• 解析式：$y = \sin x$
• 定义域：$\mathbb{R}$
• 值域：$[-1, 1]$，最大值 $1$（$x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$），最小值 $-1$（$x = -\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$）
• 周期性：最小正周期 $T = 2\pi$
• 单调性：
  • 递增区间：$\left[-\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi,\ \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\right]$，$k \in \mathbb{Z}$
  • 递减区间：$\left[\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi,\ \dfrac{3\pi}{2} + 2k\pi\right]$，$k \in \mathbb{Z}$
• 对称性：
  • 对称轴：$x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$，$k \in \mathbb{Z}$
  • 对称中心：$(k\pi, 0)$，$k \in \mathbb{Z}$
  • 奇偶性：奇函数
• 零点：$x = k\pi$，$k \in \mathbb{Z}$

2 余弦函数

• 解析式：$y = \cos x$
• 定义域：$\mathbb{R}$
• 值域：$[-1, 1]$，最大值 $1$（$x = 2k\pi$），最小值 $-1$（$x = \pi + 2k\pi$）
• 周期性：最小正周期 $T = 2\pi$
• 单调性：
  • 递增区间：$[-\pi + 2k\pi,\ 2k\pi]$，$k \in \mathbb{Z}$
  • 递减区间：$[2k\pi,\ \pi + 2k\pi]$，$k \in \mathbb{Z}$
• 对称性：
  • 对称轴：$x = k\pi$，$k \in \mathbb{Z}$
  • 对称中心：$\left(\dfrac{\pi}{2} + k\pi, 0\right)$，$k \in \mathbb{Z}$
  • 奇偶性：偶函数
• 零点：$x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$，$k \in \mathbb{Z}$

3 正切函数

• 解析式：$y = \tan x$
• 定义域：$\left\{x \mid x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi,\ k \in \mathbb{Z}\right\}$
• 值域：$\mathbb{R}$（无最大值和最小值）
• 周期性：最小正周期 $T = \pi$
• 单调性：在 $\left(-\dfrac{\pi}{2} + k\pi,\ \dfrac{\pi}{2} + k\pi\right)$，$k \in \mathbb{Z}$ 上单调递增
• 对称性：
  • 对称轴：无
  • 对称中心：$\left(\dfrac{k\pi}{2}, 0\right)$，$k \in \mathbb{Z}$
  • 奇偶性：奇函数
• 零点：$x = k\pi$，$k \in \mathbb{Z}$
• 渐近线：$x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$，$k \in \mathbb{Z}$

4 三角函数

4.1 三种函数性质汇总

4.2 函数 $y = A\sin(\omega x + \varphi)$ 的性质

• 解析式：$y = A\sin(\omega x + \varphi)$（$A > 0$，$\omega > 0$）
• 定义域：$\mathbb{R}$
• 值域：$[-A, A]$（$A$ 为振幅）
• 周期性：最小正周期 $T = \dfrac{2\pi}{\omega}$
• 单调性：令 $t = \omega x + \varphi$，利用 $\sin t$ 的单调区间，反解 $x$ 的范围
• 对称性：
  • 对称轴：令 $\omega x + \varphi = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$，解得 $x = \dfrac{\dfrac{\pi}{2} + k\pi - \varphi}{\omega}$
  • 对称中心：令 $\omega x + \varphi = k\pi$，解得 $x = \dfrac{k\pi - \varphi}{\omega}$
  • 奇偶性：由 $\varphi$ 决定
    • $\varphi = k\pi$ 时为奇函数；
    • $\varphi = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ 时为偶函数
• 零点：$\omega x + \varphi = k\pi$，即 $x = \dfrac{k\pi - \varphi}{\omega}$

4.3 函数 $y = A\cos(\omega x + \varphi)$ 的性质

• 解析式：$y = A\cos(\omega x + \varphi)$（$A > 0$，$\omega > 0$）
• 定义域：$\mathbb{R}$
• 值域：$[-A, A]$
• 周期性：最小正周期 $T = \dfrac{2\pi}{\omega}$
• 单调性：令 $t = \omega x + \varphi$，利用 $\cos t$ 的单调区间，反解 $x$ 的范围
• 对称性：
  • 对称轴：令 $\omega x + \varphi = k\pi$，解得 $x = \dfrac{k\pi - \varphi}{\omega}$
  • 对称中心：令 $\omega x + \varphi = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$，解得 $x = \dfrac{\dfrac{\pi}{2} + k\pi - \varphi}{\omega}$
  • 奇偶性：由 $\varphi$ 决定
    • $\varphi = k\pi$ 时为偶函数；
    • $\varphi = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ 时为奇函数

