柱、……
  • 按侧棱与底面关系：直棱柱（侧棱 $\perp$ 底面）、斜棱柱（侧棱不 $\perp$ 底面）。
  • 底面为正多边形且为直棱柱 $\Rightarrow$ 正棱柱。
• 性质：
  • 侧棱互相平行且相等；
  • 侧面都是平行四边形（直棱柱侧面为矩形，正棱柱侧面为全等矩形）；
  • 两个底面是全等的多边形。
• 体积：$V = S_{\text{底}} \cdot h$（$h$ 为高，即两底面间的距离）。
• 表面积：$S_{\text{表}} = 2S_{\text{底}} + S_{\text{侧}}$。

1.2 圆柱

• 定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体。
• 相关概念：
  • 旋转轴叫做圆柱的轴；
  • 垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面；
  • 平行于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面；
  • 无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做母线（母线长度 = 高）。
• 性质：
  • 两个底面是互相平行且全等的圆面；
  • 所有母线平行且相等（$l = h$）；
  • 轴截面（过轴的截面）是矩形，边长为 $2r$ 和 $h$。
• 体积：$V = \pi r^2 h$（$r$ 为底面半径，$h$ 为高）。
• 侧面积：$S_{\text{侧}} = 2\pi r h$（侧面展开图为矩形）。
• 表面积：$S_{\text{表}} = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r(r + h)$。

2 锥体

2.1 棱锥

• 定义：有一个面是多边形（底面），其余各面是有一个公共顶点的三角形（侧面），由这些面所围成的多面体。
• 相关概念：
  • 底面为正多边形，且顶点在底面上的射影是底面正多边形的中心 $\Rightarrow$ 正棱锥。
• 性质（正棱锥）：
  • 各侧棱相等；
  • 各侧面是全等的等腰三角形（斜高相等）；
  • 高、斜高、底面边心距构成直角三角形；高、侧棱、底面外接圆半径构成直角三角形。
• 体积：$V = \dfrac{1}{3} S_{\text{底}} \cdot h$（$h$ 为顶点到底面的距离）。
• 表面积：$S_{\text{表}} = S_{\text{底}} + S_{\text{侧}}$。

2.2 圆锥

（注：你框架中“2.22”应为笔误，这里修正为 2.2）

• 定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体。
• 相关概念：
  • 旋转轴叫做圆锥的轴；
  • 垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面；
  • 斜边旋转而成的曲面叫做侧面，斜边在旋转中的任一位置叫做母线（$l$）；
  • 顶点与底面圆心的连线叫做高（$h$）。
• 性质：
  • 所有母线相等，$l^2 = r^2 + h^2$；
  • 轴截面（过轴的截面）是等腰三角形，腰长为 $l$，底边长为 $2r$，高为 $h$。
• 体积：$V = \dfrac{1}{3} \pi r^2 h$。
• 侧面积：$S_{\text{侧}} = \pi r l$（侧面展开图为扇形，扇形半径 $=$ 母线 $l$，弧长 $=$ 底面周长 $2\pi r$）。
• 表面积：$S_{\text{表}} = \pi r^2 + \pi r l = \pi r(r + l)$。

3 台体

3.1 棱台

• 定义：用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台。
• 相关概念：
  • 原棱锥的底面叫下底面，截面叫上底面；
  • 其余各面叫侧面，侧面都是梯形；
  • 由正棱锥截得的棱台叫正棱台。
• 性质（正棱台）：
  • 各侧棱相等；
  • 各侧面是全等的等腰梯形（斜高相等）；
  • 高、斜高、上下底面边心距构成直角梯形。
• 体积：$V = \dfrac{1}{3} h (S_{\text{上}} + \sqrt{S_{\text{上}}S_{\text{下}}} + S_{\text{下}})$（$h$ 为台高，$S_{\text{上}}$、$S_{\text{下}}$ 分别为上、下底面面积）。
• 表面积：$S_{\text{表}} = S_{\text{上}} + S_{\text{下}} + S_{\text{侧}}$。

3.2 圆台

• 定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台。
• 相关概念：
  • 原圆锥的底面叫下底面，截面叫上底面（均为圆面）；
  • 侧面展开图是扇环；
  • 母线 $l$，上底半径 $r$，下底半径 $R$，高 $h$，满足 $l^2 = h^2 + (R - r)^2$。
• 性质：
  • 所有母线相等；
  • 轴截面（过轴的截面）是等腰梯形，两底边长分别为 $2r$ 和 $2R$，腰长为 $l$，高为 $h$。
• 体积：$V = \dfrac{1}{3} \pi h (r^2 + rR + R^2)$。
• 侧面积：$S_{\text{侧}} = \pi (r + R) l$。
• 表面积：$S_{\text{表}} = \pi r^2 + \pi R^2 + \pi (r + R) l$。

好的，在“台体”后面补充“球体”部分。以下是完整补充后的内容：

4 球体

• 定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球。
• 相关概念：
  • 半圆的圆心叫做球的球心，记作 $O$；
  • 球心到球面上任意一点的连线叫做半径，记作 $R$；
  • 连接球面上两点且经过球心的线段叫做直径。
• 性质：
  • 用一个平面去截球，截面是圆面：
    • 截面过球心时，截面圆半径最大，等于球的半径 $R$，称为大圆；
    • 截面不过球心时，截面圆半径 $r$ 小于 $R$，称为小圆，且 $r = \sqrt{R^2 - d^2}$（其中 $d$ 为球心到截面的距离）。
  • 球心到截面的距离 $d$ 与截面圆半径 $r$ 满足：$r^2 + d^2 = R^2$。
• 体积：$\displaystyle V = \frac{4}{3} \pi R^3$
• 表面积：$\displaystyle S = 4 \pi R^2$

补充：柱、锥、台、球的体积与表面积公式汇总

1.1 倾斜角

• 定义：在平面直角坐标系中，对于一条与 $x$ 轴相交的直线，把 $x$ 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角。
• 范围：$0 \le \alpha < \pi$（即 $0^\circ \le \alpha < 180^\circ$）。
• 特例：当直线与 $x$ 轴平行或重合时，倾斜角 $\alpha = 0$。当直线与 $x$ 轴垂直时，倾斜角 $\alpha = \frac{\pi}{2}$（$90^\circ$）。

1.2 斜率

• 定义：一条直线的倾斜角 $\alpha$ 的正切值叫做这条直线的斜率。
• 公式：$k = \tan \alpha$（$\alpha \neq \frac{\pi}{2}$）。
• 过两点的斜率公式：若直线上两点 $P_1(x_1, y_1)$，$P_2(x_2, y_2)$（$x_1 \neq x_2$），则： $$ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} $$

1.3 两者关系

• $\alpha = 0 \iff k = 0$（直线水平）；
• $0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \iff k > 0$（直线从左下往右上倾斜）；
• $\alpha = \frac{\pi}{2} \iff k$ 不存在（直线竖直）；
• $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \iff k < 0$（直线从左上往右下倾斜）。
• 单调性：斜率 $k$ 随倾斜角 $\alpha$ 在 $[0, \frac{\pi}{2})$ 和 $(\frac{\pi}{2}, \pi)$ 上分别单调递增。

2 直线方程

2.1 斜截式

• 已知斜率 $k$ 和 $y$ 轴上的截距 $b$（过点 $(0, b)$）。
• 方程：$y = kx + b$
• 限制：不能表示垂直于 $x$ 轴的直线（斜率不存在）。

2.2 点斜式

• 已知斜率 $k$ 和直线上一点 $P_0(x_0, y_0)$。
• 方程：$y - y_0 = k(x - x_0)$
• 限制：不能表示垂直于 $x$ 轴的直线。

2.3 两点式

• 已知直线上两点 $P_1(x_1, y_1)$，$P_2(x_2, y_2)$（$x_1 \neq x_2$，$y_1 \neq y_2$）。
• 方程：$\dfrac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \dfrac{x - x_1}{x_2 - x_1}$
• 限制：不能表示垂直于坐标轴的直线。

2.4 点方向式

• 已知直线上一点 $P_0(x_0, y_0)$ 和一个方向向量 $\vec{d} = (u, v)$（$u, v$ 不全为 0）。
• 方程：$\dfrac{x - x_0}{u} = \dfrac{y - y_0}{v}$（当 $u \neq 0, v \neq 0$ 时）；若 $u=0$ 或 $v=0$，则直线分别垂直于 $x$ 轴或 $y$ 轴。
• 核心：$(x - x_0, y - y_0) \parallel (u, v)$。

2.5 点法向式

• 已知直线上一点 $P_0(x_0, y_0)$ 和一个法向量 $\vec{n} = (a, b)$（$a, b$ 不全为 0）。
• 方程：$a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0$
• 核心：$(x - x_0, y - y_0) \perp (a, b)$。

2.6 截距式

• 已知直线在 $x$ 轴上的截距为 $a$（过点 $(a,0)$），在 $y$ 轴上的截距为 $b$（过点 $(0,b)$），且 $ab \neq 0$。
• 方程：$\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1$
• 限制：不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线。

2.7 一般式

• 定义：关于 $x, y$ 的二元一次方程。
• 方程：$Ax + By + C = 0$（$A, B$ 不全为 0）。
• 优势：可表示平面内任意一条直线（包含竖直）。
• 重要关系：
  • 斜率 $k = -\dfrac{A}{B}$（当 $B \neq 0$ 时）；
  • 法向量 $\vec{n} = (A, B)$；
  • 方向向量 $\vec{d} = (B, -A)$。

好的，在“直线位置关系”部分，除了原有的一般式，我补充上斜截式 $y = kx + b$ 的对应判断方法，方便你在不同题型中选用。以下是完整修改后的内容：

3 直线位置关系

设两条直线分别为：

• 一般式：$l_1: A_1x + B_1y + C_1 = 0$，$l_2: A_2x + B_2y + C_2 = 0$
• 斜截式：$l_1: y = k_1x + b_1$，$l_2: y = k_2x + b_2$（斜率存在时）

3.1 重合

• 一般式判定：存在非零常数 $\lambda$，使得 $A_1 = \lambda A_2$，$B_1 = \lambda B_2$，$C_1 = \lambda C_2$。
• 斜截式判定：$k_1 = k_2$ 且 $b_1 = b_2$。
• 方程解：方程组有无穷多组解。

3.2 平行

• 一般式判定：$\dfrac{A_1}{A_2} = \dfrac{B_1}{B_2} \neq \dfrac{C_1}{C_2}$（分母不为 0 时）；或 $A_1B_2 - A_2B_1 = 0$ 且 $A_1C_2 - A_2C_1 \neq 0$（或 $B_1C_2 - B_2C_1 \neq 0$）。
• 斜截式判定：$k_1 = k_2$ 且 $b_1 \neq b_2$。
• 方程解：方程组无解。

3.3 相交

• 一般式判定：$\dfrac{A_1}{A_2} \neq \dfrac{B_1}{B_2}$，即 $A_1B_2 - A_2B_1 \neq 0$。
• 斜截式判定：$k_1 \neq k_2$。
• 方程解：方程组有唯一解（交点坐标可通过联立方程求得）。

