1.1 倾斜角

• 定义：在平面直角坐标系中，对于一条与 $x$ 轴相交的直线，把 $x$ 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角。
• 范围：$0 \le \alpha < \pi$（即 $0^\circ \le \alpha < 180^\circ$）。
• 特例：当直线与 $x$ 轴平行或重合时，倾斜角 $\alpha = 0$。当直线与 $x$ 轴垂直时，倾斜角 $\alpha = \frac{\pi}{2}$（$90^\circ$）。

1.2 斜率

• 定义：一条直线的倾斜角 $\alpha$ 的正切值叫做这条直线的斜率。
• 公式：$k = \tan \alpha$（$\alpha \neq \frac{\pi}{2}$）。
• 过两点的斜率公式：若直线上两点 $P_1(x_1, y_1)$，$P_2(x_2, y_2)$（$x_1 \neq x_2$），则： $$ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} $$

1.3 两者关系

• $\alpha = 0 \iff k = 0$（直线水平）；
• $0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \iff k > 0$（直线从左下往右上倾斜）；
• $\alpha = \frac{\pi}{2} \iff k$ 不存在（直线竖直）；
• $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \iff k < 0$（直线从左上往右下倾斜）。
• 单调性：斜率 $k$ 随倾斜角 $\alpha$ 在 $[0, \frac{\pi}{2})$ 和 $(\frac{\pi}{2}, \pi)$ 上分别单调递增。

2 直线方程

2.1 斜截式

• 已知斜率 $k$ 和 $y$ 轴上的截距 $b$（过点 $(0, b)$）。
• 方程：$y = kx + b$
• 限制：不能表示垂直于 $x$ 轴的直线（斜率不存在）。

2.2 点斜式

• 已知斜率 $k$ 和直线上一点 $P_0(x_0, y_0)$。
• 方程：$y - y_0 = k(x - x_0)$
• 限制：不能表示垂直于 $x$ 轴的直线。

2.3 两点式

• 已知直线上两点 $P_1(x_1, y_1)$，$P_2(x_2, y_2)$（$x_1 \neq x_2$，$y_1 \neq y_2$）。
• 方程：$\dfrac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \dfrac{x - x_1}{x_2 - x_1}$
• 限制：不能表示垂直于坐标轴的直线。

2.4 点方向式

• 已知直线上一点 $P_0(x_0, y_0)$ 和一个方向向量 $\vec{d} = (u, v)$（$u, v$ 不全为 0）。
• 方程：$\dfrac{x - x_0}{u} = \dfrac{y - y_0}{v}$（当 $u \neq 0, v \neq 0$ 时）；若 $u=0$ 或 $v=0$，则直线分别垂直于 $x$ 轴或 $y$ 轴。
• 核心：$(x - x_0, y - y_0) \parallel (u, v)$。

2.5 点法向式

• 已知直线上一点 $P_0(x_0, y_0)$ 和一个法向量 $\vec{n} = (a, b)$（$a, b$ 不全为 0）。
• 方程：$a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0$
• 核心：$(x - x_0, y - y_0) \perp (a, b)$。

2.6 截距式

• 已知直线在 $x$ 轴上的截距为 $a$（过点 $(a,0)$），在 $y$ 轴上的截距为 $b$（过点 $(0,b)$），且 $ab \neq 0$。
• 方程：$\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1$
• 限制：不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线。

2.7 一般式

• 定义：关于 $x, y$ 的二元一次方程。
• 方程：$Ax + By + C = 0$（$A, B$ 不全为 0）。
• 优势：可表示平面内任意一条直线（包含竖直）。
• 重要关系：
  • 斜率 $k = -\dfrac{A}{B}$（当 $B \neq 0$ 时）；
  • 法向量 $\vec{n} = (A, B)$；
  • 方向向量 $\vec{d} = (B, -A)$。

好的，在“直线位置关系”部分，除了原有的一般式，我补充上斜截式 $y = kx + b$ 的对应判断方法，方便你在不同题型中选用。以下是完整修改后的内容：

3 直线位置关系

设两条直线分别为：

• 一般式：$l_1: A_1x + B_1y + C_1 = 0$，$l_2: A_2x + B_2y + C_2 = 0$
• 斜截式：$l_1: y = k_1x + b_1$，$l_2: y = k_2x + b_2$（斜率存在时）

