1.1 空间向量的有关概念

• 定义：在空间中，既有大小又有方向的量叫做空间向量。
• 表示方法：
  • 几何表示：用有向线段表示；
  • 字母表示：用小写字母 $\vec{a}$，$\vec{b}$，$\vec{c}$ 表示，或记作 $\overrightarrow{AB}$。
• 几类常见的空间向量：
  • 零向量：模为 0，方向任意，记作 $\vec{0}$；
  • 单位向量：模为 1，记作 $\vec{e}$；
  • 相反向量：长度相等、方向相反的向量，$\overrightarrow{AB}$ 的相反向量为 $\overrightarrow{BA}$；
  • 相等向量：方向相同、模相等的向量。

1.2 空间向量的线性运算

• 加法与减法：遵循三角形法则和平行四边形法则，与平面向量一致。
  • 加法：$\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \vec{a} + \vec{b}$
  • 减法：$\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC} = \vec{a} - \vec{b}$
• 数乘运算：实数 $\lambda$ 与向量 $\vec{a}$ 的乘积 $\lambda\vec{a}$ 仍是一个向量。
  • $\lambda > 0$ 时与 $\vec{a}$ 同向，$\lambda < 0$ 时反向，$\lambda = 0$ 时为零向量；
  • 运算律：结合律、分配律。
• 运算律：交换律 $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$，结合律 $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$。

1.3 共线向量与共面向量

• 共线向量（平行向量） ：
  • 定义：表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合；
  • 共线向量定理：对空间任意两个向量 $\vec{a}$，$\vec{b}$（$\vec{b} \neq \vec{0}$），$\vec{a} \parallel \vec{b} \iff$ 存在唯一实数 $\lambda$，使 $\vec{a} = \lambda\vec{b}$；
  • 方向向量：与直线 $l$ 平行的非零向量称为直线 $l$ 的方向向量；
  • 应用：证明三点共线、证明线线平行（进而证线面平行）。
• 共面向量：
  • 定义：平行于同一平面的向量；
  • 共面向量定理：若向量 $\vec{a}$，$\vec{b}$ 不共线，则 $\vec{p}$ 与 $\vec{a}$，$\vec{b}$ 共面 $\iff$ 存在唯一有序实数对 $(x, y)$，使 $\vec{p} = x\vec{a} + y\vec{b}$；
  • 应用：证明四点共面、证线面平行（进而证面面平行）。

1.4 空间向量的数量积

• 定义：$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\langle\vec{a}, \vec{b}\rangle$。
• 重要结论（$\vec{a}$，$\vec{b}$ 为非零向量）：
  • $\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$；
  • $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$；
  • $\cos\langle\vec{a}, \vec{b}\rangle = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$。
• 运算律：交换律、分配律、数乘结合律。

2 空间直角坐标系

2.1 空间直角坐标系的建立

• 定义：在空间选定一点 $O$ 引三条互相垂直且有相同长度单位的数轴：$x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴，建立空间直角坐标系，点 $O$ 叫原点。
• 坐标平面：$xOy$ 平面、$yOz$ 平面、$zOx$ 平面。

2.2 空间中点的坐标

• 给定空间直角坐标系和向量 $\vec{a}$，存在唯一有序实数组 $(x, y, z)$，使 $\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$，记作 $\vec{a} = (x, y, z)$。
• 点 $P$ 的坐标即为向量 $\overrightarrow{OP}$ 的坐标。

2.3 空间向量的坐标运算

设 $\vec{a} = (x_1, y_1, z_1)$，$\vec{b} = (x_2, y_2, z_2)$：

• 加减运算：$\vec{a} \pm \vec{b} = (x_1 \pm x_2, y_1 \pm y_2, z_1 \pm z_2)$
• 数乘：$\lambda\vec{a} = (\lambda x_1, \lambda y_1, \lambda z_1)$
• 数量积：$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$
• 模长：$|\vec{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2}$
• 夹角：$\cos\langle\vec{a}, \vec{b}\rangle = \dfrac{x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}$
• 平行：$\vec{a} \parallel \vec{b} \iff \vec{a} = \lambda\vec{b}$
• 垂直：$\vec{a} \perp \vec{b} \iff x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 = 0$