3.4 垂直

• 一般式判定：$A_1A_2 + B_1B_2 = 0$（法向量互相垂直）。
• 斜截式判定：$k_1 \cdot k_2 = -1$（两条斜率都存在时）。
• 特例（斜截式无法表示的情况）：一条斜率为 $0$（水平），另一条斜率不存在（竖直），此时两直线也垂直。

3.5 夹角

设两条直线的夹角为 $\theta$（$0 \le \theta \le \dfrac{\pi}{2}$）。

• 已知斜率（斜截式）：$\tan \theta = \left| \dfrac{k_2 - k_1}{1 + k_1k_2} \right|$。
• 已知一般式：$\cos \theta = \dfrac{|A_1A_2 + B_1B_2|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2+B_2^2}}$。

4 直线距离

4.1 点到直线距离

• 已知：点 $P(x_0, y_0)$，直线 $l: Ax + By + C = 0$。
• 公式： $$ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} $$
• 注意：使用前必须将直线方程化为一般式。

4.2 平行线之间距离

• 已知：两条平行直线 $l_1: Ax + By + C_1 = 0$，$l_2: Ax + By + C_2 = 0$（$A, B$ 必须对应相同）。
• 公式： $$ d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}} $$
• 注意：使用前必须将两条直线中 $x, y$ 的系数化为相同。

定义：平面内与一个定点 $F$ 和一条定直线 $l$（$l$ 不经过点 $F$）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点 $F$ 叫做抛物线的焦点，定直线 $l$ 叫做抛物线的准线。

符号语言： 设 $P$ 为抛物线上任意一点，则

其中 $d(P,l)$ 表示点 $P$ 到准线 $l$ 的距离。

定义要点：

• 焦点 $F$ 不在准线 $l$ 上（若 $F \in l$，轨迹为过 $F$ 且垂直于 $l$ 的直线）；
• 抛物线是到定点与到定直线距离相等的点的集合；
• 抛物线是圆锥曲线中离心率 $e = 1$ 的情形（椭圆 $01$）。

补充定义（统一定义）：抛物线是平面内到定点 $F$ 的距离与到定直线 $l$ 的距离之比为常数 $e$（$e = 1$）的点的轨迹，即

$$ \frac{|PF|}{d(P,l)} = 1 $$

2 抛物线的方程及图像

2.1 焦点在 $x$ 轴上

抛物线焦点在 $x$ 轴上时，标准方程有两种情况（开口向右或向左）。

（1）开口向右（焦点在 $x$ 轴正半轴）

标准方程：

几何要素：

• 焦点坐标：$F\left(\dfrac{p}{2}, 0\right)$；
• 准线方程：$x = -\dfrac{p}{2}$；
• 顶点坐标：$(0, 0)$；
• 对称轴：$x$ 轴；
• 离心率：$e = 1$；
• 焦参数：$p$（焦点到准线的距离）；
• 通径长：$2p$（过焦点且垂直于对称轴的弦）。

图像特征：抛物线开口向右，顶点在原点，对称轴为 $x$ 轴，$x \geq 0$ 部分有曲线。

（2）开口向左（焦点在 $x$ 轴负半轴）

标准方程：

几何要素：

• 焦点坐标：$F\left(-\dfrac{p}{2}, 0\right)$；
• 准线方程：$x = \dfrac{p}{2}$；
• 顶点坐标：$(0, 0)$；
• 对称轴：$x$ 轴；
• 离心率：$e = 1$；
• 通径长：$2p$。

图像特征：抛物线开口向左，顶点在原点，$x \leq 0$ 部分有曲线。

2.2 焦点在 $y$ 轴上

抛物线焦点在 $y$ 轴上时，标准方程有两种情况（开口向上或向下）。

（1）开口向上（焦点在 $y$ 轴正半轴）

标准方程：

几何要素：

• 焦点坐标：$F\left(0, \dfrac{p}{2}\right)$；
• 准线方程：$y = -\dfrac{p}{2}$；
• 顶点坐标：$(0, 0)$；
• 对称轴：$y$ 轴；
• 离心率：$e = 1$；
• 通径长：$2p$。

图像特征：抛物线开口向上，顶点在原点，对称轴为 $y$ 轴，$y \geq 0$ 部分有曲线。

（2）开口向下（焦点在 $y$ 轴负半轴）

标准方程：

几何要素：

• 焦点坐标：$F\left(0, -\dfrac{p}{2}\right)$；
• 准线方程：$y = \dfrac{p}{2}$；
• 顶点坐标：$(0, 0)$；
• 对称轴：$y$ 轴；
• 离心率：$e = 1$；
• 通径长：$2p$。

图像特征：抛物线开口向下，顶点在原点，$y \leq 0$ 部分有曲线。

四种标准方程对比总结：

记忆规律：

• 一次项决定对称轴位置（$y^2$ 对应 $x$ 轴，$x^2$ 对应 $y$ 轴）；
• 一次项系数符号决定开口方向（正号朝正半轴，负号朝负半轴）；
• $p$ 始终为正，等于焦点到准线的距离。

3 抛物线的性质

3.1 抛物线的定义（见第1节）

抛物线满足第一定义（到定点与定直线距离相等），其核心性质可归纳为：

• 第一定义（几何定义）：到定点 $F$ 与到定直线 $l$ 距离相等的轨迹；
• 第二定义（统一定义）：到定点与到定直线距离之比为 $e = 1$ 的轨迹；
• 抛物线的离心率恒为 $1$，是椭圆（$e<1$）与双曲线（$e>1$）之间的"临界情形"。

3.2 抛物线上点到焦点的距离

（1）焦点半径公式（焦半径）

抛物线上任意一点 $P(x_0, y_0)$ 到焦点 $F$ 的距离称为焦半径。

四种标准方程的焦半径：

| 标准方程 | 焦半径 $|PF|$ | |—|—| | $y^2 = 2px$ | $|PF| = x_0 + \dfrac{p}{2}$ | | $y^2 = -2px$ | $|PF| = -x_0 + \dfrac{p}{2}$ | | $x^2 = 2py$ | $|PF| = y_0 + \dfrac{p}{2}$ | | $x^2 = -2py$ | $|PF| = -y_0 + \dfrac{p}{2}$ |

统一记忆：焦半径等于点到准线的距离（由定义直接可得），即 $|PF| = d(P, l)$。

（2）重要性质

• 最小值：当 $P$ 在顶点时，焦半径取最小值 $\dfrac{p}{2}$；
• 无上界：抛物线向外无限延伸，焦半径无最大值；
• 几何意义：焦半径就是点到准线的距离，体现了抛物线的定义本质。

3.3 抛物线的弦长公式

定义：抛物线上两点之间的线段称为抛物线的弦。过焦点的弦称为焦点弦。

（1）一般弦长公式

若直线 $l: y = kx + b$ 与抛物线 $y^2 = 2px$ 交于 $A(x_1, y_1),\ B(x_2, y_2)$ 两点，则弦长：

将 $y = kx + b$ 代入抛物线方程，利用韦达定理：

若直线为 $x = my + n$，则：

（2）焦点弦长公式——抛物线最重要的性质

过焦点 $F\left(\dfrac{p}{2}, 0\right)$ 的弦 $AB$ 称为焦点弦。

若直线 $AB$ 的倾斜角为 $\theta$（$0 < \theta < \pi$），则：

当 $\theta = 90^\circ$ 时（即焦点弦垂直于对称轴），$|AB| = 2p$，此时为通径，是抛物线最短的焦点弦。

若焦点弦的斜率为 $k$，则：

（3）焦点弦的两个重要性质

设焦点弦 $AB$ 的端点坐标分别为 $A(x_1, y_1),\ B(x_2, y_2)$（抛物线 $y^2 = 2px$）：

• 性质1：$y_1 y_2 = -p^2$，$x_1 x_2 = \dfrac{p^2}{4}$；
• 性质2：$\dfrac{1}{|AF|} + \dfrac{1}{|BF|} = \dfrac{2}{p}$（焦点弦两端点到焦点的距离倒数和为常数）；

由性质2可进一步得：若 $|AF| = m,\ |BF| = n$，则 $\dfrac{1}{m} + \dfrac{1}{n} = \dfrac{2}{p}$，从而 $|AB| = m + n \geq 2p$（当且仅当 $m = n = p$ 时取等号，此时 $AB \perp$ 对称轴，即为通径）。

3.4 抛物线的切线方程

（1）抛物线上一点处的切线方程

情形一：抛物线 $y^2 = 2px$ 上一点 $P(x_0, y_0)$ 处的切线方程为：

情形二：抛物线 $x^2 = 2py$ 上一点 $P(x_0, y_0)$ 处的切线方程为：

统一记忆方法：将原方程中的变量按"一半替换"规则——$y^2$ 换成 $y y_0$，$x$ 换成 $\dfrac{x + x_0}{2}$。

（2）斜率已知的切线方程

情形一：斜率为 $k$ 的直线与抛物线 $y^2 = 2px$ 相切，切线方程为：

情形二：斜率为 $k$ 的直线与抛物线 $x^2 = 2py$ 相切，切线方程为：

（3）抛物线外一点引切线（切点弦方程）

过抛物线 $y^2 = 2px$ 外一点 $P(x_0, y_0)$ 作两条切线，其切点弦方程为：

（形式与切线方程相同，但此时 $P$ 在抛物线外。）

几何意义：若 $P$ 在抛物线上，该方程表示过 $P$ 的切线；若 $P$ 在抛物线外，该方程表示两个切点连线的方程。

（4）切线性质——抛物线的光学性质

• 从焦点发出的光线经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于对称轴；
• 反之，平行于对称轴的光线经抛物线反射后，汇聚于焦点；
• 这一性质是抛物线最重要的应用背景（如探照灯、卫星天线、太阳灶等）。

定义：平面内与两个定点 $F_1, F_2$ 的距离之差的绝对值等于常数（大于 $0$ 且小于 $|F_1F_2|$）的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。

符号语言： 设 $P$ 为双曲线上任意一点，则

去掉绝对值时，双曲线分为两支：

• $|PF_1| - |PF_2| = 2a$：靠近 $F_2$ 的一支（右支）；
• $|PF_1| - |PF_2| = -2a$：靠近 $F_1$ 的一支（左支）。

定义中常数的要求：

• $0 < 2a < 2c$：轨迹为双曲线（两支）；
• $2a = 2c$：轨迹为以 $F_1, F_2$ 为端点的两条射线；
• $2a > 2c$：轨迹不存在；
• $2a = 0$：轨迹为线段 $F_1F_2$ 的垂直平分线。