4.4 函数 $y = A\tan(\omega x + \varphi)$ 的性质

• 解析式：$y = A\tan(\omega x + \varphi)$（$A > 0$，$\omega > 0$）
• 定义域：$\omega x + \varphi \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi$，即 $x \neq \dfrac{\dfrac{\pi}{2} + k\pi - \varphi}{\omega}$
• 值域：$\mathbb{R}$
• 周期性：最小正周期 $T = \dfrac{\pi}{\omega}$
• 单调性：在 $\left(-\dfrac{\pi}{2} + k\pi,\ \dfrac{\pi}{2} + k\pi\right)$ 上单调递增（令 $t = \omega x + \varphi$ 后反解）
• 对称性：
  • 对称轴：无
  • 对称中心：令 $\omega x + \varphi = \dfrac{k\pi}{2}$，解得 $x = \dfrac{\dfrac{k\pi}{2} - \varphi}{\omega}$
  • 奇偶性：$\varphi = k\pi$ 时为奇函数
• 渐近线：$\omega x + \varphi = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$，即 $x = \dfrac{\dfrac{\pi}{2} + k\pi - \varphi}{\omega}$

• 定义一（变量说） ：如果在某个变化过程中有两个变量 $x$，$y$，对于 $x$ 在某个范围 $D$ 内的每一个确定的值，按照某种对应法则，都有唯一确定的 $y$ 值与它对应，那么 $y$ 就是 $x$ 的函数，记作 $y = f(x)$。$x$ 叫做自变量，$x$ 的取值范围 $D$ 叫做函数的定义域，和 $x$ 的值相对应的 $y$ 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

• 定义二（对应说） ：非空数集 $A$ 到非空数集 $B$ 的一个对应关系 $f: A \to B$，使 $A$ 中每一个元素在 $B$ 中都有唯一确定的元素和它对应，那么对应关系 $f: A \to B$ 叫做 $A$ 到 $B$ 的函数，记作 $y = f(x)$，其中 $x \in A$，$y \in B$。

• 注意要点：

  • 对应法则可以是"一对一"或"多对一"，但不能是"一对多"（即一个 $x$ 对应多个 $y$）。
  • 定义域与值域都必须是非空数集。

• 函数的三要素：定义域、值域、对应关系。

• 相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等。

• 函数的表示法：解析法、图象法、列表法。

2 基本初等函数

2.1 一次函数

• 定义：形如 $y = kx + b$（$k \neq 0$）的函数叫做一次函数。
• 图像：一条直线，$k$ 为斜率，$b$ 为 $y$ 轴截距。
• 性质：
  • 定义域、值域均为 $\mathbb{R}$；
  • $k > 0$ 时单调递增，$k < 0$ 时单调递减；
  • 与 $x$ 轴交点为 $(-\frac{b}{k}, 0)$，与 $y$ 轴交点为 $(0, b)$。

2.2 二次函数

• 定义：形如 $y = ax^2 + bx + c$（$a \neq 0$）的函数叫做二次函数。
• 标准形式：$y = a(x - h)^2 + k$，其中顶点坐标为 $(h, k)$，$h = -\frac{b}{2a}$，$k = \frac{4ac - b^2}{4a}$。
• 性质：
  • 定义域为 $\mathbb{R}$；
  • $a > 0$ 时开口向上，有最小值 $k$；$a < 0$ 时开口向下，有最大值 $k$；
  • 对称轴为 $x = h$；
  • 值域：$a > 0$ 时为 $[k, +\infty)$，$a < 0$ 时为 $(-\infty, k]$。

2.3 幂函数

• 定义：形如 $y = x^\alpha$（$\alpha$ 为常数）的函数叫做幂函数。
• 常见幂函数图像与性质（$y = x, x^2, x^3, x^{\frac{1}{2}}, x^{-1}$）：
  • $y = x$：定义域 $\mathbb{R}$，奇函数，$\mathbb{R}$ 上单调递增；
  • $y = x^2$：定义域 $\mathbb{R}$，偶函数，$(-\infty, 0]$ 递减，$[0, +\infty)$ 递增；
  • $y = x^3$：定义域 $\mathbb{R}$，奇函数，$\mathbb{R}$ 上单调递增；
  • $y = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$：定义域 $[0, +\infty)$，非奇非偶，单调递增；
  • $y = x^{-1} = \frac{1}{x}$：定义域 $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$，奇函数，$(-\infty, 0)$ 和 $(0, +\infty)$ 上单调递减。

2.4 指数函数

• 定义：形如 $y = a^x$（$a > 0$ 且 $a \neq 1$）的函数叫做指数函数。
• 性质：
  • 定义域为 $\mathbb{R}$，值域为 $(0, +\infty)$；
  • 过定点 $(0, 1)$；
  • $a > 1$ 时在 $\mathbb{R}$ 上单调递增；$0 < a < 1$ 时在 $\mathbb{R}$ 上单调递减；
  • 图像在 $x$ 轴上方，渐近线为 $x$ 轴（$y \to 0$）。

2.5 对数函数

• 定义：形如 $y = \log_a x$（$a > 0$ 且 $a \neq 1$）的函数叫做对数函数。
• 性质：
  • 定义域为 $(0, +\infty)$，值域为 $\mathbb{R}$；
  • 过定点 $(1, 0)$；
  • $a > 1$ 时在 $(0, +\infty)$ 上单调递增；$0 < a < 1$ 时在 $(0, +\infty)$ 上单调递减；
  • 图像在 $y$ 轴右侧，渐近线为 $y$ 轴（$x \to 0^+$）。