3.1 重合

• 一般式判定：存在非零常数 $\lambda$，使得 $A_1 = \lambda A_2$，$B_1 = \lambda B_2$，$C_1 = \lambda C_2$。
• 斜截式判定：$k_1 = k_2$ 且 $b_1 = b_2$。
• 方程解：方程组有无穷多组解。

3.2 平行

• 一般式判定：$\dfrac{A_1}{A_2} = \dfrac{B_1}{B_2} \neq \dfrac{C_1}{C_2}$（分母不为 0 时）；或 $A_1B_2 - A_2B_1 = 0$ 且 $A_1C_2 - A_2C_1 \neq 0$（或 $B_1C_2 - B_2C_1 \neq 0$）。
• 斜截式判定：$k_1 = k_2$ 且 $b_1 \neq b_2$。
• 方程解：方程组无解。

3.3 相交

• 一般式判定：$\dfrac{A_1}{A_2} \neq \dfrac{B_1}{B_2}$，即 $A_1B_2 - A_2B_1 \neq 0$。
• 斜截式判定：$k_1 \neq k_2$。
• 方程解：方程组有唯一解（交点坐标可通过联立方程求得）。

3.4 垂直

• 一般式判定：$A_1A_2 + B_1B_2 = 0$（法向量互相垂直）。
• 斜截式判定：$k_1 \cdot k_2 = -1$（两条斜率都存在时）。
• 特例（斜截式无法表示的情况）：一条斜率为 $0$（水平），另一条斜率不存在（竖直），此时两直线也垂直。

3.5 夹角

设两条直线的夹角为 $\theta$（$0 \le \theta \le \dfrac{\pi}{2}$）。

• 已知斜率（斜截式）：$\tan \theta = \left| \dfrac{k_2 - k_1}{1 + k_1k_2} \right|$。
• 已知一般式：$\cos \theta = \dfrac{|A_1A_2 + B_1B_2|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2+B_2^2}}$。

4 直线距离

4.1 点到直线距离

• 已知：点 $P(x_0, y_0)$，直线 $l: Ax + By + C = 0$。
• 公式： $$ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} $$
• 注意：使用前必须将直线方程化为一般式。

4.2 平行线之间距离

• 已知：两条平行直线 $l_1: Ax + By + C_1 = 0$，$l_2: Ax + By + C_2 = 0$（$A, B$ 必须对应相同）。
• 公式： $$ d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}} $$
• 注意：使用前必须将两条直线中 $x, y$ 的系数化为相同。

定义：平面内与一个定点 $F$ 和一条定直线 $l$（$l$ 不经过点 $F$）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点 $F$ 叫做抛物线的焦点，定直线 $l$ 叫做抛物线的准线。

符号语言： 设 $P$ 为抛物线上任意一点，则

其中 $d(P,l)$ 表示点 $P$ 到准线 $l$ 的距离。

定义要点：

• 焦点 $F$ 不在准线 $l$ 上（若 $F \in l$，轨迹为过 $F$ 且垂直于 $l$ 的直线）；
• 抛物线是到定点与到定直线距离相等的点的集合；
• 抛物线是圆锥曲线中离心率 $e = 1$ 的情形（椭圆 $01$）。

补充定义（统一定义）：抛物线是平面内到定点 $F$ 的距离与到定直线 $l$ 的距离之比为常数 $e$（$e = 1$）的点的轨迹，即

2 抛物线的方程及图像

2.1 焦点在 $x$ 轴上

抛物线焦点在 $x$ 轴上时，标准方程有两种情况（开口向右或向左）。

（1）开口向右（焦点在 $x$ 轴正半轴）

标准方程：

几何要素：

• 焦点坐标：$F\left(\dfrac{p}{2}, 0\right)$；
• 准线方程：$x = -\dfrac{p}{2}$；
• 顶点坐标：$(0, 0)$；
• 对称轴：$x$ 轴；
• 离心率：$e = 1$；
• 焦参数：$p$（焦点到准线的距离）；
• 通径长：$2p$（过焦点且垂直于对称轴的弦）。

图像特征：抛物线开口向右，顶点在原点，对称轴为 $x$ 轴，$x \geq 0$ 部分有曲线。

（2）开口向左（焦点在 $x$ 轴负半轴）

标准方程：

几何要素：

• 焦点坐标：$F\left(-\dfrac{p}{2}, 0\right)$；
• 准线方程：$x = \dfrac{p}{2}$；
• 顶点坐标：$(0, 0)$；
• 对称轴：$x$ 轴；
• 离心率：$e = 1$；
• 通径长：$2p$。

