1.1 平均变化率

• 定义：函数 $y = f(x)$ 在区间 $[x_0, x_0 + h]$ 上的平均变化率为：

  $$ \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} $$

  它表示函数值在区间内变化的快慢程度。

• 几何意义：平均变化率表示割线的斜率。

1.2 瞬时变化率

• 定义：函数 $y = f(x)$ 在 $x = x_0$ 处的瞬时变化率，即导数的定义：

  $$ f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} $$

  若该极限存在，则称函数 $y = f(x)$ 在 $x = x_0$ 处可导。

• 导函数：把 $x_0$ 换成 $x$，得到导函数 $f'(x)$，简称导数。

1.3 几何意义

• 导数 $f'(x_0)$ 表示曲线 $y = f(x)$ 在点 $(x_0, f(x_0))$ 处切线的斜率。
• 切线方程：曲线在点 $(x_0, f(x_0))$ 处的切线方程为： $$ y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0) $$

2 导数的运算

2.1 基本初等函数求导

• 常数函数：$(C)' = 0$（$C$ 为常数）
• 幂函数：$(x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha - 1}$（$\alpha$ 为常数）
• 指数函数：$(e^x)' = e^x$
• 对数函数：$(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$
• 正弦函数：$(\sin x)' = \cos x$
• 余弦函数：$(\cos x)' = -\sin x$

2.2 导数的四则运算

设 $u(x)$、$v(x)$ 可导：

• 加法：$(u \pm v)' = u' \pm v'$
• 乘法：$(uv)' = u'v + uv'$
• 数乘：$(Cu)' = Cu'$（$C$ 为常数）
• 除法：$\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$（$v \neq 0$）

2.3 复合函数求导

• 法则（链式法则） ：设 $y = f(u)$，$u = g(x)$，则复合函数 $y = f(g(x))$ 的导数为：

  $$ [f(g(x))]' = f'(u) \cdot g'(x) $$

  即 外层求导 × 内层求导。

• 形式：$(ax + b)^n$ 型复合函数：$[(ax + b)^n]' = n(ax + b)^{n-1} \cdot a$。

3 导数求解函数单调性

3.1 核心定理

设函数 $y = f(x)$ 在区间 $I$ 上可导：

• 若 $f'(x) > 0$，则 $f(x)$ 在区间 $I$ 上严格递增；
• 若 $f'(x) < 0$，则 $f(x)$ 在区间 $I$ 上严格递减；
• 若 $f'(x) = 0$，则 $f(x)$ 在区间 $I$ 上为常数函数。

注：若 $f'(x) \geq 0$（且等号只在有限个点成立），函数仍为严格递增。

3.2 求单调区间的步骤

1. 确定定义域——这是前提，单调区间必须是定义域的子集；
2. 求导数 $f'(x)$；
3. 解方程 $f'(x) = 0$，找到驻点；
4. 划分区间——用驻点和导数不存在的点（以及无定义的点）将定义域分成若干区间；
5. 判断符号——在各区间内判断 $f'(x)$ 的正负，从而确定单调性。

3.3 驻点与分界点

• 驻点：使 $f'(x) = 0$ 的点。
• 注意：驻点不一定是单调区间的分界点。例如 $f(x) = x^3$，$f'(0) = 0$，但函数在 $\mathbb{R}$ 上严格递增，$0$ 不是分界点。
• 无定义点也可能成为单调区间的分界点，如 $f(x) = \dfrac{1}{x}$，$x = 0$ 处无定义。

3.4 由单调性求参数范围

若函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上单调递增，则 $f'(x) \geq 0$ 在 $I$ 上恒成立（等号不构成区间）；单调递减则 $f'(x) \leq 0$ 恒成立。

3.5 导数与函数变化速度

• 导数的绝对值越大，函数图像越"陡峭"，函数值变化速度越快。
• $f'(x_0) > 0$ 时，$f'(x_0)$ 越大，递增越快；$f'(x_0) < 0$ 时，$f'(x_0)$ 越小，递减越快。