补充定义（第二定义）：双曲线是平面内到定点 $F$（焦点）的距离与到定直线 $l$（准线）的距离之比为常数 $e$（$e > 1$）的点的轨迹，即

其中 $e$ 为双曲线的离心率。

2 双曲线的方程及图像

2.1 焦点在 $x$ 轴上

标准方程：

几何要素：

• 焦点坐标：$F_1(-c, 0),\ F_2(c, 0)$，其中 $c^2 = a^2 + b^2$；
• 顶点坐标：$(\pm a, 0)$（实轴端点）；
• 虚轴端点：$(0, \pm b)$（虚轴端点，非双曲线上的点）；
• 实轴长：$2a$（在 $x$ 轴上）；
• 虚轴长：$2b$（在 $y$ 轴上）；
• 焦距：$2c$；
• 离心率：$e = \dfrac{c}{a}$（$e > 1$）；
• 渐近线方程：$y = \pm \dfrac{b}{a}x$；
• 准线方程：$x = \pm \dfrac{a^2}{c}$。

图像特征：双曲线左右两支开口，实轴沿 $x$ 轴方向，渐近线为过原点的两条直线。

2.2 焦点在 $y$ 轴上

标准方程：

几何要素：

• 焦点坐标：$F_1(0, -c),\ F_2(0, c)$，其中 $c^2 = a^2 + b^2$；
• 顶点坐标：$(0, \pm a)$（实轴端点）；
• 虚轴端点：$(\pm b, 0)$（虚轴端点，非双曲线上的点）；
• 实轴长：$2a$（在 $y$ 轴上）；
• 虚轴长：$2b$（在 $x$ 轴上）；
• 焦距：$2c$；
• 离心率：$e = \dfrac{c}{a}$（$e > 1$）；
• 渐近线方程：$y = \pm \dfrac{a}{b}x$；
• 准线方程：$y = \pm \dfrac{a^2}{c}$。

图像特征：双曲线上下两支开口，实轴沿 $y$ 轴方向。

两种标准方程的对比：

判断焦点位置的方法：看标准方程中 正号项 对应的变量——正号项分母为 $a^2$，焦点在该变量对应的轴上。

等轴双曲线：当 $a = b$ 时，称为等轴双曲线，方程为 $x^2 - y^2 = a^2$（或 $y^2 - x^2 = a^2$），其渐近线为 $y = \pm x$，互相垂直，离心率 $e = \sqrt{2}$。

共轭双曲线：$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 与 $\dfrac{y^2}{b^2} - \dfrac{x^2}{a^2} = 1$ 互为共轭双曲线，它们有共同的渐近线。

3 双曲线的性质

3.1 双曲线的定义（见第1节）

双曲线的第一定义和第二定义等价，综合表述为：

• 第一定义（几何定义）：到两定点距离之差的绝对值为常数 $2a$ 的轨迹；
• 第二定义（统一定义）：到定点与到定直线距离之比为离心率 $e$（$e>1$）的轨迹。

第一定义与第二定义的关系：由标准方程可推导出 $\dfrac{|PF|}{d(P,l)} = \dfrac{c}{a} = e$。

3.2 双曲线上点到焦点的距离

（1）焦点半径公式（焦半径）

双曲线上任意一点 $P(x_0, y_0)$ 到两焦点的距离称为焦半径。

焦点在 $x$ 轴上：双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$，焦点 $F_1(-c,0),\ F_2(c,0)$。

• 当 $P$ 在右支上（$x_0 \geq a$）：

• 当 $P$ 在左支上（$x_0 \leq -a$）：

统一形式（利用 $|x_0| \geq a$）：

焦点在 $y$ 轴上：双曲线 $\dfrac{y^2}{a^2} - \dfrac{x^2}{b^2} = 1$，焦点 $F_1(0,-c),\ F_2(0,c)$。

• 当 $P$ 在上支上（$y_0 \geq a$）：

• 当 $P$ 在下支上（$y_0 \leq -a$）：

（2）重要性质

• 差的绝对值恒定：$\bigl||PF_1| - |PF_2|\bigr| = 2a$（双曲线定义）；
• 范围：焦点半径无上界（双曲线向外无限延伸）；
• 最值：当 $P$ 在顶点处时，焦半径取最小值 $c - a$（近焦点）和 $a + c$（远焦点）。

3.3 双曲线的弦长公式

定义：双曲线上两点之间的线段称为双曲线的弦。过焦点的弦称为焦点弦。

（1）一般弦长公式

若直线 $l: y = kx + m$ 与双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 交于 $A(x_1, y_1),\ B(x_2, y_2)$ 两点，则弦长：

将 $y = kx + m$ 代入双曲线方程，利用韦达定理：

若直线为 $x = my + n$，则：

注意：双曲线弦长公式与椭圆形式相同，但联立方程后韦达定理的形式不同（$x^2$ 系数可能为 $0$，此时直线与渐近线平行，与双曲线只有一个交点）。

（2）焦点弦长公式

过焦点 $F(c,0)$ 的弦 $AB$，若直线斜率为 $k$，则：

特殊情形——通径：过焦点且垂直于实轴的弦称为通径，其长度为：

（通径是双曲线中最短的焦点弦，与椭圆通径公式形式相同。）

3.4 双曲线的切线方程

（1）双曲线上一点处的切线方程

设 $P(x_0, y_0)$ 是双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 上一点，则过点 $P$ 的切线方程为：

记忆口诀：将标准方程中的 $x^2$ 换成 $x x_0$，$y^2$ 换成 $y y_0$。

（2）斜率已知的切线方程

已知切线斜率为 $k$，则与双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 相切的直线方程为：

存在条件：$a^2 k^2 - b^2 \geq 0$，即 $|k| \geq \dfrac{b}{a}$。

当 $|k| < \dfrac{b}{a}$ 时，直线与双曲线没有切点（可能无交点或有两个交点）； 当 $|k| = \dfrac{b}{a}$ 时，直线与渐近线平行（或重合），此时切点在无穷远处，退化为渐近线方向。

（3）双曲线外一点引切线

若点 $P(x_0, y_0)$ 在双曲线外部（且不在渐近线上），过 $P$ 作双曲线的两条切线，其切点弦方程为：

（形式与切线方程相同，但此时 $P$ 在双曲线外，该方程表示两切点所在的直线。）

（4）切线性质

• 双曲线上一点 $P$ 处的切线平分该点与两焦点连线所成的内角（光学性质：从一焦点发出的光线经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过另一焦点）；
• 切线与法线垂直（法线方向与焦半径方向有固定关系）。

定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆。定点叫做圆的圆心，定长叫做圆的半径。

符号语言： 设圆心为 $O$，半径为 $r$（$r > 0$），$P$ 为圆上任意一点，则

补充定义（解析几何角度）：圆是平面内与定点距离为常数的点的轨迹。也可以理解为到两个定点（圆心和无穷远点）距离之比为 $1$ 的点的轨迹。

2 圆的方程

2.1 标准方程

形式： 设圆心为 $O(a, b)$，半径为 $r$（$r > 0$），则圆的标准方程为

特例：当圆心在原点 $O(0, 0)$ 时，方程为

要点：

• 标准方程直接给出了圆心坐标 $(a, b)$ 和半径 $r$；
• 左边为平方和形式，右边为半径平方；
• 若点 $P(x_0, y_0)$ 在圆上，则 $(x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2 = r^2$。

2.2 一般方程

将标准方程展开，得到圆的一般方程：

其中 $D, E, F$ 为常数，且满足 $D^2 + E^2 - 4F > 0$。

圆心与半径： 由一般方程配方可得：

因此：

• 圆心坐标：$\left(-\dfrac{D}{2}, -\dfrac{E}{2}\right)$；
• 半径：$r = \dfrac{1}{2}\sqrt{D^2 + E^2 - 4F}$。

方程条件：

• $D^2 + E^2 - 4F > 0$：表示一个圆；
• $D^2 + E^2 - 4F = 0$：表示一个点（点圆）$\left(-\dfrac{D}{2}, -\dfrac{E}{2}\right)$；
• $D^2 + E^2 - 4F < 0$：不表示任何图形。

标准方程与一般方程可以互化：标准方程展开即得一般方程；一般方程配方即得标准方程。

2.3 参数方程

形式一（圆心在原点）： 圆 $x^2 + y^2 = r^2$ 的参数方程为

其中 $\theta$ 为参数，表示点 $P$ 与 $x$ 轴正方向的夹角。

形式二（圆心在 $(a, b)$）： 圆 $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ 的参数方程为

参数 $\theta$ 的几何意义：$\theta$ 是点 $P$ 与圆心连线与 $x$ 轴正方向所成的角（有向角）。

应用：参数方程常用于处理"点在圆上运动"的动点问题，以及最值问题（可将二元最值转化为三角最值）。

3 圆与点、直线、圆的位置关系

3.1 圆与点的位置关系

设圆 $C$ 的圆心为 $O$，半径为 $r$，点 $P$ 到圆心 $O$ 的距离为 $d = |OP|$，则：

坐标判断法：若圆方程为 $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$，点 $P(x_0, y_0)$，则：

• $(x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2 < r^2$：点在圆内；
• $(x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2 = r^2$：点在圆上；
• $(x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2 > r^2$：点在圆外。

3.2 圆与直线的位置关系

设圆心 $O$ 到直线 $l$ 的距离为 $d$，圆的半径为 $r$，则：

几何法（最常用）： 设直线方程为 $Ax + By + C = 0$，圆心为 $O(a, b)$，则圆心到直线的距离：

比较 $d$ 与 $r$ 的大小即可判断。

代数法（判别式法）： 将直线方程代入圆方程，消去一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，计算判别式 $\Delta$：

• $\Delta < 0$：相离；
• $\Delta = 0$：相切；
• $\Delta > 0$：相交。

推荐：几何法更简洁直观，代数法适用于需要求交点坐标的情形。

3.3 圆与圆的位置关系

设两圆 $C_1$ 的半径为 $r_1$，圆心距为 $d = |O_1O_2|$，$r_1 \geq r_2$，则：

判断步骤：

1. 求两圆圆心距 $d$；
2. 比较 $d$ 与 $r_1 + r_2$、$|r_1 - r_2|$ 的大小；
3. 按上表确定位置关系。

两圆公共弦：当两圆相交时，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程。

4 圆的弦长公式

定义：直线与圆相交时，直线被圆截得的两交点之间的线段称为圆的弦。

弦长公式（几何法）： 设圆心 $O$ 到直线 $l$ 的距离为 $d$，圆的半径为 $r$，则弦长

推导：由垂径定理，圆心到弦的垂线平分弦，构成直角三角形，斜边为 $r$，一条直角边为 $d$，另一条直角边为弦长的一半。

坐标法（直线与圆联立）： 若直线方程为 $y = kx + b$，与圆 $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ 交于 $A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$，则

特殊情形：

• 当直线过圆心时，$d = 0$，弦长 $|AB| = 2r$（直径）；
• 当直线与圆相切时，$d = r$，弦长 $|AB| = 0$。

5 圆的切线

5.1 圆上点切线方程

形式一：圆 $x^2 + y^2 = r^2$ 上一点 $P(x_0, y_0)$ 处的切线方程为：

形式二：圆 $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ 上一点 $P(x_0, y_0)$ 处的切线方程为：

记忆口诀：将标准方程中的 $x^2$ 换成 $x x_0$，$y^2$ 换成 $y y_0$；若圆心不在原点，则 $(x-a)^2$ 换成 $(x-a)(x_0-a)$。