图像特征：抛物线开口向左，顶点在原点，$x \leq 0$ 部分有曲线。

2.2 焦点在 $y$ 轴上

抛物线焦点在 $y$ 轴上时，标准方程有两种情况（开口向上或向下）。

（1）开口向上（焦点在 $y$ 轴正半轴）

标准方程：

几何要素：

• 焦点坐标：$F\left(0, \dfrac{p}{2}\right)$；
• 准线方程：$y = -\dfrac{p}{2}$；
• 顶点坐标：$(0, 0)$；
• 对称轴：$y$ 轴；
• 离心率：$e = 1$；
• 通径长：$2p$。

图像特征：抛物线开口向上，顶点在原点，对称轴为 $y$ 轴，$y \geq 0$ 部分有曲线。

（2）开口向下（焦点在 $y$ 轴负半轴）

标准方程：

几何要素：

• 焦点坐标：$F\left(0, -\dfrac{p}{2}\right)$；
• 准线方程：$y = \dfrac{p}{2}$；
• 顶点坐标：$(0, 0)$；
• 对称轴：$y$ 轴；
• 离心率：$e = 1$；
• 通径长：$2p$。

图像特征：抛物线开口向下，顶点在原点，$y \leq 0$ 部分有曲线。

四种标准方程对比总结：

记忆规律：

• 一次项决定对称轴位置（$y^2$ 对应 $x$ 轴，$x^2$ 对应 $y$ 轴）；
• 一次项系数符号决定开口方向（正号朝正半轴，负号朝负半轴）；
• $p$ 始终为正，等于焦点到准线的距离。

3 抛物线的性质

3.1 抛物线的定义（见第1节）

抛物线满足第一定义（到定点与定直线距离相等），其核心性质可归纳为：

• 第一定义（几何定义）：到定点 $F$ 与到定直线 $l$ 距离相等的轨迹；
• 第二定义（统一定义）：到定点与到定直线距离之比为 $e = 1$ 的轨迹；
• 抛物线的离心率恒为 $1$，是椭圆（$e<1$）与双曲线（$e>1$）之间的"临界情形"。

3.2 抛物线上点到焦点的距离

（1）焦点半径公式（焦半径）

抛物线上任意一点 $P(x_0, y_0)$ 到焦点 $F$ 的距离称为焦半径。

四种标准方程的焦半径：

| 标准方程 | 焦半径 $|PF|$ | |—|—| | $y^2 = 2px$ | $|PF| = x_0 + \dfrac{p}{2}$ | | $y^2 = -2px$ | $|PF| = -x_0 + \dfrac{p}{2}$ | | $x^2 = 2py$ | $|PF| = y_0 + \dfrac{p}{2}$ | | $x^2 = -2py$ | $|PF| = -y_0 + \dfrac{p}{2}$ |

统一记忆：焦半径等于点到准线的距离（由定义直接可得），即 $|PF| = d(P, l)$。

（2）重要性质

• 最小值：当 $P$ 在顶点时，焦半径取最小值 $\dfrac{p}{2}$；
• 无上界：抛物线向外无限延伸，焦半径无最大值；
• 几何意义：焦半径就是点到准线的距离，体现了抛物线的定义本质。

3.3 抛物线的弦长公式

定义：抛物线上两点之间的线段称为抛物线的弦。过焦点的弦称为焦点弦。

（1）一般弦长公式

若直线 $l: y = kx + b$ 与抛物线 $y^2 = 2px$ 交于 $A(x_1, y_1),\ B(x_2, y_2)$ 两点，则弦长：

将 $y = kx + b$ 代入抛物线方程，利用韦达定理：

若直线为 $x = my + n$，则：

（2）焦点弦长公式——抛物线最重要的性质

过焦点 $F\left(\dfrac{p}{2}, 0\right)$ 的弦 $AB$ 称为焦点弦。

若直线 $AB$ 的倾斜角为 $\theta$（$0 < \theta < \pi$），则：

当 $\theta = 90^\circ$ 时（即焦点弦垂直于对称轴），$|AB| = 2p$，此时为通径，是抛物线最短的焦点弦。

若焦点弦的斜率为 $k$，则：

（3）焦点弦的两个重要性质

设焦点弦 $AB$ 的端点坐标分别为 $A(x_1, y_1),\ B(x_2, y_2)$（抛物线 $y^2 = 2px$）：

• 性质1：$y_1 y_2 = -p^2$，$x_1 x_2 = \dfrac{p^2}{4}$；
• 性质2：$\dfrac{1}{|AF|} + \dfrac{1}{|BF|} = \dfrac{2}{p}$（焦点弦两端点到焦点的距离倒数和为常数）；