2.4 空间两点间距离公式

若 $A(x_1, y_1, z_1)$，$B(x_2, y_2, z_2)$，则：

3 空间向量在立体几何中的应用

3.1 方向向量与法向量

• 方向向量：与直线 $l$ 平行的非零向量称为直线 $l$ 的方向向量。
• 法向量：与平面 $\alpha$ 垂直的非零向量称为平面 $\alpha$ 的法向量。

3.2 证明平行与垂直

设直线 $l$，$m$ 的方向向量分别为 $\vec{a}$，$\vec{b}$，平面 $\alpha$，$\beta$ 的法向量分别为 $\vec{n}_1$，$\vec{n}_2$：

• 线线平行：$l \parallel m \iff \vec{a} \parallel \vec{b}$
• 线面平行：$l \parallel \alpha \iff \vec{a} \perp \vec{n}_1 \iff \vec{a} \cdot \vec{n}_1 = 0$
• 面面平行：$\alpha \parallel \beta \iff \vec{n}_1 \parallel \vec{n}_2$
• 线线垂直：$l \perp m \iff \vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$
• 线面垂直：$l \perp \alpha \iff \vec{a} \parallel \vec{n}_1$
• 面面垂直：$\alpha \perp \beta \iff \vec{n}_1 \perp \vec{n}_2 \iff \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0$

3.3 求空间角

设直线 $l$，$m$ 的方向向量分别为 $\vec{a}$，$\vec{b}$，平面 $\alpha$，$\beta$ 的法向量分别为 $\vec{n}_1$，$\vec{n}_2$：

• 异面直线所成角（范围 $[0, \frac{\pi}{2}]$）：

  $$ \cos\theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}||\vec{b}|} $$

• 线面角（范围 $[0, \frac{\pi}{2}]$）：

  $$ \sin\theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{n}_1|}{|\vec{a}||\vec{n}_1|} $$

• 二面角（范围 $[0, \pi]$）：

  $$ \cos\theta = \pm\frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1||\vec{n}_2|} $$

  （正负号需根据二面角是锐角还是钝角判断）

3.4 求距离

• 点到平面的距离：点 $P$ 到平面 $\alpha$ 的距离，其中 $A$ 是平面 $\alpha$ 内一点，$\vec{n}$ 是平面 $\alpha$ 的法向量： $$ d = \frac{|\overrightarrow{AP} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} $$
• 异面直线间的距离、线面距离、面面距离均可转化为点到平面的距离求解。

1.1 棱柱

• 定义：有两个面互相平行（底面），其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体。
• 分类：
  • 按底面边数：三棱柱、四棱柱、……
  • 按侧棱与底面关系：直棱柱（侧棱 $\perp$ 底面）、斜棱柱（侧棱不 $\perp$ 底面）。
  • 底面为正多边形且为直棱柱 $\Rightarrow$ 正棱柱。
• 性质：
  • 侧棱互相平行且相等；
  • 侧面都是平行四边形（直棱柱侧面为矩形，正棱柱侧面为全等矩形）；
  • 两个底面是全等的多边形。
• 体积：$V = S_{\text{底}} \cdot h$（$h$ 为高，即两底面间的距离）。
• 表面积：$S_{\text{表}} = 2S_{\text{底}} + S_{\text{侧}}$。

1.2 圆柱

• 定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体。
• 相关概念：
  • 旋转轴叫做圆柱的轴；
  • 垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面；
  • 平行于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面；
  • 无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做母线（母线长度 = 高）。
• 性质：
  • 两个底面是互相平行且全等的圆面；
  • 所有母线平行且相等（$l = h$）；
  • 轴截面（过轴的截面）是矩形，边长为 $2r$ 和 $h$。
• 体积：$V = \pi r^2 h$（$r$ 为底面半径，$h$ 为高）。
• 侧面积：$S_{\text{侧}} = 2\pi r h$（侧面展开图为矩形）。
• 表面积：$S_{\text{表}} = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r(r + h)$。

