2 抽样方法

抽样方法是连接总体与样本的桥梁。选择合理的抽样方式，是保证样本代表性、控制抽样误差的关键。沪教版教材主要介绍了三种基本的概率抽样方法。

2.1 简单随机抽样

2.1.1 定义

简单随机抽样（simple random sampling），又称纯随机抽样，是指从容量为 $N$ 的总体中，不放回地抽取容量为 $n$ 的样本，使得每一个容量为 $n$ 的样本被抽中的概率相等的一种抽样方法。

简单随机抽样是最基本、最直观的概率抽样方法，是理解其他抽样方法的基础。

2.1.2 特点

• 等概率性：总体中每个个体被抽中的概率相同，均为 $\frac{n}{N}$；
• 独立性：每次抽取时，各个个体被抽到的可能性不受其他个体影响；
• 不放回抽样：通常采用不放回方式，已抽中的个体不再放回总体。

2.1.3 优缺点

2.1.4 适用情形

• 总体容量 $N$ 不大；
• 总体内个体差异较小；
• 有完整的抽样框（即总体所有个体的名单）。

2.2 分层抽样

2.2.1 定义

分层抽样（stratified sampling），又称类型抽样。它是先将总体按某种特征分成若干个互不重叠的部分（称为“层”），然后在每一层中独立地进行简单随机抽样，最后将各层样本合并，组成总的样本。

核心思想：“分而治之”——让层内个体尽可能相似（同质性高），层间差异尽可能大（异质性高），从而提高样本代表性。

2.2.2 步骤

1. 分层：根据与研究目标密切相关的特征（如性别、年龄、年级等）将总体划分成若干层；
2. 定比：确定各层应抽取的样本量。最常用的方法是分层比例抽样，即各层样本数与该层总体数的比值相等：

其中 $N_i$ 为第 $i$ 层的个体数，$n_i$ 为第 $i$ 层应抽取的样本数，$N$ 为总体容量，$n$ 为样本容量。

3. 抽样：在各层内分别用简单随机抽样（或系统抽样）抽取个体；
4. 整合：将各层抽出的个体合并，组成最终样本。

2.2.3 优缺点

2.2.4 适用情形

• 总体由差异明显的几部分组成（如按性别、年龄段、城乡划分）；
• 需要同时了解总体和各个子群体的特征；
• 希望提高样本代表性、降低抽样误差。

典型例题：某单位职工500人，不到35岁125人，35~49岁280人，50岁以上95人。现要抽取100人进行身体状况调查。由于年龄与身体状况相关，应采用分层抽样。各层按比例抽取：

• 不到35岁：$125 \times \frac{100}{500} = 25$ 人
• 35~49岁：$280 \times \frac{100}{500} = 56$ 人
• 50岁以上：$95 \times \frac{100}{500} = 19$ 人

2.3 随机数表法

2.3.1 定义

随机数表法是利用随机数表（random number table）来抽取样本的一种具体操作方式。随机数表是由 $0 \sim 9$ 的数码随机排列而成的表格，表中每个位置出现哪个数字的概率均等，且各位置之间相互独立。

随机数表法是简单随机抽样在实际操作中的常用工具，尤其适用于总体容量中等、手工抽签不便的情形。

2.3.2 操作步骤

1. 编号：将总体中的所有个体统一编号，编号位数根据总体容量 $N$ 确定。例如 $N \leq 99$ 用两位数编号，$N \leq 999$ 用三位数编号；
2. 确定起点：在随机数表上任意确定一个起始位置（某行某列）；
3. 确定方向和规则：规定读数的方向（如从左到右、从上到下等），按固定规则逐个读取号码；
4. 选号：读取的号码若在编号范围内，则对应个体入选样本；若超出范围或重复出现（不重复抽样时），则跳过，继续读取，直到抽满所需样本容量 $n$ 为止。

2.3.3 重复抽样与不重复抽样

• 重复抽样：已抽中的号码可再次被选中，允许同一单位多次入选；
• 不重复抽样（通常采用）：已抽中的号码再次出现时跳过，保证每个个体至多入选一次。

操作示例：从95户居民中抽取10户，编号为01~95，从随机数表某行某列开始读数：

依次读得：37、38、63、69、64、73、66、14、69、16…

其中69重复出现（重复抽样情形）。若采用不重复抽样，则跳过第二个69，继续往后读取，直到抽满10个不重复号码为止。

2.3.4 适用情形

• 总体容量不大到中等（编号和查表工作量可接受）；
• 需要完全随机、排除主观因素的抽样。

3 整理数据

收集到的原始数据通常是杂乱无章的，需要通过整理、分组和图表化，将数据的分布特征直观地呈现出来。本节介绍两种常用的数据整理工具：频率分布直方图和茎叶图。

3.1 频率分布直方图

3.1.1 定义

频率分布直方图（frequency distribution histogram）是以组距为底边长、以频率/组距（即频率密度）为高绘制的一系列矩形统计图。它用于直观展示一组数据的分布形态——数据集中在哪个区间、在哪个区间分布稀疏。

注意：直方图纵轴是“频率/组距”，所以各矩形面积 = 频率，所有矩形面积之和等于 1。

3.1.2 绘制步骤

第1步：求极差 计算数据的最大值与最小值之差，确定数据的变动范围。

第2步：决定组距与组数

• 组距（class interval）：每个小区间的长度，通常取 2、5、10 的倍数以便于计算；
• 组数：将数据分成多少组。常用经验公式：组数 $k \approx 1 + \log_2 n$（$n$ 为样本容量），一般取 $5 \sim 12$ 组为宜；
• 三者关系：$\text{组数} = \left\lceil \dfrac{\text{极差}}{\text{组距}} \right\rceil$（向上取整）。