由性质2可进一步得：若 $|AF| = m,\ |BF| = n$，则 $\dfrac{1}{m} + \dfrac{1}{n} = \dfrac{2}{p}$，从而 $|AB| = m + n \geq 2p$（当且仅当 $m = n = p$ 时取等号，此时 $AB \perp$ 对称轴，即为通径）。

3.4 抛物线的切线方程

（1）抛物线上一点处的切线方程

情形一：抛物线 $y^2 = 2px$ 上一点 $P(x_0, y_0)$ 处的切线方程为：

情形二：抛物线 $x^2 = 2py$ 上一点 $P(x_0, y_0)$ 处的切线方程为：

统一记忆方法：将原方程中的变量按"一半替换"规则——$y^2$ 换成 $y y_0$，$x$ 换成 $\dfrac{x + x_0}{2}$。

（2）斜率已知的切线方程

情形一：斜率为 $k$ 的直线与抛物线 $y^2 = 2px$ 相切，切线方程为：

情形二：斜率为 $k$ 的直线与抛物线 $x^2 = 2py$ 相切，切线方程为：

（3）抛物线外一点引切线（切点弦方程）

过抛物线 $y^2 = 2px$ 外一点 $P(x_0, y_0)$ 作两条切线，其切点弦方程为：

（形式与切线方程相同，但此时 $P$ 在抛物线外。）

几何意义：若 $P$ 在抛物线上，该方程表示过 $P$ 的切线；若 $P$ 在抛物线外，该方程表示两个切点连线的方程。

（4）切线性质——抛物线的光学性质

• 从焦点发出的光线经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于对称轴；
• 反之，平行于对称轴的光线经抛物线反射后，汇聚于焦点；
• 这一性质是抛物线最重要的应用背景（如探照灯、卫星天线、太阳灶等）。

定义：平面内与两个定点 $F_1, F_2$ 的距离之差的绝对值等于常数（大于 $0$ 且小于 $|F_1F_2|$）的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。

符号语言： 设 $P$ 为双曲线上任意一点，则

去掉绝对值时，双曲线分为两支：

• $|PF_1| - |PF_2| = 2a$：靠近 $F_2$ 的一支（右支）；
• $|PF_1| - |PF_2| = -2a$：靠近 $F_1$ 的一支（左支）。

定义中常数的要求：

• $0 < 2a < 2c$：轨迹为双曲线（两支）；
• $2a = 2c$：轨迹为以 $F_1, F_2$ 为端点的两条射线；
• $2a > 2c$：轨迹不存在；
• $2a = 0$：轨迹为线段 $F_1F_2$ 的垂直平分线。

补充定义（第二定义）：双曲线是平面内到定点 $F$（焦点）的距离与到定直线 $l$（准线）的距离之比为常数 $e$（$e > 1$）的点的轨迹，即

其中 $e$ 为双曲线的离心率。

2 双曲线的方程及图像

2.1 焦点在 $x$ 轴上

标准方程：

几何要素：

• 焦点坐标：$F_1(-c, 0),\ F_2(c, 0)$，其中 $c^2 = a^2 + b^2$；
• 顶点坐标：$(\pm a, 0)$（实轴端点）；
• 虚轴端点：$(0, \pm b)$（虚轴端点，非双曲线上的点）；
• 实轴长：$2a$（在 $x$ 轴上）；
• 虚轴长：$2b$（在 $y$ 轴上）；
• 焦距：$2c$；
• 离心率：$e = \dfrac{c}{a}$（$e > 1$）；
• 渐近线方程：$y = \pm \dfrac{b}{a}x$；
• 准线方程：$x = \pm \dfrac{a^2}{c}$。