几何法（当圆心在原点时）： 圆心 $O$ 与切点 $P$ 连线垂直于切线，故切线斜率为 $-\dfrac{x_0}{y_0}$（当 $y_0 \neq 0$ 时），利用点斜式可得切线方程。

5.2 过圆外一点的切点弦方程

定义：从圆外一点 $P(x_0, y_0)$ 向圆引两条切线，两个切点 $A$、$B$ 的连线称为切点弦（或切点弦方程）。

切点弦方程（圆 $x^2 + y^2 = r^2$，点 $P(x_0, y_0)$ 在圆外）：

切点弦方程（圆 $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$，点 $P(x_0, y_0)$ 在圆外）：

切点弦的性质：

• 切点弦方程的形式与切点处切线方程完全相同，但 $P$ 从圆上换成了圆外；
• 当 $P$ 在圆上时，切点弦退化为该点处的切线；
• $OP$ 垂直于切点弦 $AB$（$O$ 为圆心）；
• 切点弦 $AB$ 的方程为"极线方程"的体现（在极坐标意义下）。

6 圆系方程

6.1 两圆的公共弦所在直线方程

设两圆 $C_1$、$C_2$ 的方程分别为：

两圆方程相减，得到公共弦所在直线方程（两圆相交时）：

当两圆相切时，该方程表示两圆的公切线（切点处的公切线）；当两圆相离时，该方程表示两圆的根轴（等幂轴）。

6.2 过两圆公共点圆的方程

过两圆交点的圆系方程： 若两圆 $C_1$ 与 $C_2$ 相交（或相切）于公共点，则经过它们的所有公共点的圆（包括两圆本身）的方程可表示为：

即：

其中 $\lambda$ 为参数（$\lambda \neq -1$）。

说明：

• 当 $\lambda = 0$ 时，表示圆 $C_1$；
• 当 $\lambda \to \infty$ 时，表示圆 $C_2$（实际上取 $\lambda$ 为某一值可表示过公共点的所有圆，但不包含 $C_2$ 本身，$C_2$ 需单独处理）；
• 若已知第三个条件（如圆心坐标或经过第三个点），可确定 $\lambda$ 的值。

过两圆公共点且圆心在已知直线上的圆：先写出圆系方程，再根据圆心坐标满足的直线条件求出 $\lambda$。

过直线与圆的交点的圆系方程： 若直线 $l: Ax + By + C = 0$ 与圆 $C: x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ 交于两点，则过这两个交点的所有圆可表示为：

即：

$$ (x^2 + y^2 + Dx + Ey + F) + \lambda (Ax + By + C) = 0 $$

6.3 圆系方程性质汇总

2 抽样方法

抽样方法是连接总体与样本的桥梁。选择合理的抽样方式，是保证样本代表性、控制抽样误差的关键。沪教版教材主要介绍了三种基本的概率抽样方法。

2.1 简单随机抽样

2.1.1 定义

简单随机抽样（simple random sampling），又称纯随机抽样，是指从容量为 $N$ 的总体中，不放回地抽取容量为 $n$ 的样本，使得每一个容量为 $n$ 的样本被抽中的概率相等的一种抽样方法。

简单随机抽样是最基本、最直观的概率抽样方法，是理解其他抽样方法的基础。

2.1.2 特点

• 等概率性：总体中每个个体被抽中的概率相同，均为 $\frac{n}{N}$；
• 独立性：每次抽取时，各个个体被抽到的可能性不受其他个体影响；
• 不放回抽样：通常采用不放回方式，已抽中的个体不再放回总体。

2.1.3 优缺点

2.1.4 适用情形

• 总体容量 $N$ 不大；
• 总体内个体差异较小；
• 有完整的抽样框（即总体所有个体的名单）。

2.2 分层抽样

2.2.1 定义

分层抽样（stratified sampling），又称类型抽样。它是先将总体按某种特征分成若干个互不重叠的部分（称为“层”），然后在每一层中独立地进行简单随机抽样，最后将各层样本合并，组成总的样本。

核心思想：“分而治之”——让层内个体尽可能相似（同质性高），层间差异尽可能大（异质性高），从而提高样本代表性。

2.2.2 步骤

1. 分层：根据与研究目标密切相关的特征（如性别、年龄、年级等）将总体划分成若干层；
2. 定比：确定各层应抽取的样本量。最常用的方法是分层比例抽样，即各层样本数与该层总体数的比值相等：

其中 $N_i$ 为第 $i$ 层的个体数，$n_i$ 为第 $i$ 层应抽取的样本数，$N$ 为总体容量，$n$ 为样本容量。

3. 抽样：在各层内分别用简单随机抽样（或系统抽样）抽取个体；
4. 整合：将各层抽出的个体合并，组成最终样本。

2.2.3 优缺点

2.2.4 适用情形

• 总体由差异明显的几部分组成（如按性别、年龄段、城乡划分）；
• 需要同时了解总体和各个子群体的特征；
• 希望提高样本代表性、降低抽样误差。

典型例题：某单位职工500人，不到35岁125人，35~49岁280人，50岁以上95人。现要抽取100人进行身体状况调查。由于年龄与身体状况相关，应采用分层抽样。各层按比例抽取：

• 不到35岁：$125 \times \frac{100}{500} = 25$ 人
• 35~49岁：$280 \times \frac{100}{500} = 56$ 人
• 50岁以上：$95 \times \frac{100}{500} = 19$ 人

2.3 随机数表法

2.3.1 定义

随机数表法是利用随机数表（random number table）来抽取样本的一种具体操作方式。随机数表是由 $0 \sim 9$ 的数码随机排列而成的表格，表中每个位置出现哪个数字的概率均等，且各位置之间相互独立。

随机数表法是简单随机抽样在实际操作中的常用工具，尤其适用于总体容量中等、手工抽签不便的情形。

2.3.2 操作步骤

1. 编号：将总体中的所有个体统一编号，编号位数根据总体容量 $N$ 确定。例如 $N \leq 99$ 用两位数编号，$N \leq 999$ 用三位数编号；
2. 确定起点：在随机数表上任意确定一个起始位置（某行某列）；
3. 确定方向和规则：规定读数的方向（如从左到右、从上到下等），按固定规则逐个读取号码；
4. 选号：读取的号码若在编号范围内，则对应个体入选样本；若超出范围或重复出现（不重复抽样时），则跳过，继续读取，直到抽满所需样本容量 $n$ 为止。

2.3.3 重复抽样与不重复抽样

• 重复抽样：已抽中的号码可再次被选中，允许同一单位多次入选；
• 不重复抽样（通常采用）：已抽中的号码再次出现时跳过，保证每个个体至多入选一次。

操作示例：从95户居民中抽取10户，编号为01~95，从随机数表某行某列开始读数：

依次读得：37、38、63、69、64、73、66、14、69、16…

其中69重复出现（重复抽样情形）。若采用不重复抽样，则跳过第二个69，继续往后读取，直到抽满10个不重复号码为止。

2.3.4 适用情形

• 总体容量不大到中等（编号和查表工作量可接受）；
• 需要完全随机、排除主观因素的抽样。

3 整理数据

收集到的原始数据通常是杂乱无章的，需要通过整理、分组和图表化，将数据的分布特征直观地呈现出来。本节介绍两种常用的数据整理工具：频率分布直方图和茎叶图。

3.1 频率分布直方图

3.1.1 定义

频率分布直方图（frequency distribution histogram）是以组距为底边长、以频率/组距（即频率密度）为高绘制的一系列矩形统计图。它用于直观展示一组数据的分布形态——数据集中在哪个区间、在哪个区间分布稀疏。

注意：直方图纵轴是“频率/组距”，所以各矩形面积 = 频率，所有矩形面积之和等于 1。

3.1.2 绘制步骤

第1步：求极差 计算数据的最大值与最小值之差，确定数据的变动范围。

第2步：决定组距与组数

• 组距（class interval）：每个小区间的长度，通常取 2、5、10 的倍数以便于计算；
• 组数：将数据分成多少组。常用经验公式：组数 $k \approx 1 + \log_2 n$（$n$ 为样本容量），一般取 $5 \sim 12$ 组为宜；
• 三者关系：$\text{组数} = \left\lceil \dfrac{\text{极差}}{\text{组距}} \right\rceil$（向上取整）。

第3步：确定分点（组限）

• 确定各组的上限和下限，通常采用左闭右开区间 $[a, b)$，以免数据落在边界上造成归属不清；
• 为简化操作，常使分点比数据多一位小数，避免数据恰好落在分点上。

第4步：列频率分布表

• 频数（frequency）：落在该组内的数据个数；
• 频率（relative frequency）：频数与样本容量的比值，即 $\text{频率} = \dfrac{\text{频数}}{n}$；
• 频率密度（频率/组距）：$\text{频率密度} = \dfrac{\text{频率}}{\text{组距}}$（直方图的纵轴高度）。

第5步：绘制直方图

• 横轴：表示数据的分组区间；
• 纵轴：表示频率/组距（频率密度）；
• 以各组区间为底边，以频率密度为高，画出各矩形。

3.1.3 直方图的性质

性质1：每个小矩形的面积 = 组距 $\times$ 频率密度 = 该组的频率。

性质2：所有小矩形的面积之和 = $\sum$（各矩形面积） = $\sum$（各组频率） = 1。

性质3：在频率分布直方图中，众数约为最高矩形中点对应的数值；中位数约为使左右两侧面积相等（各占 0.5）的横坐标。

3.1.4 与条形图的区别

3.2 茎叶图

3.2.1 定义

茎叶图（stem-and-leaf plot）是一种将数据按数位进行分拆整理的统计图。它将每个数据拆分为茎（高位部分）和叶（低位部分），用茎表示共同的部分，用叶表示个体的细微差别。

茎叶图既能显示数据的具体取值（不损失原始数据信息），又能反映数据的分布形态，是兼具统计和整理功能的有效工具。

3.2.2 作图步骤

第1步：确定“茎”和“叶”的分位（通常以十位及更高位为茎，个位为叶）。

第2步：将数据按从小到大排序后，按茎分组，将每个数据的“叶”写在对应茎的右侧。

第3步：在茎的左侧记录频数，通常按从小到大的顺序排列茎，并将相同茎的叶按从小到大排列。

作图示例： 现有 10 名学生某次测验成绩（满分 100）：

绘制茎叶图（茎为十位，叶为个位）：

读法：第一行表示 $73, 78, 79$ 三个数据，第二行表示 $81, 82, 85, 86, 88$，第三行表示 $90, 94$。

3.2.3 茎叶图的特点

优点：

• 保留原始数据：所有数据的具体数值一目了然，不像直方图那样丢失细节；
• 便于排序和查找：叶按大小排列后，容易找到中位数、众数、极值等；
• 适合小样本：尤其适用于样本容量 $n \leq 50$ 的情形，手工整理方便；
• 直观显示分布：茎叶图的“叶”的疏密程度等同于直方图，可直观看出数据的集中趋势和分散情况。