第3步：确定分点（组限）

• 确定各组的上限和下限，通常采用左闭右开区间 $[a, b)$，以免数据落在边界上造成归属不清；
• 为简化操作，常使分点比数据多一位小数，避免数据恰好落在分点上。

第4步：列频率分布表

• 频数（frequency）：落在该组内的数据个数；
• 频率（relative frequency）：频数与样本容量的比值，即 $\text{频率} = \dfrac{\text{频数}}{n}$；
• 频率密度（频率/组距）：$\text{频率密度} = \dfrac{\text{频率}}{\text{组距}}$（直方图的纵轴高度）。

第5步：绘制直方图

• 横轴：表示数据的分组区间；
• 纵轴：表示频率/组距（频率密度）；
• 以各组区间为底边，以频率密度为高，画出各矩形。

3.1.3 直方图的性质

性质1：每个小矩形的面积 = 组距 $\times$ 频率密度 = 该组的频率。

性质2：所有小矩形的面积之和 = $\sum$（各矩形面积） = $\sum$（各组频率） = 1。

性质3：在频率分布直方图中，众数约为最高矩形中点对应的数值；中位数约为使左右两侧面积相等（各占 0.5）的横坐标。

3.1.4 与条形图的区别

3.2 茎叶图

3.2.1 定义

茎叶图（stem-and-leaf plot）是一种将数据按数位进行分拆整理的统计图。它将每个数据拆分为茎（高位部分）和叶（低位部分），用茎表示共同的部分，用叶表示个体的细微差别。

茎叶图既能显示数据的具体取值（不损失原始数据信息），又能反映数据的分布形态，是兼具统计和整理功能的有效工具。

3.2.2 作图步骤

第1步：确定“茎”和“叶”的分位（通常以十位及更高位为茎，个位为叶）。

第2步：将数据按从小到大排序后，按茎分组，将每个数据的“叶”写在对应茎的右侧。

第3步：在茎的左侧记录频数，通常按从小到大的顺序排列茎，并将相同茎的叶按从小到大排列。

作图示例： 现有 10 名学生某次测验成绩（满分 100）：

绘制茎叶图（茎为十位，叶为个位）：

读法：第一行表示 $73, 78, 79$ 三个数据，第二行表示 $81, 82, 85, 86, 88$，第三行表示 $90, 94$。

3.2.3 茎叶图的特点

优点：

• 保留原始数据：所有数据的具体数值一目了然，不像直方图那样丢失细节；
• 便于排序和查找：叶按大小排列后，容易找到中位数、众数、极值等；
• 适合小样本：尤其适用于样本容量 $n \leq 50$ 的情形，手工整理方便；
• 直观显示分布：茎叶图的“叶”的疏密程度等同于直方图，可直观看出数据的集中趋势和分散情况。

局限：

• 样本容量较大时，叶子过长，不便阅读；
• 不便于多组数据直接对比（但可以绘制背靠背茎叶图来对比两组数据）。

3.2.4 补充：背靠背茎叶图

当需要比较两组数据的分布时，可以绘制背靠背茎叶图：将两组数据的叶分别写在茎的左右两侧（通常左侧按从小到大排列，右侧也按从小到大排列），便于直观对比两组数据的集中位置和离散程度。

示例：比较甲、乙两组学生的成绩

4 统计指标

4.1 平均数

4.1.1 具体数据的平均事

设一组样本数据为 $x_1, x_2, \ldots, x_n$，样本平均数为 $\bar{x}$，则

4.1.2 频率分布直方图求平均数

取每一段的中点值作为该段的所有数据的值，结合每段的频率求解平均数。

设一组样本绘制成频率分布直方图后，每段的中点值和频率如下所示：

4.2 极差

极差（range），又称全距，是一组数据的最大值与最小值之差，反映一组数据的变动幅度。

4.3 百分位数

4.3.1 定义

一组数据的第 $p$ 百分位数是这样一个值 $p$，它使得这组数据中至少有 $p\%$ 的数据小于或等于这个值，且至少有 $(100-p)\%$ 的数据大于或等于这个值。

4.3.2 计算方法

（1）具体数据 计算一组 $n$ 个数据的第 $p$ 百分位数的步骤如下：

第1步：将原始数据按从小到大排列。

第2步：计算 $i = n \times p\%$。

第3步：判断结果：

• 若 $i$ 不是整数，而大于 $i$ 的相邻整数为 $j$，则第 $p$ 百分位数为第 $j$ 项数据；
• 若 $i$ 是整数，则第 $p$ 百分位数为第 $i$ 项与第 $(i+1)$ 项数据的平均数。

（2）频率分布直方图 前置：假设数据在每一段内均匀分布。

步骤：

第1步：确定第$p$百分位数所在段，并确定该段的起始值$a$，还有面积$S_{\text{所在段}}$

第2步：计算出所在段前面所有段的面积和$S_{\text{和}}$

第$p$百分位数为

4.4 方差与标准差

.4.1 定义 方差（variance）是各个数据与平均数之差的平方的平均数，描述一组数据偏离平均数的程度；标准差（standard deviation）是方差的算术平方根。

4.4.2 计算公式

设一组数据为 $x_1, x_2, \ldots, x_n$，平均数为 $\bar{x}$：

样本方差 $s^2$：

样本标准差 $s$：

注意：方差（标准差）越大，说明数据的波动越大，越不稳定；反之，方差（标准差）越小，数据越集中、越稳定。

4.4.3 简化计算公式

方差也可用如下公式计算（便于手算或编程）：

4.4.4 统计意义

• 方差和标准差是描述数据离散程度最常用的指标；
• 与极差相比，方差利用了每一个数据的信息，更加全面可靠；
• 标准差的单位与数据本身一致，便于实际解释。