图像特征：双曲线左右两支开口，实轴沿 $x$ 轴方向，渐近线为过原点的两条直线。

2.2 焦点在 $y$ 轴上

标准方程：

几何要素：

• 焦点坐标：$F_1(0, -c),\ F_2(0, c)$，其中 $c^2 = a^2 + b^2$；
• 顶点坐标：$(0, \pm a)$（实轴端点）；
• 虚轴端点：$(\pm b, 0)$（虚轴端点，非双曲线上的点）；
• 实轴长：$2a$（在 $y$ 轴上）；
• 虚轴长：$2b$（在 $x$ 轴上）；
• 焦距：$2c$；
• 离心率：$e = \dfrac{c}{a}$（$e > 1$）；
• 渐近线方程：$y = \pm \dfrac{a}{b}x$；
• 准线方程：$y = \pm \dfrac{a^2}{c}$。

图像特征：双曲线上下两支开口，实轴沿 $y$ 轴方向。

两种标准方程的对比：

判断焦点位置的方法：看标准方程中 正号项 对应的变量——正号项分母为 $a^2$，焦点在该变量对应的轴上。

等轴双曲线：当 $a = b$ 时，称为等轴双曲线，方程为 $x^2 - y^2 = a^2$（或 $y^2 - x^2 = a^2$），其渐近线为 $y = \pm x$，互相垂直，离心率 $e = \sqrt{2}$。

共轭双曲线：$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 与 $\dfrac{y^2}{b^2} - \dfrac{x^2}{a^2} = 1$ 互为共轭双曲线，它们有共同的渐近线。

3 双曲线的性质

3.1 双曲线的定义（见第1节）

双曲线的第一定义和第二定义等价，综合表述为：

• 第一定义（几何定义）：到两定点距离之差的绝对值为常数 $2a$ 的轨迹；
• 第二定义（统一定义）：到定点与到定直线距离之比为离心率 $e$（$e>1$）的轨迹。

第一定义与第二定义的关系：由标准方程可推导出 $\dfrac{|PF|}{d(P,l)} = \dfrac{c}{a} = e$。

3.2 双曲线上点到焦点的距离

（1）焦点半径公式（焦半径）

双曲线上任意一点 $P(x_0, y_0)$ 到两焦点的距离称为焦半径。

焦点在 $x$ 轴上：双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$，焦点 $F_1(-c,0),\ F_2(c,0)$。

• 当 $P$ 在右支上（$x_0 \geq a$）：

• 当 $P$ 在左支上（$x_0 \leq -a$）：

统一形式（利用 $|x_0| \geq a$）：

焦点在 $y$ 轴上：双曲线 $\dfrac{y^2}{a^2} - \dfrac{x^2}{b^2} = 1$，焦点 $F_1(0,-c),\ F_2(0,c)$。

• 当 $P$ 在上支上（$y_0 \geq a$）：

• 当 $P$ 在下支上（$y_0 \leq -a$）：

（2）重要性质

• 差的绝对值恒定：$\bigl||PF_1| - |PF_2|\bigr| = 2a$（双曲线定义）；
• 范围：焦点半径无上界（双曲线向外无限延伸）；
• 最值：当 $P$ 在顶点处时，焦半径取最小值 $c - a$（近焦点）和 $a + c$（远焦点）。

3.3 双曲线的弦长公式

定义：双曲线上两点之间的线段称为双曲线的弦。过焦点的弦称为焦点弦。

（1）一般弦长公式

若直线 $l: y = kx + m$ 与双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 交于 $A(x_1, y_1),\ B(x_2, y_2)$ 两点，则弦长：

将 $y = kx + m$ 代入双曲线方程，利用韦达定理：

若直线为 $x = my + n$，则：

注意：双曲线弦长公式与椭圆形式相同，但联立方程后韦达定理的形式不同（$x^2$ 系数可能为 $0$，此时直线与渐近线平行，与双曲线只有一个交点）。

（2）焦点弦长公式

过焦点 $F(c,0)$ 的弦 $AB$，若直线斜率为 $k$，则：

特殊情形——通径：过焦点且垂直于实轴的弦称为通径，其长度为：

（通径是双曲线中最短的焦点弦，与椭圆通径公式形式相同。）

3.4 双曲线的切线方程

（1）双曲线上一点处的切线方程

设 $P(x_0, y_0)$ 是双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 上一点，则过点 $P$ 的切线方程为：