局限：

• 样本容量较大时，叶子过长，不便阅读；
• 不便于多组数据直接对比（但可以绘制背靠背茎叶图来对比两组数据）。

3.2.4 补充：背靠背茎叶图

当需要比较两组数据的分布时，可以绘制背靠背茎叶图：将两组数据的叶分别写在茎的左右两侧（通常左侧按从小到大排列，右侧也按从小到大排列），便于直观对比两组数据的集中位置和离散程度。

示例：比较甲、乙两组学生的成绩

4 统计指标

4.1 平均数

4.1.1 具体数据的平均事

设一组样本数据为 $x_1, x_2, \ldots, x_n$，样本平均数为 $\bar{x}$，则

4.1.2 频率分布直方图求平均数

取每一段的中点值作为该段的所有数据的值，结合每段的频率求解平均数。

设一组样本绘制成频率分布直方图后，每段的中点值和频率如下所示：

4.2 极差

极差（range），又称全距，是一组数据的最大值与最小值之差，反映一组数据的变动幅度。

4.3 百分位数

4.3.1 定义

一组数据的第 $p$ 百分位数是这样一个值 $p$，它使得这组数据中至少有 $p\%$ 的数据小于或等于这个值，且至少有 $(100-p)\%$ 的数据大于或等于这个值。

4.3.2 计算方法

（1）具体数据 计算一组 $n$ 个数据的第 $p$ 百分位数的步骤如下：

第1步：将原始数据按从小到大排列。

第2步：计算 $i = n \times p\%$。

第3步：判断结果：

• 若 $i$ 不是整数，而大于 $i$ 的相邻整数为 $j$，则第 $p$ 百分位数为第 $j$ 项数据；
• 若 $i$ 是整数，则第 $p$ 百分位数为第 $i$ 项与第 $(i+1)$ 项数据的平均数。

（2）频率分布直方图 前置：假设数据在每一段内均匀分布。

步骤：

第1步：确定第$p$百分位数所在段，并确定该段的起始值$a$，还有面积$S_{\text{所在段}}$

第2步：计算出所在段前面所有段的面积和$S_{\text{和}}$

第$p$百分位数为

4.4 方差与标准差

.4.1 定义 方差（variance）是各个数据与平均数之差的平方的平均数，描述一组数据偏离平均数的程度；标准差（standard deviation）是方差的算术平方根。

4.4.2 计算公式

设一组数据为 $x_1, x_2, \ldots, x_n$，平均数为 $\bar{x}$：

样本方差 $s^2$：

样本标准差 $s$：

注意：方差（标准差）越大，说明数据的波动越大，越不稳定；反之，方差（标准差）越小，数据越集中、越稳定。

4.4.3 简化计算公式

方差也可用如下公式计算（便于手算或编程）：

4.4.4 统计意义

• 方差和标准差是描述数据离散程度最常用的指标；
• 与极差相比，方差利用了每一个数据的信息，更加全面可靠；
• 标准差的单位与数据本身一致，便于实际解释。

1.1 空间中点线面的表示

（1）点：用大写字母表示，例如点$A$，点$B$。 （2）直线：小写字母或者直线上两点，例如直线$a$，直线$AB$。 （3）平面：希腊字母或者平面上不公线的三点，例如平面$\alpha$，平面$ABC$。

1.2 空间中点线面的位置关系

（1）点与直线的位置关系

• 点在直线上：$A \in l$
• 点不在直线上：$A \notin l$

（2）点与平面的位置关系

• 点在平面内：$A \in \alpha$
• 点不在平面内：$A \notin \alpha$

（3）直线与直线的位置关系

• 平行：$a \parallel \text{直线}AB$
• 相交：$a \cap \text{直线}AB= C$
• 异面：$a \cap \text{直线}AB= \emptyset$

异面直线的证明：利用其中一条直线与另一条直线所在平面的交点不在另一条直线上，可以直接证明两直线异面。

（4）直线与平面的位置关系

• 平行：$a \parallel \alpha$
• 相交：$a \cap \alpha =A$
• 直线在平面内：$a \subset \alpha$

（5）平面与平面的位置关系

• 平行：$\alpha \parallel \beta$
• 相交：$\alpha \cap \beta = a$

1.3 四公理三推论

公理1（直线在平面内判定）

内容：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 符号：$A \in \alpha,\ B \in \alpha,\ A \in l,\ B \in l \Rightarrow l \subset \alpha$ 作用：①判定直线是否在平面内；②判定一个面是否是平面（如证明某线在面内）。

公理2（确定平面的条件）

内容：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。 符号：$A,B,C$ 不共线 $\Rightarrow$ 存在唯一平面 $\alpha$，使得 $A,B,C \in \alpha$ 作用：①确定一个平面的依据；②证明点、线共面。

公理3（两平面相交）

内容：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号：$P \in \alpha,\ P \in \beta,\ \alpha \neq \beta \Rightarrow \alpha \cap \beta = l$，且 $P \in l$ 作用：①证明两个平面相交；②证明点在直线上（证明点共线）。

公理4（平行公理）

内容：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号：$a \parallel b,\ b \parallel c \Rightarrow a \parallel c$ 作用：空间中直线平行的传递性。

推论1（由直线和直线外一点确定平面）

内容：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。 符号：$A \notin l \Rightarrow$ 存在唯一平面 $\alpha$，使 $l \subset \alpha$ 且 $A \in \alpha$

推论2（由两条相交直线确定平面）

内容：经过两条相交直线，有且只有一个平面。 符号：$a \cap b = P \Rightarrow$ 存在唯一平面 $\alpha$，使 $a \subset \alpha$ 且 $b \subset \alpha$

推论3（由两条平行直线确定平面）

内容：经过两条平行直线，有且只有一个平面。 符号：$a \parallel b \Rightarrow$ 存在唯一平面 $\alpha$，使 $a \subset \alpha$ 且 $b \subset \alpha$

2 空间中平行的证明与性质

2.1 线线平行

2.1.1. 证明（判定）方法

• 平行公理（公理 4 / 传递性）： 平行于同一条直线的两条直线平行。

  $$ \text{若} a \parallel b \text{ 且 } b \parallel c \implies a \parallel c $$

• 线面平行的性质： 一条直线与一个平面平行，过该直线的平面与此平面相交，则该直线与交线平行。

• 面面平行的性质： 两个平行平面同时与第三个平面相交，则两条交线平行。

• 平面几何性质： 利用三角形中位线、平行四边形对边平行、平行线分线段成比例定理等。

• 线面垂直的性质： 垂直于同一个平面的两条直线平行（若 $a \perp \alpha, b \perp \alpha \implies a \parallel b$）。

2.1.2 核心性质

• 若 $a \parallel b$，则 $a$ 与 $b$ 共面，且在同一平面内没有公共点。

2.2 线面平行

2.2.1 判定定理（线线平行 $\Rightarrow$ 线面平行）

• 文字表述： 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
• 符号表达：

• 关键要点： 证明时必须严格满足“一在外、一在内、二者平行”三个条件。

2.2.2 性质定理（线面平行 $\Rightarrow$ 线线平行）

• 文字表述： 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线就和交线平行。
• 符号表达：

• 关键要点： 这是将“线面平行”转化为“线线平行”构造辅助平面（作交线）的核心定理。

2.3 面面平行

2.3.1 判定定理（线面平行 $\Rightarrow$ 面面平行）

• 文字表述： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
• 符号表达：

• 关键要点： 平面内的两条直线必须相交，缺少相交条件结论不成立。

2.3.2 主要性质定理

• 面面平行 $\Rightarrow$ 线线平行： 两个平行平面同时和第三个平面相交，它们的交线平行。

• 面面平行 $\Rightarrow$ 线面平行： 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面。

• 传递性与垂直性：

  • 若 $\alpha \parallel \beta$ 且 $\beta \parallel \gamma \implies \alpha \parallel \gamma$。
  • 垂直于同一直线的两个平面平行（若 $l \perp \alpha, l \perp \beta \implies \alpha \parallel \beta$）。

逻辑转化链总结：

$\text{线线平行} \underset{\text{性质定理}}{\overset{\text{判定定理}}{\rightleftharpoons}} \text{线面平行} \underset{\text{性质定理}}{\overset{\text{判定定理}}{\rightleftharpoons}} \text{面面平行}$

3 空间中垂直的证明与性质

3.1 线线垂直

3.1.1 证明（判定）方法

• 平面几何性质： 利用勾股定理逆定理、等腰三角形三线合一、直角三角形性质等。

• 线面垂直的性质： 如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于该平面内的任意直线。

  $$ \begin{cases} l \perp \alpha \\ a \subset \alpha \end{cases} \implies l \perp a $$

• 三垂线定理（及逆定理）：

  • 平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
  • 平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。

• 向量法（空间向量）： 两直线的方向向量数量积为 0。

  $$ \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \iff a \perp b $$

3.1.2 分类与区别

• 相交垂直： 两直线相交且所成的角为 $90^\circ$（共面）。
• 异面垂直： 两直线异面，通过平移后所成的角为 $90^\circ$（不共面）。

3.2 线面垂直

3.2.1 判定定理（线线垂直 $\Rightarrow$ 线面垂直）

• 文字表述： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

• 符号表达：

  $$ \begin{cases} m \subset \alpha, n \subset \alpha \\ m \cap n = P \\ l \perp m, l \perp n \end{cases} \implies l \perp \alpha $$

• 关键要点： 平面内的两条直线必须相交，这是最常用的证明线面垂直的方法。

3.2.2 其他判定方法

• 面面垂直的性质： 两个平面垂直，在其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面（详见 3.3）。

• 面面平行的性质： 一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它也垂直于另一个。

  $$ \begin{cases} \alpha \parallel \beta \\ l \perp \alpha \end{cases} \implies l \perp \beta $$

• 线线平行的性质： 两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面。

  $$ \begin{cases} a \parallel b \\ a \perp \alpha \end{cases} \implies b \perp \alpha $$

3.2.3 核心性质

• 定义性质： 若 $l \perp \alpha$，则 $l$ 垂直于平面 $\alpha$ 内的所有直线。

• 平行性： 垂直于同一个平面的两条直线互相平行。

  $$ \begin{cases} a \perp \alpha \\ b \perp \alpha \end{cases} \implies a \parallel b $$

3.3 面面垂直

3.3.1 判定定理（线面垂直 $\Rightarrow$ 面面垂直）

• 文字表述： 一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。

• 符号表达：

  $$ \begin{cases} l \perp \alpha \\ l \subset \beta \end{cases} \implies \beta \perp \alpha $$

• 关键要点： 证明面面垂直通常转化为先证明“线面垂直”。

3.3.2 性质定理（面面垂直 $\Rightarrow$ 线面垂直）

• 文字表述： 两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

• 符号表达：

  $$ \begin{cases} \alpha \perp \beta \\ \alpha \cap \beta = l \\ a \subset \alpha \\ a \perp l \end{cases} \implies a \perp \beta $$

• 关键要点： 这是将“面面垂直”降维转化为“线面垂直”的核心定理，作辅助线时常在其中一个平面内向交线作垂线。

3.3.3 其他补充性质

• 若两个平面垂直，过第一个平面内一点作第二个平面的垂线，则该垂线必在第一个平面内。

• 如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面。

  $$ \begin{cases} \alpha \perp \gamma \\ \beta \perp \gamma \\ \alpha \cap \beta = l \end{cases} \implies l \perp \gamma $$