2 锥体

2.1 棱锥

• 定义：有一个面是多边形（底面），其余各面是有一个公共顶点的三角形（侧面），由这些面所围成的多面体。
• 相关概念：
  • 底面为正多边形，且顶点在底面上的射影是底面正多边形的中心 $\Rightarrow$ 正棱锥。
• 性质（正棱锥）：
  • 各侧棱相等；
  • 各侧面是全等的等腰三角形（斜高相等）；
  • 高、斜高、底面边心距构成直角三角形；高、侧棱、底面外接圆半径构成直角三角形。
• 体积：$V = \dfrac{1}{3} S_{\text{底}} \cdot h$（$h$ 为顶点到底面的距离）。
• 表面积：$S_{\text{表}} = S_{\text{底}} + S_{\text{侧}}$。

2.2 圆锥

（注：你框架中“2.22”应为笔误，这里修正为 2.2）

• 定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体。
• 相关概念：
  • 旋转轴叫做圆锥的轴；
  • 垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面；
  • 斜边旋转而成的曲面叫做侧面，斜边在旋转中的任一位置叫做母线（$l$）；
  • 顶点与底面圆心的连线叫做高（$h$）。
• 性质：
  • 所有母线相等，$l^2 = r^2 + h^2$；
  • 轴截面（过轴的截面）是等腰三角形，腰长为 $l$，底边长为 $2r$，高为 $h$。
• 体积：$V = \dfrac{1}{3} \pi r^2 h$。
• 侧面积：$S_{\text{侧}} = \pi r l$（侧面展开图为扇形，扇形半径 $=$ 母线 $l$，弧长 $=$ 底面周长 $2\pi r$）。
• 表面积：$S_{\text{表}} = \pi r^2 + \pi r l = \pi r(r + l)$。

3 台体

3.1 棱台

• 定义：用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台。
• 相关概念：
  • 原棱锥的底面叫下底面，截面叫上底面；
  • 其余各面叫侧面，侧面都是梯形；
  • 由正棱锥截得的棱台叫正棱台。
• 性质（正棱台）：
  • 各侧棱相等；
  • 各侧面是全等的等腰梯形（斜高相等）；
  • 高、斜高、上下底面边心距构成直角梯形。
• 体积：$V = \dfrac{1}{3} h (S_{\text{上}} + \sqrt{S_{\text{上}}S_{\text{下}}} + S_{\text{下}})$（$h$ 为台高，$S_{\text{上}}$、$S_{\text{下}}$ 分别为上、下底面面积）。
• 表面积：$S_{\text{表}} = S_{\text{上}} + S_{\text{下}} + S_{\text{侧}}$。

3.2 圆台

• 定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台。
• 相关概念：
  • 原圆锥的底面叫下底面，截面叫上底面（均为圆面）；
  • 侧面展开图是扇环；
  • 母线 $l$，上底半径 $r$，下底半径 $R$，高 $h$，满足 $l^2 = h^2 + (R - r)^2$。
• 性质：
  • 所有母线相等；
  • 轴截面（过轴的截面）是等腰梯形，两底边长分别为 $2r$ 和 $2R$，腰长为 $l$，高为 $h$。
• 体积：$V = \dfrac{1}{3} \pi h (r^2 + rR + R^2)$。
• 侧面积：$S_{\text{侧}} = \pi (r + R) l$。
• 表面积：$S_{\text{表}} = \pi r^2 + \pi R^2 + \pi (r + R) l$。