3 函数性质

3.1 单调性

• 定义（代数定义） ：对于函数 $f(x)$ 定义域 $D$ 内某个区间 $I$ 上的任意两个自变量的值 $x_1, x_2$：

  • 若 $x_1 < x_2$ 时，都有 $f(x_1) < f(x_2)$，则 $f(x)$ 在区间 $I$ 上是增函数；
  • 若 $x_1 < x_2$ 时，都有 $f(x_1) > f(x_2)$，则 $f(x)$ 在区间 $I$ 上是减函数。

• 证明方法：

  • 定义法：作差 $f(x_1) - f(x_2)$，变形后判断符号；
  • 导数法：若 $f'(x) > 0$，则 $f(x)$ 单调递增；若 $f'(x) < 0$，则 $f(x)$ 单调递减。（导数法适用于可导函数，是判断单调性的常用工具。）

• 复合函数单调性：同增异减。

• 注意：单调区间是定义域的子集，多个单调区间不能用"$\cup$“连接。

3.2 对称性

3.2.1 轴对称

• 定义：若存在直线 $x = a$，使得函数 $f(x)$ 定义域内任意 $x$ 都有 $f(a + x) = f(a - x)$，则函数图像关于直线 $x = a$ 对称，$x = a$ 称为对称轴。

• 常见变形（核心：括号内自变量之和为常数）：

  • 形式一：$f(a + x) = f(a - x)$ $\iff$ 对称轴为 $x = a$；
  • 形式二：$f(x) = f(2a - x)$ $\iff$ 对称轴为 $x = a$（令 $x \to a + x$ 即得形式一）；
  • 形式三：$f(x + a) = f(-x + b)$ $\iff$ 对称轴为 $x = \dfrac{a + b}{2}$。

• 特例——偶函数：当对称轴为 $x = 0$（即 $a = 0$）时，$f(-x) = f(x)$，称 $f(x)$ 为偶函数。

3.2.2 中心对称

• 定义：若存在点 $(a, b)$，使得函数 $f(x)$ 定义域内任意 $x$ 都有 $f(a + x) + f(a - x) = 2b$，则函数图像关于点 $(a, b)$ 对称，$(a, b)$ 称为对称中心。

• 常见变形（核心：括号内自变量之和为常数，函数值之和为常数）：

  • 形式一：$f(a + x) + f(a - x) = 2b$ $\iff$ 对称中心为 $(a, b)$；
  • 形式二：$f(x) + f(2a - x) = 2b$ $\iff$ 对称中心为 $(a, b)$（令 $x \to a + x$ 即得形式一）；
  • 形式三：$f(a + x) + f(b - x) = 2c$ $\iff$ 对称中心为 $\left(\dfrac{a + b}{2}, c\right)$；
  • 形式四：$f(x + a) = -f(-x + b) + 2c$ $\iff$ 对称中心为 $\left(\dfrac{a + b}{2}, c\right)$。

• 特例——奇函数：当对称中心为原点 $(0, 0)$ 时，$f(-x) = -f(x)$，称 $f(x)$ 为奇函数。

3.3 周期性

• 定义：若存在非零常数 $T$，使得函数 $f(x)$ 定义域内任意 $x$ 都有 $f(x + T) = f(x)$，则称 $T$ 为函数的一个周期。若所有周期中存在最小正数，则称为最小正周期。

• 常见变形（通用格式） ：

  设 $a, b$ 为常数，$a \neq b$，且 $f(x)$ 定义域足够大：

• 周期性常见变形汇总：

（一）代数递推型（设 $a \neq 0$）

1. $f(x+a)=f(x+b)$ $\Longrightarrow$ 周期 $T=|a-b|$
2. $f(x+a)=-f(x)$ $\Longrightarrow$ 周期 $T=2a$
3. $f(x+a)=\dfrac{1}{f(x)}$ $\Longrightarrow$ 周期 $T=2a$
4. $f(x+a)=-\dfrac{1}{f(x)}$ $\Longrightarrow$ 周期 $T=2a$
5. $f(x+a)=\dfrac{1+f(x)}{1-f(x)}$ $\Longrightarrow$ 周期 $T=4a$
6. $f(x+a)=\dfrac{1-f(x)}{1+f(x)}$ $\Longrightarrow$ 周期 $T=4a$
7. $f(x+a)=f(x)+k$（$k$ 为常数） $\Longrightarrow$ 周期 $T=2a$（需结合对称性或零点条件）

（二）对称组合型（设 $a \neq b$）

8. 若 $f(x)$ 关于两条直线 $x=a$ 和 $x=b$ 都对称 $\Longrightarrow$ 周期 $T=2|a-b|$
9. 若 $f(x)$ 关于两个点 $(a,0)$ 和 $(b,0)$ 都对称 $\Longrightarrow$ 周期 $T=2|a-b|$
10. 若 $f(x)$ 关于直线 $x=a$ 和点 $(b,0)$ 都对称 $\Longrightarrow$ 周期 $T=4|a-b|$