逻辑转化链总结：

$\text{线线垂直} \underset{\text{定义/性质}}{\overset{\text{判定定理}}{\rightleftharpoons}} \text{线面垂直} \underset{\text{性质定理}}{\overset{\text{判定定理}}{\rightleftharpoons}} \text{面面垂直}$

4 空间中夹角

4.1 异面直线夹角

4.1.1 概念与取值范围

• 定义： 过空间任意一点 $P$（常选在其中一条直线上或特定特殊点上），分别作与异面直线 $a, b$ 平行的直线 $a', b'$，这 两条相交直线 $a', b'$ 所成的锐角或直角叫作异面直线 $a$ 与 $b$ 所成的角。
• 取值范围： $\theta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right]$ 或 $\left(0^\circ, 90^\circ\right]$。

4.1.2 综合几何法（“一平移、二作角、三求解”）

1. 平移作角： 利用中位线、平行四边形或补形法，将其中一条（或两条）直线平移到同一点，构造出相交直线。
2. 解三角形： 将该角放入某个三角形中，利用勾股定理、余弦定理（$\cos \theta = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$）或正弦定理求解。
3. 确定终值： 若解出余弦值为负，需取其绝对值（异面直线夹角不能为钝角）。

4.1.3 空间向量法

• 公式： 设直线 $a, b$ 的方向向量分别为 $\vec{u}, \vec{v}$，夹角为 $\theta$，则：

  $$ \cos \theta = \frac{\vert{}\vec{u} \cdot \vec{v}\vert{}}{\vert{}\vec{u}\vert{} \vert{}\vec{v}\vert{}} $$

4.2 线面角（直线与平面所成的角）

4.2.1 概念与取值范围

• 定义： 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角。

  • 若直线与平面平行或在平面内，规定所成角为 $0^\circ$；
  • 若直线与平面垂直，规定所成角为 $90^\circ$。

• 取值范围： $\theta \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 或 $\left[0^\circ, 90^\circ\right]$。

4.2.2 综合几何法（“一作垂线、二找射影、三求角”）

1. 作垂线找射影： 从斜线上一点向平面作垂线（垂足为 $H$），连接斜足与垂足，得到斜线在平面内的射影。
2. 解直角三角形： 构成以斜线段为斜边、垂线段和射影线段为直角边的直角三角形，求出正弦值或正切值。
3. 常用技巧： “等体积法”求点到平面的距离（即垂线段长度 $h$），再利用 $\sin \theta = \frac{h}{L}$（$L$ 为斜线段长）计算。

4.2.3 空间向量法

• 公式： 设直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{u}$，平面 $\alpha$ 的法向量为 $\vec{n}$，线面角为 $\theta$，则：

  $$ \sin \theta = \cos \langle \vec{u}, \vec{n} \rangle = \frac{\vert{}\vec{u} \cdot \vec{n}\vert{}}{\vert{}\vec{u}\vert{} \vert{}\vec{n}\vert{}} $$

4.3 二面角（平面与平面所成的角）

4.3.1 概念与取值范围

• 定义： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角。这条直线叫作二面角的棱，两个半平面叫作二面角的面。
• 二面角的平面角： 在二面角的棱上任取一点 $O$，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线 $OA, OB$，则 $\angle AOB$ 叫作二面角的平面角。
• 取值范围： $\alpha \in [0, \pi]$ 或 $[0^\circ, 180^\circ]$。

4.3.2 综合几何法（寻找/构造平面角）

1. 定义法（垂线法）： 在棱上找特殊点，过该点在两个半平面内分别作棱的垂线。

2. 三垂线法： 过其中一个平面内一点作另一个平面的垂线，再作棱的垂线，连接垂足构成平面角。

3. 垂面法： 作一个垂直于二面角棱的平面，该平面与两个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角。

4. 面积投影法： 若已知平面图形面积为 $S$，其在另一个平面内的射影图形面积为 $S'$，则二面角 $\theta$ 的余弦值为：

   $$ cos \theta = \frac{S'}{S} $$

4.3.3 空间向量法

• 公式： 设平面 $\alpha, \beta$ 的法向量分别为 $\vec{n}_1, \vec{n}_2$，二面角大小为 $\theta$：

  $$ \vert{}\cos \theta\vert{} = \frac{\vert{}\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2\vert{}}{\vert{}\vec{n}_1\vert{} \vert{}\vec{n}_2\vert{}} $$

• 钝锐判断： 需结合几何图形的实际开合方向，判断两法向量的方向是“同向/反向”与二面角的“锐/钝”关系（若法向量一指向二面角内部、一指向外部，则 $\cos \theta = \frac{\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2}{\vert{}\vec{n}_1\vert{} \vert{}\vec{n}_2\vert{}}$）。

空间三角函数关系链总结：

• 异面直线角 $\rightarrow$ 利用方向向量求 $\boldsymbol{\cos}$ 值；
• 线面角 $\rightarrow$ 利用方向向量与法向量求 $\boldsymbol{\sin}$ 值；
• 二面角 $\rightarrow$ 利用双法向量求 $\boldsymbol{\cos}$ 值。

5 空间中的距离问题

5.1 点到线的距离

5.1.1 概念与取值范围

• 定义： 从点向直线引垂线，该点与垂足之间的线段长度叫作点到直线的距离。
• 取值范围： $d \in [0, +\infty)$。若点在直线上，则距离为 $0$。

5.1.2 综合几何法（“作垂线，解三角形”）

1. 作垂线： 过点 $P$ 作直线 $l$ 的垂线，垂足为 $H$（或利用三垂线定理/等腰三角形性质寻找垂足）。
2. 解三角形： 将线段 $PH$ 放入直角三角形或一般三角形中，利用勾股定理、正弦定理或面积法（$d = \frac{2S_{三角形}}{\text{底边长}}$）求出 $PH$ 的长度。

5.1.3 空间向量法

• 公式： 设已知点为 $P$，直线 $l$ 上有一已知点 $A$，直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{u}$，则点 $P$ 到直线 $l$ 的距离为：

  $$ d= \sqrt{\vert{}\overrightarrow{AP}\vert{}^2 - \left(\frac{\overrightarrow{AP} \cdot \vec{u}}{\vert{}\vec{u}\vert{}}\right)^2} $$

  (原理：利用勾股定理，$\vert{}\overrightarrow{AP}\vert{}$ 为斜边，$\frac{\overrightarrow{AP} \cdot \vec{u}}{\vert{}\vec{u}\vert{}}$ 为向量 $\overrightarrow{AP}$ 在直线 $l$ 上的投影长)

  $$

  $$

5.2 点到面的距离

5.2.1 概念与取值范围

• 定义： 从点向平面引垂线，该点与垂足之间的线段长度叫作点到平面的距离。
• 取值范围： $d \in [0, +\infty)$。若点在平面内，则距离为 $0$。

5.2.2 综合几何法（“直接作垂线”或“等体积法”）

1. 直接法： 寻找或构造过该点的平面的垂线，证明线面垂直后，求出垂线段长。
2. 等体积转化法（最常用）： 利用三棱锥的体积不随顶点和底面的改变而改变的性质（$\text{V}_{P-ABC} = \text{V}_{A-PBC}$），通过公式 $V = \frac{1}{3} S_{\text{底}} \cdot h$ 反解出高 $h$。
3. 平行转化法： 若直线 $a \parallel \alpha$，则直线 $a$ 上任意一点到平面 $\alpha$ 的距离相等（线面距离转化为点面距离）；若平面 $\alpha \parallel \beta$，则两平行平面间距离亦可转化为点面距离。

5.2.3 空间向量法（法向量投影法）

• 公式： 设已知点为 $P$，平面 $\alpha$ 内有一已知点 $A$，平面 $\alpha$ 的法向量为 $\vec{n}$，则点 $P$ 到平面 $\alpha$ 的距离为：

  $$ d= \frac{\vert{}\overrightarrow{AP} \cdot \vec{n}\vert{}}{\vert{}\vec{n}\vert{}} $$

  (原理：点与平面内任一点构成的向量在平面法向量上的投影长度)

  $$

  $$

5.3 异面直线间的距离

5.3.1 概念与取值范围

• 定义： 和两条异面直线都垂直且相交的直线叫作异面直线的公垂线，公垂线段的长度叫作两条异面直线间的距离。
• 取值范围： $d \in (0, +\infty)$（异面直线不可能相交，故距离恒大于 $0$）。

5.3.2 综合几何法

1. 公垂线段法： 作出公垂线段（通常利用特殊几何图形如正方体、长方体中的垂直关系直接观察），然后求其长度。
2. 线面平行转化法： 过其中一条直线 $a$ 作一个与另一条直线 $b$ 平行的平面 $\alpha$，则直线 $b$ 上任意一点到平面 $\alpha$ 的距离，即为两条异面直线间的距离（转化为 5.2 点到面的距离）。
3. 面面平行转化法： 分别过直线 $a$ 和 $b$ 作两个互相平行的平面 $\alpha$ 和 $\beta$，这两个平行平面间的距离即为异面直线间的距离。

5.3.3 空间向量法

• 公式： 设 $A$ 为直线 $a$ 上一点，$B$ 为直线 $b$ 上一点，向量 $\vec{u}$ 和 $\vec{v}$ 分别为直线 $a, b$ 的方向向量，$\vec{n}$ 为与 $a, b$ 都垂直的向量（即 $\vec{n} \perp \vec{u}$ 且 $\vec{n} \perp \vec{v}$，可通过解方程组求得），则两条异面直线间的距离为：

  $$ d = \frac{\vert{}\overrightarrow{AB} \cdot \vec{n}\vert{}}{\vert{}\vec{n}\vert{}} $$

核心思想总结：

空间距离问题本质上是降维求线段长。

• 几何法核心在于“找垂足、构造直角三角形”或利用“体积/面积等量代换”；
• 向量法核心在于求得方向向量与法向量，利用“向量投影公式”快速代数化求解。

本文覆盖高中数学"数列"一章的全部核心概念、公式、性质、题型与易错点，公式统一使用 LaTeX 书写。适合作为一轮复习的知识清单，也可作为二轮专题突破的查阅手册。

阅读建议：第 1–4 章是概念与公式根基，必须熟记并能默写；第 5–6 章是"求通项"与"求和"两大核心技能；第 7–11 章是综合应用、题型归纳与易错点；第 12 章是速查表，考前 10 分钟看。

1 数列的基本概念

1.1 数列的定义

按照一定次序排列的一列数称为数列：

简记为 $\{a_n\}$。其中每一个数叫做数列的项，$a_1$ 叫首项，$a_n$ 叫第 $n$ 项，$n$ 叫做该项的序号（项数）。

要点

1. 数列中的数是有顺序的，$\{1,2,3\}$ 与 $\{3,2,1\}$ 是不同数列；
2. 数列中的数可以重复出现，如 $1,1,1,\cdots$；
3. 数列与集合不同：集合无序、元素互异，数列有序、可重复。