好的，在“台体”后面补充“球体”部分。以下是完整补充后的内容：

4 球体

• 定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球。
• 相关概念：
  • 半圆的圆心叫做球的球心，记作 $O$；
  • 球心到球面上任意一点的连线叫做半径，记作 $R$；
  • 连接球面上两点且经过球心的线段叫做直径。
• 性质：
  • 用一个平面去截球，截面是圆面：
    • 截面过球心时，截面圆半径最大，等于球的半径 $R$，称为大圆；
    • 截面不过球心时，截面圆半径 $r$ 小于 $R$，称为小圆，且 $r = \sqrt{R^2 - d^2}$（其中 $d$ 为球心到截面的距离）。
  • 球心到截面的距离 $d$ 与截面圆半径 $r$ 满足：$r^2 + d^2 = R^2$。
• 体积：$\displaystyle V = \frac{4}{3} \pi R^3$
• 表面积：$\displaystyle S = 4 \pi R^2$

补充：柱、锥、台、球的体积与表面积公式汇总

1.1 空间中点线面的表示

（1）点：用大写字母表示，例如点$A$，点$B$。 （2）直线：小写字母或者直线上两点，例如直线$a$，直线$AB$。 （3）平面：希腊字母或者平面上不公线的三点，例如平面$\alpha$，平面$ABC$。

1.2 空间中点线面的位置关系

（1）点与直线的位置关系

• 点在直线上：$A \in l$
• 点不在直线上：$A \notin l$

（2）点与平面的位置关系

• 点在平面内：$A \in \alpha$
• 点不在平面内：$A \notin \alpha$

（3）直线与直线的位置关系

• 平行：$a \parallel \text{直线}AB$
• 相交：$a \cap \text{直线}AB= C$
• 异面：$a \cap \text{直线}AB= \emptyset$

异面直线的证明：利用其中一条直线与另一条直线所在平面的交点不在另一条直线上，可以直接证明两直线异面。

（4）直线与平面的位置关系

• 平行：$a \parallel \alpha$
• 相交：$a \cap \alpha =A$
• 直线在平面内：$a \subset \alpha$

（5）平面与平面的位置关系

• 平行：$\alpha \parallel \beta$
• 相交：$\alpha \cap \beta = a$

1.3 四公理三推论

公理1（直线在平面内判定）

内容：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 符号：$A \in \alpha,\ B \in \alpha,\ A \in l,\ B \in l \Rightarrow l \subset \alpha$ 作用：①判定直线是否在平面内；②判定一个面是否是平面（如证明某线在面内）。

公理2（确定平面的条件）

内容：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。 符号：$A,B,C$ 不共线 $\Rightarrow$ 存在唯一平面 $\alpha$，使得 $A,B,C \in \alpha$ 作用：①确定一个平面的依据；②证明点、线共面。

公理3（两平面相交）

内容：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号：$P \in \alpha,\ P \in \beta,\ \alpha \neq \beta \Rightarrow \alpha \cap \beta = l$，且 $P \in l$ 作用：①证明两个平面相交；②证明点在直线上（证明点共线）。

公理4（平行公理）

内容：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号：$a \parallel b,\ b \parallel c \Rightarrow a \parallel c$ 作用：空间中直线平行的传递性。

推论1（由直线和直线外一点确定平面）

内容：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。 符号：$A \notin l \Rightarrow$ 存在唯一平面 $\alpha$，使 $l \subset \alpha$ 且 $A \in \alpha$

推论2（由两条相交直线确定平面）

内容：经过两条相交直线，有且只有一个平面。 符号：$a \cap b = P \Rightarrow$ 存在唯一平面 $\alpha$，使 $a \subset \alpha$ 且 $b \subset \alpha$

推论3（由两条平行直线确定平面）

内容：经过两条平行直线，有且只有一个平面。 符号：$a \parallel b \Rightarrow$ 存在唯一平面 $\alpha$，使 $a \subset \alpha$ 且 $b \subset \alpha$