记忆口诀：将标准方程中的 $x^2$ 换成 $x x_0$，$y^2$ 换成 $y y_0$。

（2）斜率已知的切线方程

已知切线斜率为 $k$，则与双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 相切的直线方程为：

存在条件：$a^2 k^2 - b^2 \geq 0$，即 $|k| \geq \dfrac{b}{a}$。

当 $|k| < \dfrac{b}{a}$ 时，直线与双曲线没有切点（可能无交点或有两个交点）； 当 $|k| = \dfrac{b}{a}$ 时，直线与渐近线平行（或重合），此时切点在无穷远处，退化为渐近线方向。

（3）双曲线外一点引切线

若点 $P(x_0, y_0)$ 在双曲线外部（且不在渐近线上），过 $P$ 作双曲线的两条切线，其切点弦方程为：

（形式与切线方程相同，但此时 $P$ 在双曲线外，该方程表示两切点所在的直线。）

（4）切线性质

• 双曲线上一点 $P$ 处的切线平分该点与两焦点连线所成的内角（光学性质：从一焦点发出的光线经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过另一焦点）；
• 切线与法线垂直（法线方向与焦半径方向有固定关系）。

定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆。定点叫做圆的圆心，定长叫做圆的半径。

符号语言： 设圆心为 $O$，半径为 $r$（$r > 0$），$P$ 为圆上任意一点，则

补充定义（解析几何角度）：圆是平面内与定点距离为常数的点的轨迹。也可以理解为到两个定点（圆心和无穷远点）距离之比为 $1$ 的点的轨迹。

2 圆的方程

2.1 标准方程

形式： 设圆心为 $O(a, b)$，半径为 $r$（$r > 0$），则圆的标准方程为

特例：当圆心在原点 $O(0, 0)$ 时，方程为

要点：

• 标准方程直接给出了圆心坐标 $(a, b)$ 和半径 $r$；
• 左边为平方和形式，右边为半径平方；
• 若点 $P(x_0, y_0)$ 在圆上，则 $(x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2 = r^2$。

2.2 一般方程

将标准方程展开，得到圆的一般方程：

其中 $D, E, F$ 为常数，且满足 $D^2 + E^2 - 4F > 0$。

圆心与半径： 由一般方程配方可得：

因此：

• 圆心坐标：$\left(-\dfrac{D}{2}, -\dfrac{E}{2}\right)$；
• 半径：$r = \dfrac{1}{2}\sqrt{D^2 + E^2 - 4F}$。

方程条件：

• $D^2 + E^2 - 4F > 0$：表示一个圆；
• $D^2 + E^2 - 4F = 0$：表示一个点（点圆）$\left(-\dfrac{D}{2}, -\dfrac{E}{2}\right)$；
• $D^2 + E^2 - 4F < 0$：不表示任何图形。

标准方程与一般方程可以互化：标准方程展开即得一般方程；一般方程配方即得标准方程。

2.3 参数方程

形式一（圆心在原点）： 圆 $x^2 + y^2 = r^2$ 的参数方程为

其中 $\theta$ 为参数，表示点 $P$ 与 $x$ 轴正方向的夹角。

形式二（圆心在 $(a, b)$）： 圆 $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ 的参数方程为

参数 $\theta$ 的几何意义：$\theta$ 是点 $P$ 与圆心连线与 $x$ 轴正方向所成的角（有向角）。

应用：参数方程常用于处理"点在圆上运动"的动点问题，以及最值问题（可将二元最值转化为三角最值）。

3 圆与点、直线、圆的位置关系

3.1 圆与点的位置关系

设圆 $C$ 的圆心为 $O$，半径为 $r$，点 $P$ 到圆心 $O$ 的距离为 $d = |OP|$，则：

坐标判断法：若圆方程为 $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$，点 $P(x_0, y_0)$，则：

• $(x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2 < r^2$：点在圆内；
• $(x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2 = r^2$：点在圆上；
• $(x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2 > r^2$：点在圆外。

3.2 圆与直线的位置关系

设圆心 $O$ 到直线 $l$ 的距离为 $d$，圆的半径为 $r$，则：

几何法（最常用）： 设直线方程为 $Ax + By + C = 0$，圆心为 $O(a, b)$，则圆心到直线的距离：

比较 $d$ 与 $r$ 的大小即可判断。

代数法（判别式法）： 将直线方程代入圆方程，消去一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，计算判别式 $\Delta$：

