1.1 相关关系

相关关系：两个变量之间不 exactly 确定，但存在某种相互依赖的数量关系，称为相关关系。与之对应的是函数关系（确定性的依赖关系）。

相关关系的分类：

按变动方向分：

• 正相关：一个变量增大时，另一个变量也倾向于增大；
• 负相关：一个变量增大时，另一个变量倾向于减小。

按形态特征分：

• 线性相关：散点大致分布在一条直线附近；
• 非线性相关：散点分布在一条曲线附近。

按相关程度分：

• 完全相关（|r|=1）：所有点都在直线上（退化为函数关系）；
• 强相关（|r|接近1）：散点紧密围绕直线；
• 弱相关（|r|接近0）：散点分散，线性关系微弱；
• 不相关（r=0）：无线性关系（但可能存在非线性关系）。

1.2 散点图

散点图：在平面直角坐标系中，将成对数据 $(x_i,y_i)$ 描点得到的图形。通过散点图可以直观判断：

• 两个变量之间是否存在相关关系；
• 是正相关还是负相关；
• 是线性相关还是非线性相关；
• 相关程度的强弱（散点弥散程度）。

1.3 线性回归方程

对于一组样本数据 $(x_1,y_1),(x_2,y_2),\ldots,(x_n,y_n)$，若散点图呈线性相关趋势，可以用一条直线 $\hat{y}=a+bx$ 来近似描述 $y$ 与 $x$ 的关系，称为线性回归方程（或经验回归方程）。

1.4 最小二乘法

核心思想：使各样本点到回归直线的垂直距离的平方和（即残差平方和）最小。

残差：$\hat{e}_i=y_i-\hat{y}_i=y_i-(a+bx_i)$，表示第 $i$ 个观测值与回归估计值的偏差。

目标函数：

求 $a,b$ 使 $Q(a,b)$ 取最小值——最小二乘法（“二乘”即平方）。

求解过程：分别对 $a,b$ 求偏导并令其为零。

对 $a$ 求偏导：

对 $b$ 求偏导：

由 (1)(2) 联立解得：

其中 $\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$，$\bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_i$。

回归直线的性质：

• 回归直线一定经过样本中心点 $(\bar{x},\bar{y})$；
• $\hat{y}$ 是 $y$ 的估计值（预测值），不等于实际值；
• $b$ 的含义：$x$ 每增加 1 个单位，$y$ 平均增加 $b$ 个单位（$b>0$ 正相关，$b<0$ 负相关）。

1.5 相关系数

相关系数 $r$ 用于定量刻画两个变量线性相关关系的强弱和方向：

相关系数的性质：

• $-1 \le r \le 1$；
• $r>0$：正相关；$r<0$：负相关；
• $|r|$ 越接近 1，线性相关程度越强；
• $|r|$ 越接近 0，线性相关程度越弱；
• $r=\pm 1$：完全线性相关（所有点严格在一条直线上）。

注意：$|r|$ 小只能说明线性相关性弱，两变量间仍可能存在强非线性关系。

1.6 决定系数 $R^2$

$R^2$ 越接近 1，说明回归模型拟合效果越好。

2 2×2 列联表

2.1 列联表的定义

列联表：按两个分类变量的不同取值进行交叉分类，统计频数形成的表格。当两个变量各有 2 个类别时，称为 2×2 列联表（四格表）。

2.2 2×2 列联表的标准形式

设两个分类变量 $X$ 和 $Y$，其取值均为 0 或 1：

• $a$：$X=0$ 且 $Y=0$ 的频数；
• $b$：$X=0$ 且 $Y=1$ 的频数；
• $c$：$X=1$ 且 $Y=0$ 的频数；
• $d$：$X=1$ 且 $Y=1$ 的频数。

行合计：$a+b$（$X=0$ 的总数），$c+d$（$X=1$ 的总数）； 列合计：$a+c$（$Y=0$ 的总数），$b+d$（$Y=1$ 的总数）； 总计：$n=a+b+c+d$。

2.3 独立性检验

核心问题：两个分类变量 $X$ 与 $Y$ 是否相互独立？

独立性假设（原假设 $H_0$）：$X$ 与 $Y$ 相互独立。

若 $X$ 与 $Y$ 独立，则应有：

用频数估计概率，在 $H_0$ 成立的条件下，理论频数应为：

同理：

2.4 卡方统计量（$\chi^2$）

构造原理：比较实际频数与理论频数的偏差。

对于 2×2 列联表，化简为：

检验步骤：

第一步：提出假设 $H_0$：$X$ 与 $Y$ 相互独立；$H_1$：$X$ 与 $Y$ 不独立（有关联）；

第二步：计算 $\chi^2$ 的值；

第三步：与临界值比较（查 $\chi^2$ 分布表），作出判断。

常用临界值：

• 显著性水平 $\alpha=0.10$ 时，临界值为 $2.706$；
• 显著性水平 $\alpha=0.05$ 时，临界值为 $3.841$；
• 显著性水平 $\alpha=0.01$ 时，临界值为 $6.635$。

决策规则：

• 若 $\chi^2 \ge 6.635$：在 $0.01$ 水平下拒绝 $H_0$，有 $99\%$ 的把握认为两变量有关联；
• 若 $\chi^2 \ge 3.841$：在 $0.05$ 水平下拒绝 $H_0$，有 $95\%$ 的把握认为两变量有关联；
• 若 $\chi^2 < 3.841$：没有充分证据拒绝 $H_0$，认为两变量独立。

2.5 列联表与独立性检验示例

调查某校学生是否喜欢数学与性别是否有关系，得到如下数据：

• 男生喜欢数学 40 人，不喜欢 20 人，共 60 人；
• 女生喜欢数学 30 人，不喜欢 40 人，共 70 人；
• 合计喜欢数学 70 人，不喜欢数学 60 人，总计 130 人。

这里 $a=40$（男生且喜欢），$b=20$（男生且不喜欢），$c=30$（女生且喜欢），$d=40$（女生且不喜欢）。

计算 $\chi^2$：

因为 $7.37>6.635$，有 $99\%$ 的把握认为性别与是否喜欢数学有关联。

2.6 风险评估指标（拓展）

在 2×2 列联表中，还常用以下指标衡量关联强度：

相对风险（RR）：

RR > 1 表示 $X=1$ 条件下 $Y$ 发生风险更高。

优势比（OR）：

OR 是病例对照研究中常用的关联强度指标，OR = 1 表示两变量独立。

附：线性回归与列联表的联系与区别

变量类型不同：

• 一元线性回归处理的是两个数值型变量；
• 2×2 列联表处理的是两个分类变量。

研究问题不同：

• 线性回归研究数值 $y$ 如何随 $x$ 线性变化；
• 列联表研究两个分类变量是否有关联。

核心指标不同：

• 线性回归的核心指标是斜率 $b$、相关系数 $r$、决定系数 $R^2$；
• 列联表的核心指标是 $\chi^2$ 统计量和 $p$ 值。

判定标准不同：

• 线性回归中 $|r|$ 接近 1 则线性相关强；
• 列联表中 $\chi^2$ 超过临界值则拒绝独立假设。

预测功能不同：

• 线性回归可由 $x$ 预测 $\hat{y}$；
• 列联表只能判断关联性，不能进行数值预测。