2 空间中平行的证明与性质

2.1 线线平行

2.1.1. 证明（判定）方法

• 平行公理（公理 4 / 传递性）： 平行于同一条直线的两条直线平行。

  $$ \text{若} a \parallel b \text{ 且 } b \parallel c \implies a \parallel c $$

• 线面平行的性质： 一条直线与一个平面平行，过该直线的平面与此平面相交，则该直线与交线平行。

• 面面平行的性质： 两个平行平面同时与第三个平面相交，则两条交线平行。

• 平面几何性质： 利用三角形中位线、平行四边形对边平行、平行线分线段成比例定理等。

• 线面垂直的性质： 垂直于同一个平面的两条直线平行（若 $a \perp \alpha, b \perp \alpha \implies a \parallel b$）。

2.1.2 核心性质

• 若 $a \parallel b$，则 $a$ 与 $b$ 共面，且在同一平面内没有公共点。

2.2 线面平行

2.2.1 判定定理（线线平行 $\Rightarrow$ 线面平行）

• 文字表述： 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
• 符号表达：

• 关键要点： 证明时必须严格满足“一在外、一在内、二者平行”三个条件。

2.2.2 性质定理（线面平行 $\Rightarrow$ 线线平行）

• 文字表述： 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线就和交线平行。
• 符号表达：

• 关键要点： 这是将“线面平行”转化为“线线平行”构造辅助平面（作交线）的核心定理。

2.3 面面平行

2.3.1 判定定理（线面平行 $\Rightarrow$ 面面平行）

• 文字表述： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
• 符号表达：

• 关键要点： 平面内的两条直线必须相交，缺少相交条件结论不成立。

2.3.2 主要性质定理

• 面面平行 $\Rightarrow$ 线线平行： 两个平行平面同时和第三个平面相交，它们的交线平行。

• 面面平行 $\Rightarrow$ 线面平行： 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面。

• 传递性与垂直性：

  • 若 $\alpha \parallel \beta$ 且 $\beta \parallel \gamma \implies \alpha \parallel \gamma$。
  • 垂直于同一直线的两个平面平行（若 $l \perp \alpha, l \perp \beta \implies \alpha \parallel \beta$）。

逻辑转化链总结：

$\text{线线平行} \underset{\text{性质定理}}{\overset{\text{判定定理}}{\rightleftharpoons}} \text{线面平行} \underset{\text{性质定理}}{\overset{\text{判定定理}}{\rightleftharpoons}} \text{面面平行}$

3 空间中垂直的证明与性质

3.1 线线垂直

3.1.1 证明（判定）方法

• 平面几何性质： 利用勾股定理逆定理、等腰三角形三线合一、直角三角形性质等。

• 线面垂直的性质： 如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于该平面内的任意直线。

  $$ \begin{cases} l \perp \alpha \\ a \subset \alpha \end{cases} \implies l \perp a $$

• 三垂线定理（及逆定理）：

  • 平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
  • 平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。

• 向量法（空间向量）： 两直线的方向向量数量积为 0。

  $$ \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \iff a \perp b $$

3.1.2 分类与区别

• 相交垂直： 两直线相交且所成的角为 $90^\circ$（共面）。
• 异面垂直： 两直线异面，通过平移后所成的角为 $90^\circ$（不共面）。

3.2 线面垂直

3.2.1 判定定理（线线垂直 $\Rightarrow$ 线面垂直）

• 文字表述： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

• 符号表达：

  $$ \begin{cases} m \subset \alpha, n \subset \alpha \\ m \cap n = P \\ l \perp m, l \perp n \end{cases} \implies l \perp \alpha $$

• 关键要点： 平面内的两条直线必须相交，这是最常用的证明线面垂直的方法。

3.2.2 其他判定方法

• 面面垂直的性质： 两个平面垂直，在其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面（详见 3.3）。

• 面面平行的性质： 一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它也垂直于另一个。

  $$ \begin{cases} \alpha \parallel \beta \\ l \perp \alpha \end{cases} \implies l \perp \beta $$