• $\Delta < 0$：相离；
• $\Delta = 0$：相切；
• $\Delta > 0$：相交。

推荐：几何法更简洁直观，代数法适用于需要求交点坐标的情形。

3.3 圆与圆的位置关系

设两圆 $C_1$ 的半径为 $r_1$，圆心距为 $d = |O_1O_2|$，$r_1 \geq r_2$，则：

判断步骤：

1. 求两圆圆心距 $d$；
2. 比较 $d$ 与 $r_1 + r_2$、$|r_1 - r_2|$ 的大小；
3. 按上表确定位置关系。

两圆公共弦：当两圆相交时，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程。

4 圆的弦长公式

定义：直线与圆相交时，直线被圆截得的两交点之间的线段称为圆的弦。

弦长公式（几何法）： 设圆心 $O$ 到直线 $l$ 的距离为 $d$，圆的半径为 $r$，则弦长

推导：由垂径定理，圆心到弦的垂线平分弦，构成直角三角形，斜边为 $r$，一条直角边为 $d$，另一条直角边为弦长的一半。

坐标法（直线与圆联立）： 若直线方程为 $y = kx + b$，与圆 $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ 交于 $A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$，则

特殊情形：

• 当直线过圆心时，$d = 0$，弦长 $|AB| = 2r$（直径）；
• 当直线与圆相切时，$d = r$，弦长 $|AB| = 0$。

5 圆的切线

5.1 圆上点切线方程

形式一：圆 $x^2 + y^2 = r^2$ 上一点 $P(x_0, y_0)$ 处的切线方程为：

形式二：圆 $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ 上一点 $P(x_0, y_0)$ 处的切线方程为：

记忆口诀：将标准方程中的 $x^2$ 换成 $x x_0$，$y^2$ 换成 $y y_0$；若圆心不在原点，则 $(x-a)^2$ 换成 $(x-a)(x_0-a)$。

几何法（当圆心在原点时）： 圆心 $O$ 与切点 $P$ 连线垂直于切线，故切线斜率为 $-\dfrac{x_0}{y_0}$（当 $y_0 \neq 0$ 时），利用点斜式可得切线方程。

5.2 过圆外一点的切点弦方程

定义：从圆外一点 $P(x_0, y_0)$ 向圆引两条切线，两个切点 $A$、$B$ 的连线称为切点弦（或切点弦方程）。

切点弦方程（圆 $x^2 + y^2 = r^2$，点 $P(x_0, y_0)$ 在圆外）：

切点弦方程（圆 $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$，点 $P(x_0, y_0)$ 在圆外）：

切点弦的性质：

• 切点弦方程的形式与切点处切线方程完全相同，但 $P$ 从圆上换成了圆外；
• 当 $P$ 在圆上时，切点弦退化为该点处的切线；
• $OP$ 垂直于切点弦 $AB$（$O$ 为圆心）；
• 切点弦 $AB$ 的方程为"极线方程"的体现（在极坐标意义下）。

6 圆系方程

6.1 两圆的公共弦所在直线方程

设两圆 $C_1$、$C_2$ 的方程分别为：

两圆方程相减，得到公共弦所在直线方程（两圆相交时）：

当两圆相切时，该方程表示两圆的公切线（切点处的公切线）；当两圆相离时，该方程表示两圆的根轴（等幂轴）。

6.2 过两圆公共点圆的方程

过两圆交点的圆系方程： 若两圆 $C_1$ 与 $C_2$ 相交（或相切）于公共点，则经过它们的所有公共点的圆（包括两圆本身）的方程可表示为：

即：

其中 $\lambda$ 为参数（$\lambda \neq -1$）。

说明：

• 当 $\lambda = 0$ 时，表示圆 $C_1$；
• 当 $\lambda \to \infty$ 时，表示圆 $C_2$（实际上取 $\lambda$ 为某一值可表示过公共点的所有圆，但不包含 $C_2$ 本身，$C_2$ 需单独处理）；
• 若已知第三个条件（如圆心坐标或经过第三个点），可确定 $\lambda$ 的值。

过两圆公共点且圆心在已知直线上的圆：先写出圆系方程，再根据圆心坐标满足的直线条件求出 $\lambda$。

过直线与圆的交点的圆系方程： 若直线 $l: Ax + By + C = 0$ 与圆 $C: x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ 交于两点，则过这两个交点的所有圆可表示为：

即：

6.3 圆系方程性质汇总