1.2 数列的表示方法

1.3 数列是特殊的函数

数列 $\{a_n\}$ 可以看作定义域为**正整数集 $\mathbb{N}^{*}$（或其有限子集 $\{1,2,\cdots,k\}$）**的函数：

因此：

1. 数列的图象是一群孤立的点 $(1,a_1),(2,a_2),\cdots$，它们都在函数 $y=f(x)$ 的图象上；
2. 研究数列的单调性、最值时，可以借用函数的单调性、二次函数、基本不等式等工具，但必须注意自变量 $n$ 只能取正整数；
3. 函数 $y=f(x)$ 的某些性质（如连续性）数列并不具备，反之亦然。

典型陷阱：把 $n$ 当作连续变量求最值后，必须回到整数点。例如求 $a_n=n+\dfrac{10}{n}$ 的最小项，若把 $n$ 当正实数，由均值不等式得 $n=\sqrt{10}\approx3.16$ 时取最小，但 $n$ 只能取正整数，需比较 $a_3=3+\dfrac{10}{3}=\dfrac{19}{3}$ 与 $a_4=4+\dfrac{10}{4}=\dfrac{13}{2}$，得最小项为 $a_3=\dfrac{19}{3}$。

1.4 数列的分类

按项数分

• 有穷数列：项数有限，如 $1,2,3,\cdots,10$；
• 无穷数列：项数无限，如 $1,\dfrac12,\dfrac13,\cdots$。

按增减性分

按取值范围分

• 有界数列：存在正数 $M$，使 $\lvert a_n\rvert\le M$ 对一切 $n$ 成立；
• 无界数列：不存在这样的 $M$。

1.5 数列的单调性判定

方法一：作差法（最常用）

方法二：作商法

当 $a_n>0$（各项同号）时：

注意：作商法必须保证 $a_n$ 恒正（或恒负），否则符号翻转会导致结论错误。

方法三：借助函数单调性

若 $a_n=f(n)$，且 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上单调递增，则 $\{a_n\}$ 递增。但反之不成立：$f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上不单调，数列仍可能单调。

1.6 数列的周期性

若存在正整数 $T$，使得对任意 $n$ 都有 $a_{n+T}=a_n$，则称 $\{a_n\}$ 为周期数列，$T$ 为一个周期，最小的正周期叫最小正周期。

常见周期递推：

例 1.1 已知 $a_1=1,\ a_2=2$，且 $a_{n+2}=a_{n+1}-a_n$，求 $a_{2024}$。

解 依次计算：

可见 $a_7=a_1,\ a_8=a_2$，故周期 $T=6$。又 $2024=6\times337+2$，所以

例 1.2 已知 $a_1=2$，$a_{n+1}=\dfrac{1+a_n}{1-a_n}$，求 $a_{2025}$。

解 $a_2=\dfrac{3}{-1}=-3$，$a_3=\dfrac{-2}{4}=-\dfrac12$，$a_4=\dfrac{1/2}{3/2}=\dfrac13$，$a_5=\dfrac{4/3}{2/3}=2=a_1$，故周期 $T=4$。$2025=4\times506+1$，所以 $a_{2025}=a_1=2$。

1.7 数列中的"最大项"与"最小项"

求数列 $\{a_n\}$ 的最大项，常用邻项比较法：设第 $n$ 项最大，则

解出 $n$ 的范围，取正整数。最小项同理（不等号反向）。

例 1.3 已知 $a_n=\dfrac{n}{2^n}$，求数列的最大项。

解（作商法，因 $a_n>0$）

由 $\dfrac{n+1}{2n}>1\iff n<1$，得 $n=1$ 时 $\dfrac{a_2}{a_1}=1$，即 $a_2=a_1$；当 $n\ge2$ 时 $\dfrac{n+1}{2n}<1$，即 $a_{n+1}

所以数列先"持平"后递减：

故最大项为 $a_1=a_2=\dfrac12$（两项同时取到，答题时不能漏写）。

另解（邻项比较法）设第 $n$ 项最大，则

故 $n=1$ 或 $n=2$，最大项为 $a_1=a_2=\dfrac12$。

2 通项 $a_n$ 与前 $n$ 项和 $S_n$ 的关系

2.1 核心公式

设 $S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$，则

推导：当 $n\ge2$ 时，

最高频失分点：用 $a_n=S_n-S_{n-1}$ 求出的是 $n\ge2$ 时的表达式，必须单独验证 $n=1$ 时是否也满足。若不满足，则通项要写成分段形式。

2.2 三类基本问题

类型 A：已知 $S_n$ 求 $a_n$

例 2.1 已知 $S_n=n^2+n+1$，求 $a_n$。

解 $n=1$ 时 $a_1=S_1=1+1+1=3$。

$n\ge2$ 时，

验证：$n=1$ 代入 $2n$ 得 $2\ne3$，故

类型 B：已知 $a_n$ 与 $S_n$ 的混合关系求 $a_n$

基本策略：利用 $a_n=S_n-S_{n-1}\ (n\ge2)$ 消去其中一个，得到只含 $S_n$ 或只含 $a_n$ 的递推式。

例 2.2 已知 $a_1=1$，且 $a_n=2S_{n-1}\ (n\ge2)$，求 $a_n$。

解 当 $n\ge2$ 时 $a_n=2S_{n-1}$，将 $n$ 换成 $n+1$ 得

故 $\{a_n\}$ 从第 2 项起是公比为 $3$ 的等比数列。又 $a_2=2S_1=2a_1=2$，所以

即

例 2.3 已知 $a_1=1$，且 $a_n+2S_nS_{n-1}=0\ (n\ge2)$，求 $a_n$。

解 由 $a_n=S_n-S_{n-1}$ 代入得

两边同除以 $S_nS_{n-1}$（由 $a_1=1>0$ 及递推式可知 $S_n\ne0$）得

故 $\left\{\dfrac{1}{S_n}\right\}$ 是首项 $\dfrac{1}{S_1}=1$、公差为 $2$ 的等差数列：

于是 $n\ge2$ 时

而 $a_1=S_1=1$，不满足上式，故

类型 C：已知 $S_n$ 与 $n$ 的关系（如 $S_n=kn+b$ 型）

例 2.4 已知 $S_n=2^n-1$，求 $a_n$。

解 $a_1=S_1=1$；$n\ge2$ 时 $a_n=(2^n-1)-(2^{n-1}-1)=2^{n-1}$。$n=1$ 时 $2^{1-1}=1$ 也成立，故 $a_n=2^{n-1}$。

2.3 由 $S_n$ 求 $a_n$ 的"结构判别"

若 $S_n$ 是不含常数项的二次式 $S_n=An^2+Bn$，则 $\{a_n\}$ 是等差数列（公差 $2A$）；

若 $S_n$ 含常数项，如 $S_n=An^2+Bn+C\ (C\ne0)$，则从第 2 项起才是等差数列，且 $a_1=S_1$ 需单独写。

若 $S_n=A-Aq^n$ 型（$q\ne1$），则 $\{a_n\}$ 是等比数列。

3 等差数列

3.1 定义

若数列 $\{a_n\}$ 从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数 $d$，即

则称 $\{a_n\}$ 为等差数列，$d$ 叫做公差。

等价定义：$2a_{n}=a_{n-1}+a_{n+1}\ (n\ge2)$（中项形式），这是判断等差数列的充要条件。

3.2 通项公式

更一般地（下标差公式，极重要）：

由此可得

结构特征：$a_n=dn+(a_1-d)$，即 $a_n$ 是 $n$ 的一次函数（$d\ne0$ 时），斜率就是公差 $d$；$d=0$ 时为常数列。

3.3 等差中项

若 $a,A,b$ 成等差数列，则 $A$ 叫做 $a$ 与 $b$ 的等差中项：

等差中项唯一存在，且与 $a,b$ 的大小无关。

3.4 前 $n$ 项和公式

两式等价（由 $a_n=a_1+(n-1)d$ 代入第一式即得第二式）。

结构特征：

即 $S_n$ 是不含常数项的二次函数（$d\ne0$ 时），且 $S_0=0$ 是其图象必过原点的原因。

由 $S_n=An^2+Bn$ 反推：$d=2A$，$a_1=A+B$。

3.5 等差数列的性质（重点）

设 $\{a_n\}$ 为等差数列，公差为 $d$。

(1) 下标和性质

若 $m+n=p+q$（$m,n,p,q\in\mathbb{N}^{*}$），则

特别地，$2a_{n}=a_{n-k}+a_{n+k}$（要求下标有意义）。

注意：反之不成立。即 $a_m+a_n=a_p+a_q$ 不能推出 $m+n=p+q$。

(2) 等距抽取性质

$a_k,\ a_{k+m},\ a_{k+2m},\ \cdots$ 仍成等差数列，公差为 $md$。

(3) 线性组合性质

若 $\{a_n\},\{b_n\}$ 都是等差数列，则 $\{pa_n+qb_n\}$（$p,q$ 为常数）仍是等差数列。

(4) 片段和性质

$S_n,\ S_{2n}-S_n,\ S_{3n}-S_{2n},\ \cdots$ 成等差数列，公差为 $n^2d$。

(5) $\left\{\dfrac{S_n}{n}\right\}$ 的性质

所以 $\left\{\dfrac{S_n}{n}\right\}$ 是首项 $a_1$、公差 $\dfrac{d}{2}$ 的等差数列。这个结论在"已知 $S_n/n$ 求 $a_n$“类题目中非常好用。

(6) 奇数项与偶数项的和

设项数为 $2n$：

设项数为 $2n-1$：

记忆：奇数项个数的和等于"项数 × 中间项”，这是等差数列特有的"中间项"结论。

(7) 两个等差数列前 $n$ 项和之比

若 $\{a_n\},\{b_n\}$ 为等差数列，前 $n$ 项和分别为 $S_n,T_n$，则

(8) 通项与前 $n$ 项和的关系（同一数列）

3.6 等差数列的判定方法

判定时必须验证首项或说明对 $n\ge2$ 成立后再验证 $n=1$。

3.7 等差数列前 $n$ 项和的最值

情形一：$a_1>0,\ d<0$，$S_n$ 有最大值。

方法 1（邻项变号法）：$S_n$ 最大 $\iff$

方法 2（二次函数法）：$S_n=\dfrac{d}{2}n^2+\left(a_1-\dfrac{d}{2}\right)n$，配方求顶点横坐标 $n_0=-\dfrac{a_1-\frac{d}{2}}{d}$，取距 $n_0$ 最近的正整数（若 $n_0$ 为半整数，则两个相邻整数同时取到最值）。

情形二：$a_1<0,\ d>0$，$S_n$ 有最小值，条件为

例 3.1 已知等差数列 $\{a_n\}$ 中 $a_1=25$，$d=-3$，求 $S_n$ 的最大值及取得最大值时的 $n$。

解 $a_n=25-3(n-1)=28-3n$。令

故 $n=9$。此时

（$a_9=28-27=1>0$，$a_{10}=-2<0$，故 $S_9$ 最大。注意此时 $S_{10}=115<117$，并非两项同时取到。）

易错：当 $a_n=0$ 时，$S_{n-1}=S_n$，最大值在两个 $n$ 处同时取到，答案要写全。

3.8 典型例题

例 3.2 已知等差数列中 $a_3=7,\ a_7=15$，求 $a_n$、$S_n$，并求 $\lvert a_1\rvert+\lvert a_2\rvert+\cdots+\lvert a_n\rvert$。