• 线线平行的性质： 两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面。

  $$ \begin{cases} a \parallel b \\ a \perp \alpha \end{cases} \implies b \perp \alpha $$

3.2.3 核心性质

• 定义性质： 若 $l \perp \alpha$，则 $l$ 垂直于平面 $\alpha$ 内的所有直线。

• 平行性： 垂直于同一个平面的两条直线互相平行。

  $$ \begin{cases} a \perp \alpha \\ b \perp \alpha \end{cases} \implies a \parallel b $$

3.3 面面垂直

3.3.1 判定定理（线面垂直 $\Rightarrow$ 面面垂直）

• 文字表述： 一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。

• 符号表达：

  $$ \begin{cases} l \perp \alpha \\ l \subset \beta \end{cases} \implies \beta \perp \alpha $$

• 关键要点： 证明面面垂直通常转化为先证明“线面垂直”。

3.3.2 性质定理（面面垂直 $\Rightarrow$ 线面垂直）

• 文字表述： 两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

• 符号表达：

  $$ \begin{cases} \alpha \perp \beta \\ \alpha \cap \beta = l \\ a \subset \alpha \\ a \perp l \end{cases} \implies a \perp \beta $$

• 关键要点： 这是将“面面垂直”降维转化为“线面垂直”的核心定理，作辅助线时常在其中一个平面内向交线作垂线。

3.3.3 其他补充性质

• 若两个平面垂直，过第一个平面内一点作第二个平面的垂线，则该垂线必在第一个平面内。

• 如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面。

  $$ \begin{cases} \alpha \perp \gamma \\ \beta \perp \gamma \\ \alpha \cap \beta = l \end{cases} \implies l \perp \gamma $$

逻辑转化链总结：

$\text{线线垂直} \underset{\text{定义/性质}}{\overset{\text{判定定理}}{\rightleftharpoons}} \text{线面垂直} \underset{\text{性质定理}}{\overset{\text{判定定理}}{\rightleftharpoons}} \text{面面垂直}$

4 空间中夹角

4.1 异面直线夹角

4.1.1 概念与取值范围

• 定义： 过空间任意一点 $P$（常选在其中一条直线上或特定特殊点上），分别作与异面直线 $a, b$ 平行的直线 $a', b'$，这 两条相交直线 $a', b'$ 所成的锐角或直角叫作异面直线 $a$ 与 $b$ 所成的角。
• 取值范围： $\theta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right]$ 或 $\left(0^\circ, 90^\circ\right]$。

4.1.2 综合几何法（“一平移、二作角、三求解”）

1. 平移作角： 利用中位线、平行四边形或补形法，将其中一条（或两条）直线平移到同一点，构造出相交直线。
2. 解三角形： 将该角放入某个三角形中，利用勾股定理、余弦定理（$\cos \theta = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$）或正弦定理求解。
3. 确定终值： 若解出余弦值为负，需取其绝对值（异面直线夹角不能为钝角）。

4.1.3 空间向量法

• 公式： 设直线 $a, b$ 的方向向量分别为 $\vec{u}, \vec{v}$，夹角为 $\theta$，则：

  $$ \cos \theta = \frac{\vert{}\vec{u} \cdot \vec{v}\vert{}}{\vert{}\vec{u}\vert{} \vert{}\vec{v}\vert{}} $$

4.2 线面角（直线与平面所成的角）

4.2.1 概念与取值范围

• 定义： 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角。

  • 若直线与平面平行或在平面内，规定所成角为 $0^\circ$；
  • 若直线与平面垂直，规定所成角为 $90^\circ$。

• 取值范围： $\theta \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 或 $\left[0^\circ, 90^\circ\right]$。

4.2.2 综合几何法（“一作垂线、二找射影、三求角”）

1. 作垂线找射影： 从斜线上一点向平面作垂线（垂足为 $H$），连接斜足与垂足，得到斜线在平面内的射影。
2. 解直角三角形： 构成以斜线段为斜边、垂线段和射影线段为直角边的直角三角形，求出正弦值或正切值。
3. 常用技巧： “等体积法”求点到平面的距离（即垂线段长度 $h$），再利用 $\sin \theta = \frac{h}{L}$（$L$ 为斜线段长）计算。

4.2.3 空间向量法

• 公式： 设直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{u}$，平面 $\alpha$ 的法向量为 $\vec{n}$，线面角为 $\theta$，则：

  $$ \sin \theta = \cos \langle \vec{u}, \vec{n} \rangle = \frac{\vert{}\vec{u} \cdot \vec{n}\vert{}}{\vert{}\vec{u}\vert{} \vert{}\vec{n}\vert{}} $$

4.3 二面角（平面与平面所成的角）

4.3.1 概念与取值范围

• 定义： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角。这条直线叫作二面角的棱，两个半平面叫作二面角的面。
• 二面角的平面角： 在二面角的棱上任取一点 $O$，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线 $OA, OB$，则 $\angle AOB$ 叫作二面角的平面角。
• 取值范围： $\alpha \in [0, \pi]$ 或 $[0^\circ, 180^\circ]$。

4.3.2 综合几何法（寻找/构造平面角）

1. 定义法（垂线法）： 在棱上找特殊点，过该点在两个半平面内分别作棱的垂线。

2. 三垂线法： 过其中一个平面内一点作另一个平面的垂线，再作棱的垂线，连接垂足构成平面角。

3. 垂面法： 作一个垂直于二面角棱的平面，该平面与两个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角。

4. 面积投影法： 若已知平面图形面积为 $S$，其在另一个平面内的射影图形面积为 $S'$，则二面角 $\theta$ 的余弦值为：

   $$ cos \theta = \frac{S'}{S} $$

4.3.3 空间向量法

• 公式： 设平面 $\alpha, \beta$ 的法向量分别为 $\vec{n}_1, \vec{n}_2$，二面角大小为 $\theta$：

  $$ \vert{}\cos \theta\vert{} = \frac{\vert{}\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2\vert{}}{\vert{}\vec{n}_1\vert{} \vert{}\vec{n}_2\vert{}} $$

• 钝锐判断： 需结合几何图形的实际开合方向，判断两法向量的方向是“同向/反向”与二面角的“锐/钝”关系（若法向量一指向二面角内部、一指向外部，则 $\cos \theta = \frac{\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2}{\vert{}\vec{n}_1\vert{} \vert{}\vec{n}_2\vert{}}$）。

空间三角函数关系链总结：

• 异面直线角 $\rightarrow$ 利用方向向量求 $\boldsymbol{\cos}$ 值；
• 线面角 $\rightarrow$ 利用方向向量与法向量求 $\boldsymbol{\sin}$ 值；
• 二面角 $\rightarrow$ 利用双法向量求 $\boldsymbol{\cos}$ 值。

5 空间中的距离问题

5.1 点到线的距离

5.1.1 概念与取值范围

• 定义： 从点向直线引垂线，该点与垂足之间的线段长度叫作点到直线的距离。
• 取值范围： $d \in [0, +\infty)$。若点在直线上，则距离为 $0$。

5.1.2 综合几何法（“作垂线，解三角形”）

1. 作垂线： 过点 $P$ 作直线 $l$ 的垂线，垂足为 $H$（或利用三垂线定理/等腰三角形性质寻找垂足）。
2. 解三角形： 将线段 $PH$ 放入直角三角形或一般三角形中，利用勾股定理、正弦定理或面积法（$d = \frac{2S_{三角形}}{\text{底边长}}$）求出 $PH$ 的长度。

5.1.3 空间向量法

• 公式： 设已知点为 $P$，直线 $l$ 上有一已知点 $A$，直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{u}$，则点 $P$ 到直线 $l$ 的距离为：

  $$ d= \sqrt{\vert{}\overrightarrow{AP}\vert{}^2 - \left(\frac{\overrightarrow{AP} \cdot \vec{u}}{\vert{}\vec{u}\vert{}}\right)^2} $$