解 由下标差公式

故

由于 $a_n=2n+1>0$ 恒成立，

例 3.3 等差数列 $\{a_n\}$ 中，$S_{10}=100$，$S_{100}=10$，求 $S_{110}$。

解 由片段和性质，$S_{10},\,S_{20}-S_{10},\,\cdots$ 成等差数列。设 $S_n=An^2+Bn$，则

解得 $A=-\dfrac{11}{100}$，$B=\dfrac{111}{10}$。于是

例 3.4 已知两个等差数列 $\{a_n\},\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_n,T_n$，且 $\dfrac{S_n}{T_n}=\dfrac{7n+1}{4n+27}$，求 $\dfrac{a_{11}}{b_{11}}$。

解 由性质 (7)，

例 3.5 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+2n$，求 $a_n$。

解（累加法，详见 5.1 节）

4 等比数列

4.1 定义

若数列 $\{a_n\}$ 从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数 $q$，即

则称 $\{a_n\}$ 为等比数列，$q$ 叫做公比。

两个隐含条件：

1. $a_n\ne0$ 对一切 $n$ 成立（否则比值无意义）；
2. $q\ne0$（否则从某项起全为 $0$，与定义矛盾）。

因此等比数列中不可能出现 $0$ 项，这是与等差数列最大的差别之一。

4.2 通项公式

下标差形式：

结构特征：$a_n=\dfrac{a_1}{q}\cdot q^n$，即 $a_n=Aq^n$ 的形式（$A\ne0,\ q\ne0$）。

4.3 等比中项

若 $a,G,b$ 成等比数列，则 $G$ 叫 $a$ 与 $b$ 的等比中项：

两个易错点：

1. 必须 $ab>0$ 才存在实等比中项；
2. 等比中项有两个（互为相反数），而等差中项只有一个。

4.4 前 $n$ 项和公式

最高频失分点：用等比求和公式前必须讨论 $q=1$ 是否可能。题目中若 $q$ 未知（如由 $S_n$ 反求 $q$），一定要分 $q=1$ 与 $q\ne1$ 两种情况。

推导（错位相减法）：$q\ne1$ 时，

两式相减得 $(1-q)S_n=a_1-a_1q^n$，故 $S_n=\dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}$。

结构特征：$q\ne1$ 时，

即 $S_n+B=Aq^n$ 的形式（$B=-A$）。这一结构在"由 $S_n$ 求 $a_n$ 或求 $q$“时很有用。

4.5 等比数列的性质（重点）

设 $\{a_n\}$ 为等比数列，公比为 $q$。

(1) 下标和性质

若 $m+n=p+q$，则

特别地，$a_n^2=a_{n-k}a_{n+k}$。

反之不成立；且注意 $a_ma_n=a_pa_q$ 中各项均不为 $0$。

(2) 等距抽取性质

$a_k,\ a_{k+m},\ a_{k+2m},\ \cdots$ 仍成等比数列，公比为 $q^m$。

(3) 运算封闭性

若 $\{a_n\},\{b_n\}$ 为等比数列，则

仍为等比数列。

注意：$\{a_n+b_n\}$ 一般不是等比数列。

(4) 片段和性质

当 $q\ne-1$（或 $n$ 为奇数）且 $S_n\ne0$ 时，

成等比数列，公比为 $q^n$。

陷阱：$q=-1$ 且 $n$ 为偶数时 $S_n=0$，此时片段和全为 $0$，不能构成等比数列，需单独讨论。

(5) 单调性

设 $a_1>0$：

设 $a_1<0$ 时结论相反。

(6) 与等差数列的"对偶”

4.6 等比数列的判定方法

用中项法时必须补充 $a_n\ne0$，否则 $0,0,0,\cdots$ 会满足 $a_n^2=a_{n-1}a_{n+1}$ 但不是等比数列。

4.7 典型例题

例 4.1 等比数列中 $a_1+a_3=10$，$a_4+a_6=\dfrac54$，求 $a_n$ 与 $S_n$。

解 由 $a_4+a_6=q^3(a_1+a_3)$ 得

又 $a_1(1+q^2)=10$，即 $a_1\cdot\dfrac54=10$，得 $a_1=8$。故

例 4.2 已知等比数列前 $n$ 项和 $S_n=3^n+k$，求 $k$ 及 $a_n$。

解 $a_1=S_1=3+k$；$n\ge2$ 时

要使 $n=1$ 也满足 $a_n=2\cdot3^{n-1}$，需 $3+k=2$，即 $k=-1$。此时 $a_n=2\cdot3^{n-1}$。

一般结论：若 $S_n=Aq^n+B$ 为等比数列的前 $n$ 项和（$q\ne1$），则必有 $A+B=0$。

例 4.3 已知 $a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$，求 $a_n$。

解（构造法，详见 5.3 节）设 $a_{n+1}+\lambda=2(a_n+\lambda)$，比较得 $\lambda=1$。故 $\{a_n+1\}$ 是首项 $2$、公比 $2$ 的等比数列：

例 4.4 在等比数列中，$a_1a_2a_3=8$，$a_2a_3a_4=64$，求 $a_5$。

解 由性质，$a_2^3=8\Rightarrow a_2=2$；$a_3^3=64\Rightarrow a_3=4$。故 $q=\dfrac{a_3}{a_2}=2$，$a_1=1$，

例 4.5 等比数列 $\{a_n\}$ 中 $a_1=1$，$q=2$，记 $S_n$ 为前 $n$ 项和，求 $T_n=S_1+S_3+S_5+\cdots+S_{2n-1}$。

解 由 $S_m=\dfrac{1\cdot(1-2^m)}{1-2}=2^m-1$，得

故

验证：$n=1$ 时 $T_1=S_1=1$，公式 $\dfrac{2\cdot3}{3}-1=1$ ✓；$n=2$ 时 $T_2=S_1+S_3=1+7=8$，公式 $\dfrac{2\cdot15}{3}-2=8$ ✓。

5 递推数列求通项公式（八种模型）

这一章是数列的"技术核心"。判断模型 → 选方法 → 验证首项，三步走。

5.1 模型一：$a_{n+1}-a_n=f(n)$ —— 累加法

特征：相邻两项之差是关于 $n$ 的函数（可求和）。

方法：

例 5.1 $a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{n(n+1)}$，求 $a_n$。

解

$n=1$ 时 $2-1=1=a_1$，故 $a_n=2-\dfrac1n$。

例 5.2 $a_1=2$，$a_{n+1}=a_n+2^n$，求 $a_n$。

解

$n=1$ 时 $2^1=2=a_1$，故 $a_n=2^n$。

5.2 模型二：$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=f(n)$ —— 累乘法

特征：相邻两项之比是关于 $n$ 的函数（可求积），且 $a_n\ne0$。

方法：

例 5.3 $a_1=1$，$a_{n+1}=\dfrac{n+1}{n}a_n$，求 $a_n$。

解

$n=1$ 时也成立，故 $a_n=n$。

例 5.4 $a_1=\dfrac12$，$a_{n+1}=\dfrac{n}{n+1}a_n$，求 $a_n$。

解

$n=1$ 时 $\dfrac{1}{2}=\dfrac12$ 成立，故 $a_n=\dfrac{1}{2n}$。

提示：累乘法中约分是关键，写乘积时上下对齐，把 $k=1,2,\cdots,n-1$ 的因子都写出来再约。

5.3 模型三：$a_{n+1}=pa_n+q$（$p\ne1,\ q\ne0$）—— 构造等比数列

方法（待定系数法）：设

展开比较得

于是 $\left\{a_n+\dfrac{q}{p-1}\right\}$ 是公比为 $p$ 的等比数列：

故

若 $p=1$，则退化为 $a_{n+1}=a_n+q$，即等差数列；若 $q=0$，则是 $\{a_n\}$ 本身为等比数列。

例 5.5 $a_1=1$，$a_{n+1}=3a_n+2$，求 $a_n$。

解 $\lambda=\dfrac{2}{3-1}=1$，设 $a_{n+1}+1=3(a_n+1)$。故 $\{a_n+1\}$ 首项 $2$、公比 $3$：

5.4 模型四：$a_{n+1}=pa_n+An+B$ —— 构造等比（一次函数型）

方法：设

展开得

与 $a_{n+1}=pa_n+An+B$ 比较，解方程组

求出 $x,y$ 后，$\{a_n+xn+y\}$ 为等比数列。

例 5.6 $a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+3n$，求 $a_n$。

解 设 $a_{n+1}+x(n+1)+y=2(a_n+xn+y)$，即

与 $a_{n+1}=2a_n+3n$ 逐项比较：$x=3$，$y-x=0$，故 $y=3$。于是

即 $\{a_n+3n+3\}$ 是首项 $a_1+3+3=7$、公比 $2$ 的等比数列：

验证：$n=1$ 得 $7-3-3=1=a_1$ ✓；$n=2$ 得 $14-6-3=5=2a_1+3$ ✓。

提示：待定系数一定要把式子展开、按 $n$ 的同类项逐项对齐，不能凭感觉设 $y$。

5.5 模型五：$a_{n+1}=pa_n+q^n$（$p\ne q$）—— 两边同除

方法：两边同除以 $q^{n+1}$：

令 $b_n=\dfrac{a_n}{q^n}$，则 $b_{n+1}=\dfrac{p}{q}b_n+\dfrac1q$，化为模型三。

例 5.7 $a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+3^n$，求 $a_n$。

解 两边同除 $3^{n+1}$：

令 $b_n=\dfrac{a_n}{3^n}$，则 $b_{n+1}=\dfrac23b_n+\dfrac13$。设 $b_{n+1}+\lambda=\dfrac23(b_n+\lambda)$，比较得

故 $\{b_n-1\}$ 是首项 $b_1-1=\dfrac{a_1}{3}-1=-\dfrac23$、公比 $\dfrac23$ 的等比数列：

于是

验证：$n=1$ 得 $3-2=1=a_1$ ✓；$n=2$ 得 $9-4=5=2a_1+3$ ✓。

5.6 模型六：$a_{n+1}=\dfrac{pa_n}{qa_n+r}$ —— 取倒数

方法：两边取倒数，

令 $b_n=\dfrac{1}{a_n}$，化为 $b_{n+1}=\dfrac{r}{p}b_n+\dfrac{q}{p}$，即模型三。

例 5.8 $a_1=1$，$a_{n+1}=\dfrac{a_n}{2a_n+1}$，求 $a_n$。

解 取倒数：

故 $\left\{\dfrac{1}{a_n}\right\}$ 是首项 $1$、公差 $2$ 的等差数列：

例 5.9 $a_1=1$，$a_{n+1}=\dfrac{2a_n}{a_n+2}$，求 $a_n$。