  (原理：利用勾股定理，$\vert{}\overrightarrow{AP}\vert{}$ 为斜边，$\frac{\overrightarrow{AP} \cdot \vec{u}}{\vert{}\vec{u}\vert{}}$ 为向量 $\overrightarrow{AP}$ 在直线 $l$ 上的投影长)

  $$

  $$

5.2 点到面的距离

5.2.1 概念与取值范围

• 定义： 从点向平面引垂线，该点与垂足之间的线段长度叫作点到平面的距离。
• 取值范围： $d \in [0, +\infty)$。若点在平面内，则距离为 $0$。

5.2.2 综合几何法（“直接作垂线”或“等体积法”）

1. 直接法： 寻找或构造过该点的平面的垂线，证明线面垂直后，求出垂线段长。
2. 等体积转化法（最常用）： 利用三棱锥的体积不随顶点和底面的改变而改变的性质（$\text{V}_{P-ABC} = \text{V}_{A-PBC}$），通过公式 $V = \frac{1}{3} S_{\text{底}} \cdot h$ 反解出高 $h$。
3. 平行转化法： 若直线 $a \parallel \alpha$，则直线 $a$ 上任意一点到平面 $\alpha$ 的距离相等（线面距离转化为点面距离）；若平面 $\alpha \parallel \beta$，则两平行平面间距离亦可转化为点面距离。

5.2.3 空间向量法（法向量投影法）

• 公式： 设已知点为 $P$，平面 $\alpha$ 内有一已知点 $A$，平面 $\alpha$ 的法向量为 $\vec{n}$，则点 $P$ 到平面 $\alpha$ 的距离为：

  $$ d= \frac{\vert{}\overrightarrow{AP} \cdot \vec{n}\vert{}}{\vert{}\vec{n}\vert{}} $$

  (原理：点与平面内任一点构成的向量在平面法向量上的投影长度)

  $$

  $$

5.3 异面直线间的距离

5.3.1 概念与取值范围

• 定义： 和两条异面直线都垂直且相交的直线叫作异面直线的公垂线，公垂线段的长度叫作两条异面直线间的距离。
• 取值范围： $d \in (0, +\infty)$（异面直线不可能相交，故距离恒大于 $0$）。

5.3.2 综合几何法

1. 公垂线段法： 作出公垂线段（通常利用特殊几何图形如正方体、长方体中的垂直关系直接观察），然后求其长度。
2. 线面平行转化法： 过其中一条直线 $a$ 作一个与另一条直线 $b$ 平行的平面 $\alpha$，则直线 $b$ 上任意一点到平面 $\alpha$ 的距离，即为两条异面直线间的距离（转化为 5.2 点到面的距离）。
3. 面面平行转化法： 分别过直线 $a$ 和 $b$ 作两个互相平行的平面 $\alpha$ 和 $\beta$，这两个平行平面间的距离即为异面直线间的距离。

5.3.3 空间向量法

• 公式： 设 $A$ 为直线 $a$ 上一点，$B$ 为直线 $b$ 上一点，向量 $\vec{u}$ 和 $\vec{v}$ 分别为直线 $a, b$ 的方向向量，$\vec{n}$ 为与 $a, b$ 都垂直的向量（即 $\vec{n} \perp \vec{u}$ 且 $\vec{n} \perp \vec{v}$，可通过解方程组求得），则两条异面直线间的距离为：

  $$ d = \frac{\vert{}\overrightarrow{AB} \cdot \vec{n}\vert{}}{\vert{}\vec{n}\vert{}} $$

核心思想总结：

空间距离问题本质上是降维求线段长。

• 几何法核心在于“找垂足、构造直角三角形”或利用“体积/面积等量代换”；
• 向量法核心在于求得方向向量与法向量，利用“向量投影公式”快速代数化求解。